立体几何线面角专题

立体几何线面角专题(五十八)1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求：(1)AD 1与EF 所成角的大小；(2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值；(3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．答案 (1)60° (2)223 (3)22思路解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12，1，0)，D(1，1，1)．(1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)， 所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12， 即AD 1与EF 所成的角为60°.(2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cosBA →，FA →|＝|（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12|＝13，所以cos θ＝223. (3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B →＝z ＝0，令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)． 同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)．则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63. 所以tann 1，n 2＝22.2.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC.(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值；(3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．答案 (1)略 (2)144(3)存在点E解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC.(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC. 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB.又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形．∴AD ＝12AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB.∴Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24. ∴cos ∠DAE ＝144. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC.又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE.∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC.这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．方法二：如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设PA ＝a ，由已知可得A(0，0，0)，B(－12a ，32a ，0)，C(0，32a ，0)，P(0，0，a)．(1)∵AP →＝(0，0，a)，BC →＝(12a ，0，0)， ∴BC →·AP →＝0，∴BC ⊥AP.又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC.又AP ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC.(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．∴D(－14a ，34a ，12a)，E(0，34a ，12a)． 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角．∵AD →＝(－14a ，34a ，12a)，AE →＝(0，34a ，12a)， ∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →|·|AE →|＝144. (3)同方法一．3．(优质试题·辽宁沈阳一模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且O 为AC 的中点．(1)求证：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求二面角A －A 1B －C 1的余弦值．答案 (1)略 (2)－105解析 (1)∵AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，∴A 1O ⊥AC ，又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC.(2)如图，连接OB ，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得A(0，－1，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3)，B(3，0，0)，∴AB →＝(3，1，0)，A 1B →＝(3，0，－3)，A 1C 1→＝(0，2，0)．设平面AA 1B 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)．则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·A 1B →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1＝0，3x 1－3z 1＝0. 取x 1＝1，则y 1＝－3，z 1＝1，∴m ＝(1，－3，1)，为平面AA 1B 的一个法向量．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，3x 2－3z 2＝0. y 2＝0，令x 2＝1，则z 2＝1，∴n ＝(1，0，1)，为平面A 1BC 1的一个法向量， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝210＝105. 易知二面角A －A 1B －C 1的平面角为钝角，∴所求二面角的余弦值为－105.4．(优质试题·河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求点C 到平面DEB 的距离；(3)求二面角E －BD －P 的余弦值．答案 (1)略 (2)233 (3)63解析 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC.又正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD.∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE.∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC.又∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB.(2)如图①所示，过点C 作CM ⊥BE 于点M ，由(1)知平面DEB ⊥平面PCB ，∵平面DEB ∩平面PCB ＝BE ，∴CM ⊥平面DEB.∴线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离．∵PD ＝AB ＝CD ＝2，∠PDC ＝90°，∴PC ＝22，EC ＝2，BC ＝2.∴BE ＝ 6.∴CM ＝CE·BC BE ＝233.(3)以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，DE →＝(0，1，1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1，1)．又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，AC →＝(－2，2，0)，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63. ∴二面角E －BD －P 的余弦值为63. 5．(优质试题·太原二模)如图①，在平面六边形ABFCDE 中，四边形ABCD 是矩形，且AB ＝4，BC ＝2，AE ＝DE ＝2，BF ＝CF ＝5，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC 将△ADE ，△BCF 翻折成如图②的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论1或结论2，证明：E ，F ，M ，N 四点共面； 结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个．结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．(2)若二面角E －AD －B 和二面角F －BC －A 都是60°，求二面角A －BE －F 的余弦值． 答案 (1)略 (2)－23817解析 (1)如图，连接MN ，ME ，NF ，∵四边形ABCD 是矩形，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ∥BN ，AM ＝BN ，∠DAB ＝90°，∴四边形ABNM 是矩形，∴AD ⊥MN.∵AE ＝DE ，点M 是AD 的中点，∴AD ⊥ME ，又MN ∩ME ＝M ，∴AD ⊥平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面ABCD ，同理可得平面FMN ⊥平面ABCD ，由结论2可得平面EMN 与平面FMN 是同一个平面，∴E ，F ，M ，N 四点共面．(2)由(1)知平面EMNF ⊥平面ABCD ，过点E 作EO ⊥MN ，垂足为O ，∴EO ⊥平面ABCD.以过点O 作垂直于MN 的直线为x 轴，ON ，OE 所在直线分别为y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.∵AD ＝2，AE ＝DE ＝2，点M 是AD 的中点，∴AE ⊥DE ，EM ＝1，∵二面角 E －AD －B 是60°，∴∠EMN ＝60°，∴OM ＝12，OE ＝32. 同理，过点F 作FO ′⊥MN ，可得O ′N ＝1，FO ′＝ 3.∴A(1，－12，0)，B(1，72，0)，E(0，0，32)，F(0，52，3)，则AB →＝(0，4，0)，BE →＝(－1，－72，32)，EF →＝(0，52，32)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·BE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，－x 1－72y 1＋32z 1＝0，令z 1＝2，∴m ＝(3，0，2)，是平面ABE 的一个法向量．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面BEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·BE →＝0，∴⎩⎨⎧52y 2＋32z 2＝0，－x 2－72y 2＋32z 2＝0，令z 2＝2，∴n ＝(1235，－235，2)是平面BEF 的一个法向量． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝23817， 易知二面角A －BE －F 是钝角，∴二面角A －BE －F 的余弦值为－23817.1．(优质试题·河北徐水一中模拟)如下图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案 D解析 ∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，故AB ⊥平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面ADC.。