最优化理论与算法 fibonacci法
最优化理论
最优化理论一维搜索:1精确一维搜索精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。
区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。
包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。
优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。
确定初始区间的方法：进退法①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
1.1黄金分割法：黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。
具有对称性以及保持缩减比原则。
优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单；缺点：收敛速度慢；函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。
从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。
1.2牛顿法：将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。
牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。
1.2抛物线法：抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。
在一定条件下，抛物线法是超线性收敛的。
1.3三次插值法：三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。
一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。
精确一维搜索的方法选择：1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。
2如目标函数能求一阶导数：1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快；2对分法、收敛速度慢，但可靠；3只需计算函数值的方法：1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强；2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠；4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括FritzJohn 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、范数 1.向量范数max i xx ∞=（l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑（1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑（2l 范数） （1.5）11()np pi pi x x ==∑（p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax =（A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ①对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ②对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③A B A B +≤+； ④AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤pp AxA x ≤则称之为与向量范数p 相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论与算法(第二章)
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
最优化方法：第3章 线性搜索与信赖域方法
（I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b] (II) 若f(x1) < f(x2), x*∈[a,x2]
f(x)
f(x)
a x1 x2 x*
bx
a
x* x1 x2 b x
(I) 消去[a, x1 ]
(II) 消去[x2, b]
在单峰函数的区间内，计算两个点的函数值，比较大小后，就
能把搜索区间缩小。在已缩小的区间内，仍含有一个函数值，
fibonacci数列满足fibonacci法中的计算公式为?21111k10???????kfffffkk11kkknknkkabffa????????显然这里相当于黄金分割法中的每次缩短率满足这里n是计算函数值的次数即要求经过n次计算函数值后最后区间的长度不超过即121121111?????????????????nkabffankabffakkknknkkkkknknkk????1???knknff111kkknknkkabffab???????????nnab由于故有从而3215111111132211121abfabffffffabffabnnnnnnn???????????????1111abfn?11abfn??给出最终区间长度的上界由3
若 (0 h0 ) (0 )
则下一步仍以α0为出发点, 沿反方向同样搜索, 直到 目标函数上升就停止.这样便得到一个搜索区间.这种 方法叫进退法.
进退法步骤
算法3.1.1 步1. 选取初始数据.α0∈[0, ∞) , h0>0, 加倍系数t >1(一般取t=2), 计算(0 ) , k =0.
给出最终区间长度的上界δ, 由(3 .2 .15) 求出 Fibonacci 数Fn, 再根据Fn确定出n, 从而搜索一直进 行到第n个搜索点为止
最优化理论与方法
课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化及最优化方法讲稿
最优化的发展简史
最优化是一个古老的课题。长期以来， 人们对最优化问题进行着探讨和研究。
公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已 发现了长方形长与宽的最佳比例为1. 618,称为 黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛 应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研 究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证 明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是 欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目 标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。 从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领 域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集 合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属 于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设 计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。 自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论 问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。 现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短 路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、 最小截集问题、推销员问题等。
学习该课程的需要具备的基本知识
高等数学 线性代数
学习该课程的要求
态度决定一切 正确理解基本概念和原理 掌握最优化方法的思想 能够运用最优化方法分析解决实际问题
最优化问题
最优化问题的数学模型一般形式 minf((x) max) (1 .1 )（目标函数）
s .t. g ix 0 ,i 1 ,2 ,L m , 1 .2 （不等式约束）
D x g i x 0 , i 1 , 2 , L m , h j x 0 , j 1 , L , p , x R n
最优化理论与方法第一章
约束条件的处理方法
转化法
将约束条件转化为无约束的形式，通过引入新的变量或等价变换，将约束问题转化为无 约束问题求解。
参数法
将约束条件作为参数引入目标函数中，构造新的目标函数，通过求解新的目标函数得到 最优解。
约束优化问题的求解方法
拉格朗日乘子法
通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转 化为无约束优化问题，通过求解无约束优化 问题得到最优解。
最优化问题广泛应用于各个领域，如 经济、工程、科学计算等，是解决资 源分配、生产调度、投资决策等实际 问题的关键工具。
分类
线性与非线性
根据目标函数是否为线性函数，可以 分为线性最优化和非线性最优化问题 。线性最优化问题是指目标函数和约 束条件都是线性函数的问题，而非线 性最优化问题则是指目标函数或约束 条件中至少有一个是非线性函数的问 题。
最优化理论与方法在各个领域都有广 泛的应用，如经济、金融、工程、物 流等。随着科技的发展和大数据时代 的到来，最优化理论与方法在数据挖 掘、机器学习等领域也发挥着越来越 重要的作用。
掌握最优化理论与方法对于提高个人 和组织的竞争力具有重要意义，也是 当前社会对高素质人才的基本要求之 一。
章节概述
本章将介绍最优化理论与方法的基本概念、原理和应用，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整 数规划等。
03
最优化方法概述
一阶方法：梯度法、最速下降法等
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通过沿着负梯度的方向搜索，寻找函数的最小值。适用于目标函数连续且可微的情况。
最速下降法
利用目标函数的负梯度方向作为搜索方向，逐步逼近函数的最小值点。适用于凸函数或非凸函数，但需要满足一 定的收敛条件。
二阶方法：牛顿法、拟牛顿法等
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论是一种用于解决实际问题的有效方法。
它可以帮助我们找到解决实际问题的最佳解决方案。
本文将介绍最优化理论的基本概念，以及它的特点和应用。
最优化理论的基本概念是：最优化理论旨在求解一个或多个变量的最优解，使得系统的某种目标函数的值达到最优。
最优化理论的目标函数可以是最大化或最小化函数。
最优化理论具有非常强大的表达能力，可以通过不同的方式来求解最优解。
最优化理论具有三个主要特点：第一，它拥有解决问题的高效率和精确性；第二，它可以有效地处理多变量优化问题；第三，它可以通过数学模型有效地实现最优解的有效求解。
最优化理论应用非常广泛，它可以应用于工程，金融，计算机，经济，生物技术，社会科学等。
在工程领域，最优化理论可以用来解决资源分配问题，能源分配问题，分布式计算问题和工程优化问题；在金融领域，它可以用来解决财务优化问题，保险业绩优化问题和金融模拟优化问题；在计算机领域，它可以用于解决计算机视觉问题和搜索算法等；在经济领域，它可以用于解决交易问题，价格优化问题，风险优化问题，以及经济模型优化问题；在生物技术领域，它可以用于研究蛋白质结构及其疾病发病机制；在社会科学领域，它可以用于研究社会现象及其规律。
在任何领域，最优化理论都拥有以上优势，可以提高系统性能和精确度，特别是在现代计算机技术竞争激烈的时代，最优化理论的应用更加广泛。
最优化理论可以有效地满足多个变量的最佳解，以提高系统性能。
综上所述，最优化理论是一种有效的求解多变量优化问题的理论，能够有效地提高系统性能和精确度。
它具有高效率，准确性，可扩展性，应用范围广泛等优点。
最优化理论是一种在许多领域，尤其是工程，金融，经济，计算机，生物技术和社会科学领域都有广泛应用的理论和方法。
它的应用已经使系统的性能和精确度得到了极大的提升，为解决实际问题提供了有效的理论和方法。