最优化理论与算法完整版课件
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最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
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24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
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16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法课件 (5)
A
A
A , b b, x , x 0, c任取如 c 0
若有多项式时间的LP算法，能够判断问题 *
不可行，则不等式组Ax b无解；或者得到其最优
解或判定问题无界，则得到不等式组Ax b的一个
解，显然就以多项式时间解决了问题Ax b。
定理：存在求解LP问题的多项式时间算法的充要条件
椭球法
第一个可以在多項式时间內解决一般线性规划问
题的解法。
min cx (P) s.t. Ax b
x 0
max bT w
(D)
s.t.
AT w c
w0
根据(P) 与(D) 的对偶关系, 我们可将两者的最优解以
一组最优性条件联结起来:
Ax b, x 0
走路径最短。
• 解：设xij=1若商人行走的路线中包含从城市i到j的路径，否则xij
=0。
min
i j
d ij xij
n
s.t.
xij 1, i 1,2,, n
j 1
x n i1 ij
1,
j
1,2,, n
xij | S | 1, 2 | S | n 1 S {1,, n}
等式组有解 x*, w*，则x *是LP问题的最优解，w*是其对
偶问题的最优解；若该联立不等式组无解，考虑不等式组
Ax b , x 0
若它有解，则LP问题无界；否则LP问题不可行。
只要能有效的解决最优性条件的线性不等式, 就能夠同时的解决一个线性规划问题(P) 以及它的 对偶问题(D)。椭球法正是一种专门解决线性不等 式的方法。
界K，则有
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
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15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法课件 (4)
广义消去法
令S 和Z 分别为n m和n n m 矩阵，满足 AS I , AZ 0 且 S : Z 为可逆矩阵，则有x Sb是方程 Ax b的一个可行解，设d 为Ax 0的解，则 方程Ax b的通解为 x Sb d .
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
取 令
ˆk } k min{1, x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) .
如果
k
a x
p
bp a x a d
p p (k )
p
(k )
1,
(k )
则在点x ( k 1)，有
( k 1)
a (x
p
kd
( k 1)
(k )
) bp
若x是任一可行解，则有Ax b, 在该点目标 函数的梯度为： f ( x) Hx c
x x Qf ( x) Rf ( x)
min x 2 x x 2 x1 x2 x3 s.t. x1 x2 x3 4
1 5 3 4 4 2 , S 1 11 5 3 4 2
最优解为： x1 T 21 43 3 x x2 ， ， 11 22 22 x3
直接消去法
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
2 2 0 0 1 1 解：H 2 4 0 , c 0 , A 2 1 0 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1 H 0 2 2 0 0 1 2
最优化理论与算法课件 (10)
例：考虑标准形式的线性规划
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
最优化理论与算法
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
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最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
TP SHUAI
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
TP SHUAI
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 19 Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
TP SHUAI
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
TP SHUAI
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
TP SHUAI
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
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11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
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12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
Printice-Hall Inc.,1982/1998
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，1999
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4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
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9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0