最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
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最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化模型(第五讲)
数学建模讲义主讲人:穆学文西安电子科技大学数学系Email:xdmuxuewen@ 最优化模型---最优化方法的概念参考书目1. 陈宝林。
最优化理论与算法。
清华大学出版社.2. 谢金星，薛毅。
优化建模与lindo/lingo优化软件. 清华大学出版社. 背景知识基本概念及其应用最优化问题举例最优化方法的概念优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点常用的数学软件§1背景知识•运筹学理论的一部分•最早起源于中国古代¾公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》¾孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论¾运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
这千古名句也可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖。
•国外起源与发展¾1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题，引进了Pareto最优的概念。
¾1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家，进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意的效果。
他们把自己从事的这种工作命名为“Operational Research”(背景知识（续）Operational Research(运筹学，或直译为作战研究)。
¾1939年，苏联的Л.В.Канторович总结了他对生产组织的研究，写了《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线性规划应用于工业生产问题的经典著作¾1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便迅速形成为一个独立的分支。
并逐级发展起来。
¾英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部，1953年11月起改名为学会）。
¾二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时筹学方法也向政府和业等部门扩展背景知识（续）运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法课件 (4)
广义消去法
令S 和Z 分别为n m和n n m 矩阵，满足 AS I , AZ 0 且 S : Z 为可逆矩阵，则有x Sb是方程 Ax b的一个可行解，设d 为Ax 0的解，则 方程Ax b的通解为 x Sb d .
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
取 令
ˆk } k min{1, x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) .
如果
k
a x
p
bp a x a d
p p (k )
p
(k )
1,
(k )
则在点x ( k 1)，有
( k 1)
a (x
p
kd
( k 1)
(k )
) bp
若x是任一可行解，则有Ax b, 在该点目标 函数的梯度为： f ( x) Hx c
x x Qf ( x) Rf ( x)
min x 2 x x 2 x1 x2 x3 s.t. x1 x2 x3 4
1 5 3 4 4 2 , S 1 11 5 3 4 2
最优解为： x1 T 21 43 3 x x2 ， ， 11 22 22 x3
直接消去法
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
2 2 0 0 1 1 解：H 2 4 0 , c 0 , A 2 1 0 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1 H 0 2 2 0 0 1 2
最优化方法课件01.1
2
二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。 我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
i 1 j 1
9
m k
数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
10
例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
f x 2x1 2x2 , 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2
T
35
例：求目标函数的梯度和Hesse矩阵。
f ( x) x x x 2 x1 x2 2 x2 x3 3x2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 f f f 又因为： 2, 2, 0 2 x1 x1x2 x1x3
因此,数据拟合问题得数学模型为
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
18
§1.2最优化问题的基本概念
19
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化理论与算法课件 (10)
例：考虑标准形式的线性规划
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
最优化理论与算法课件 (12)
3、LP问题存在无界解
例： min z 3x1 4x2
s.t x1 3
l1
x1 x2 1 l2
x1, x2 0
x2
l1
z
3 l2
2
C
1
B
O A1 2 3 4
x1
判断：若LP的可行域无界，则该LP可能 存在无界解。
• 能解决少量问题
• 揭示了线性规划问题的若干规律
规律1： 有可行解
1、系数矩阵A中任意m列所组成的m阶可逆子方阵B，
称为(LP)的一个基(矩阵)，变量xj，若它所对应的 列Pj包含在基B中，则称xj为基变量，否则称为非
基变量。基变量的全体称为一组基变量，记
xB1 , xB2 , , xBm .
基矩阵的个数最多为
Cnm
n! m!(n
m)!
2 设A B
三、决策变量x j无非负限制的转换 如：x j无非负约束
引入xj 0, xj 0, 令x j xj xj
如： 1 x3 5, x3 1, x 3 5 令 x3' x3 1, 则 x3 0, x3 4
例： max z 3x1 2x2 x3
2 5
0
0 T x(2) (4
0
-2
0)T
x(3) (6
0
0 -2)T
x(4) (0 -2 -12 0)T x(5) (0 2 0 8)T x(6) (0 0 -6 4)T
只有x(1)和x(5)为基本可行解。
非可行解
可行解
约束基方本程的 可解行空解间
基本解
max Z 6 x1 4 x2
x3 x6 5
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT课件
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 20对20/策3/2论6 等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
可编辑
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
2020/3/26
可编辑
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ··· xn )
f(x)=0
2020/3/26
可编辑
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ··· xn) s.t. gk (x1 x2 ··· xn )=0, k=1,2,…,m
欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
2020/3/26
可编辑
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT课件
（或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/3/26
可编辑
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj( j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 Combinatorial Optimization 蔡茂诚、刘振宏 Algorithms and Complexity
2020/3/26
可编辑
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40 3x + 2y 50 x, y 0.
2020/3/26
可编辑
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj( j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 Combinatorial Optimization 蔡茂诚、刘振宏 Algorithms and Complexity
2020/3/26
可编辑
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40 3x + 2y 50 x, y 0.
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j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
2020/4/8
4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学.
• 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法)
• 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
2020/4/8
9
电子计算机---------- 最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 20对20/策4/论8 等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
2020/4/8
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
规划算法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory， 整数规划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
2020/4/8
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
R. T. Rockafellar
Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
2020/4/8
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S.
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ··· xn )
f(x)=0
2020/4/8
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ··· xn) s.t. gk (x1 x2 ··· xn )=0, k=1,2,…,
欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
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2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平 衡问题的数学模型为：
nm
min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
最优化理论与算法
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提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006) Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003.. Convex Analysis
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2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量 是b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地
Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调 运这些物品才能使总运费最小？