2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何6椭圆二课件理
x2 y2 4×10×(－35)＝1 404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆 9 ＋ 4 ＝1相 交．
2．已知以 F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y ＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( A．3 2 C．2 7 B．2 6 D．4 2 )
答案 C 解析 方法一：验证法： 2a＝2 7 时， a＝ 7，c＝2 ，b ＝ 3， x2 y2 ∴ ＋ ＝1与x＋ 3 y＋4＝0联立，得16y2＋24 3 y＋27 ＝ 7 3 0，Δ＝(24 3)2－4×16×27＝0. x2 y2 方法二：设椭圆方程为 2 ＋ 2＝1(a>b>0)， a b
∵M(1，1)是线段AB的中点，∴y1＋ y2＝2. 12b2 b2 1 故 2 2＝2，∴ a2＝2. 4b ＋a
2 2 2 2 2 2 b x ＋a y －a b ＝0， 由 x＋ 3y＋4＝0，
得(a2＋3b2)y2＋8 3b2y＋16b2－a2b2＝0. 由Δ＝0，可得a2＝7，∴2a＝2 7.
x2 2 3．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆 4 ＋y ＝1 截 得的最大弦长是( A．2 C．4 ) 4 3 B. 3 D．不能确定
课前自助餐
x2 y2 点 P(x0，y0)和椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的关系： a b x02 y02 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔ 2 ＋ 2 <1； a b x02 y02 (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔ a2 ＋ b2 ＝1； x02 y02 (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔ 2 ＋ 2 >1．线AB的方程为2y＋ x－3＝0.设A(x1， y1)，B(x2，y2)，由
2y＋ x－3＝0， 2 2 2 2 2 2 b x ＋ a y ＝ a b，
消去x，得(4b2＋a2)y2－
2 12b 12b2y＋9b2－a2b2＝0，∴y1＋y2＝ 2 2. 4b ＋a
答案 B 解析 方法一：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另 外一个交点为(x，y)， 则弦长为 x2＋（y－1）2 ＝ 4－4y2＋y2－2y＋1 ＝ －3y2－2y＋5 ， 1 4 3 当 y＝－ 3时，弦长最大为 3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交 点为(2cosθ， sinθ)，则弦长为 4cos2θ＋（1－ sinθ）2 1 2 16 4 3 －3（sinθ＋ 3） ＋ 3 ≤ 3 . 1 当且仅当 sinθ＝－ 3时取等号．选 B. ＝ －3sin2θ－2sinθ＋5 ＝
b2 b2 1 c ＝－ 2 .∴ 2 ＝ .∴e＝ ＝ a a 4 a
1 6．(2018· 衡水中学调研卷)过点 M(1，1)作斜率为－ 的直线 2 x2 y2 与椭圆 C：a2 ＋b2＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________．
1 5．(2018· 安徽安庆六校联考)已知斜率为－2的直线 l 交椭圆 x2 y2 C： 2 ＋ 2＝1(a>b>0)于 A， B 两点，若点 P(2，1)是 AB 的中点， a b 则 C 的离心率等于( 1 A. 2 3 C. 4 ) 2 B. 2 3 D. 2
答案 D 解析 1 1 b2 1 1 kAB＝－ ， kOP＝ ，由 kAB· kOP＝－ 2 ，得 ×( － ) 2 2 a 2 2 b2 3 1－ 2 ＝ . a 2
第6课时
椭
圆(二)
…2018 考纲下载… 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
直线与椭圆位置关系判断 y＝kx＋m， 2 2 联立x y 2 ＋ 2＝1， a b 得 (b2 ＋ a2k2)x2 ＋2a2kmx＋ a2 m2 －a2b2＝ 0 该一元二次方程的 判别式为 Δ. Δ >0⇔有两个交点⇔相交； Δ ＝0⇔有一个交点⇔相切； Δ <0⇔无交点⇔相离．
椭圆的弦长 AB 为椭圆的一条弦， A(x1， y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)． (1)弦长 l＝|x1－x2 | 1＋k2＝|y1－ y2| b2x0 (2)kAB＝－ 2 . a y0 b2x0 (3)直线 AB 的方程： y－ y0＝－ 2 (x－ x0)． a y0 a2y0 (4)线段 AB 的垂直平分线方程： y－ y0＝b2x (x－ x0)． 0 1 1＋k2.
x2 y2 1．(课本习题改编)直线y＝2x－1与椭圆 9 ＋ 4 ＝1的位置关 系是( ) B．相切 D．不确定
A．相交 C．相离
答案 A 解析 方法一：∵直线方程y＝2x－1过点(1，1) ，而(1，1) 在椭圆内部，故选A. 方法二：由 y＝2x－1， 2 2 x y ＋ ＝1 9 4 得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－
4．椭圆的焦点为 F1，F2，过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10，△ PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为( 3 A. 3 2 C.3 1 B. 3 6 D. 3 )
答案 C 解析 PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦， 则 Q(－
b2 c， )，△PF2Q 的周长为 36.∴4a＝36，a＝9. a a2－c2 b2 由已知 a ＝5，即 a ＝5. 又 a＝9，解得 c＝6， c 2 2 解得a＝3，即 e＝3.
x＝acosθ x2 y2 椭圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 的参数方程为 (θ 是参 y＝bsinθ
数)．
焦点三角形
椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的三角形 PF1F2 称做焦点 三角形(如图)．∠F1PF2＝θ. 1 S△PF1F2＝2r1r2sinθ ＝ c|y0 |．
高中数学一轮复习课件：第九章 解析几何(必修2、选修1-1)9-3
(2)①方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)
与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．
设切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，
由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，
可得|3kk2－＋31|＝2，解得 k＝9±25 14，
y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积
ห้องสมุดไป่ตู้
的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
(2)已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
①求yx的最大值和最小值；
②求 x＋y 的最大值与最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，
P 为线段 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．
[思路引导]
设所求点 Px，y
→
寻求与已知 点N的关系
→
用x，、y表 示点N
→
代入点N 满足方程
[解] 设 P(x，y)，N(x0，y0)，∵P 为 MN 的中点，
[答案] D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选 A．
2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-6 椭圆(二)课件 文
九
平面解析几何
章
第六节
椭圆(二)
高考概览 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问 题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合的 思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．已知点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系
[答案] D
3．设 A1、A2 是椭圆x42＋y22＝1 的左、右顶点，P 在椭圆上， 若 kPA1＝2，则 kPA2 的值为________．
[解析]
设 P(x0，y0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，∴kkPPAA12＝＝xx00yy＋－00 22＝2
两式相乘得 2kPA2＝x02y－02 4 又点 P(x0，y0)在x42＋y22＝1 上，∴x20＋2y20＝4 代入上式得 kPA2
＝
0
，
x1
＋
x2
＝
83 5
，
x1x2
＝
8 5
，
由
弦
长
公
式
得
|AB|
＝
1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝85.
[答案]
8 5
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 直线与椭圆的位置关系——常考点 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m
取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4 ＝0，有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
2020高考数学复习第九章解析几何第6课时椭圆(二)课件文
课前自助餐
点 P(x0，y0)和椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的关系： (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔__________； (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔__________； (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔__________．
椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的参数方程为_______________． 直线与椭圆位置关系判断 联立yxa2＝ 2＋kbyx22＋＝m1，，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0 该 一元二次方程的判别式为 Δ. Δ >0⇔有_两__个__交点⇔相交； Δ ＝0⇔有_一_个__交__点_⇔相切； Δ <0⇔_无__交点⇔相离．
第6课时 椭 圆(二)
…2019 考纲下载… 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
答案 (－12，0) 解析 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x22＋y2 ＝ 1 ， 整 理 得 (1 ＋ 2k2)x2 ＋ 4k2x＋ 2k2 － 2 ＝ 0 ，Δ＝ (4k2)2 － 4(1 ＋ 2k2)×(2k2－2)＝8(k2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 为 N(x0，y0)，则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1，y1＋y2＝2k22＋k 1，
mx－y－m＋1＝0， 【解析】 方法一：由1x62 ＋y92＝1， 消去 y，得1x62 ＋（mx－9m＋1）2＝1.整理，得 (16m2＋9)x2－32m(m－1)x＋16m2－32m－128＝0.(*) ∵Δ＝322m2(m－1)2－4(16m2＋9)(16m2－32m－128) ＝576(15m2＋2m＋8)＝576[15(m＋115)2＋11159]>0， ∴方程(*)恒有实根．∴原方程组恒有解． 故直线 l 与椭圆总有交点．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第6讲椭圆二课件
3．(2022·河南平顶山模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)与直线 y＝x
＋3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为( )
A.42x52＋y52＝1
B．x52＋y42＝1
C.x92＋y52＝1
D．2x52 ＋2y02 ＝1
答案 B
解析 将直线方程 y＝x＋3 代入 C 的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋
2．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截得的弦长的
最大值是( )
A．2 C．4
B．4 3 3 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x， y)，则x42＋y2＝1，即 x2＝4－4y2，则弦长为 x2＋y－12＝ 4－4y2＋y2－2y＋1 ＝ －3y2－2y＋5，因为－1≤y≤1，所以当 y＝－13时，弦长最大为433.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时， 直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，
y＝2x＋m，
①
得方程组x42＋y22＝1， ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方 程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教案 理(含解析)苏教版-苏教版高三全
第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直， 得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． 所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)． 答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离， 又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________． 解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等， 即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )， 则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________． 解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________． 解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)． 答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________． 解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0， 所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m， 故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3， 当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号． 故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32， 所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65， 所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0， 则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3， 所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。
2019版高考数学第9章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系教案理
第2讲 两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系3．三种距离(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度： (1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．[典例引领]角度一 两条直线位置关系的判断设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 【答案】 C角度二 由两条直线位置关系求直线方程(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．【解析】 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B. 13或－1 C. 13D ．－1解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)已知A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7， 所以直线方程为x －2y ＋7＝0. (2)AB 中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－12，故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，所以其方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.距离公式[典例引领](1)已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y－15＝0.答案：12x ＋8y －15＝03．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0对称问题[典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．(2018·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( ) A ．2x ＋3y －12＝0 B ．2x －3y －12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.2．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑． (2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1．(2018·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－（－3）＝12.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B.552 C ．6 5D.152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)． 即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．(2018·河南安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34， 所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 故选D.6．设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，x 0＞0，曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)． 又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x|x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2， 即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.又若所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1， 满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝18．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：3459．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立， 因此|ab |的最小值为2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.1．(2018·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－（－4）·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C.3．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|PA |－|PB |＝|PA |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求． 易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)． 所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求． 又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆课件理
A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b)
x 轴，y 轴 F1(0，－c)，F2(0，c)
2c＝2 a2－b2
第三页，共四十四页。
自查自纠
1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率 2．(2)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) (7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝ac(0＜e＜1)
则椭圆的方程为( )
A.x82＋y62＝1
B.1x62 ＋y62＝1
C.x42＋y22＝1
D.x82＋y42＝1
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第十页，共四十四页。
解：设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．由点 P(2， 3)在 椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|
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解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2， 即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以 3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝43b2，
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设 F1、F2 分别是椭圆x42＋y2＝1 的左、右
焦点，若椭圆上存在一点 P，使(O→P＋O→F2)·P→F2＝0(O 为
坐标原点)，则△F1PF2 的面积是________． 解：因为(O→P＋O→F2)·P→F2＝(O→P＋F→1O)·P→F2＝F→1P·P→F2＝0，
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第九章 解析几何 9.5 椭圆课件 理 新人教A版
椭圆的定义及其标准方程
例1(1)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F(1,0),O为坐标原
点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程
为
.
(2)已知 F1,F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C
满足∠AMB=120°,则 m 的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,√3]∪[4,+∞)
答案: (1)C (2)A
考点1 考点2 考点3
解析: (1)圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,
则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0).所以m=-1,
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)(2017北京东城模拟)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1 的直线与椭圆交于A,B两点,则点A,B和椭圆的另一个焦点F2构成的 △ABF2的周长为( )
A.2 B.4 C.8 D.2√2
(2)(2017湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为
解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求 a,b,c 的值,由 e2=������������22 = ������2������-2������2=1-
������ ������
2
直接求.
(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转 化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版6
采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线,用垂直于锥轴的平面
去截圆锥,得到的是圆;把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为 24
的矩形 ABCD 截某圆锥得到椭圆 Γ,且 Γ 与矩形 ABCD 的四边相切.
2
2
设椭圆 Γ 在平面直角坐标系中的方程为2 + 2 =1(a>b>0),测得 Γ 的
A.6
B.8
C.9
D.10
解析:由题意,知椭美满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定义
可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所以
椭圆的短轴为2b=6,故选A.
-8知识梳理
考点自诊
3.(2018 安徽亳州期末,7)大约 2000 多年前,古希腊数学家最先
4
2
1
+
3
2
= 1,
即 2a=2×2c, = 2.又 c2=a2-b2,联立 2 = 2 -2 ,
得
2
+ 6 =1.
8
a2=8,b2=6,故椭圆方程为
2
1
= 2,
-17考点1
考点2
考点3
考点4
(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).
∵椭圆经过点 P1,P2,∴点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程,
切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 + 02 =1.
(3)椭圆的焦半径公式
设
2
M(x0,y0)是椭圆2
高考数学一轮复习第九章解析几何第二节两直线的位置关系课件理
的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√
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2．已知直线 l 过点 P(1,2)，直线 l1：2x＋y－10＝0. (1)若 l∥l1，则直线 l 的方程为________； (2)若 l⊥l1，则直线 l 的方程为________． 答案：(1)2x＋y－4＝0 (2)x－2y＋3＝0 3．经过两直线 2x＋y－8＝0 与 x－2y＋1＝0 的交点，且平行 于直线 4x－3y－7＝0 的直线方程为____________． 答案：4x－3y－6＝0
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(1)两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组， 以方程组的解为坐标的点即为交点． (2)常见的三大直线系方程 ①与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)．
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②与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． ③过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交 点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)， 但不包括 l2.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系 数间的关系得出结论．
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[典题 2] 经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为 ________________．
[听前试做] 法一：由方程组xx－＋2y－y＋24＝＝00，， 得xy＝＝20，， 即 P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，