立体几何线面角 ppt课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
线线角,线面角
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。
探究:
（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? 即a∥b，若a⊥c，则b⊥c c
ab
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
下面我们来探究更一般的角的问题
平移法： 即根据定义，以“运动” 的观 点，用“平移转化”的方法，使 之成为相交直线所成的角。
O
小结归纳
2.计算直线与平面所成角采用的思想： 空间角转化为平面角
3.解题技巧： 线线角找平行
线面角找射影
小结归纳
1. 直线与平面所成角的计算步骤
作
证
构
出
明
造
所
所
三
求
作
角
的
的
形
空
角
并
间
符
求
角
合
角
“一作” “二证” “三算”
【课外延伸】
1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的 正方形，PD⊥底面ABCD, PD=AD, E为 AB的中点。求：(1)异面直线PB与CE 所成 角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角
2
AD= ,因此cos∠ANDN=D2 NA2 AD2 30 .
2ND NA
10
5
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
高一数学ppt课件 空间向量与立体几何课件4
→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行 设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
高中数学总复习考点知识讲解课件13立体几何
【解析】 (1)证明：过点B1作平面AOB的垂线，垂足为C，如图，则C是OB 的中点，所以BC＝1.
π 又∠OBB1＝ 3 ，所以BB1＝2. 连接OB1，因为BB1＝OB＝2， 所以△OBB1为等边三角形． 因为点M为BB1的中点，所以BB1⊥OM. 因为平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，平面AA1O1O∩平面BB1O1O＝OO1，且 AO⊥OO1，AO⊂平面AA1O1O，
命题规律： (1)直线和平面平行、垂直的判定与性质． (2)空间角及空间向量的应用． (3)立体几何题通常分两问，第一问，线、面关系的证明，第二问，跟角有 关，考查线面角或二面角．在第二问中，一定要注意是求角的大小，还是求角 的某个三角函数值！
押题一 线面角
(2021·长沙市一中模拟(一))如图，七面体ABCDEF的底 面是凸四边形ABCD，其中AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，AC，BD 垂直相交于点O，OC＝2OA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD.
＝ 7
7 7.
所以直线GH与平面PBC所成角的正弦值为
7 7.
方法三：(1)同方法二． (2)设CD＝2，在BD上取点I，使BI＝3ID，连接HI，GI，CE，如图，则 GI∥CD，
根据题意CD⊥BD，CD⊥PD，BD∩PD＝D， 所以CD⊥平面PBD，则GI⊥平面PBD，
所以GI⊥HI，
GH＝ HI2＋GI2＝
(2)由(1)知BF⊥EF，C1F⊥EF. ∴∠C1FB即为二面角C1－EF－B的平面角．
π ∴∠C1FB＝ 3 .过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系
如图所示．
由BF＝EF＝2AE＝4，可得E(4，0，0)，C1(0，2，2 B(0，4，0)，A(4，2，0)．
向量法的三类求角公式和距离公式PPT课件
•线线角 - •线面角
•二面角
•小结 3
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
C D ,A B 与 的 关 系 ？
D C ,A B 与 的 关 系 ？
结论： cos | cosCD ,AB|
•线线角 - •线面角
•二面角
•小结 5
题题型型二二：：线线面面角角
空间向量
高二数学备课组
•线线角
•线面角 -
•二面角
•小结
1
专题一：
利用向量解决 空间角问题
•线线角 - •线面角
•二面角
•小结 2
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
10
二、直线到平面的距离
l
d | AP n |
n
P
n
d
O A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
-
11
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
-
n
P
d
O
12
四、异面直线的距离
n
d | AP n | a
P
n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
-
13
方法指导:
①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量 n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
A.90°
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
是
.
解析:以 D 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空
间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 1,则
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴1 =(1,0,1),=(1,1,0),1 =(-1,0,1).
得=(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),由 ·=0, ·1 =0,
知为平面 BB1D1D 的一个法向量.
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,
则 sin θ= cos
依题意有
π
-
2
2
2+2 ×
2
=
=
|·|
角;
π
④直线与平面的夹角的范围是 0, 2 .
(2)斜线与平面所成角的性质
①如图,OA'是OA在平面α内的射影,OM⊂α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA
与OA'所成的角,θ2是OA'与OM所成的角,则cos θ=cos θ1cos θ2.
②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最
2
5
2
在 Rt△OAE 中,∵AE= + 2 = 2 a,
AO=
2
2
+
5
2
2
6
= 2 a,
6
∴sin∠OAE= = .
6
答案:C
二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系
1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向
量,<v,u>和l与α所成的角θ有什么关系?
.
解析:以 D 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空
间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 1,则
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴1 =(1,0,1),=(1,1,0),1 =(-1,0,1).
得=(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),由 ·=0, ·1 =0,
知为平面 BB1D1D 的一个法向量.
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,
则 sin θ= cos
依题意有
π
-
2
2
2+2 ×
2
=
=
|·|
角;
π
④直线与平面的夹角的范围是 0, 2 .
(2)斜线与平面所成角的性质
①如图,OA'是OA在平面α内的射影,OM⊂α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA
与OA'所成的角,θ2是OA'与OM所成的角,则cos θ=cos θ1cos θ2.
②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最
2
5
2
在 Rt△OAE 中,∵AE= + 2 = 2 a,
AO=
2
2
+
5
2
2
6
= 2 a,
6
∴sin∠OAE= = .
6
答案:C
二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系
1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向
量,<v,u>和l与α所成的角θ有什么关系?
第八章-立体几何初步复习课图文课件
简单说，斜二测画法的规则是： 横竖不变，纵减半，平行
性不变．
复习回顾 结合正八棱柱的直观图，说出用斜二测画法画空间几何体的 直观图的基本步骤．
横竖不变，纵减半，平行性不变
复习回顾
问题3 对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分 类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、 锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式 之间的联系吗？
，得 α ∩ γ ＝a；又γ ∩ β ＝直线b，故a与b
重合，
α ， β ， γ相交于同一条直线．
复习回顾
探究3 已知三个不同的平面 α， β， γ两两相交，设 α ∩ β＝直线 c，
β ∩ γ ＝直线a， γ ∩ α ＝直线b，试问a，b，c有怎样的位置关系？
说明理由并画出相应图形． ②当a与c相交时，设a∩c＝点O，由 α ∩ β ＝直线c， β ∩ γ
复习回顾 探究4 怎样求图中的四个四面体的外接球与内切球的半径？
四个四面体的外接球与正方体的
类比
外接球相同，其一条直径为正方
体的体对角线，半径
．
复习回顾
问题4 刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是 研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画 了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法
探究1 说明作出点H的过程．点H在线段DB1的什么位置？
设B1D1 ∩A1C1＝P，点P为线段B1D1的中点，且平面
A1BC1 ∩平面BB1D1D＝BP．
在矩形BB1D1D中， BP∩B1D＝H．
由△B1HP∽△DHB，且 ．
，知
复习回顾
探究1 说明作出点H的过程．点H在线段DB1的什么位置？
性不变．
复习回顾 结合正八棱柱的直观图，说出用斜二测画法画空间几何体的 直观图的基本步骤．
横竖不变，纵减半，平行性不变
复习回顾
问题3 对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分 类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、 锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式 之间的联系吗？
，得 α ∩ γ ＝a；又γ ∩ β ＝直线b，故a与b
重合，
α ， β ， γ相交于同一条直线．
复习回顾
探究3 已知三个不同的平面 α， β， γ两两相交，设 α ∩ β＝直线 c，
β ∩ γ ＝直线a， γ ∩ α ＝直线b，试问a，b，c有怎样的位置关系？
说明理由并画出相应图形． ②当a与c相交时，设a∩c＝点O，由 α ∩ β ＝直线c， β ∩ γ
复习回顾 探究4 怎样求图中的四个四面体的外接球与内切球的半径？
四个四面体的外接球与正方体的
类比
外接球相同，其一条直径为正方
体的体对角线，半径
．
复习回顾
问题4 刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是 研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画 了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法
探究1 说明作出点H的过程．点H在线段DB1的什么位置？
设B1D1 ∩A1C1＝P，点P为线段B1D1的中点，且平面
A1BC1 ∩平面BB1D1D＝BP．
在矩形BB1D1D中， BP∩B1D＝H．
由△B1HP∽△DHB，且 ．
，知
复习回顾
探究1 说明作出点H的过程．点H在线段DB1的什么位置？