经典优化算法
强化学习中的价值函数优化算法
强化学习中的价值函数优化算法强化学习是一种人工智能领域的重要研究方向，它的目标是使智能体通过与环境的交互，学习如何做出最优决策，以实现特定的任务目标。
而在强化学习中的价值函数是非常重要的一个概念，用于估计当前状态的价值或行动的价值，以便智能体能够做出最优的决策。
而如何优化价值函数则是强化学习领域的核心问题之一。
本文将从价值函数的优化入手，介绍几种常见的强化学习中的价值函数优化算法。
一、Q-learningQ-learning是一种经典的强化学习算法，它通过维护一个状态行动值函数，也就是Q函数，来求解最优策略。
在Q-learning中，Q值的更新公式为：Q(s,a)←Q(s,a)+α(r+γmaxa'Q(s',a')-Q(s,a))其中，s表示当前状态，a表示当前行动，r表示从当前状态采取当前行动后所获得的奖励，s'表示行动后的新状态，α表示学习率，γ表示折扣系数。
这个公式的含义是，当前状态行动对应的Q值等于先前的Q值加上当前奖励和未来奖励的期望值的差值。
这种值迭代更新方式使得Q-learning能够学习到最优策略。
但是，Q-learning也存在一些缺点，比如需要离散化状态和行动空间、需要大量的训练样本等。
二、SarsaSarsa和Q-learning类似，也是一种经典的强化学习算法。
它和Q-learning的区别在于，Sarsa考虑了当前状态下采取下一行动的Q值，并将其纳入到更新公式中。
Sarsa的更新公式为：Q(s,a)←Q(s,a)+α(r+γQ(s',a')-Q(s,a))其中，s，a，r，s'，α，γ分别表示与Q-learning中相同的含义。
a'表示从s'状态下采取的行动。
由于Sarsa对下一步采取的行动也进行了估计，因此相对于Q-learning，它能够更好地控制智能体的行动。
三、Deep Q Networks（DQN）DQN是一种基于深度学习的强化学习算法，它通过深度神经网络近似Q函数。
最小二乘优化算法
最小二乘优化算法最小二乘优化算法是数据拟合中使用的一种经典算法，其主要思路是通过最小化残差平方和，找到最佳的拟合函数，使得拟合函数与实际数据点的误差最小。
在实际应用中，最小二乘优化算法广泛应用于曲线拟合、参数估计、数据降噪等领域。
该算法具有计算简单、稳定性好、误差分析清晰等优点，在许多领域中取得了重要的应用价值。
最小二乘优化算法的基本思路可以用简单的线性模型来解释。
假设有一组数据点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，要拟合一个线性模型y = ax + b，使得拟合函数与实际数据点的误差最小。
最小二乘优化算法就是通过最小化残差平方和来寻找最优解。
残差平方和的定义是：其中，f(xi)代表拟合函数的值。
求解最小二乘问题的一般步骤如下：1.建立线性模型根据具体问题建立线性模型，确定拟合函数的形式。
在实际应用中，线性模型不一定是简单的直线，也可以是高阶多项式、指数函数、对数函数等。
2.建立目标函数以残差平方和为目标函数，即：3.求解目标函数的最小值最小二乘问题的求解可以采用多种方法，其中最常见的方法是矩阵求导法。
该方法通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数，来确定目标函数的最小值点。
4.进行误差分析最小二乘拟合结果不仅仅是一个拟合函数，还有对拟合数据的误差分析。
通过残差分析和方差分析等方法，可以评估拟合函数的精度和信任度。
最小二乘优化算法的应用非常广泛，包括信号处理、统计回归、机器学习、人工智能等领域。
在现代数据科学中，最小二乘拟合算法是数据建模和模型验证中最基本、最常用的算法之一。
总的来说，最小二乘优化算法是一种十分重要的数学工具，可以在很多领域中使用。
通过这种算法可以更好地拟合数据，并得到较为准确的结果，帮助人们更好地应对不同的问题和挑战。
第九章经典最优化方法
第九章经典最优化方法9.1 最优化的基本概念最优化方法是一门古老而又年青的学科。
这门学科的源头可以追溯到17世纪法国数学家拉格朗日关于一个函数在一组等式约束条件下的极值问题（求解多元函数极值的Lagrange乘数法）。
19世纪柯西引入了最速下降法求解非线性规划问题。
直到20世纪三、四十年代最优化理论的研究才出现了重大进展，1939年前苏联的康托洛维奇提出了解决产品下料和运输问题的线性规划方法；1947年美国的丹奇格提出了求解线性规划的单纯形法，极大地推动了线性规划理论的发展。
非线性规划理论的开创性工作是在1951年由库恩和塔克完成的，他们给出了非线性规划的最优性条件。
随着计算机技术的发展，各种最优化算法应运而生。
比较著名的有DFP和BFGS无约束变尺度法、HP广义乘子法和WHP约束变尺度法。
最优化问题本质是一个求极值问题，几乎所有类型的优化问题都可概括为如下模型：给定一个集合（可行集）和该集合上的一个函数（目标函数），要计算此函数在集合上的极值。
通常，人们按照可行集的性质对优化问题分类：如果可行集中的元素是有限的，则归结为“组合优化”或“网络规划”，如图论中最短路、最小费用最大流等；如果可行集是有限维空间中的一个连续子集，则归结为“线性或非线性规划”；如果可行集中的元素是依赖时间的决策序列，则归结为“动态规划”；如果可行集是无穷维空间中的连续子集，则归结为“最优控制”。
线性规划与非线性规划是最优化方法中最基本、最重要的两类问题。
一般来说，各优化分支有其相应的应用领域。
线性规划、网络规划、动态规划通常用于管理与决策科学；最优控制常用于控制工程；非线性规划更多地用于工程优化设计。
前面提到的算法是最优化的基本方法，它们简单易行，对于性态优良的一般函数，优化效果较好。
但这些经典的方法是以传统微积分为基础的，不可避免地带有某种局限性，主要表现为：①大多数传统优化方法仅能计算目标函数的局部最优点，不能保证找到全局最优解。
最短路径问题的优化算法
最短路径问题的优化算法最短路径问题是图论中的经典问题之一，涉及在给定图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，如导航系统中的路线规划、网络通信中数据包的传输等。
为了提高计算效率，许多优化算法被提出和应用于解决最短路径问题。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个固定的起始节点到其他所有节点的最短路径问题。
经典的解决方法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪婪算法，通过确定与起始节点距离最短的节点来逐步扩展最短路径树。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 选择当前距离最短的节点，并标记为已访问。
3) 更新与该节点相邻节点的距离，若经过当前节点到相邻节点的距离更短，则更新距离数组。
4) 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
最后，距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，通过不断地松弛边来逐步得到最短路径。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 依次对所有边进行松弛操作，即更新边的端点节点的距离。
3) 重复步骤2，直到所有边都被松弛完毕。
4) 判断是否存在负环路，若存在则说明无最短路径；若不存在，则距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
2. 全局最短路径问题全局最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个节点之间的最短路径问题。
弗洛伊德算法是一种经典的解决方法，通过动态规划的思想逐步求解。
弗洛伊德算法的具体步骤如下：1) 初始化距离矩阵，将所有节点之间的距离设为无穷大。
2) 根据已知的边信息更新距离矩阵，即将已知路径的距离设为对应的实际距离。
3) 对于每一对节点，考虑经过中转节点的路径是否更短，若更短则更新距离矩阵。
4) 重复步骤3，直到距离矩阵不再变化。
最后，距离矩阵中记录的即为任意两个节点之间的最短路径。
经典最优化方法
第九章经典最优化方法9.1 最优化的基本概念最优化方法是一门古老而又年青的学科。
这门学科的源头可以追溯到17世纪法国数学家拉格朗日关于一个函数在一组等式约束条件下的极值问题（求解多元函数极值的Lagrange乘数法）。
19世纪柯西引入了最速下降法求解非线性规划问题。
直到20世纪三、四十年代最优化理论的研究才出现了重大进展，1939年前苏联的康托洛维奇提出了解决产品下料和运输问题的线性规划方法；1947年美国的丹奇格提出了求解线性规划的单纯形法，极大地推动了线性规划理论的发展。
非线性规划理论的开创性工作是在1951年由库恩和塔克完成的，他们给出了非线性规划的最优性条件。
随着计算机技术的发展，各种最优化算法应运而生。
比较著名的有DFP和BFGS无约束变尺度法、HP广义乘子法和WHP约束变尺度法。
最优化问题本质是一个求极值问题，几乎所有类型的优化问题都可概括为如下模型：给定一个集合（可行集）和该集合上的一个函数（目标函数），要计算此函数在集合上的极值。
通常，人们按照可行集的性质对优化问题分类：如果可行集中的元素是有限的，则归结为“组合优化”或“网络规划”，如图论中最短路、最小费用最大流等；如果可行集是有限维空间中的一个连续子集，则归结为“线性或非线性规划”；如果可行集中的元素是依赖时间的决策序列，则归结为“动态规划”；如果可行集是无穷维空间中的连续子集，则归结为“最优控制”。
线性规划与非线性规划是最优化方法中最基本、最重要的两类问题。
一般来说，各优化分支有其相应的应用领域。
线性规划、网络规划、动态规划通常用于管理与决策科学；最优控制常用于控制工程；非线性规划更多地用于工程优化设计。
前面提到的算法是最优化的基本方法，它们简单易行，对于性态优良的一般函数，优化效果较好。
但这些经典的方法是以传统微积分为基础的，不可避免地带有某种局限性，主要表现为：①大多数传统优化方法仅能计算目标函数的局部最优点，不能保证找到全局最优解。
常用的优化方法和优化函数
常用的优化方法和优化函数优化方法和优化函数是在解决问题时常用的数学工具和方法。
优化是一种数学问题，目标是找到一些函数的最优解或近似最优解。
一、优化方法：1.初等方法：初等方法是最直接的一种优化方法，包括插值法、拟合法、曲线拟合法等，通过数学公式来估计函数的取值。
2.单变量优化方法：单变量优化方法是对单一变量进行优化的方法，常见的有二分法、黄金分割法和牛顿迭代法等。
这些方法适用于单调函数和凸函数的优化问题。
3.多变量优化方法：多变量优化方法是对多个变量进行优化的方法，常见的有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些方法适用于非线性函数的优化问题。
4.线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，通过线性函数和线性约束来确定最优解。
线性规划问题可以通过单纯形法或内点法求解。
5.整数规划：整数规划是一种在决策变量为整数时的优化方法，常用的算法有分支界限法、整数规划近似算法等。
6.动态规划：动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，通过递推关系求解最优解。
常用的动态规划算法有最短路径算法、背包问题算法等。
7.模拟退火算法：模拟退火算法是一种通过模拟物质在退火过程中的行为来进行全局的算法。
它能够在一定程度上跳出局部最优解，常见的变种有遗传算法和粒子群优化算法等。
8.遗传算法：遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，通过模拟自然界的进化过程来优化问题。
它常用于求解复杂的问题，如函数逼近、组合优化等。
9.神经网络：神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传输信息来建立模型的方法。
通过训练网络参数，可以实现优化目标函数。
二、常用的优化函数：1. Rosenbrock函数：Rosenbrock函数是一个经典优化函数，用于测试优化算法的性能。
其函数形式为 f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2，目标是找到函数的全局最小值。
2. Ackley函数：Ackley函数是另一个经典的优化函数，用于测试优化算法的鲁棒性。
几种常见的优化算法
⼏种常见的优化算法⼏种常见的优化算法：参考：我们每个⼈都会在我们的⽣活或者⼯作中遇到各种各样的最优化问题，⽐如每个企业和个⼈都要考虑的⼀个问题“在⼀定成本下，如何使利润最⼤化”等。
最优化⽅法是⼀种数学⽅法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某⼀(或某些)指标达到最优的⼀些学科的总称。
随着学习的深⼊，博主越来越发现最优化⽅法的重要性，学习和⼯作中遇到的⼤多问题都可以建模成⼀种最优化模型进⾏求解，⽐如我们现在学习的机器学习算法，⼤部分的机器学习算法的本质都是建⽴优化模型，通过最优化⽅法对⽬标函数（或损失函数）进⾏优化，从⽽训练出最好的模型。
常见的最优化⽅法有梯度下降法、⽜顿法和拟⽜顿法、共轭梯度法等等。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常⽤的最优化⽅法。
梯度下降法实现简单，当⽬标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。
⼀般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
梯度下降法的优化思想是⽤当前位置负梯度⽅向作为搜索⽅向，因为该⽅向为当前位置的最快下降⽅向，所以也被称为是”最速下降法“。
最速下降法越接近⽬标值，步长越⼩，前进越慢。
梯度下降法的搜索迭代⽰意图如下图所⽰：梯度下降法的缺点： （1）靠近极⼩值时收敛速度减慢，如下图所⽰； （2）直线搜索时可能会产⽣⼀些问题； （3）可能会“之字形”地下降。
从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利⽤梯度下降法求解需要很多次的迭代。
在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降⽅法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
⽐如对⼀个线性回归（Linear Logistics）模型，假设下⾯的h(x)是要拟合的函数，J(theta)为损失函数，theta是参数，要迭代求解的值，theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。
其中m是训练集的样本个数，n是特征的个数。
nsga2算法通俗讲解
nsga2算法通俗讲解NSGA-II（Nondominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种经典的多目标优化算法，是对遗传算法的一种改进和扩展。
它使用遗传算法的思想来解决求解多目标优化问题，可以同时优化多个目标函数。
NSGA-II通过遗传算子的选择、交叉、变异等操作对候选解进行搜索，然后使用非支配排序和拥挤度距离计算来选择较好的个体，最终得到Pareto最优解集。
NSGA-II的核心思想是模拟进化过程来搜索多目标优化问题的解空间。
它通过构建和维护一个种群来搜索解空间，每个个体都代表一个候选解。
首先，随机生成一组个体作为初始种群，然后通过迭代的方式进行优化。
在每一代演化中，NSGA-II从当前种群中选择父代个体，并使用交叉和变异操作来产生子代个体。
然后，将父代和子代合并为一组候选解，通过非支配排序和拥挤度距离计算筛选出优秀的个体，构成下一代种群。
重复迭代直到满足停止准则。
非支配排序（Non-dominated Sorting）是NSGA-II中的一个重要操作，用于根据个体的优劣程度进行排序。
首先，对种群中的所有个体进行两两比较，如果某个个体在所有目标函数上都优于另一个个体，则认为前者不被后者支配。
根据支配关系，将个体分为不同的等级，形成层次结构。
然后，在每个等级中按照拥挤度距离进行排序。
拥挤度距离用于衡量个体周围的密度，较大的值表示个体所在区域较为稀疏，较小的值表示个体所在区域较为密集。
通过综合考虑支配关系和拥挤度距离，可以选择出较优的个体。
NSGA-II采用了精英策略（Elitism）来保留种群中的优秀个体，避免遗忘最优解。
在选择下一代个体时，将精英个体直接复制到下一代，以保持种群的多样性和收敛性。
通过重复进行选择、交叉和变异操作，不断更新种群，使得算法能够逐渐搜索到Pareto最优解集。
NSGA-II是一种高效的多目标优化算法，它充分利用了种群中个体之间的关系，通过非支配排序和拥挤度距离计算来选择出Pareto最优解集。
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甲/件 乙/件 现在材料与设备能力
钢材/kg
8
5
3500
铁材/kg
设备能力/台时 单位产品的利润/元
6
4 80
4
5 125
1800
2800 ---
线性规划-MATLAB实现
数学模型为 max ������(������) = 80������1 + 125������2 8������1 + 5������2 ≤ 3500 6������1 + 4������2 ≤ 1800 s. t. 4������1 + 5������2 ≤ 2800 ������1 , ������2 ≥ 0
说求解0-1整数规划只要在求解整数规划
的基础上加上对变量最小约束为0，最大 值约束为1就行了。
0-1整数规划-Matlab实现
过时语句 bintprog
f=[7 5 9 6 3];
A=[56,20,54,42,15;1,4,1,0,0;-1,-2,0,-1,-2];
b=[100;4;-2];
[x,fval,flag]=bintprog(f,A,b)
线性规划-MATLAB实现
转换成linprog的最小格式 min ������ ������ = −80������1 − 125������2 8������1 + 5������2 ≤ 3500 6������1 + 4������2 ≤ 1800 s. t. 4������1 + 5������2 ≤ 2800 ������1 , ������2 ≥ 0
4. 内点法 5. ……
工具求解
Matlab语法
f=[3 6]; A=[-1 0; 0 -1; 1 2; -1 0; 0 -1];
b=[-4; -3; 10; 0; 0];
[x,fval]=linprog(f,A,b) 解：x = 4.0000 3.0000 fval = 30.0000
工具求解
lb=[-110,-210,-310,-330,-560]
ub=[110,210,310,330,560]
！ 下边界
！ 上边界
[x,fval,flag]=intlinprog(f,ic,A,b,[],[],lb,ub)
整数规划-Matlab实现
x = -110.0000
-210.0000 -310.0000 -330.0000 431.0000 fval = -5297 flag = 1
[_4] 4 * X1 + 5 * X2 <= 2800;
[_5] X1 >= 0;
[_6] X2 >= 0;
END
线性规划-1stOpt实现
Parameter x, y;
MinFunction cos(x^2-2*y)+exp(-x^2)*sin(y);
-x+(y-2)^2>=0; x-2*y+1>=0; 结果为数学最优，不符合物理意义
线性规划-MATLAB实现
函数调用
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b) [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq) [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x2>=0
end
[_6] X2 >= 0;
END
工具求解
1stOpt语法
Parameters x1,x2; Minfunction 3*x1+6*x2; x1+2*x2<=10;
x1>=4;
x2>=3;
优化算法分类
1. 有无约束条件？
约束(constrained)、无约束(unconstrained)
Lindo语法
min 3x1+6x2
Lingo语法
MODEL:
ST
x1>=4 x2>=3 x1+2x2<=10 x1>=0
[_1] MIN= 3 * X1 + 6 * X2;
[_2] X1 >= 4; [_3] X2 >= 3; [_4] X1 + 2 * X2 <= 10; [_5] X1 >= 0;
0-1整数规划-Matlab实现
例
0-1整数规划-Matlab实现
f=[7 5 9 6 3];
ic=[1,2,3,4,5]; A=[56,20,54,42,15;1,4,1,0,0;-1,-2,0,-1,-2];
b=[100;4;-2];
lb=zeros(5,1); ! 限制最小值为0
ub=ones(5,1);
! 限制最大值为1
[x,fval,flag]=intlinprog(f,ic,A,b,[],[],lb,ub)
0-1整数规划-Matlab实现
x=0
0
0 0 1 fval = 3 flag = 1
0-1整数规划-Matlab实现
与整数规划不同的地方只有一个，就是
多了lb=zeros(5,1),ub=ones(5,1)，也就是
Parameter x1[0,], x2[0,];
MaxFunction 80*x1+125*x2;
8*x1+ 5*x2<=3500;
6*x1+4*x2<=1800;
4*x1+5*x2<=2800;
修改参数范围为正
整数规]=intlinprog(f,intcon,A,b)
混合规划-MATLAB实现
没有专门的语句，是不是可以用前边的
intlinprog变化一下实现呢？
答案： 不能，结果不会对，找专门的工具箱或 者用Lingo，1stopt来解决，MATLAB在混合整 数规划上目前还很难。
整数规划-Lingo实现
MODEL: MIN = 7 * X1 + 5 * X2 + 9 * X3 + 6 * X4 + 3 * X5; 56 * X1 + 20 * X2 + 54 * X3 + 42 * X4 + 15 * X5 <= 100; X1 + 4 * X2 + X3 <= 4; X1 + 2 * X2 + X4 + 2 * X5 >= 2; END @BND(-110,X1,110); @BND(-210,X2,210); @BND(-310,X3,310); @BND(-330,X4,330); @BND(-560,X5,560);
优化算法分类
离散优化(discreted optimization)
或组合优化(combinational optimization)
整数规划(Integer programming IP) 0-1整数规划(zeor-one programming) 3. 目标个数？ 单目标规划，多目标规划 4. 参数/变量确定性？ 确定性规划，不确定性规划
algorithm: ‘dual-simplex’
firstorderopt: 7.1054e-12
! 对偶单纯形法
线性规划-MATLAB实现
1. 命令: optimtool 2. APPS (应用程序)→ Optimization
线性规划-MATLAB实现
参考帮助
1. 2. 3. Optimization Tool 下 help →
[x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq)
[x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub) [x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 与linprog的区别有两点 1. 关键词变intlinprog， 2. 多了一个整型参数设置关键词intcon
线性规划
标准型的矩阵表达
min ������ = ������T ������ ������������ ≤ ������ s. t. ቊ ������ ≥ 0
������ = ������������������
������������
为约束矩阵
������ ������1 , ������2 ⋯ ������������ T 为目标函数系数矩阵 ������ ������1 , ������2 ⋯ ������������ T 资源系数向量 ������ ������1 , ������2 ⋯ ������������ T 决策向量
线性规划-MATLAB实现
标准型的矩阵表达 min ������ = ������T ������ ������������ ≤ ������ s. t. ൞������������������ ������ = ������������������ ������������ ≤ ������ ≤ ������������
[x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options
整数规划
例
整数规划-Matlab实现
f=[7 5 9 6 3]; ic=[1,2,3,4,5]; b=[100;4;-2]; ！5个变量全要求是整数 A=[56,20,54,42,15;1,4,1,0,0;-1,-2,0,-1,-2];
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)