立体几何线面夹角的计算培训资料
立体几何中夹角与距离的计算(绝对精品)
第三节 立体几何中夹角与距离的计算一、求距离：1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离， “一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。
2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
点到平面的距离平面到平面的距离直线到平面的距离⇒⎩⎨⎧ 二、求夹角1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角；3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O （常指特殊点），过点O 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则∠AOB 即为所求二面角的平面角；②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P 向另一个半平面作垂线PA ，过点A 向棱作垂线AB ，连接PB ，则∠PAB 即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos θ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角题型一：异面直线的夹角及二面角例1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12A(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值题型二：点面距离例2、如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小．题型三：线面距离例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．题型四：线面夹角例4、如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A （Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值题型五：点到面的距离例5、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。
立体几何中的向量方法——线面所成角PPT课件
四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 ABACB=24，50
BC= ，SA2=S2B= .
3
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O By
D
A
x
10
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧
棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，3在线段BC上
面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E
是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
z P
E C
y B
G
D
A
x
13
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的 余弦值为_________6. 2 直三棱柱ABC-A16 B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
DD11
N C11
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x2,3zyy,z60),z由 0
uuur
uuur
AP (0, 0,1), DP ( 3,r0,1), DE (m 3,1, 0)
线面角的求法总结
线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。
在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。
下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。
一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。
具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。
然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。
简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。
二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。
它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。
具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。
然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。
简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。
三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。
具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。
然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。
最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。
简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。
四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。
例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。
这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。
总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。
正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。
线面夹角知识点及试题与答案
线面夹角知识点及试题与答案线面夹角知识点及试题与答案一、引言线面夹角是三维空间中两个向量之间角度的余弦值，是解决许多几何和工程问题的重要参数。
掌握线面夹角的概念、性质和计算方法对于理解空间几何关系和解决实际问题具有重要意义。
二、定义线面夹角是指直线与平面之间所成角度的余弦值，常用符号“<i>θ</i>”表示。
根据定义，线面夹角的范围在[0, 90°]之间，其中0°表示直线与平面平行，90°表示直线与平面垂直。
三、试题1及答案试题1：求直线l与平面π之间的夹角θ，已知直线l的方向向量s = (1, 2, 3)，平面π的法向量n = (4, -3, 2)，以及直线l上的点P(1, 2, 3)。
解：首先，根据点积公式，我们可以计算出直线l与平面π之间的法向量m = (4, -3, 2) × (1, 2, 3) = (-6, 9, -6)。
然后，根据线面夹角的公式，可计算夹角θ：sin(θ) = |(m · s) / (||m|| ||s||)| = |(-6 * 1 + 9 * 2 - 6 * 3) / (sqrt((-6)^2 + (9)^2 + (-6)^2) * sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2))| = 0因为sin(θ) = 0，所以θ = 0°，即直线l与平面π平行。
四、试题2及解析试题2：求直线m与直线n之间的夹角θ，已知直线m的方向向量s1 = (1, -1, 2)，直线n的方向向量s2 = (2, 3, -1)，且两直线在点P(1, 1, 1)相交。
解析：首先，根据点积公式，我们可以计算出过点P且与直线m平行的向量s'_1 = (0, 2, -1)。
同理，过点P且与直线n平行的向量s'_2 = (1, 4, 0)。
然后，根据点积公式，我们可以计算出这两个向量之间的法向量n = s'_1 × s'_2 = (5, -1, 3)。
第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】
线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。
3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。
【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=。
立体几何专题复习(三) 空间角专题
空间角例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为_ _ _(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。
二、线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与a 在α内的射影成45O的角时，a 与α所成的角为( ) (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。
（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为 ；1A(3) 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角的正弦值大小.巩固练习：一、选择题1．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.232．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确的是( ) A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角3．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.364．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，A B C E D P则( )A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．β＞α＞γD．γ＞β＞α二、填空题5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．6．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．7．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．三、解答题8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．(1)证明：EF∥平面SAD；(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；(3)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.10．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．。
立体几何-线面角及线线角
10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：〔1〕X 围：(0,]2πθ∈；〔2〕求法；2、直线和平面所成的角：〔1〕定义：〔2〕X 围：[0,90]；〔3〕求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。
【典型例题】例1：〔1〕在正方体1111ABCD A BC D -中，以下几种说法正确的选项是 〔 〕 A 、11AC AD ⊥ B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC 成60角 答案：D 。
解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为22。
〔2〕在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，那么能作得与A 1B 成300角的平面的个数为〔〕A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。
解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。
〔3〕正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是12侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是〔 〕A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。
解析将BC 1平移到E 1F 即可。
〔4〕在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。
答案：AC ⊥BD 。
解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。
〔5〕点AB 到平面α距离距离分别为12，20，假设斜线AB 与α成030的角，那么AB的长等于_____.答案：16或64。
解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进展讨论。
例2：．如图：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
第3章3.23.2.3直线与平面的夹角
1．直线和平面所成的角
4
90° 0° 射影
栏目导航
5
思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线 和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.
栏目导航
2．最小角定理
6
cos θ= cos θ1﹒cos θ2
射影
最小的角
栏目导航
7
1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则
1
第三章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.3 直线与平面的夹角
栏目导航
2
学习目标
核心素养
1.理解斜线和平面所成的角的定
义，体会夹角定义的唯一性、合理 通过空间线面角提升学生的数
性. 学运算、逻辑推理素养.
2.会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
栏目导航
3
自主预习 探新知
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )
π
π
A.6
B.3
π
5π
C.2
D. 6
11
栏目导航
12
B [以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正 方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， E0，1，12，
AC＝AB·sin 60°＝2a× 23＝ 3a，
所以 PC＝ 3a2＋4a2＝ 7a，设∠ACP＝θ，
则 AE＝AC·sin θ＝AC×APCP
＝
3a×
2a ＝2 7a
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αO A B C αO A B 直线和平面所成的角
1. 斜线,垂线,射影
⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平
面的斜线.斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这
个平面的斜线段. ⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线
在这个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个
平面内的射影.
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点.斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2． 射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长.
⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短.
⑴O B =O C ⇒AB =AC O B >O C ⇒AB >AC
⑵AB =AC ⇒O B =O CAB >AC ⇒O B >O C
⑶O A <AB ，O A <AC
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个
平面所成的角.
一直线垂直于平面，所成的角是直角.一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒
角.直线和平面所成角范围：[0，2
π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.
1. 如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱长为√2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是＿＿.
A B
B 1
C
A 1 C 1
ϕ2ϕ1c b a θP
αO A B
2. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于＿＿.
3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为＿＿.
4. 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ， DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. 求DE 与平面EMC 所成角的正切值
5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AB ⊥AD,AC ⊥CD,
∠ABC=60。
,PA=AB=BC,E 是PC 的中点.求PB 与平面PAD 所成角的大小.
6. 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC=45。
，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3. 求直线SD 与平面SBC 所成角的大小.
A B C D A 1
B 1
C 1
D 1 B A C D
E M P
A E D
C B S
A C D
立体几何—异面直线夹角、线面角
1.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
2.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为
（A ） （B （C ）23
（D 3.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ） 4 (B) 4 (C) 4 (D) 34
3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
4.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为
（A ）
3 （B （C ）23
（D 5.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
4 (B) 4 (C) 4 (D) 34。