水文学与水文地质学2统计参数与抽样误差
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水文学水文地质学相关分析
水文学水文地质学相关分析水文学和水文地质学是地学领域中与水相关的两个重要学科，它们在地球科学研究中起着不可替代的作用。
水文学主要研究水的分布、循环、质量、量和运动等方面的问题，而水文地质学则是研究地下水和地表水之间的相互作用以及地下水资源的形成、演化和利用等问题。
下面将分别对这两个学科进行相关分析。
首先，水文学研究水的分布、循环、质量、量和运动等方面的问题，对于认识和利用地球上的水资源具有重要的意义。
水是地球上最重要的资源之一，它对于人类的生存和发展至关重要。
水文学研究可以帮助我们了解地表水和地下水的分布情况，研究雨水如何形成、蒸发和降水，以及河流、湖泊和海洋之间的水循环过程。
通过对水资源的科学调查和研究，可以为水资源的开发利用提供科学依据，合理规划水资源的分配和利用方式，确保水资源的可持续利用。
其次，水文地质学研究地下水和地表水的相互作用以及地下水资源的形成、演化和利用等问题，对于保护地下水资源和优化地下水开发利用具有重要意义。
地下水是地球上最重要的淡水资源之一，被广泛用于农业、工业和生活供水等领域。
水文地质学通过研究地下水与地表水之间的相互关系，揭示了地下水补给与排泄的机制，进一步认识了不同地质条件下地下水资源的形成和演化过程，为地下水资源的开发利用提供了科学依据。
此外，水文地质学还研究地下水的污染与修复等问题，对于保护地下水资源的质量和可持续利用具有重要的指导意义。
综上所述，水文学和水文地质学是地学领域中与水相关的两个重要学科，它们的研究内容和方法在地球科学研究中起着不可替代的作用。
水文学研究水的分布、循环、质量、量和运动等方面的问题，为水资源的科学调查和合理利用提供了依据；水文地质学研究地下水和地表水的相互作用以及地下水资源的形成、演化和利用等问题，保护了地下水资源的质量和可持续利用。
这两个学科的研究成果为合理规划和管理水资源，促进可持续发展提供了科学依据和技术支持。
因此，水文学和水文地质学的发展对于解决水资源问题具有重大的现实意义。
水文学与水文地质学重点总结
水文学与水文地质学第一章1、水文学概念：水文学是研究自然界中各种水体的形成、分布、循环和与环境相互作用的一门科学。
2、水文循环（1）水的这种既无明确的“开端”，有无明确的“终了”的无休止的循环运动过程称为水文循环。
（2）水分由海洋输送到大陆又回到海洋的循环称为大循环或外循环。
水分在陆地内部或海洋内部的循环称为小循环或内循环。
为区分这两种小循环，将前者叫做陆地小循环，后者叫做海洋小循环。
（3）内因——水的三态在常温条件下的相互转化外因——太阳辐射和地心引力（4）四个环节：水分蒸发—水汽输送—凝结降水—径流3、水文循环的时空分布变化特点（简答—扩展）（1）水循环永无止境（2）水文现象在时间上既有具周期性又具有随机性（3）水文现象在地区分布上既具有相似性又具有特殊性4、水量平衡原理概念：水量平衡是指在自然水循环过程中，任意区域在一定时间内，输入水量与输出水量之差等于该区域的蓄水变化量。
第二章1、河流基本特征（看透书P15—P17、小题）（1）河流长度(L)自河源沿主河道至河口的长度。
深泓线（中泓线）：河槽中沿流向各最大水深点的连线。
（2）河流的弯曲系数(Φ)河流的弯曲系数等于河流长度与河源到河口之间的直线距离之比。
（3）河槽特征1）河流的断面河流横断面河谷河槽：基本河槽洪水河槽过水断面河流的纵断面2）河流平面形态（4）河流纵比降(J)河流纵比降指任意河段首尾两端的高程差与其长度之比河段纵断面近于直线：J=(Z1-Z2)/L河段纵断面呈折线：J=[(Z0+Z1)L1+(Z1+Z2)L2+…+(Z n-1+Z n)L n-2Z0L]/L2（5）河流分段一条河流按照河段不同的特征，沿水流方向可划分为河源、上游、中游、下游和河口5段。
2、流域的概念：流域是指汇集地表径流和地下径流的区域，是相对河流的某一端面而言。
闭合流域的概念：当流域的地面分水线与地下分水线相重合，则地面和地下集水区域也相重合，相邻的流域不发生水量交换，此种流域称为闭合流域。
第三章：水文统计基本原理与方法,水文学,黄廷林,西安建筑科技大学课件
现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统计规律性；
水文学统计基本原理与方法
3.1.2 事件 随机试验：对随机现象的观测； 事件：随机试验的结果。包括： 1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某 地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分： 1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
P(白)＝
P(黑)＝
20 2 20 10 3
10 1 20 10 3
P(白或黑)＝
P(红)＝
20＋10 1 20 10
0 0 20 10
水文学统计基本原理与方法
概率的基本性质：
0 P( A) 1
1) P(A)=1，A属于必然事件； 2) P(A)=0，A属于不可能事件； 3) 0<P(A)<1，A属于随机事件； (3)频率与概率的关系
W ( A)
m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后
概率： 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如
1) 投硬币出现正面和反面的机率；
第三章 水文统计基本原理与方法
的两端或一端与横轴线渐近相切。
y f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
( )
——
0
)
0
t 1e t dt ，称为 的伽马函数
0
—— 曲线上点的横坐标值，待定参数 —— 特定参数
,
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
第三章 水文统计基本原理与方法 → (1) 概率统计理论基础
概率
随机事件A客观上出现的可能性，称为概率，用 P(A)表示，又称为机率、或然率等。它是描述随 机事件发生可能性大小的数值标准。 设事件A在重复的随机中共有N种结果，且每种 结果发生的可能性均等，其中事件A出现的可 能结果有f0种，按概率定义，有
曲线参数与统计参数之间的关系：
2 x CV 4 C s 2C S
a0 x(1 ) CS
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
p( ) f , C d
p p s
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附表2，由已 知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然后利用 已知的 x 和Cv值，通过下式即可求出与各种P 相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
上述累积频率是指多年平均出现的机会； 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定 的周期。
例4 某大城市从互不相关的三条河流中取水，各设一个 泵房．每一泵房正常运转受洪水破坏的机率为1﹪。试确 定此城市供水受破坏的机率为多大?
解：水文现象总体容量无限，所述破坏机率只能是一 种估计值。供水受破坏的情况有如下几种： (1)三个泵房运转同时破坏的机率：
•重现期
水文统计基本原理与方法
51
41 40 42
72
58 56 60
102
82 80 85
162
130 126 134
由表中可见，当n＝100时，CS的误差在40～126%之间。 水文资料一般都很短（n＜100），按矩法公式算得的CS值， 抽样误差太大。
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 1.经验频率 用根据水文实测系列 ( 样本 ) 计算出来的 频率分布近似代替总体概率分布，这种意义 上的累积频率称为经验(累积)频率。
81 32
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
绝 对 误 差
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
81 33
样本参数的均方误（相对误差，%）
81 24
3.2 统计参数与抽样误差
一、统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规
律。但随机变量特别是水文随机变量，其概率分
布的确定是十分困难的。实际上，我们有时仅需
要知道它的一些数字特征即统计参数就足够了。
水文水利计算中常用离散特征参数 ( 均值、均方 差、变差系数、偏态系数等)。
81 25
古典概率表达式
k P ( A) n
古典概率满足“随机等可能，独立同分布”。 古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发 生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无 需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
81 11
水文统计的基本方法
年份
1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
年降水量
549 702 563 612 760 658 528 802 554 643 592 586 745
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求：
掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件
1、随机试验
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验所
三、重现期
1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。
2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关 系有两种表示方法 ：
（1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，
则:
T1
（年）
P
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
第三节 随机变量及其频率分布
上节内容提问
1、频率和概率的区别和联系是什么？ 答：区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数， 是个经验值。联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳 定．并趋近于概率。 2、频率P与重现期T的关系如何？ 答：在研究暴雨洪水问题时，T ；1
P
3第三章 水文统计
相关系数r:是定量表示两种变量之间的密切程 度
r2=1: 变量之间为函数关系 r2=0: 零相关 1>r2>0：相关 r<0：负相关 r>0：正相关 相关系数r多大才算合适？
相关系数的显著性检验
相关系数r多大才能满足要求，取决于样本容 量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。
a：显著水平，认为方程有意义时，错误判断可能发 生的概率， a：越小，说明要求越高 ra：临界相关系数 n：自由度 练习查表p74
皮尔逊Ⅲ型曲线
引入参数Φ ， Φ值为离均系数
PIII模型变为
例:设某水文站， 求 Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1 .5, 此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量 Q1％和Q 5％。
解：按公式3-31
Qp Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查附录B： P= 3.33
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
百年一遇洪水，是指 [________]。 a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出 现一次； b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次； c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现 一次； d、小于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次；
三点适线法 通过目估法汇出与经验频率曲线点分布配合较好的理 论曲线，从曲线上选择三点，并据此以选定理论频率 曲线上三个参数
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv ) Q2 Q(1 2 cv ) Q3 Q(1 3cv )
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
3．1．5 总体与样本
事件试验各种可能结果的全体称为 总体。 很多水文现象都是 无限总体。 从总体中随机抽取一部分系列，称抽样，抽取的这部分系 列称为一个 随机样本，简称 样本。
样本系列的长短，即样本中所含的项数的多少，称为 样本 容量 或样本大小。
§3．2 随机变量的概率分布及其统计参数
3．2．1 随机变量 若随机事件的每次试验结果可用一个数值 x 来表示，x 随试验 结果取不同的数值。在每次试验中，究竟出现那一个数值则是随机 的，但取得某一数值具有一定的概率，这种变量称为 随机变量。 如果在某一随机变量相邻两数值之间，不存在中间数值，这种 随机变量称为 离散型随机变量（掷骰字）。
频率是一个抽象的数理统计术语，不易为一般人所理解。
有时用“重现期”来更直观地描述“频率”一词。所谓重现 期是事件重复出现的平均间隔时间，即平均隔多少时间出现一次， 或说多少时间遇到一次。 当研究暴雨洪水问题(所取的p< 50％)时，采用 T=1/p
T——重现期，以年计，表示大于、等于xm的随机变量平 均 T 年重现一次； p——频率，以小数或百分数计。 例:某洪水的频率为p＝1％，则此洪水的重现期T=1/1％=100年 ，称此洪水为百年一遇的洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年出现一次。
x Cv C
S
n Cv 3 2 1 2C Cs 2Cv Cs 4 2n
2 v
6 2 5 (1 Cs2 Cs4 ) n 3 16
公式右边各项均为总体的统计参数，计算是仍用样本的统计参 数代替。抽样误差的大小，随样本的容量n、Cv、Cs的大小而变， 样本容量越大，对总体的代表性越好，其抽样误差也越小）。 当样本容量不大时直接计算Cs的误差很大（计算偏差系数Cs的 均方差公式中包含Cs的高次方）。 例：n=100，Cv=0.1∽1.0，Cs=2Cv，
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0.3
3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 162
0.5
5 7 10 16 8 11 16 25 41 58 82 130
0.7
7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126
1.0
10 14 20 32 10 14 20 32 42 60 85 134
相对标准误差计算公式
总体：
n
3
xi x
n
Ki 13
CS
i 1
n 3
i1 n CV3
（3-12）
样本： Cs
(xi x)3
(n 3) 3
(Ki 1)3 (n 3)Cv3
（3-13）
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。
均值图示
我国多年平均年降水量分布图（单位：mm）
Y图
湖北省部分地区多年平均年径流深等值线图（mm）
模比系数
◇ 模比系数（或称为变率）：
Ki
xi x
（3-9）
据平均数的数学特性，有：
Ki n?
(Ki 1) 0
n
(Ki 1) 0?
众值
（2） 众值（众数） xˆ
概率密度曲线峰值在x坐标上相应的位置值。
Cv等值线
湖北省部分地区年径流量变差系数Cv等值线图
Cv的曲线形状影响
Cv越大，频率密度曲线矮而宽,系列数值相对 分x 布越分散。
Cv越小,频率密度曲线瘦而高,系列数值相对 x分布越集中。
Cs
3. 对称程度特征参数
偏态系数 CS
反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对
称或不对称（偏态）程度的系数。
Cv < 0.5， Cs = (3~4)Cv
Cv >0.5， Cs = (2~3)Cv
设计年径流量及年降水量 Cs = 2Cv √ 偏态系数依据上述关系式给定初始值。
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
C
2 s
5 16
C
4 s
)
100%
（3-16）
Xp误差公式
以 Cs = 2Cv 为例：
样本统计参数的标准误差（%）
参数 误
x
Cv
Cs
差 Cv
n 100 50 25
10
100 50 25 10 100 50
25
10
0.1
1 1 2 3 7 10 14 22 126 178 252 399
公式
1.抽样误差: 由随机抽样而引起的误差。
均方误差[标准误差]
以均值为例：
sx
m
(xi x总体 ) 2
i 1
m
（3-14）
误差分布图
2.抽样误差分布：服从正态分布
P(x总 x x x总 x ) 68.3%
误差计算公式
3.抽样误差计算公式——随机变量服从皮尔逊III型分布
§3-2 统计参数与抽样误差
（Statistical parameters & Sampling error ）
一. 统计参数 能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为
统计参数，或特征参数，有时称为分布参数。
各参数
1.
位置特征参数
2. 离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
▲ 随机变量 x 对中心分布 E (x) 离差的 k 次幂的数学期望 E {[x – E (x)]k}，则称为随机变量 x 的 k 阶中心矩。
√ 统计参数： 均值 x称为一阶原点矩；
变差系数 Cv 称为二阶中心矩； 偏态系数 Cs 称为三阶中心矩； 各统计参数的计算公式亦称为矩法公式。
End
二. 抽样误差 (Sampling error) 1 抽样误差 2 抽样误差分布 ※ 3 抽样误差计算公式
◇ 限于比较均值相同的系列。
☆ 总体的 ☆ 样本的
样
(xi x)2 n 1
（3-10） Cv
（2） 变差系数（Cv）
比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值之比 值，用于衡量系列相对离散程度。
Cv x
（3-11）
☆ 总体的Cv ☆ 样本的Cv
◇ 对于某条河流的年径流量来说，Cv越大，其年际变化越 大；若两个河流比较，一般大河的调节作用比小河要大，所以 大河年径流分布的Cv值比小河的小。
相对误差：
s
' x
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
1
2C
2 v
3 4
C
2 s
2C v C s
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
C
2 s
5 16
C
4 s
)
100%
Cs经验值
设计暴雨量
Cs 与 Cv 经验关系 Cs = 3.5 Cv
设计最大流量
（3）中值（中位数） x
对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为 两个相等部分所对应的 x 值为中值。即中值是该系列
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
பைடு நூலகம்
均方差
2.离散程度特征参数 （1）均方差
◇ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。
◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
图总结
位置特征参数
离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
对称程度特征参数 偏态系数Cs
变差系数Cv
※ 统计参数物理意义； 统计参数对频率密度曲线形状的影响。
复习：矩的概念
矩
▲ 随机变量 x 对原点离差的 k 次幂的数学期望 E(xk)，称为随机 变量 x 的 k 阶原点矩。
3. 对称程度特征参数
偏态系数Cs
变差系数Cv
无偏估计
无偏估计量： E(ˆ) 有偏估计量： E(ˆ)
▲ 对于有偏估计量，大量样本平均的结果都不等于总 体的相应参数，需要进行修正，以得到对总体的无偏估 计值公式。
均值
1.位置特征参数 (1) 均值（数学期望） x
均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平。 ◇ 算数平均值 ◇ 加权平均值
绝对误差：
sx
n
sCv
Cv 2n
1 2Cv2
3 4
C
2 s
2CvCs
（3-15）
sCs
6 n
(1
3 2
C
2 s
5 16
C
4 s
)
相对误差公式
相对误差：
s
' x
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
1
2C
2 v
3 4
C
2 s
2C v C s