北邮最优化课件0最优化理论与算法引言
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13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
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1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
min Байду номын сангаас (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
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8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
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统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
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7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
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12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
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11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
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14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
minz
cijxij
i1 j1
n
xij ai
j1
m
s.t xij b j
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 2019.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
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最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
Printice-Hall Inc.,1982/2019
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，2019
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4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2019)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2019..
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
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10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
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9
电子计算机---------- 最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
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最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
北邮最优化课件0最优化理论与算法引言-PPT精品文档32页
最优化理论
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
最优化理论
23
6.结构设计问题
p1
p
2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
最优化理论
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： SdB
桁杆的总重量为： W2dBL2h2
负载2p在每个杆上的分力为：p1copsp
L2h2 h
于是杆截面的应力为：
1
p1 s
最优化理论
19
4选址问题（3）
m ax
ci jy ij f jx j
iI jJ
j J
s.t.
y ij 1
j J
i I;
y ij x j,
i I, j J;
x j {0,1},
j J;
yij {0,1},
i I, j J.
最优化理论
20
5负载平衡(1)
实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合{s,d>0}，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量
解: {s,d>0}的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。
目标:极小化网络负载
用 Fisjd 表示 s到 d由 的流经 (vi,vj过 )的边 流量
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
北邮最优化课件最优化理论与算法引言33页PPT
北邮最优化课件最优化理论与算法引 言
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
45、自己的饭量自己知道。——苏联
பைடு நூலகம்
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
45、自己的饭量自己知道。——苏联
பைடு நூலகம்
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
最优化算法讲课课件
程中，一般总是与自己相同的物种生活在一起，共同繁衍后代；它们也都是在某 一特定的地理区域中生存。 在用遗传算法求解多峰值函数的优化计算问题时，经常是只能找到个别的几个 最优解，甚至往往得到的是局部最优解，而有时希望优化算法能够找出问题的所 有最忧解，包括局部最优解和全局最优解。基本遗传算法对此无能为力。既然作 为遗传算法模拟对象的生物都有其特定的生存环境，那么借鉴此概念，我们也可 以让遗传算法中的个体在一个特定的生存环境中进化，即在遗传算法中可以引进 小生境的概念，从而解决这类问题，以找出更多的最优解。
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
19
2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
26
15
2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
19
2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
26
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2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
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23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
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1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法(第二章)
第二章 一维搜索
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
北邮最优化课件1预备知识
2012-8-25 TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI 4
1.线性空间
例子
1, R 是 实 数 域 R 上 的 一 线 性 空 间 .
n
2, R [ x ] n 是 系 数 在 实 数 域 R 上 次 数 小 于 n 的 全 体 多 项 式 组 成 的 集 合 , 则 R [ x ]n 关 于 多 项 式 的 加 法 以 及 数 与 多 项 式 的 乘 法 构 成 一 线 性 空 间.
1 2 k i i 1 k
i 0, i 1, 2, .., k .则 v ,v ,...,v 称 为 线 性 无 关 的 向 量 组 , 否 则 称 为
1 2 k
线 性 相 关 的 向 量 组.
2012-8-25
TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI
6
1.线性空间
D f 1 .6 给 定 S ( ) V ( F ), 所 有 由 S 中 任 意 有 限 个 元 素 在 域 F 上 的 线 性 组 合 构 成 的 集 合 , 称 为 S 的 线 性 扩 张 , 记 为 L ( S ), 即 k i i L ( S ) i v | i F , v S , i 1, .., k , k i 1
R满 足 ：
(1) 正 定 性 ： x R , x 0, x 0 x 0; ( 2 )三 角 不 等 式 ： x , y R , x y x y ;
n
(3 ) 齐 次 性 ： x R , R， x =
n
x .
则 称为R 上的范数
(3) 集 合 S R 是 闭 集 无 穷 序 列 { x } S , 若 x x ,
1.线性空间
例子
1, R 是 实 数 域 R 上 的 一 线 性 空 间 .
n
2, R [ x ] n 是 系 数 在 实 数 域 R 上 次 数 小 于 n 的 全 体 多 项 式 组 成 的 集 合 , 则 R [ x ]n 关 于 多 项 式 的 加 法 以 及 数 与 多 项 式 的 乘 法 构 成 一 线 性 空 间.
1 2 k i i 1 k
i 0, i 1, 2, .., k .则 v ,v ,...,v 称 为 线 性 无 关 的 向 量 组 , 否 则 称 为
1 2 k
线 性 相 关 的 向 量 组.
2012-8-25
TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI
6
1.线性空间
D f 1 .6 给 定 S ( ) V ( F ), 所 有 由 S 中 任 意 有 限 个 元 素 在 域 F 上 的 线 性 组 合 构 成 的 集 合 , 称 为 S 的 线 性 扩 张 , 记 为 L ( S ), 即 k i i L ( S ) i v | i F , v S , i 1, .., k , k i 1
R满 足 ：
(1) 正 定 性 ： x R , x 0, x 0 x 0; ( 2 )三 角 不 等 式 ： x , y R , x y x y ;
n
(3 ) 齐 次 性 ： x R , R， x =
n
x .
则 称为R 上的范数
(3) 集 合 S R 是 闭 集 无 穷 序 列 { x } S , 若 x x ,
最优化理论与方法-对偶原理ppt课件
别为y1, y2, y3 ，买方总支出为w。
max z 7x1 12x2 s.t. 9x1 4x2 360
4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
min w 360 y1 200 y2 300 y3 s.t. 9 y1 4 y2 3y3 7 4 y1 5 y2 10 y3 12 y1, y2, y3 0
【例】原问题与对偶问题
资源 甲 乙 数量
煤 9 4 360 电 4 5 200 油 3 10 300 单价 7 12
问题一：试拟订使总收入最大的生 问题二：试拟定能够保证卖方收入且
产方案。
使买方支出最小的定价方案。
解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位， 解：设煤、电、油三种资源的定价分
总收入为z。
量，c (c1,..., cn )是n 维行向量，x (x1,..., xn )T是由原问题的
变量组成的n 维列向量，w (w1,..., wm ) 是由对偶问题的变 量组成的 m维行向量。
对偶问题的表述 – 非对称形式
对称形式
原问题： min cx
s.t. Ax b x0
非对称形式
min cx s.t. Ax b
则单纯形乘子w
c B1 B
是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。
根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问 题的一个最优解。
对偶问题的基本性质
互补松弛性质（见教材）
对于对偶规划，当知道一个问题的最优解 时，根据互补松弛定理求出另一个问题的 最优解。
对偶可行的基本解
考虑线性规划问题 min cx
原问题与对偶问题间的相互转换关系
原问题（或对偶问题）
对偶问题（或原问题）
最优化理论与算法
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
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第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
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7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
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7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
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7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
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对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点