2018年高考数学解析几何复习策略
5.韦达的不对称应用
1.椭圆中的垂径定理
a b 上关于原点对称的两个 点,P是椭圆上任 一点,则直线PA, PB的斜率之积为e 2 1.
定理1:若A,B是椭圆
1、“ 椭圆垂径”定 理 2 2 x y
2
2
1(a b 0)
《解析几何》的高考情结
2018.3.23
问1：17考抛物线，18呢？
问2：抛物线咋考？椭圆咋考？ 问3：如何提高解题技巧！
问4：有何复习策略！
问1：17考抛物线，18呢？
问2：抛物线咋考？椭圆咋考？
一、浙江高考解几趋势分析
从一本书谈起：
1.常考常新，推陈出新
2.知识点清楚明确，不堆砌组合 3.解析几何：含参数的方程、不等式的 考查坚持不懈
S max
256 5 135
文科生情何以堪！
2015
对称问题多年没考了，突然出现学生不会处理，所 以看看以前想想未来！还有了解些仿射变换和“椭 圆垂径”知识还是有好处的！
2016
史称最怪异的题，真不知从何下手，真是函数、方 程、不等式十八般武无用武之地！
总结：
1.趋势：从具体点走向字母运算，从简到繁，从易到难， 不要梦想有奇迹出现，毕竟靠它来拉130分
2009
09新课改，导数出现，故抛物线考了切线，有了切线则引出了极线， 最值求导法。
2010
重心坐标求法，若能用圆的直径方程更简单
2011
y
3 115 x4 115
难度陡增，首次出现抛物线与圆，并有圆切线，结果 出现四次，是近年来较难之一，现在用齐次、同构处 理就简单不少
2012
干净利落，计算却不易，最值四次用导数处理，从此就流行起 仿射变换了。
2.多了解一些圆锥曲线的拓展知识总有好处，比如极点极线， 椭圆垂径，仿射变换，齐次同构等处理办法，总会多条路和 对本质问题的理解！ 3.考直线与抛物线，必侧重在几何特征灵活运用，斜率、 坐标相互转化一定要理清。椭圆则侧重在许多隐含的二级 结论
问3：如何提高解题技巧！
二、解析几何技巧分析
求简的策略
y0 b2 k 2 x0 a
b2 b2 b2 x0 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) a a a d 2 b a2 b2 b ( a b) 2 b 4 x0 2 2 2 1 4 2 2 2 a b x0 a b x0 2 a 2 y 0 2 a y0 a y0
2
B O
M
A
椭圆中的，e2-1情结
x2 y2 (2012年浙江高考 ):椭圆C : 2 2 1(a b 0)的 a b 1 离心率为 ,其左焦点到P(2,1 )的距离为 10 , 不过原 2 点O的直线l与C相交 于A,B两点,线段AB被OP平分. (1)求椭圆C的方程 .(2)求ΔAB P面积取最大值时直线 l的方程.
想想17，估计18
1.想不到这么简单（牛娃），想不到得 分这么低（猪娃），没有压住130，18 估计加难!
2.注意：17临时替换，从没降低椭圆要求!
3.不要局限于抛物线，椭圆抛物线处理方法还是有许多不同的。 4.还是要从通性通法上下功夫，注重字母运算，我觉得椭圆 更能担此重任！
回顾历史，方知未来
2 2
(1)设P( x0 , y0 ).
kOP k e 1
2
b2 2 2 ( 2 x0 ) 2 2 a k b x0 2 ka 2 1 P( 2 2 2 , 2 2 2 ) b a k b a k a b
b2 P( x0 , 2 x0 ) ka
d
| x0 ky0 | 1 k 2
x2 y2 上述结论对于双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b
同样成立
x2 y2 特例 :若A,B是双曲线 2 - 2 1(a b 0) a b 的渐近线上两个点, M是AB的中点, 则直线 2 AB,OM的斜率之积为e 1.
k AB kOM e 1
x2 y2 (1Байду номын сангаасC: 1 4 3
y P
(2) k AB kOP e2 1 k AB
求面积最大值可用仿射变换求解！
3 2
A
O
x
B
椭圆中的，e2-1情结
x y (2014年浙江高考 )设椭圆 2 2 1(a b 0),动 a b 直线l与椭圆只有一个 公共点P,点P在第一象限. (1)已知直线l的斜 率为k,用a,b,k表示点P的坐标. (2)若过原点O的直 线l1与l垂直, 证明 : 点P到直线l 1的距离的最大值为a b.
x2 y2 定理2 :若A,B是椭圆 2 2 1(a b 0) a b 上(不是长轴的端点) 两个点,M是AB的中 2 点,则直线AB, OM的斜率之积为e 1.
“ 椭圆垂径”定理
P
y A
y P A
O
x
B
O
x
kPA k PB e 1
2
B
y
A
M
k PA k PB 1
B
O
垂径定理
B
x
k AB kOM e 2 1
x y 定理3 :过椭圆 2 2 1(a b 0)上任一 a b 点P作椭圆的切线, 设切线的斜率为k 1,直 2 线OP的斜率为k 2 , 则k 1k2 e 1.
y
P
2
2
y
P
O
x
O
x
kOP k切 1
2 k k e 1 圆---------椭圆 OP 切
2005
这是当年的第二大题，所以直接考夹角公式
2006
重回倒数第二题，还是夹角公式， A，B，M，T都是定点，还没脱 胎为字母
2007
三角形面积最值，弦长公式，现在看来都是小儿科，可以说是中 规中矩的韦达、弦长、面积公式，现在基本难觅踪影了。
2008
成为现在抛物线高仿母题，字母运算，与M点无关处理都是经典， 08的卷是命题组较为满意的，新考试说明中的数列题也引用了。
2013
虽图有点复杂，思路还是没有为难，还是最值的处 理上下功夫
抛物线设点，用点写直线，用直线求交点，看似自 然，实则运算量不小，能完成的也需训练有素，从 此韦达有了新的应用。
2014
真正的一次纯字母运算，最不公平的一题，不等式 的最值处理，题者颇为自豪，而全面了解过椭圆切 线方程和椭圆垂径知识的人真是秒杀，所以别怪别 人学太多！
2018年高考数学解题的12种方法总结.doc
2018年高考数学解题的12种方法总结数学是高考考试中最能拉分的科目，因此大家在备考数学考试的时候要多下功夫，下面为大家带来2018年高考数学解题的12种方法总结这篇内容，希望能够帮助大家轻松应对2018年高考数学考试。
方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于空白状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入角色，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
方法二、内紧外松，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生旗开得胜的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的门坎效应，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
方法四、六先六后，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行六先六后的战术原则。
1、先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2、先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
专题05 解析几何-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(原卷版)
专题五 解析几何【高考考场实情】解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位．【考查重点难点】近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下：考什么怎么考题型与难度1．圆与圆锥曲线的定义、标准方程与性质 考查圆锥曲线的定义、标准方程与性质题型：选择题或填空题难度：基础题 2．直线与(圆)圆锥曲线的位置关系 主要考查直线与圆锥曲线的位置关系题型：解答题难度：中档题或难题 3．与(圆)圆锥曲线有关的X 围与最值 主要考查与圆锥曲线有关的X 围与最值问题，常与函数、不等式交汇命题 题型：解答题 难度：中档题或难题 4．定点、定值的探究与证明①考查以直线、圆、圆锥曲线为载体，探究直线或曲线过定点；②考查与圆锥曲线有关的定值问题．题型：解答题 难度：中档题或难题5． (圆)圆锥曲线中的点、线、参数等存在性问题①考查以圆锥曲线为载体，探究平分面积的线、平分线段的点等问题；②考查某解析式成立的参数是否存在．题型：解答题难度：中档题或难题【存在问题分析】（一）缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯【指点迷津】定义是数学问题研究的起点．圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例1】（2016全国I 卷理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程．（二）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究【指点迷津】解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例2】（某某2017）已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为（） A ．3 B ．2 C ．32 D ．43（三）缺乏对算法、算理、算式的分析，简化运算的意识待加强有效运算、简便运算是求解解析几何问题必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程、如何整体代换、如何化简等．【例3】（2017全国Ⅰ卷理10）已知F 为抛物线C ：2=4y x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【例4】（2015全国Ⅱ卷理20）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（略）（Ⅱ）若l 过点(,)3mN m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．（四）缺乏参数的选择与解题过程中的优化意识【指点迷津】我们往往需要设元引参，但选择什么作为参数对问题的解决影响较大，【例5】（2017某某高二理11）抛物线2:2C y px =(0)p >与椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>有相同焦点F ，两条曲线在第一象限内的交点为A ．若直线OA 的斜率为2，则椭圆的离心率为A B C 1 D 【解决问题对策】（一）立足概念，返璞归真-----适度挖掘图形的特征，善于运用圆锥曲线的定义．【指点迷津】数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分析（图形的几何性质）有机结合，可简化计算量上．圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义．【例6】（2015某某理21）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥．（1）若12PF =22PF = （2）若1PF PQ =，求椭圆的离心率e ．（二）巧用平几，事半功倍------关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用，关注几何图形（特别是三角形）相关方法在运算中的应用．【指点迷津】解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．提高等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例8】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值X 围为．【例9】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 两点，射线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ的最小值等于 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15ED BOA（三）设而不求，参数归一------立足目标意识，寻求点的坐标之间的关系，剖析变量内在的几何意义，通过整体代换的思想，简化运算过程，实现设而不求，简洁明了、准确解题．【指点迷津】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能受到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求”，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．譬如圆锥曲线中的定点、定值问题，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示所求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关．其基本策略：定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．另外，对于某些定点问题的证明，可以先通过特殊情形探求定点坐标，然后对一般情况进行证明，这种方法在填空题中更为实用．【例10】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B 两点，以线段1A 1B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（） A ．22(1)(2)2x y ++-= B ．22(1)(1)5x y ++-= C ．22(1)(1)17x y +++= D ．22(1)(2)26x y +++=【例11】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22142x y +=，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k ．求证：对任意k ＞0，都有P A ⊥PB ．（四）函数思想，方程互化-----整体意识下利用方程思想处理求值，利用函数思想求X 围和最值．【例12】（2015某某理19）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，43=3FM ．（1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值X 围．【例13】（2015某某理20）如图所示，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是22，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．y xBOPA【新题好题训练】1．已知椭圆的右焦点关于直线的对称点为，点为的对称中心，直线的斜率为，且的长轴不小于，则的离心率（ ）A. 存在最大值，且最大值为B. 存在最大值，且最大值为C.存在最小值，且最小值为D. 存在最小值，且最小值为2．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（ ） A.B.C. D.3．已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，则点 C 与圆的位置关系为( )A. 圆上B. 圆外C. 圆内D. 不能确定4．设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为__________．5．过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点，过、两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，若，，则抛物线的方程为__________．6．已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值.7．已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.8．在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是（1）试讨论点M的轨迹形状；（2）当0<b<3时，若点M的轨迹上存在点P（P在x轴的上方），使得∠APB=120°，求b的取值X围. 9．已知，为椭圆：的左、右顶点，，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线上的任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.10．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.。
2018届高三文科数学解析几何解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三文科数学解析几何解题方法规律技巧详细总结版【简介】圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.【3年高考试题比较】通过比较近三年的高考题，不难发现，集中考察的是圆、抛物线和椭圆，均主要考察的是直线与圆、椭圆或抛物线的位置关系，以坐标运算为主，难度适中.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点），直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系、定点定值问题、范围问题、证明问题等.【必备基础知识融合】一、椭圆1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质二、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质1三、抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3. 1122(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 四、曲线与方程 1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x ，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解. 若此方程组无解，则两曲线无交点. 五、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|【解题方法规律技巧】典例1：已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.典例2：已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0).【规律方法】利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.典例3：已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.【规律方法】(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.典例4：如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程. 解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝ －y 0x 0－3(x －3).②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).【规律方法】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）；(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程. 典例5：已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝⎛⎭⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.【规律方法】（1）求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可.(2)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. (3)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.典例6：已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积.Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8，0). 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝24 5. 【规律方法】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.典例7：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.【规律方法】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 典例8：设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围.所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3.所以－334＜m ＜334，且m ≠0.【规律方法】处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解. 典例9：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.典例10：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169； 当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.典例11：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 【规律方法】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.典例12：设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64或⎣⎡⎭⎫64，＋∞.典例13：已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围.λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1， 即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－22∪⎣⎡⎦⎤22，1. (3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2， 由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23.即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23.【规律方法】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.典例14：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.①m ≠±1时，k MN ＝5m4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）⎝⎛⎭⎫x ＋65.此时过定点⎝⎛⎭⎫－65，0. ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝⎛⎭⎫－65，0. ∴l MN 恒过定点⎝⎛⎭⎫－65，0. (3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号.∴(S △AMN )max ＝1625.【规律方法】处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【归纳常用万能模板】1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，2)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分❶列出方程组，解出a 2，b 2得4分.❷设出直线l 的方程后与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的方程准确者得4分.❸求出点M 的坐标得1分，再得到直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值得2分. ❹结论得1分.解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.2. (本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.6分得分点③高考状元满分心得1.正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义.2.注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3.写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚.解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA|＋|EB|＝4.第二步：由定义，求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0). 第三步：联立方程，用斜率k 表示|MN |. 第四步：用k 表示出|PQ |，并得出四边形的面积.第五步：结合函数性质，求出当斜率存在时S 的取值范围. 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论.【易错易混温馨提醒】一、忽视椭圆的焦点轴导致方程出错.易错1：已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于,M N 两点． （1）求W 的方程；（2）求MON ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143y x +=（2试题解析：（1）由题意可得2224{ 1a a b =-=，∴ 224{ 3a b ==，故W 的方程为22143y x +=.二、多解问题的取舍.易错2：已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BF F∆为A为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，.三、巧用均值不等式求最值，避免大量运算.易错3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；（2）AC BD +.解析：（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0，所以1c =，又因为13c e a a ===a = 所以22b =，所以椭圆的标准方程为22132x y +=. （2）（i ）当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=， 并化简得()2222326360k x k x k +++-=.设()11,B x y ， ()22,D x y ，则2122632k x x k +=-+， 21223632k x x k -=+，12BD x x =-=)22132k k +=+.易知AC 的斜率为1k-，所以)221112332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+. )2221113223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭)()())()()22222222211322332232k k k k k k ++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦)()222212514k k +==+. 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +. （ii ）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得AC BD +=>综上， AC BD +. 四、多元的最值问题.易错4：平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.五、不能完全用韦达定理代换的坐标的处理..易错5：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ,2F 为顶点的三角形的周长为)41.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设该椭圆C 与y 轴的交点为M , N (点M 位于点N 的上方),直线y=kx+4与椭圆C 相交于不同的两点,A B ,求证:直线MB 与直线NA 的交点D 在定直线上.【答案】(1) 22184x y += (2)见解析(2)设(),4A A A x kx +, (),4B B B x kx + ,则由联立方程组2228{4x y y kx +==+，化简得()222116240k x kx +++=,由()232230k =->解得232k >，由韦达定理,得21621A B k x x k -+=+， 22421A Bx x k =+ 直线MB 的方程22B B kx y x x +=+ ① 直线NA 的方程62A Akx y x x +=- ②联立①②，得()233A B A B B Akx x x x y x x ++==- 222241622212116421B B k k x k k K x K -⎛⎫++ ⎪++⎝⎭--+ 82221116421B B k x k k x k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，即1cy =∴直线MB 与直线NA 的交点D 在定直线1y =上 六、求曲线方程时的挖点问题易错6：已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线AP 与AQ 斜率之积为118-，求证：直线l 过定点，并求定点坐标.【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±；（2）直线l 过定点，定点坐标为()1,0.故曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±.七、设直线斜率前要对于直线斜率存在否要进行讨论.易错7：已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点()0,3N -的直线L 与圆M 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，而且满足221212212x x x x +=，求直线L 的方程.【答案】(1) （x ﹣2）2+y 2=9 (2) x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0 【解析】试题分析：（1）可设圆心坐标为(),0(0)a a >，由直线与圆相切，知圆心M 到切线的距离等于半径，可求得a ，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线l 斜率不存在时，代入求出A 、B 两点坐标，检验是否符合题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，得直线方程为3y kx =-，代入圆的方程，由韦达定理得1212,x x x x +，代入已知等式221212212x x x x +=可求得k 的值，从而得直线方程． 试题解析：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0）， ∵直线3x ﹣4y +9=0与圆M 相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x ﹣2）2+y 2=9。
2018年课标Ⅲ卷解析几何解答题的解法研究与教学建议
2018年课标Ⅲ卷解析几何解答题的解法研究与教学建议一．试题特点2018 年高考解析几何试题具有以下特点:1) 各地试卷中解析几何题量均为“两小一大”，即两道客观题，一道解答题，分值在 22 ～26 分．2) 不少试卷中出现了“低保题”，体现了对考生的人文关怀．3) 全国卷解析几何的思维量和计算量出现较大幅度的下降，卷Ⅰ、卷Ⅱ理科解答题由原来的第20 题改为第 19 题．卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ文理科解答题几乎一样，为高中新课程不再文理分科发挥了积极的导向作用．4) 试题具有“三不给”的风格，即不给出图形、不给出点坐标、不给出直线方程，考生要从画图、引入点坐标和直线方程开始解题．5) 加强了对双曲线的考查，几乎所有试卷都在客观题中考查双曲线的标准方程和几何性质．6) 突出了坐标化、数形结合、回归定义、优选直线等解析几何本质问题的考查，体现了直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的命题立意．7) 选择题和填空题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质及直线与圆的位置关系． 解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，第一步入题比较容易，在简单的条件下求椭圆 、抛物线、直线的方程或直线斜率等参数的取值范围; 第二步主要求斜率、距离( 弦长) 、面积、定值( 定点) 、存在性等问题，注重同向量、三角、平面几何、函数、数列、不等式等知识的综合．二.题目呈现【2018Ⅲ卷文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ,B 两点.线段AB 的中点为()()10M m m >，． ⑴证明：12k <-； ⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++= ． 证明:2FP FA FB =+ ． (理20)证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．三.解法研究（1）解法1：设:l y kx n =+与椭圆C 联立，得01248)34(222=-+++n knx x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，由2234,0n k >+∴>∆①， 且2348221=+-=+k kn x x ,②243,4k n k +=- 1226243n y y m k ∴+==+，0,0m n >∴> 且0k <. 由①②设21,0,41,16)34(3422222-<∴<>∴+>+k k k k k k . （1）解法2：设，1221(,),(,)A y x y x B则. 两式相减，并由得. 由题设知，于是.① 由题设得，故. （1）解法3：由椭圆的垂径定理知22OM AB b k k a⋅=-, 易得34m k ⋅=-, 显然M 点在椭圆内, 21143m +<, 可得302m <<, 易得12k <-. （2）解法1：∵0FP FA FB ++= ∴2FP FM =-∵(1,)M m ∴(1,2)P m -,又∵点P 在椭圆上且0m >， 所以214143m +=,∴34m =,由（1）可知34k m =-，∴1k =-. ∴直线l 的方程为：74y x =-+. 联立2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 化简得2285610x x -+=， 则有121212,28x x x x +==. 由焦半径公式12,FA a ex FB a ex =-=- . 可得()122413FA FB a e x x +=-+=-= ，又∵32FP = . ∴2FP FA FB =+ ，∴,,FA FP FB 成等差数列。
把握研究方法 深化思维方式——从2018年高考全国卷再探解析几何“怎么教”的问题
中学 数
在高考 的命 题 中，上述研究方法 中有两个地方 是可 以切人命
分 省命题极 大地 促进了 圆锥 曲线 性质 的研究，而极点 极 题 的，即坐标 化过 程 以及 代数运 算过 程，也 即 “几 何对象
考试 国家题 库 、国家英语能 力等级量表等构成 的支撑体系基
（２）设 。 为坐标原点，证 明：／ＯＭ Ａ＝ ０Ｍ Ｂ．
本建立，整个考试更具科学性 、公平性 和权 威性． ３Ｊ题库命题，
题 目 ２ （２０１８年 高考 全 国 Ｉ卷 文科 第 ２０题）设 抛物 线 除 了科学性 、公平性 和权威 性外 ，还有 较强 的稳定性 和延续
Ｃ ：Ｙ ： ２ｘ，点 Ａ（２，０），Ｂ（一２，０），过点 Ａ 的直线 ｌ与 Ｃ交 性，这也就是 为什 么每年面对高考试题 ，总感觉 似曾相识．地
于 Ｍ ，Ⅳ 两 点 ．
方 分省命 题，由于 不是题 库命题 ，因而容易 受到参 与命题 专
（１）当 ２与 轴垂 直时，求直线 ＢＭ 的方程 ；
范罔；２０１７年第 一 问聚焦点 的几何性 质 与椭 圆的几何性 质， 的全 国卷 理第 ２６题 就是极 点极线 性质 的一个 直接应 用，而
第 二问则是借助代数方法研究直 线恒 过定点问题；２０１８年相 ２００１年和 ２００６年的全国卷解析几何解答题都做 了进 一步 眭
２０１８年 第 ９期 （上 ）
家个人研 究倾 向 的影 响，每年 的变化都 比较 大，试 卷整体 质
ｆ２１证 明 ： ＡＢＭ ＝ ＡＢＮ ．
量难 以保证，风格 也不稳 定，因此在 全 国卷 高考 复 习的教学
２０１ ８年高 考解析几 何试题 的文理科命 题严格 遵循考 纲 中如果能够结 合教育部号 试中心命制 的几套试题，特别是课
2018年高考数学各阶段复习策略
2018年高考数学各阶段复习策略2018年高考数学全年复习大体可分为四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。
1．第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。
在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。
因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。
所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。
（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。
注意到老师选题的综合性在不断地加强。
③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。
能提炼解题所用知识点，并说出其出处。
④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。
2．第二轮复习，通常称为“方法篇”。
大约从第二学期开学到四月中旬结束。
在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。
老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。
同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。
找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。
②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。
2018年高考数学复习备考指导《课标卷背景下高考解析几何的教学建议》
广东卷更加注重直线与圆方程及其位置关系的考查，而课标卷则更加突出 圆锥曲线性质的考查； 广东卷淡化数值计算，注重图形探究后的验证（往往落脚于解方程与不等 式），课标卷则不回避数值计算，但计算量也不大； 课标卷不回避向量作为条件和工具出现在题设与问题解决中，而广东卷则 尽量回避在解析几何问题中涉及向量； 课标卷中有弦长公式及其应用，而广东卷则因为韦达定理的原因，不涉及 弦长公式； 广东卷和课标卷在圆锥曲线特别是抛物线的研究中涉及切线具有一致性； 都重视对轨迹问题的考查。 课标卷相对于广东卷选材更为丰富，问题解决上也更为多向 广东卷一般在客观和解答题中各设置一题，课标卷则客观题两题，解答题 一题，其中圆锥曲线至少两题。
年份 题号 分数 涉及知识点 2015 5 22 椭圆与抛物线（弦长） 16 双曲线、求三角形面积 20 圆（1）求斜率的取值范围；（2）求弦长.
2016 5 15 20 ？ 22 椭圆的离心率 直线与圆，弦长，圆的面积 直线与抛物线（1）交点坐标；（2）判断位置 关系 ？
2017
？
广东卷与课标卷异同综述
华南师范大学附属中学
课标卷文科考试说明
圆锥曲线与方程 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用 ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几 何性质 ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方 程.知道它们的简单几何性质 ④理解数形结合的思想 ⑤了解圆锥曲线的简单应用
（4）了解曲线与方程的对应关系。
（5）理解数形结合的思想。
2.曲线与方程： （6）了解圆锥曲线的简单应用。 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
全国课标卷与广东卷的考试说明在“解析几何”部分的要求 没有本质差异，只是有些描述略显不同
高考数学中解析几何的学习技巧
高考数学中解析几何的学习技巧随着高考的日益临近，在高中数学的学习中，解析几何是一个非常重要的科目。
学好解析几何的内容，不仅可以提高数学成绩，还有利于培养逻辑思维和分析问题的能力。
下面，就让我们一起探讨下高考数学中解析几何的学习技巧。
一、理清方向，注重透彻理解学好解析几何，首先需要明确的是向量和直线的概念。
初学者经常容易混淆向量的起点和终点，以及直线与线段的关系。
因此，我们应该先学习基本知识，理清代数坐标系的基本概念和性质，并在实践中多多思考实例，尤其是一些典型的例子。
在掌握基本概念后，我们可以进一步深入探究立体几何和解析几何的联系。
在解析几何中，我们可以通过向量空间，确定平面和直线的位置关系，解决一些复杂几何推理的问题。
但是，这需要我们注重透彻理解每一个概念和公式，严谨的推导才能让我们获得深入的认识。
二、强化习题，培养解题技巧解析几何的学习中，习题是非常重要的。
习题的积累可以帮助我们掌握各种题型和技巧，提高我们的应用能力。
我们可以学习一些典型的题目，并分析它们的解题方法、技巧和思路。
在掌握方法的基础上，我们可以逐步深入探究。
此外，在解析几何中，数学的知识和技巧非常重要。
我们还需要培养解题技巧，比如巧妙的数学变换和化简，判断和选择合适的公式和知识点等。
在解题的过程中，我们可以寻找和善用各种线索，充分展示自己的数学才能。
三、加强交流，开拓视野在学习解析几何的过程中，我们还可以通过加强交流，开拓视野。
与同学、老师、家长等交流，可以使我们更加深入地了解语言，系统认识相关概念和知识，分享我们的学习技巧和心得，寻找属于自己的学习方法。
此外，我们还可以通过网络端口、学习社区、读书等方式开拓视野，从各种角度了解解析几何知识，并积极学习各类新技术、新知识，不断丰富我们的专业知识和人文素质。
总之，在高考数学中，解析几何是重要考点之一，非常需要我们严格学习和掌握。
通过理清方向，强化习题，加强交流，我们可以更好地掌握解析几何的知识和技巧，提高我们的数学成绩，为今后的学习和生活打下更牢固的基础。
2018年高考数学一轮复习策略建议
三棱柱，异面直线所成 10 角计算 二次函数与指数函数组 11 合，极值点与极值 三角形与向量数量积最 12 值 独立重复实验，二项分 13 布，方差 三角函数与二次函数复 14 合，求最值
全 国 卷 试 题 知 识 及 难 度 分 布
较难 3，加法、数量积，坐标 运算，向量垂直（易） 易 中 10，随机模拟，几何概型， 中 13，解三角形，由角求边 7，三角函数的图象变换 与对称性，中 9，三角恒等变换：给值 求值，中
加深理解 强化联系
融会 贯通
建立良好的数学认知结构
加强综合运用知识的能力
12
如何认识复习课——特征
思考：如何从整体的观念规划和设计复习?
显著特征 （五性） 概括性 反思性
综合性
系统性
重复性
如何认识复习课——指向
教学活动
教 师
把 握
复 习 内 容
核心知识、 核心技能、 基本思想方法
学生困惑
指 向
聚 焦
2018年高考数学一轮复习 思考与建议
怎样进行高考复习？分三轮？
第一轮复习任务、目标是什么？
怎样定位？
高考考什么？命题特点？
学生学情怎样？有什么问题？ 怎样进行一轮复习？
一、2017年试题分析
主干知识：函数与导数、 向量与三角、数列、不等 式、概率和统计、立体几 何、解析几何
数学高考命题的五个特征： (1)命题重点：强化主干知识，强调知识之间的交叉、
数列2 抛物线
等差数列通项与求和， 15 拆项相消求和。 抛物线焦点，几何意义，16 长度计算
5 5
中 较难
12，函数图象与性质， 较难
知识 模块
知识点
题 号
分 值