优化理论与算法完整版
最优化理论与算法(第十一章)
第十一章约束最优化问题的可行方向法§1 Frank-Wolf方法一、问题形式（11.1）其中为矩阵，，。
记并设一阶连续可微。
二、算法基本思想是一个凸多面体，任取，将在处线性展开用或（11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设是其最优解。
1）若，则也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证为原问题的K-T点。
2）若，则由是（11.2）的最优解，故必有从而即为在处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索设最佳步长因子为，令当充分小时用取代，重复以上计算过程。
三、算法迭代步骤1）给定初始点，允许误差，。
2）求解线性规划问题，得最优解。
3）若，Stop,；否则go to 4)。
4）进行一维搜索，得最优步长因子；令，，go to 2)四、算法收敛性定理设非线性规划问题（11.1）的最优解存在，且对算法产生的点列，线性规划问题（11.3）的最优解总存在。
则1）若迭代到某步，有，则为问题（11.1）的K-T点；2）若情形1）总不发生，则算法产生一有界无穷点列，其任意极限点都是原问题（11.1）的K-T点。
证明：若情形1）出现，则也是问题（11.3）的最优解，故满足（11.3）的K-T条件：（11.4）而(11.1)的K-T条件：（11.5）（11.4）表明，，一起满足K-T条件（11.5），故是原问题的K-T点。
2）由点列包含在的极点的凸组合中，而均为的极点，故、均为有界点列。
设为的任一极限点，即存在子列，使得：注意到点列满足：考虑点列、、，不失一般性，设，，否则，可以通过反复抽取子序列，使上式对某个子序列成立。
由是的最优解，故，有且再由及取极限，有（11.6）不等式组（11.6）等价于：（11.7）若能证明即为问题的最优解，由本定理的第一部分可知，为原问题K-T点。
下证：，若不然，由（11.7）即知必有故为处的下降方向，因而当充分小时，有进而有：（11.8）但为单调下降的有界序列，故存在而且即与（11.8）矛盾，故必有。
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法(第三章)
第三章 牛顿法§3.1 最速下降法一、最速下降法在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。
算法描述：1） 给出初始点0n x R ∈，允许误差0ε>，0k =； 2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 *k x x ≈； 3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2).二、最速下降算法的收敛性定理3.1 设1f C ∈，则最速下降算法产生的点列{}k x 的每个聚点均为驻点。
证明：设x 是{}k x 的一个聚点，则存在子序列{}1k K x ，使得1lim k k K x x ∈=令()k k d f x =-∇，由1f C ∈，知{}1()k K f x ∇是收敛序列，故{}1k K d 有界，且1lim ()k k K d f x ∈=-∇由定理2.6有2()(())()0Tf x f x f x ∇-∇=-∇=故有 ()0f x ∇=。
定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ∇≤，则对任何给定的初始点0n x R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞=-∞，或lim ()0k k f x →∞∇=。
证明：不妨设k ∀，()0k f x ∇≠。
由定理2.5有211()()()2k k k f x f x f x M+-≥∇ 于是 []120101()()()()()2kk k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥∇∑∑令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么lim ()k k f x →∞=-∞，要么 lim ()0k k f x →∞∇=。
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
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1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
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1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
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3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
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6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章引论前言一、历史与现状最优化理论最早可追忆到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在 20世纪四十年月末至五十年月初。
其奠定性工作包含FritzJohn最优性条件（ 1948），Kuhn-Tucker最优性条件（1951），和Karush最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分快速，应用也愈来愈宽泛。
现在已形成一个相当宏大的研究领域。
对于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的有关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动向规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包含变分、最优控制等动向优化内容。
本课程所波及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式1、无拘束最优化问题minf(x)（）xR n2、拘束最优化问题minf(x)c i(x)0,i E（）st..i Ic i(x)0,这里E和I均为指标集。
§数学基础一、范数向量范数xx1x2maxx i（l范数）（）ni1x i（l1范数）（）n1(x i2)2（l2范数）（）i11/30n1x p(x i p)p（l p范数）（）i11x A(x T Ax)2（A正定）（椭球范数）（）事实上1－范数、2－范数与范数分别是p－范数当p＝1、2和p时情况。
2．矩阵范数定义方阵A的范数是指与A有关系并记做A的一个非负数，它拥有以下性质：①对于A0都有A0，而A0时A0；②对于随意k R，都有kA kA；③AB A B；④AB A B；若还进一步知足：⑤Ax p A x p则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
若令AxAmaxx （这里x是某一直量范数）（）x0可证这样定义的范数是与向量范数相协调的，往常称之为由向量范数引诱的方阵范数。
特别地，对方阵A(a ij)nn，有：nA1max a ijj1inA max a iji1j1A2(A T A)2（（列和的最大者）（）（行和的最大者）（）T表示A T A的特点值的最大者）(1.11) AA称为谱范数（注：方阵A的特点值的模的最大者称为A的谱半径，记为(A)）。
最优化理论与算法(第五章)
第五章 拟牛顿法§5.1 拟牛顿法牛顿法具有收敛速度快的优点，但需要计算Hesse 矩阵的逆，计算量大。
本章介绍的拟牛顿法将用较简单的方式得到Hesse 矩阵或其逆的近似，一方面计算量不大，另一方面具有较快的收敛速度，这类算法是无约束最优化问题最重要的求解方法。
一、拟牛顿条件设()f x 在nR 上二次可微，为了获得Hesse 矩阵2()()G x f x =∇在1k x +处的近似，先研究如下问题。
考虑()f x 在1k x +附近的二次近似：1111111)()()()2()(TT k k k k k k g x x G x f x f x x x x +++++++-+--≈. 两边求导，有 111()()k k k g x g G x x +++≈+- 令k x x =，有 111()k k k k k g g G x x +++≈+- 再令 1k k k s x x +≈-，1k k k y g g +≈-则有 1k k k y G s +≈ 或 11kkk G y s -+≈.因此，我们要求构造出的Hesse 矩阵的近似1k B +或Hesse 矩阵逆的近似1k H +应分别满足：1k k k B s y += 或 1k kk H y s += （5.1）它们均称之为拟牛顿条件。
二、一般拟牛顿算法1） 给出初始点0x R ∈，0H I =，0ε>，:0k =.2） 若k g ε≤，停止；否则，计算k k k d H g =-（拟牛顿方向）.3） 沿方向k d 进行线性搜索，0k α>（可以是精确，也可非精确）.令1k k k k x x d α+=+. 4） 校正k H 产生1k H +，使拟牛顿条件满足. 5） :1k k =+， 转2）拟牛顿法较之牛顿法有下述优点： 1） 仅需梯度（牛顿法需Hesse 矩阵）；2） k H 保持正定，因而方向具有下降性质（而牛顿法中k G 可能不定）； 3） 每次迭代需2()O n 次运算，而牛顿法需3()O n 次运算。
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
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7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
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3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003..
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
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1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
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最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
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1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
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2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
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电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
最优化理论与算法
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提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
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拉格朗日，1797
Min f(1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
Printice-Hall Inc.,1982/1998
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，1999
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1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
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统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
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优化树
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•最优化的发展历程
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
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2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
min z
cij xij
i1 j 1