从不同角度简述最优化问题的分类
最优化概念
背景知识（续）
1959年1月1日，国际运筹学会联合会(1FORS)正式宣告 成立，当时的联合会只包括英、美、法三个国家的运筹 学会，首任（1959-61年）主席（当时称为秘书，到1968 年第四届时才改称主席）为英国的Charles Goodeve。
背景知识（续） 运筹学理论在中国的研究与发展
1957年，经中国科学院力学研究所所长钱学森的倡导， 在该所成立了由许国志领导的国内第一个运筹学研究组 (后成室)。刘源张、周华章、桂湘云等是该组最早的一 批研究人员，从此在我国开始了现代运筹学的研究。当 年秋季，又有大学毕业生顾基发、董泽清、徐映波、陈 锡康、郭绍僖、李秉全等分配进入该组。 1958年，中国科学院数学研究所所长华罗庚率领广大研 究人员，包括吴文俊、越民义、万哲先、王元等在内， 也开展了运筹学应用课题的研究，并影响和带动了全国 范围内各部门、各高校的运筹学应用和推广工作。运输 和农业等部门的“图上作业法”、“打麦场设计”、“中国 邮递员问题”是典型的成果。
最优化问题至少有两要素：一是可能的 方案；二是要追求的目标。后者是前者的函 数。如果第一要素与时间无关就称为静态最 优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题。
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常 生活中，在工农业生产、社会经济、国防、航空 航天工业中处处可见其用途。如结构最优设计、 电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工 程最优设计、标腔最优配方、运输方案、机器最 优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、 食品结构优化等等。
背景知识（续）
1959年2月，山东大学在数学系中设置了国内最早的一 个运筹学专门化，由谢力同与郑汉鼎执教。自当年暑假 开始，每年都有运筹学方向的学生毕业，为我国运筹学 事业的发展作出了重要贡献。 1959年，中国科学院数学研究所成立了运筹学研究室， 研究人员都由所内其它室组调入。孙克定任研究室主任， 该室最早的一批研究人员有排队论组的越民义、吴方、 徐光煇、韩继业；对策论组的吴文俊、江加禾、施闺芳； 数学规划组的朱永津、应玫茜、马仲蕃、凌开诚等。与 此同时，全国范围内很多高校也有大批教师转入运筹学 领域。
最优化理论与方法概述
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
、大豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164x1 0.0463x2 0.1250x3 s.t. x1 x2 x3 100
0.380 0.380
x1 x1
0.001x2 0.001x2
Байду номын сангаас
0.002x3 0.002x3
0.012 100 0.008100
0.09x2 0.50x3 0.22100
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
2
x2
f X
x2
2x2
2
x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
f X
x3
2
x3
恒有 f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x*，) 使得对于
一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
数学建模的最优化方法
8
x1
,
ห้องสมุดไป่ตู้
25 x2
x1 0
815
x2
1800
运用最优化方法解决最优化问题的一般 方法步骤如下：
①前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件， 并确立最优化的目标。
②定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函 数和约束条件。
③针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。
④编写程序，利用计算机求解。
目标函数：获得的总收益最大。 总收益可表示为：R 10x1 5x2 受一级黄豆数量限制：0.3x1 0.4x2 9
受二级黄豆数量限制：0.5x1 0.2x2 8
综上分析，得到该问题的线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
1、无约束极值问题的数学模型
min f (x) x
2、约束条件下极值问题的数学模型
min f (x) x
s.t. gi (x) 0, i 1, 2,..., m hi (x) 0, i 1, 2,..., n
其中，极大值问题可以转化为极小值问题来
进行求解。如求： max f (x) x 可以转化为：min f (x) x
ans = 175
ans = 10 15
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。根据机床性能 和以前的生产情况，得知每单位产品所需车间的 工作小时数、每个车间在一个季度工作小时的上 限以及单位产品的利润，如下表所示(例如，生产
一个单位的A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
组合优化
组合优化组合（最）优化问题是最优化问题的一类。
最优化问题似乎自然地分成两类：一类是连续变量的问题，另一类是离散变量的问题。
具有离散变量的问题，我们称它为组合的。
在连续变量的问题里，一般地是求一组实数，或者一个函数；在组合问题里，是从一个无限集或者可数无限集里寻找一个对象——典型地是一个整数，一个集合，一个排列，或者一个图。
一般地，这两类问题有相当不同的特色，并且求解它们的方法也是很不同的。
概念定义编辑组合优化（Combinatorial Optimization）问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的目标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的一个重要分支。
问题分类编辑典型的组合优化问题有：旅行商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）；加工调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）；0-1背包问题（Knapsack Problem）；装箱问题（Bin Packing Problem）；图着色问题（Graph Coloring Problem）；聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述非常简单，并且有很强的工程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了人们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
第1章最优化方法的基本知识
Pattern Recognition and Intelligent System Institute, BIT
最优化方法的地位
为应用数学的一个分支，是新兴的数学理论之一； 是现代工程分析最佳设计的四种主要方法之一：
有限元分析 将问题从几何上看作有限个小单元（结点） 将问题从几何上看作有限个小单元（结点）相互连接而成的集 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理， 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理，得 到一组以结点场量为未知量的代数方程组， 到一组以结点场量为未知量的代数方程组，再用计算机及相应 最优化方法 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 或抽象空间中的微分方程所描述。 或抽象空间中的微分方程所描述。我国学者在细长体弹性振 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、能控性和反 动态设计 一般地， 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方 由于实际系统的复杂性，人们往往很难(或不可能 由于实际系统的复杂性，人们往往很难 人口系统控制、人 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能)从基本的 人口系统控制、 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能 从基本的 面的差异， 面的差异，而我们设计的控制律大多都是基于系统的数学模 物理定律出发直接推导出系统的数学模型， 物理定律出发直接推导出系统的数学模型，这就需要利用可 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 为了保证实际系统对外界干扰、 型，为了保证实际系统对外界干扰 以量测的系统输入和输出数据， 、系统的不确定性等有尽 以量测的系统输入和输出数据，来构造系统内部结构及参数 数值仿真 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题。 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题， 。 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题，这就是系统辨 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、时滞故障系统的鲁棒 识的任务。系统辨识领域有3个热点研究方向 个热点研究方向: 识的任务。系统辨识领域有 个热点研究方向 综合控制问题已经成为新的热点研究方向， 综合控制问题已经成为新的热点研究方向，而且已经有不少 1.基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、导弹系统 2.基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识 Pattern Recognition and Intelligent System Institute, 。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 3.基于智能信息处理的非线性系统辨识 BIT 基于智能信息处理的非线性系统辨识。 基于智能信息处理的非线性系统辨识
最优化基础理论与方法
目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
第5章-最优控制
t0
1
--- 导弹快速拦截问题变为在性能指标意义下的最优拦截问题。
9
电气工程系 《现代控制系统分析与设计》
Harbin Institute of Technology
Institute of Power Electronics and Drives
5.2 最优控制问题的数学描述
1、系统的数学模型 控制系统的数学模型反映系统运动过程应遵循 的规律，可以用状态空间表达式来表示： 状态方程：x (t ) f [ x (t ), u(t ), t ] 输出方程：y(t ) g[ x (t ), u(t ), t ] 其中： x(t)为n维的状态矢量，u(t)为r维的控制输入 矢量，f、g为矢量函数，t为时间变量。
(1)积分型性能指标
J (u) L[ x(t ), u(t ), t ]dt
t0
tf
(2)末值型性能指标
(3)综合性能指标
J (u) [ x(t f ), t f ]
J (u) [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u(t ), t]dt
10
电气工程系 《现代控制系统分析与设计》
Harbin Institute of Technology
Institute of Power Electronics and Drives
2、系统的初态和终态
动态系统的初态和终态，也就是状态方程的边界条件 。动态系统的运动归根结底是在状态空间里从一个状态转移 到另一个状态，其运动随时间变化对应于状态空间的一条轨 线，轨线的初始状态可以记为x(t0), t0为初始时间，x(t0) 为初始状态，轨线的终端状态可记为x(tf),为到达终态的时 间，x(tf)为终端状态。
最优化方法
求解最优化问题常用的方法是迭代法。 迭代法的基本思想是：从最优点的一个 初始值 x 0 出发，按一定迭代法则产生点序列 xk (k 1, 2,) ，使目标函数值 f xk 逐步减小。 当 x k 是有限点列时，其最后一点即为最优解； 当 是无穷点列时，其极限点即为最优解。 xk
通常，人们按照可行集的性质对优化问 题分类：若可行集中的元素是离散的，则称 之为“组合优化”或“离散优化”，如整数 规划、0-1规划等。若可行集是有限维空间中 的一个连续子集，则称之为“数学规划”； 此时，若目标函数和约束函数均为线性，则 称之为“线性规划”，否则称之为“非线性 规划”。如果可行集中的元素是依赖时间的 决策序列，则归结为“动态规划”。如果可 行 集 是 无 穷 维 空 间
定理1.4（二阶充分条件） 设 f X 二阶连续可微，若 f X * 0 ，且 2 * 为极 X *处的二阶导数矩阵 f X 正定，则 X * 小点。 本定理的几何意义是， X *为极小点的充 分条件是函数曲面在 X *处有水平切平面且向 上弯曲。
定理1.5（凸函数的最优性条件） 设 f X 为二阶可微的凸函数，且 f X * 0 , 则 X *为全局极小点。
中的连续子集，则归结为“最优控制”。 此外，根据决策变量是否具有不确定性, 可以把优化问题分成确定性规划、不确定性 规划（如随机规划、模糊规划等）。根据需 要优化目标的数目，可以把优化问题分成单 目标优化、多目标优化。 线性规划与非线性规划是最优化方法中 最基本、最重要的两类问题。
一般来说，各优化分支有其相应的应用 领域。线性规划、网络规划、动态规划通常 用于管理与决策科学；最优控制往往用于控 制工程；非线性规划更多地用于工程优化设 计。
定义1.5 设点列 xk 收敛于x *，且对实 数 p 1 ，有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实
际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值
或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多
目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类
1. 线性规划
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线
性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划
非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化
问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经
济学等领域。
3. 整数规划
整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用
于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类
1. 连续优化问题
连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题
离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类
1. 约束优化问题
约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题
无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类
1. 单目标优化问题
单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题
多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
不同类型的
最优化问题在实际中有着不同的应用和求解方法，对于相关领域的研
究和应用具有重要的意义。
在实际应用中，最优化问题的分类对于求
解方法和应用场景都有着重要影响。
接下来将从不同角度扩展最优化
问题的分类，并分别介绍它们在实际中的应用。
五、按照求解方法的性质分类
1. 暴力搜索
暴力搜索是指通过枚举所有可能的解来寻找最优解的方法。
这种方法
通常会在问题规模较小的情况下使用，因为随着问题规模的增大，暴
力搜索的时间复杂度会呈指数级增长。
在离散优化问题中，暴力搜索
可能是唯一可行的方法。
2. 数值优化方法
数值优化方法是指通过数值计算的方法来寻找最优解的方法。
常见的
数值优化方法包括梯度下降法、拟牛顿法、全局优化算法等。
数值优
化方法适用于解决大规模的连续优化问题，比如在机器学习、神经网
络训练等领域有广泛应用。
3. 组合优化方法
组合优化方法是指通过组合数学的方法来寻找最优解的方法。
这种方
法对于离散优化问题特别有效，常见的组合优化方法包括分支定界法、遗传算法、模拟退火算法等。
组合优化方法在社交网络分析、图像处
理等领域有着重要的应用。
六、按照应用领域的分类
1. 工程优化
工程优化是指在工程设计、生产制造、工程管理等领域中寻找最优方
案的问题。
在建筑结构设计中，需要寻找结构材料的最佳分配方案；
在生产计划中，需要寻找生产资源的最优配置方案等。
2. 经济优化
经济优化是指在经济学领域中寻找最优决策方案的问题。
在市场营销中，需要寻找最优的广告投放策略；在金融投资中，需要寻找最优的
投资组合方案等。
3. 交通优化
交通优化是指在交通规划、物流配送等领域中寻找最优方案的问题。
在城市交通规划中，需要寻找最优的交通流量分配方案；在物流配送中，需要寻找最优的配送路径方案。
七、其他分类
除了以上提到的分类之外，最优化问题还可以根据其在决策过程中的
作用和位置来进行分类，主要包括以下几种：
1. 设计优化
设计优化是指在产品设计、工艺设计等阶段中寻找最优方案的问题。
设计优化通常会涉及到多个设计参数的调整，以达到最优的设计目标。
2. 控制优化
控制优化是指在控制系统设计、参数调整等阶段中寻找最优方案的问题。
控制优化涉及到系统动态特性、鲁棒性等方面的问题，通过优化
设计可以使系统性能得到最大程度的改善。
3. 概率优化
概率优化是指在不确定性条件下寻找最优方案的问题。
在实际问题中，很多情况下存在着不确定的因素，比如需求量、市场波动等，通过概
率优化可以有效应对这些不确定性因素。
在实际应用中，以上提到的不同分类方式往往会相互交叉，一个最优
化问题往往会属于多个分类方式的交叉领域。
一个工程优化问题既可
以属于约束优化问题，又可以属于设计优化问题。
理解和熟悉这些分
类方式对于问题的建模和求解具有重要意义。
最优化问题在现代科学技术发展中有着广泛的应用，不仅为科研和工
程技术提供了支持，也为实际生产和社会管理提供了重要的决策支持。
随着信息技术和数学建模方法的不断发展，最优化问题的研究和应用
将会呈现出更加多样化、细分化的趋势，对于不同领域的专业人员来
说，熟悉最优化问题的分类和求解方法将有助于更好地应对各种复杂的实际问题。