最优化理论与算法
最优化理论与算法
最优化理论与算法
优化理论与算法研究的目标是解决最优化问题，即给定一定的约束条
件下，求得目标函数的最佳值，优化理论与算法是计算机科学、数学、运
筹学及其它相关学科的重要组成部分，是一个多学科交叉学科。
优化理论
与算法是指对复杂环境、条件、限制等进行模型建立，并以此模型为基础，运用计算机对各种优化问题进行求解，得到最优解的方法。
它在产业中的
应用非常广泛，包括交通系统、排课模式、物流系统、科研计划等，它的
应用领域也不断扩大。
优化理论与算法包括几何优化、数值优化、组合优化、动态规划等，
其中几何优化是指把优化问题转换成几何问题，按照优化准则进行空间，
以求取最优解的方法。
数值优化是指根据给定的模型，使用计算机求解目
标函数的最优解的方法。
组合优化是指求解那些变量数量特别多，而每个
变量又只能取有限的取值，使其能达到最优解的一种技术。
动态规划是指
通过构建有限步骤，每步骤之间相互关联的一个优化过程，以求得最优解
的方法。
优化理论与算法综合利用了统计学、数理统计、概率论、凸分析、数
值分析和计算机程序的优势和特点，能有效地处理实际中复杂的优化问题。
最优化理论与算法(第十一章)
第十一章约束最优化问题的可行方向法§1 Frank-Wolf方法一、问题形式（11.1）其中为矩阵，，。
记并设一阶连续可微。
二、算法基本思想是一个凸多面体，任取，将在处线性展开用或（11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设是其最优解。
1）若，则也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证为原问题的K-T点。
2）若，则由是（11.2）的最优解，故必有从而即为在处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索设最佳步长因子为，令当充分小时用取代，重复以上计算过程。
三、算法迭代步骤1）给定初始点，允许误差，。
2）求解线性规划问题，得最优解。
3）若，Stop,；否则go to 4)。
4）进行一维搜索，得最优步长因子；令，，go to 2)四、算法收敛性定理设非线性规划问题（11.1）的最优解存在，且对算法产生的点列，线性规划问题（11.3）的最优解总存在。
则1）若迭代到某步，有，则为问题（11.1）的K-T点；2）若情形1）总不发生，则算法产生一有界无穷点列，其任意极限点都是原问题（11.1）的K-T点。
证明：若情形1）出现，则也是问题（11.3）的最优解，故满足（11.3）的K-T条件：（11.4）而(11.1)的K-T条件：（11.5）（11.4）表明，，一起满足K-T条件（11.5），故是原问题的K-T点。
2）由点列包含在的极点的凸组合中，而均为的极点，故、均为有界点列。
设为的任一极限点，即存在子列，使得：注意到点列满足：考虑点列、、，不失一般性，设，，否则，可以通过反复抽取子序列，使上式对某个子序列成立。
由是的最优解，故，有且再由及取极限，有（11.6）不等式组（11.6）等价于：（11.7）若能证明即为问题的最优解，由本定理的第一部分可知，为原问题K-T点。
下证：，若不然，由（11.7）即知必有故为处的下降方向，因而当充分小时，有进而有：（11.8）但为单调下降的有界序列，故存在而且即与（11.8）矛盾，故必有。
最优化理论与算法第二版教学设计
最优化理论与算法第二版教学设计一、课程背景随着社会的发展，各行各业对效率的要求越来越高。
优化理论与算法作为一门重要的数学工具，已经成为计算机科学、工业工程、运筹学、统计学等诸多领域必不可少的一部分。
本课程主要介绍常见的最优化算法、模型与理论，旨在让学生在课程学习中掌握优化问题的建模与求解方法，了解常见的优化算法及其应用，并培养学生解决实际问题的能力。
二、课程目标本课程旨在培养学生以下能力：•掌握最优化问题的概念与一般形式；•熟悉线性规划、整数规划、动态规划、贪心算法、分治算法、模拟退火等常见的最优化算法及其应用；•熟练运用MATLAB等工具对优化问题进行数值求解；•能够分析、解决实际问题中的优化问题。
三、教学大纲第一章最优化理论基础•最优化问题与应用•最优化问题的概率与形式化描述•不等式约束条件的最优化问题•拉格朗日乘数法第二章线性规划•线性规划的基本概念•线性规划模型的构建•单纯形法与其扩展算法•求解线性规划的MATLAB工具箱lpSolve第三章整数规划•整数规划的基本概念•分支限界法、割平面法等求解整数规划的方法•求解整数规划的MATLAB工具箱IntLinProg 第四章动态规划•动态规划的基本思想与模型•背包问题的动态规划算法•求解非线性规划的MATLAB工具箱fmincon 第五章贪心算法与分治算法•贪心算法的基本思想与模型•贪心算法求解集合覆盖、活动选择等问题•分治算法的基本思想与模型•分治算法求解归并排序、快速排序等算法第六章模拟退火与遗传算法•模拟退火算法的基本思想及其应用•遗传算法的基本思想及其应用•求解非线性规划的MATLAB工具箱fminsearch四、课程教学教学方式本课程为理论与实践相结合的课程，采用教师讲解、案例分析、课堂练习和课程论文等多种教学方式。
课程中将提供足够的例子和案例分析，以丰富课程内容。
教材主教材为《最优化理论与算法第二版》（作者：D.M.库珀等，译者：范玉平、钱启祥）。
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括FritzJohn 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、范数 1.向量范数max i xx ∞=（l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑（1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑（2l 范数） （1.5）11()np pi pi x x ==∑（p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax =（A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ①对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ②对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③A B A B +≤+； ④AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤pp AxA x ≤则称之为与向量范数p 相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论与算法
最优化理论与算法
最优化理论与算法是一门使用数学和统计分析工具来解决问题的学科。
它用于寻求系统最佳运行状态，并帮助系统达到最优性能。
它研究的
主要问题包括目标函数最大化或最小化，最优化问题的非线性性质，
以及对某些未知变量的极大或极小。
最优化理论和算法的种类繁多。
其中包括最小化法，最大化法，拉格
朗日乘数法，拟牛顿法，模拟退火法，遗传算法，蚁群算法，鲁棒优
化等等。
它们在很多领域中都有应用，如机器学习，金融保险，供应
链管理，交通路线规划，排队分析，测量定位等等。
例如，在机器学
习领域，拉格朗日乘数法和拟牛顿法用于求解最优超参数。
此外，在
金融保险领域，最优化理论和算法常常用于分析风险和收益、以及给
定投资者希望达到的目标所必需要承担的风险等。
最优化大在一些方法上求解适当的最佳参数，从而开发高性能算法。
它可以用来解决各种最优化问题，如局部最优化问题，全局最优化问题，非线性最优化问题，多目标最优化问题等。
最优化算法也可以用
来实施和评估各种经济模型，如产品管理、能源管理和风险管理。
总的来说，最优化理论和算法在许多重要领域都有着广泛的应用。
它
可以用来解决各种最优化问题，并为解决实际问题提供有效解决方案。
最优化理论与优化算法的应用
最优化理论与优化算法的应用最优化理论和优化算法作为数学和计算机科学领域的重要研究内容，被广泛应用于各个领域，如工程、经济、物流和电子商务等。
本文将以实际案例为基础，探讨最优化理论和优化算法在不同领域的应用。
一、工程领域的应用工程领域常涉及复杂系统的设计和优化，最优化理论和优化算法可以提供有效的解决方案。
以工业制造为例，在制造过程中，如何合理地安排机器设备的流程和投入，以最大化产出或最小化成本，是一个典型的优化问题。
最优化算法如线性规划、整数规划和动态规划等可以帮助工程师在有限的资源条件下实现最佳组合。
二、经济领域的应用经济学领域的决策问题可以看作是最优化问题，通过最优化理论和优化算法可以得到经济系统的最优解。
例如，在资源的有限性和人力成本等因素的制约下，如何合理地分配资源和规划生产任务，使企业实现最大利润，是一个典型的经济优化问题。
最优化算法如线性规划、整数规划和动态规划等可以帮助经济学家在不同条件下进行决策，并达到最优的效果。
三、物流领域的应用物流领域是一个充满优化问题的领域，如何在有限时间和有限资源的情况下，实现物品的快速运输是一个重要问题。
最优化算法可以在多个因素制约下，通过对路线、车辆选择和装载策略等进行优化，实现物流系统的高效运作。
例如，旅行商问题是一个典型的物流优化问题，通过遗传算法和模拟退火算法等最优化算法，可以有效求解出最优的路径和最小的成本。
四、电子商务领域的应用随着电子商务的快速发展，如何提高在线交易的效率和用户体验成为了关键问题。
最优化理论和算法在电子商务领域的应用也愈发重要。
以推荐系统为例，通过分析用户行为和商品特征，最优化算法可以为用户推荐最感兴趣的商品，从而提高销售量和用户满意度。
此外，在电子商务中进行供应链优化、库存管理优化等问题中，最优化算法也发挥着重要作用。
综上所述，最优化理论和优化算法在工程、经济、物流和电子商务等领域的应用都能够提供有效的解决方案。
随着技术的不断进步和算法的优化，相信最优化理论和优化算法在未来的应用领域将会更加广泛，并为各行业的发展和创新提供强有力的支持。
最优化理论与算法习题答案
最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。
在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。
本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。
其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。
最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。
常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。
3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。
具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。
4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。
线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。
5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。
常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。
6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。
7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。
最优化理论与算法(第三章)
第三章 牛顿法§3.1 最速下降法一、最速下降法在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。
算法描述：1） 给出初始点0n x R ∈，允许误差0ε>，0k =； 2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 *k x x ≈； 3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2).二、最速下降算法的收敛性定理3.1 设1f C ∈，则最速下降算法产生的点列{}k x 的每个聚点均为驻点。
证明：设x 是{}k x 的一个聚点，则存在子序列{}1k K x ，使得1lim k k K x x ∈=令()k k d f x =-∇，由1f C ∈，知{}1()k K f x ∇是收敛序列，故{}1k K d 有界，且1lim ()k k K d f x ∈=-∇由定理2.6有2()(())()0Tf x f x f x ∇-∇=-∇=故有 ()0f x ∇=。
定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ∇≤，则对任何给定的初始点0n x R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞=-∞，或lim ()0k k f x →∞∇=。
证明：不妨设k ∀，()0k f x ∇≠。
由定理2.5有211()()()2k k k f x f x f x M+-≥∇ 于是 []120101()()()()()2kk k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥∇∑∑令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么lim ()k k f x →∞=-∞，要么 lim ()0k k f x →∞∇=。
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最优化理论与算法笔记
在老师的指导下，我学习了最优化理论与算法这门课程。
最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
由于生产和科学研究突飞猛进的发展，特别是计算机的广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要，而且有了求解的有力工具，因此迅速发展起来形成一个新的学科。
至今已出现了线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。
整个学习安排如下，首先介绍线性与非线性规划问题，凸集和凸函数等基本知识及线性规划的基本性质；然后再这个基础上学习各种算法，包括单纯形法、两阶段法、大M法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，以及各种算法相关的定理和结论；最后了解各种算法的实际应用。
主要学习的基础知识：
1、一般线性规划问题的标准形式
学会引入松弛变量将一般问题化为标准问题；同时掌握基本可行解的存在问题，通过学习容易发现线性规划问题的求解，可归结为求最优基本可行解的问题。
2、熟练掌握单纯形法、两阶段法和大M法的概念及其计算步骤。
单纯形法是一种是用方便、行之有效的重要算法，它已成为线性规划的中心内容。
其计算步骤如下：
1）解
求得
，令
计算目标函数值
；
2)求单纯形乘子
，解
，得到
；
3)解
，若
，即
的每个分量均非正数，则停止计算，问
题不存在有限最优解，否则，进行步骤（4）；
4)确定下标r，使
，得到新的基矩阵B，返回第一
步。
两阶段法：第一阶段是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量，求出原来问题的一个基本可行解；第二阶段是从得到的基本可行解出发，用单纯形法求线性规划的最优解。
大M法：在约束中增加人工变量
，同时修改目标函数，加上罚项
，其中
是很大的正数，这样，在极小化目标函数的过程中，由于
的存在，将迫使人工变量离基。
3、掌握最速下降法的概念及其算法，并且能够讨论最速下降算法的收敛性。
掌握牛顿法，能够熟练运用牛顿迭代公式：
，掌握共轭梯度法及其相关结论，以及其收敛性的讨论，掌握最小二乘法及其基本步骤。
最速下降法：迭代公式为。
计算步骤：1）给定点
，允许误差
置
；
2）计算搜索方向
；
3）若
，则停止计算，否则，从
出发，沿
进行一维搜索，求
，使
；
4）令
，置
，转步骤（2）。
共轭梯度法：共轭梯度法是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组供各方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点，根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。
具体求解方法：首先，任意给定一个初始点
，计算出目标函数
在这点的梯度，若
，则停止计算；否则，令
，沿方向
搜索，得到点。
计算在
处的梯度，若
，则利用
和
构造第二个搜索方向
，再沿
搜索；若已知点
的搜索方向
，得到
，再从
出发，沿方向
搜索。
结论：由共轭梯度法产生的方向
，
，…，
是A共轭的，经有限步必达到极小值。
注：初始方向比为。
牛顿修正法：对于原始牛顿法和阻尼牛顿法都有共同缺点，一是可能出现Hesse矩阵奇异的情形，因此不能确定后继点；二是即使
非奇异，也未必正定，因而牛顿方向不一定是下降方向，这就可能导致算法失效。
牛顿修正法的策略，记
，得到
，阻尼牛顿法所用搜索方向是上述方程的解：
，这里假设逆矩阵
存在。
解决Hesse矩阵
非正定问题的基本思想是，修正
，构造一个对称矩阵
，得到方程
，解此方程，得到在点
处的下降方向
，再沿此方向作一维搜索。
最小二乘法：（1）线性最小二乘问题
，求
平稳点，令
的平稳点满足
，所以
的平稳点为
，由于
为凸函数，所以
比为全局最小点。
（2）非线性最小二乘基本思想是通过解一系列线性最小二乘问题求非线性问题的解。
基本步骤如下：
1）给定初点
，允许误差
，置
；
2）计算函数值
，得到向量
，再计算一阶偏导数
得到矩阵
3）解方程组
，求得Gauss-Newton方向。
4）从
出发，沿
作一维搜索，求步长
，使得
.
令
.
5）若
，则停止计算，得解
，否则置
，返回步骤二。
在整个学习过程中，我们学习的侧重点都是以应用为主，尤其是对各种相应的算法。
而这个内容的学习除了可以解决很多实际问题外，对学习数值计算这门课程的帮助也是非常大的，其中所讨论的各种算法，对数值计算中求解线性方程组的解也能适用，这就将两门课程有机的结合在一起。
当然在学习过程中，有很多问题也是我没人理解透彻的，需要今后继续努力改进的。
比如像各种算法的收敛性的讨论，以及在计算机中的编程实现等都将是我以后长期的课题。