概率统计二轮复习建议
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
目目 录录
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1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
概率论与数理统计复习“小技巧”
概率论与数理统计复习“小技巧”概率论与数理统计是大多数学科中一门非常重要的基础课程，对于理解和应用统计方法有着重要的意义。
然而，由于其内容广泛，理论较多，所以学习起来可能有一定的难度。
下面将分享一些复习技巧，帮助大家更好地掌握概率论与数理统计。
1.理解基本概念：在学习概率论和数理统计之前，必须首先理解基本概念。
概率、随机变量、概率分布、样本空间等是概率论和数理统计中的基础概念。
弄清楚这些概念的含义和相互关系，可以为后续学习打下坚实的基础。
2.制定学习计划：复习概率论与数理统计时，不要盲目地阅读教材。
应该提前制定一个复习计划，并按照计划进行学习。
可以根据自己的理解程度和时间安排，将内容分为几个阶段，逐个击破，确保每个阶段都能够掌握。
3.多做例题：概率论与数理统计是一门非常注重实际应用的学科，在学习的过程中，要多做例题。
通过做例题，可以帮助我们更好地理解和应用相关的概念和方法。
可以选择一些典型的例题进行尝试，同时也可以寻找一些辅助教材或者网上资源，多做一些相关的习题。
4.注重理论与实践相结合：概率论与数理统计的学习不仅仅局限于理论知识的掌握，还需要将所学的理论知识应用到实际问题中。
在学习的过程中，要多关注实际问题的分析和解决方法。
可以通过一些案例和实例来巩固所学的知识。
5.关注核心内容：在学习概率论与数理统计的时候，要有所侧重，注重理解一些核心的概念和方法。
这样可以避免被琐细的理论内容所困扰，更好地掌握主要的知识点。
要善于将抽象概念转化为具体的问题，通过问题的实质来理解和运用相关的知识。
6.做好笔记：在学习的过程中，要做好笔记。
可以将重点、难点和要点等内容进行归纳和整理，形成系统的笔记。
这样可以帮助我们更好地回顾和巩固所学的知识，并在复习的时候提供方便。
7.理论与实际结合：概率论与数理统计这门学科的一个重要特点是理论与实际的结合，在学习的过程中要善于将理论与实际问题相结合。
可以通过阅读相关的案例和实例，从实际问题的角度出发，探讨和应用相关的概率和统计方法。
概率与统计板块第二轮复习备考建议
概率与统计板块第二轮复习备考建议广东省梅州市丰顺县丰顺中学(514300)马满芳广东省华南师范大学数学科学学院(510631)马佩雯摘要概率与统计板块是高考的一个重要考点.为了更好地为一线教师开展二轮复习,本文通过评析近3年新课标卷概率与统计考点,归纳了6种常考题型,剖析命题特点,提出了相应的备考建议.关键词高考;概率与统计;常见题型;分析;备考建议实施新课标以来,概率与统计板块变成了高考考查的热点和难点,不仅考查学生的基本知识,还考查学生的数据处理能力和应用意识,对其建模能力和探究意识也提出了一定的要求,学生对于解决此类问题的信心不够.在高三二轮复习中,有针对性地做好这部分内容的复习备考,可以做到事半功倍.一、2016-2018年全国新课标I卷高考考点及分析表1:全国I卷2016-2018年文理科概率与统计考点分布表2016年2017年2018年理科文科理科文科理科文科小题第4题:几何概型第3题:古典概型第2题:几何概型第4题:几何概型第3题:统计第10题:几何概型第3题:饼图大题第19题求概率分布列,数学期望第19题函数、柱形图、平均数第19题正态分布、二项分布、平均数与方差第19题相关系数;均值与标准差第20题求二项分布的最值,计算期望值第19题频率分布直方图;频率与均值*近三年《概率与统计》小题都在选择题里考查考点分析全国新课标I卷对概率与统计的考查比较稳定,基本为一小一大(2018年理科I卷是两小一大),分值17分-22分,难度中等偏难.在大数据的时代背景下加强概率与统计的考查可能会成为一种趋势.小题主要考查古典概型、几何概型(理科有时也会考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率).试题难度不大,要求较低;大题主要考查以频数分布表、频率直方图、柱状图、茎叶图、折线图等为载体,理科侧重考查随机变量的分布列及期望,文科侧重考查样本数字特征的应用.突出了对应用意识(理科常常涉及决策问题,文科常需对统计量进行说理)、数据处理能力及创新能力的考查.试题特点(1)题目较长,阅读量较大.(2)题目背景多为生产、生活实际问题.(3)数据多、关系复杂、运算量较大.从历年的概率与统计的试题来看,本模块考题阅读量大,理解难度高,对学生能力要求高,充分考查了考生的抽象概括能力、数据处理能力,还综合考查了运用求解能力、推理论证能力、应用意识等.全国新课标数学试题强调以能力立意,突出考查数学建模、数据分析等数学学科核心素养.文科2015年第19题、2016年第19题、2017年第19题;理科2015年第19题、2017年第19题、2018年第20题的试题难度较大,变成了高考的压轴题之一.二、几种常见题型概率与统计高考试题中概率知识与统计知识有一定的交汇性,经常以统计图表为载体,结合图表中的数据,运用频率估计概率的思想来计算概率.但从教材知识点的角度,下面对概率部分与统计部分的常考题型进行了归纳分析.(一)概率部分题型一事件及其概率事件及其概率是高考必考内容,经常是以选择题、填空题或者解答题的方式考查事件的关系和运算,以及古典概型、几何概型、条件概率.理科重点考查古典概型、几何概型、对立事件、相互独立事件概率及n次独立重复试验的概率,文科重点考查古典概型(列举法)、几何概型.表2:近三年事件及其概率考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷2018理10、20(1)理8/文5理8/文52017理2/文4理18(1)/文11文182016理4/文3理10/文8、18选择题和填空题是必拿满分的题目,难度不大,主要考查基本概念与基本公式,在复习过程中需要回归教材,明确相关概念,理清各种概率模型及其适用范围,重视课本的例题以及习题.解答题在求概率时,应该先设出有关事件(用字母表示事件),再计算相关概率,最后再用文字作答,不能只有数学符号而没有对应的文字.例1(2014年高考全国I理科第5题)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78评析这道题是计数原理的直接应用,其实也是课本习题的变式.古典概型的考查一般是考查计数原理(理科)或者列举法(文科)或树形图.古典概型的考查经常与对立事件相结合,当正面问题比较复杂时,往往考虑其对立事件.题型二离散型随机变量的分布列、均值和方差表3:近三年离散型随机变量考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷2018理20(2)2017理182016理19(1)(3)离散型随机变量是新课标理科卷(特别是(I)卷)解答题常考题型,文科不考.一般是两种形式的考查:一是利用随机事件的概率性质、公式求分布列,然后求期望和方差,如13年全国I卷理科19题.在解题过程中应注意:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率,在求解时,要注意计数原理、古典概型等知识的应用.离散型随机变量ξ要找全找对,并理解ξ取每一个值的含义.在求离散型随机变量ξ对应概率时,先求简单易求的复杂的最后用间接法.二是结合统计图(表)考查,利用所求分布列、均值、方差等对实际问题作出判断、决策,此种考查方式是历年新课标理科卷解答题考查的重点、难点,如16年新课标I卷理科19题、17年新课标I卷理科19题、18年新课标理科I卷20题.解决此类题型,要加深对二项分布、超几何分布等不同模型的辨别与理解,如二项分布是有放回的抽样,每次试验事件A发生的概率是相同的;超几何分布是不放回的抽样,每次试验事件A发生的概率是不相同的.例2(2018年高考新课标I卷理科第20题)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2(1−p)18,因此f′(p)=C220[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C220p(1−p)17(1−10p),令f′(p)=0,则p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0,p∈(0.1,1)时, f′(p)<0,所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)(i)由(1)p=0.1.令y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意Y∼B(180,0.1),所以X=20×2+25Y,所以E(X)=E(40+25Y)= 40+25×180×0.1=490(元).(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.评析此题以生产过程中抽检产品的实际问题为背景,考查了n次独立重复试验的概率、二项分布等知识点.此题的第一小问还涉及了利用导数求函数极值的内容.事实上,概率与统计中涉及其他知识,在这些年的高考中并不鲜见,如2013年全国II卷理19(分段函数),2015年全国I卷理18 (非线性回归、二次函数)等.在二轮复习中可以适度给出概率与统计和其他内容相结合的问题进行训练让学生感受和体验知识间的综合,但要保持适当的难度,毕竟主体是概率与统计而非函数.题型三正态分布表4:近三年正态分布考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷20182017理192016正态分布仅对理科生考查.主要有两类考查方式:(1)对正态分布符号本身的认识和图像的了解,考查正态分布的一些基本性质尤其是3σ原则的运用,如2014年全国I卷理科18题.(2)考查对3σ原则的理解,考查正态分布的综合问题,如2017年全国I卷理科19题,该题主要考查服从正态分布、二项分布的随机变量与期望及标准差等知识.对于第一小问,学生需要理解3σ原则,即服从于正态分布N(µ,σ2)的随机变量通常只取(µ−3σ,µ+3σ)之间的值.只有理解这一原则,才能分析出题中的X服从二项分布,从而利用二项分布的概率、期望公式求解问题.(二)统计部分题型四抽样方式及简单识图应用近几年新课标卷立足于生产生活实际,主要以柱形图、折线图、扇形图等为载体,设计出很多贴近生活的设计图,从设计图出发作样本分析,以选择题的考查为主,难度不大,应注意生活中有关图表的认识,关键在于提高识图能力以及关注“边缘化知识”的复习,比如相关系数等.表5:近三年抽样方式及简单识图应用考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018理3/文32017文2理3/文32016理4/文4例3(2015年高考全国II 卷理科第3题)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析A 项,从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A 正确;B 项,2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C 项,从2006年开始排放量总体呈逐渐下降趋势,故C 正确;D 项,2006年以来我国二氧化硫排放量与年份负相关.故选D 错误.题型五样本数字特征的应用表6:近三年样本数字特征的应用考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018文19文18(1)2017文2/文19(2)2016文19(2)(3)样本的数字特征的应用在文科解答题中是高频考点,主要考查方式分两类:一类是用样本估计总体,主要以折线图、茎叶图、频率直方图、频数分布表等图表为载体,考查学生“读”、“画”(绘制频率直方图、茎叶图)、“算”(能明明白白算出平均数、标准差、方差、中位数、众数等数字特征)另一类是从样本中提取或计算重要数据,如“三数”、标准差等,进行说理.例4(2014年高考全国I 卷文科第18题)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?解析(1)这些数据的频率分布直方图如下:(2)质量指标值的样本平均数为¯x =80×6+90×26+100×38+110×22+120×8100=100,质量指标值的样本方差为s 2=(−20)2×0.06+(−10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值104.(3)依题意38+22+8100=68%<80%,所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%“的规定.总结1、频率直方图的绘制方法:(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图.2、频率分布直方图中的众数、中位数与平均数:1⃝最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;2⃝平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;3⃝平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.题型六回归分析及独立性检验的考查表7:近三年回归分析及独立性检验考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018理19*/文18文18*2017文19(1)文19(2)(3)*2016理18/文18注:带*是考查独立性检验线性相关问题和独立性检验都是新课标卷文科、理科解答题常考题型.主要考查变量的相关关系、线性回归方程的求解、利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”.(1)线性相关问题在复习时,要注重体现、经历回归方程的思维分析过程.根据散点图判断回归模型是线性还是非线性,如果是线性则直接套公式,如果是非线性,则要通过数学变换将非线性关系转化为线性关系,利用最小二乘估计求出线性回归方程系数,求出线性回归方程,再通过数学变换还原求出非线性回归方程(如2015年高考新课标I 文理科卷).(2)独立性检验解题思路:1⃝根据样本数据制成2×2列联表;2⃝根据公式K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )计算K 2的观测值k ;3⃝比较k 与临界值的大小关系,作统计推断.注意:概率统计题的计算量比较大,回归分析的题目一定注意理解和用好公式,用好所提供的数据,有的时候,所提供的公式与实际计算的公式存在差异,这时需要利用最小二乘法的思想对公式进行适当变形.如2016新课标III 卷文科18题.三、高三二轮复习备考建议2013年-2018年全国新课标I 卷中概率统计部分试题都是中等偏难的试题,是高考命题的一个重点、热点,并且难度越来越大,综合性较强,对学生的数学核心素养提出了较高的要求.建议在复习中要做好以下几点:(1)重拾教材,加强基础概率与统计内容主要集中在必修3、选修2-3.而从近三年的全国卷来看,很多考题取材源于教材但高于教材,特别是填选题基本是教材中例题或习题的变式,通过适当的改造、拼接和组合而成,解答题的题型也可以从教材中找到模板,要充分发挥教材的导向作用.因此,在高三备考中要引导学生回归教材,重视教材,加强对基本概念、基本题型、基本方法的总结,形成良好的建模思想.概率与统计的解答题对文科生的答题书写提出了更高的要求.如计算古典概型的概率时要列举出所有的基本事件,不能遗漏或省略,否则扣分,有些考生往往就在此吃亏,还有求概率时要有相应的文字说明作答,用样本估计总体、用频率估计概率时要用大约、估计字眼等,所以在二轮的复习中除了基本知识打牢,也要规范学生的书写.(2)突出概率,重视统计明确概率问题的核心是概率计算,概率计算的核心是清楚事件的互斥、对立、独立等关系.排列组合是进行概率计算的工具,二轮复习再次强调概率中的三个基本问题:概率分布列、数学期望、方差,对相互独立事件的概率、超几何分布、二项分布等题型要熟练掌握.统计问题的核心是样本数据的收集和整理方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.注意随机数模拟求概率,随机数表法求概率的小题.同时要学会概率与频率分布直方图、正态分布、独立性检验与线性回归方程知识的综合应用.(3)利用考题加强思维能力和运算能力的训练在解题过程中要加强学生思维能力的训练.全国卷概率与统计的解答题具有以能力为立意、综合性强、思维量大的特点,并且实际背景新颖,对推理分析能力的要求较高.因此,教师要充分利用课堂教学,给学生充分的思维时间和空间,培养学生的思维能力,遇到新题型才能做到心中有数,沉着应试.同时,概率与统计为数据处理提供了强有力的工具,要培养学生数据分析、数据处理的能力.通过统计图、统计表来读图、识图,另外利用回归分析或独立性检验考查变量的相关关系,这些都对学生的数据处理能力提出了更高的要求.值得关注的是,概率与统计渗透了函数的知识,所以要通过高考真题、各地的模拟卷来加强学生的运算求解能力.(4)关注易错点,想对策在概率与统计板块的复习中,要准确理解概念、特别要明确概率计算的核心是事件之间的关系,统计问题的核心是样本数据的收集和整理,即随机抽样和用样本估计总体.易错点主要有:套公式计算出错;事件之间的关系理解不正确;频率分布直方图、茎叶图的基本概念理解不清;应用独立性检验方法解决问题时出现K 2值计算错误;除此之外,数列板块第二轮复习备考建议广东省华南师范大学数学科学学院(510631)林艳冬摘要本文先以2016—2018年高考全国新课标I卷为研究对象,分析文理科高考数列试题的命题规律与特点,并提出相对应的高考备考建议;评析了近3年全国I、II、III卷数列考点,归纳总结出6类常考题型,剖析命题特点,希望对给位老师有所帮助.关键词高考;数列;备考建议数列是高中数学的核心内容之一,也是高考命题的热点之一,新课标把数列放在了选择性必修的部分,和以往注重对解题技巧的考查相比,新课标更注重体现数列是特殊的函数的观点.随着高考对数列题目的前移,对数列的考查要求较低,要强化通性通法的复习与训练,不要加大数列难题的训练.一、全国新课标I卷近三年高考考点及分析为了更好的分析和把握近三年来我国高考中数列这一重点知识模块的考点,笔者整理了下表;表1:全国I卷文理科近三年数列的考点2018年2017年2016年选择题*第4题:等差数列基本量*第4题:等差数列基本量*第12题:前n项和*第3题:等差数列基本量填空题*第14题:求数列的通项公式*第15题:等比数列基本量；数列的单调性求最值大题#第17题:递推公式应用；求证等比；求通项公式#第17题:求通项公式；求前n项和；求证等差#第17题:求通项公式；求前n项和考点分析1.题型与分值全国新课标I卷对数列的考查,比较稳定.近三年理科卷基本上为两小题,分值10分,近三年文科卷为一大题,分值为12分.通过表一,我们不难发现数列是高考必考的内容,但近三年来难度有所以降低.理科卷的其中一题在前四题的位置,考察基本量的运算,难度较简单,另一题的考察较为灵活,难度中等.文科卷在第一道大题的位置,难度中等偏易.2.主要考察的内容近三年全国新课标I卷对数列主要考察的内容有:等差数列与等比数列,数列的通项公式,数列前n项和,数列的综合应用等.1⃝等差数列与等比数列,主要考察了等差和等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和,常考察基本量的运算,证明或判断等差或等比数列,运用数列是特殊函数这一性质解题.着重考察了函数与方程的思想,转化与化归的思想,求解与运算的能力.2⃝求数列的通项公式,近三年全国新课标I卷对通项公式的考察主要集中在定义法、公式法、构造法,难度较为简单,需要强化通性通法的训练,着重考察了分类讨论的思想,推理论证的能力,求解与运算的能力.理科生还存在较大的问题是二项分布、超几何分布分辨不清,使用排列组合公式时出错.所以教师在二轮复习时要做到以下几点:1⃝提高学生的数学阅读能力;2⃝提高对公式认识的深度;3⃝加强在教学中对事件分析,让学生透切理解事件之间的关系;4⃝让学生阅读课本,加深对频率分布直方图、茎叶图基本概念的理解;5⃝加强对超几何分布与二项分布的理解与应用;6⃝加强排列组合数公式的应用,让学生熟练掌握;7⃝加强对回归分析与独立性检验的基本思想的理解与应用.参考文献[1]赵萍.高中数学高效课堂·二轮复习精准备考·教师用书·文科[M].广州:广东高等教育出版社,2018.12,(第八章).[2]赵萍.高中数学高效课堂·二轮复习精准备考·教师用书·理科[M].广州:广东高等教育出版社,2018.12,(第八章).[3]余小芬,蒲葭露,刘成龙.2013～2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析[J].中学数学,2018(15):42-45.。
2019届二轮复习概率统计复习建议学案
高三理 概率统计复习建议一、课标要求：“教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。
同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。
”“教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。
学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的。
统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。
不应把统计处理成数字运算和画图表。
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。
”二、高考考试说明：(5)数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.(6)分析问题和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学 、生产、生活中简单的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述；能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题.排列组合、二项式定理一．高考《考试说明》二. 近几年北京理 高考题（16京理8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多（16京理10）在6(12)x 的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）60三、例题1.（18西城期末12）．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有种．（用数字作答）2.（18东城一模6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”. 某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种3.（18朝阳一模5）．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A．18 B．24 C．48 D．964.（18石景山一模6）.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种 B．30种C．36种 D．48种5.（18昌平期末8）. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A．0 B. 1 C. 2 D. 36.（18昌平期末13）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种.四．复习建议（1）回归基础，淡化技巧（2）排列组合重点是解决问题的条理性（3）二项式定理：指定项、系数（二项式系数与展开式系数）（4）注意控制难度概率统计一．高考《考试说明》考试内容要求层次A B C统计随机抽样简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图√二、近三年的北京高考试题1.（16京理16）A,B,C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）2.（17北京理 17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“ ”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ,B ,C ,D ,四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）3．（18年17题）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中随机选取1部，估计恰好有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等。
概率统计二轮复习
10.（陕西理 20）如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，据统计，通过两条路径所用的 时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 20~30 30~40 40~50 50~60 时间（分钟） 10~20 L1 的频率 L2 的频率 0．1 0 0．2 0．1 0．3 0．4 0．2 0．4 0．2 0．1
2.（安徽理 20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进 去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任 务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务 的概率分别
p , p , p
，假设
p5 C． 3 D． 4
服从正态 1.（正态分布） （湖北理 5）已知随机变量
分布
N 2，a
2
，且Ｐ（ ＜4）＝ 0.8 ，则
C．0．3 D．0．2
＜2）＝ Ｐ（0＜
Ａ．0．6 B．0．4
1.（湖南理 18）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量（件） 频数 0 1 1 5 2 9 3 5
1 A． 36
1 B． 9
5 C． 36
1 D． 6
4.（辽宁理 5）从 1，2，3，4，5 中任取 2 各不同的数， 事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”，则 P（B︱A）=
1 （A） 8
1 （B） 4
2 （C） 5
1 （D） 2
5.（广东理 6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是 甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠 军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互
2021届高三数学二轮复习《概率与统计》备考策略
➢作统计推断与解释
（2018全国Ⅱ）右图是某地区2000年至2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折 线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资 额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模 型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…，17 ）建立模型①：yˆ 30.4 13.5t ； 根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，7 ）建立模型②： yˆ 99 17.5t． (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 利用模型②得到的预测
值更可靠.
➢作统计推断与解释
（2019全国Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行ห้องสมุดไป่ตู้比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲
药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一
种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
（2020山东卷）
➢选择合适的模型进行分析
（2010年长春市高中毕业班第二次调研测试）从某高中入校新生中随机抽取 100名学生，测得他们的身高情况如下表所示.
(1)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补 全频率分布直方图(如上图)，再根据频率分布直方图估计众数的值； (2)按身高分层抽样，现已抽取20人参加某项活动，其中有3名学生担任迎宾工 作，记这3名学生中“身高低于170 cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
概率与统计主题 典型考题分析与考前复习方略
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计
误区分析一：对“试验”分析不到位，不能选择合理概率模型 正态分布是统计中对大量试验数据统计和处理的结果，正因为总 体的数据个数足够多，且不知道具体数目，因此，从总体中取的 16个零件虽然属于不放回抽样，但也不可能用超几何分布计算.
规律：如果从服从正态分布的总体中随机取出n个个体，可以看成 n次独立重复试验
频（数）率分布、平均数、方差 及其意义 古典概型 平均数、茎叶图、频率分布及其 意义 线性回归、相关系数 函数、平均数、频率与概率、互 斥事件
1 道 小 题 1 道 大 题
2012 年
T 15 T 18
理科 年份 题号
T6
文科 题号 考查内容
考查内容
分类加法计数原理、 二项式定理
2017 年
T 数字特征及其意义 从文科高考试题看，小题多以实际问题为背景考查古典概型、几何 T2 几何概型 T 几何概型
2013 年
T3 T1 9 T2
1 道 小 题 1 道 大 题
2012 年
T 15 T 18
理科 年份 题号
T6
文科 题号 考查内容
考查内容
分类加法计数原理、 二项式定理
2 道 小 题 1 道 大 题
从理科高考试题看， T2 几何概型 小题多以实际问题为背景考查古典概型、几何概型、 T4 几何概型 正态分布、 二项分布、期望、 平 二项分布、 事件的独立性等概率模型的应用， 且多是单一考查， 综合性不强， 相关系数、统计、均值、方差、 3 T1 9 均数、方差（标准差）、概率的 T1 9 σ原则、概率的意义 难度不大；另外 1 道小题以考查多项式乘法原理、二项式定理、计数原理、 意义 T 14 二项式定理 组合等知识，难度不大 . T4 2016 年 几何概型 T3 古典概型
概率统计备考建议
下频数分布表：
质量指标值分组 频数
[75，85) 6
[85，95) 26
[95，105) 38
[105，115) 22
[115，125) 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
统计，考查基本概念，设问方式有创新
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品 的80%”的规定？
P( X 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
8
2
8
2
8
8
x
y
w
(xi x)
(wi w)
(xi x)(yi y)
(wi w)( yi y)
i 1
i 1
i 1
i 1
46.6 56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 wi
xi
，w
1 8
8 i 1
wi
首次考查相关关系，新题型，文理一样，难度不大
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
（2019 年理 21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效， 为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当 其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的 药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
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理解比模型重要——二轮复习之计数原理概率统计专题一：从高考看教学目标（1）从学生答题情况看教学重点2010年理17、某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否(Ⅰ)(Ⅱ)求p ，q 的值；(Ⅲ)求数学期望E ξ。
2011年17．北京理17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。
（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）（2）从考察方式看复习重点计数原理的考察方式1.（2006北京）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个2.（2007北京 理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法有A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种3.（北京2008理）若231()n x x +展系数之和为32，则n = ,其展开式中的常数项为 。
（用数字作答）4.（2009北京 理）若5(1,a a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．45B ．55C ．70D ．805.（2009北京 理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A ．324B ．328C ．360D ．6486.（2010北京 理）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C7.（2011北京 理）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.（用数字作答）二：重点知识强化训练专题一：排列组合（关注学生的思维，纠正错误）例一：有4名男生，5名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数1：选其中5人排成一排；2：选其中5人排成前后两排，前排3人后排2人；3：全体排成一排，甲不排头也不在排尾；4：全体排成一排，男生互不相邻；5：全体排成一排，甲不在中间也不在两端；6：全体排成一排，甲乙之间有且只有一人的排法；7：甲排在乙前面的排法（甲乙可以不相邻）；8：选出5人排成一排，既有男生又有女生的排法；例二：用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数：1：其中个位，十位和百位上的数字之和为偶数的四位数有多少个；2：可组成多少个偶数；3：可组成多少个小于3000的数字；4：可组成多少个个位数字小于十位数字的四位数。
例三：4个不同的球4个不同的盒子，把球全部放入盒内1：恰有1个盒子不放球，共有多少种方法；2：恰有1个盒子内有两个球，共有多少种方法；3：恰有2个盒子不放球，共有多少种方法。
专题二：古典概型1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A ．15B ．25C ．35D 452.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是A ．136B ．19C ．536D ．16 3.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）344.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）18 （B ）14 （C ）25 （D ）12 5.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．346.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为_____________ 。
（结果用最简分数表示）7.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
8.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是_________ （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
9.（江苏5）5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______专题三：不同概率模型的使用一、几何概型1.（福建理4）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．232.（湖南理15）如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。
将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）P （A ）= _____________; （2）P （B|A ）= ．3.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点， 若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球； 否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为二、（用样本估计总体）（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16B ．13C ．12D ．23三、（条件概率）（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）18（B ）14 （C ）25 （D ）12四、（正态分布） （湖北理5）已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ．0．6 B ．0．4C ．0．3D ．0．2 五、（概率的加法运算和乘法运算）（湖北理7）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。
当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为A ．0．960B ．0．864C ．0．720D ．0．576 七、（独立重复试验）（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________八、统计题型：1．（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16B ．13C ．12D ．232.（天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________3.（辽宁理14）调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.4.（江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s5.（广东理13）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．专题四：概率大题（模型化不明显，重统计）1.当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。
2.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p123，假设,,p p p123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q123，其中,,q q q 123是,,p p p123的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定p p p1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
3.（福建理19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2， (8)其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I且（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．4.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是（1（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。