九年级(下册)数学二次函数课件
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)件2 ,即两
年后的产量为 y 20 1 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
－a)=a(30－a)
=30a－a²= -a²+30a .
问题2:要给边长为x米的正方形房间铺 设地板，已知某种地板的价格为每平方 米240元，踢脚线的价格为每米30元.如 果其他费用为1000元，门宽0.8米，那 么总费用y为多少元？
y=240x2+120x+976
问题3:设人民币一年教育储
蓄的年利率是x,一年到期后
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题1、用16米长的篱笆 围成长方形的生物园饲养 小兔,怎样围可使小兔的 活动范围较大?
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般
y＝ax2＋形bx式＋:c
a是二次项系数 b是一次项系数
C是常数项
(其中a、b、c是常数,a≠0)
y
-
60420 60375
60480
60500
60455
60495
60480
60420
60495
60455
60375 -
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
你发现了吗？
60500
60495 60495
60480
60480
60455
60455
60420
60420
60375
60375
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为
常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常
数项,但不能没有二次项.
1、圆的半径是1cm,假设半径增 加xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时2,c圆m 的面积增加多少？
_1_ -x x²
不是二次函数.
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r²
是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2① y x2 8x
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
例4、若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图形经 过A（－1，0），B（0，1），二点，求 这个函数的解析式.
二次函数 y ax2 c， 当x=0时，y=-2；当
y=-1时，x=1，求y=2时，x的值。
1、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是
x的二次函数
2.y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m ＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是 同一条对角线,所以多边形的对角线总数.
d 1 n(n 3) 2
d 1 n2 3 n 22
上式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0_，__3_
如果函数y=(k-3) xk2 -3k+2 +kx+1是二次函
y=kx(k≠0),
k
反比例函数y= x
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数表达 式与自变量的关系.
例2、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
二次函数(1)
复习 1、下列等式分别叫什么？
(1) y 2x 正比例函数
y kx (k 0)
(2) y 2x 1 一次函数
y kx b (k 0)
一次函数
复习
2、下列等式又叫什么？ (3) y 6 反比例函数
x y k (k 0)
x
复习
函数的定义：
设在某变化过程中有两个变量x、 y，如果对于x在一范围内的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与它对 应，那么就称y是x的函数，x叫做自 变量。
• y=(100+x)(600—5x)
5x2 100x 60000
二次函数
S= －a²+30a , y=240x2+120x+976 y=100(x+1)²=100x²+200x+100
y 5x2 100x 60000
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c 的函数叫做x的二次函数.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
例3、函数y (k 1 ) x 是 2k2 k1 2
二次函数，则k __-1_____ .
练习：函数y (m 1)xm2m mx 1是 二次函数，则m ２_____ .
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
k 2 k 0
k 0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠1时
y是x的二次函数
问题再探究
在种树问题中,种多 少棵橙子树,可以使 果园橙子的总产量 y=-5x最²+多10？0x+60000,
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C
) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
当r为4时s为多少。 S=4πr2
导入 ※、正方体的六个面是全等的正方形， 设正方体的棱长为a，表面积为S ，则 S与a之间有什么关系？
S 6a2
a
导入 ※、多边形对角线的条数d与边数n之 间有什么关系？
d 1 n(n 3) 2
d 1 n2 3 n 22
导入 ※、某工厂一种产品现在的年产量是 20件，计划今后两年增加产量。如果 每一年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后，这种产品的产量y与x之间 的关系应怎样表示？
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
b、c是常数，a≠0)，的函数叫做二次 函数，其中a为二次项系数，b为一次 项系数，c为常数项。
探究
二、下列函数都是二次函数吗？为什
么？
S 6a2 d 1 n2 3 n
22
一次项系数、常数项 都为0。
常数项都0。
y 20 x2 40 x 20
各项系数 齐全。
归纳 二次函数的一般式：
有何特点？
(a,b,c是常数,a≠ 0)
1(.1下) y列=3函(x-数1)中²+1（,哪是些） 是(2)二y次= 函x +数1x？（否）
(3) s=3-2t²
（是）
(4) y =
1 x2 - x
（否）
(5)y=(x+3)²-x²（否） (6)v=10πr² （是）
(7) y=x²+x³+25 （否）(8)y=2²+2x （否）
6.1二次函数
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)件2 ,即两
年后的产量为 y 20 1 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
－a)=a(30－a)
=30a－a²= -a²+30a .
问题2:要给边长为x米的正方形房间铺 设地板，已知某种地板的价格为每平方 米240元，踢脚线的价格为每米30元.如 果其他费用为1000元，门宽0.8米，那 么总费用y为多少元？
y=240x2+120x+976
问题3:设人民币一年教育储
蓄的年利率是x,一年到期后
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题1、用16米长的篱笆 围成长方形的生物园饲养 小兔,怎样围可使小兔的 活动范围较大?
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般
y＝ax2＋形bx式＋:c
a是二次项系数 b是一次项系数
C是常数项
(其中a、b、c是常数,a≠0)
y
-
60420 60375
60480
60500
60455
60495
60480
60420
60495
60455
60375 -
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
你发现了吗？
60500
60495 60495
60480
60480
60455
60455
60420
60420
60375
60375
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为
常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常
数项,但不能没有二次项.
1、圆的半径是1cm,假设半径增 加xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时2,c圆m 的面积增加多少？
_1_ -x x²
不是二次函数.
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r²
是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2① y x2 8x
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
例4、若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图形经 过A（－1，0），B（0，1），二点，求 这个函数的解析式.
二次函数 y ax2 c， 当x=0时，y=-2；当
y=-1时，x=1，求y=2时，x的值。
1、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是
x的二次函数
2.y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m ＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是 同一条对角线,所以多边形的对角线总数.
d 1 n(n 3) 2
d 1 n2 3 n 22
上式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0_，__3_
如果函数y=(k-3) xk2 -3k+2 +kx+1是二次函
y=kx(k≠0),
k
反比例函数y= x
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数表达 式与自变量的关系.
例2、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
二次函数(1)
复习 1、下列等式分别叫什么？
(1) y 2x 正比例函数
y kx (k 0)
(2) y 2x 1 一次函数
y kx b (k 0)
一次函数
复习
2、下列等式又叫什么？ (3) y 6 反比例函数
x y k (k 0)
x
复习
函数的定义：
设在某变化过程中有两个变量x、 y，如果对于x在一范围内的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与它对 应，那么就称y是x的函数，x叫做自 变量。
• y=(100+x)(600—5x)
5x2 100x 60000
二次函数
S= －a²+30a , y=240x2+120x+976 y=100(x+1)²=100x²+200x+100
y 5x2 100x 60000
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c 的函数叫做x的二次函数.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
例3、函数y (k 1 ) x 是 2k2 k1 2
二次函数，则k __-1_____ .
练习：函数y (m 1)xm2m mx 1是 二次函数，则m ２_____ .
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
k 2 k 0
k 0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠1时
y是x的二次函数
问题再探究
在种树问题中,种多 少棵橙子树,可以使 果园橙子的总产量 y=-5x最²+多10？0x+60000,
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C
) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
当r为4时s为多少。 S=4πr2
导入 ※、正方体的六个面是全等的正方形， 设正方体的棱长为a，表面积为S ，则 S与a之间有什么关系？
S 6a2
a
导入 ※、多边形对角线的条数d与边数n之 间有什么关系？
d 1 n(n 3) 2
d 1 n2 3 n 22
导入 ※、某工厂一种产品现在的年产量是 20件，计划今后两年增加产量。如果 每一年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后，这种产品的产量y与x之间 的关系应怎样表示？
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
b、c是常数，a≠0)，的函数叫做二次 函数，其中a为二次项系数，b为一次 项系数，c为常数项。
探究
二、下列函数都是二次函数吗？为什
么？
S 6a2 d 1 n2 3 n
22
一次项系数、常数项 都为0。
常数项都0。
y 20 x2 40 x 20
各项系数 齐全。
归纳 二次函数的一般式：
有何特点？
(a,b,c是常数,a≠ 0)
1(.1下) y列=3函(x-数1)中²+1（,哪是些） 是(2)二y次= 函x +数1x？（否）
(3) s=3-2t²
（是）
(4) y =
1 x2 - x
（否）
(5)y=(x+3)²-x²（否） (6)v=10πr² （是）
(7) y=x²+x³+25 （否）(8)y=2²+2x （否）
6.1二次函数
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九年级数学二次函数与一元二次方程公开课课件
方程有两不相
函数与x轴有一个交点 根
方程有两相等
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
结论：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能 给我们什么样的结论？
（1）b2－4ac＞0 点
函数与x轴有两个交
（2）b2－4ac＝0 点
函数与x轴有一个交
（3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
有两个交点
b2-4ac = 0
有两个相等的实数根
有一个交点
b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
跟踪练习一
1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（-2，0）、（3，0）。
2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
y
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－2）
x
因为 点M( 0,2 )在抛物线上
o
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1
5.若函数 y mx2 6x 1图象与x 轴是只有一个公共点,求m
的值解.：∵ 图象与x 轴是只有一个公共点 则△=0
即 36-4m=0 ∴ m=9
想一想 议一议
若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一 元二次方程可化为 (x-x1)(x-x2)=0 若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (方X法2 称,0为),则二二次次函函数数的的交表点达式式。可表示为Y=a(x-x1)(x-x2)这种表示
北师大版初中九年级下册数学课件 《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件7
解：（1）当h=15时， t2－4t＋3=0 t1=1，t2=3
20t–5t2=15
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
15m
1s
3s
20m 2s
（2）当h=20时， t2－4t＋4=0 t1=t2=2
20t–5t2=20
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，
20t–5t2=20.5
第二章二次函数
二次函数与一元二次方程
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
x y x ______是自变量，____是____的函数。
当y=0时，
ax²+bx+c=0
ax²+bx+c=0
这是什么方程？
一元二次方程与二次函数有什么 关系？
九年级上册中我们学习了 “一元二次方程”
实际问题
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛 物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间 具有关系：h=20t–5t2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到15m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究
下列二次函数的图象与x轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1）y=2x2＋x－3
（2）y=4x2－4x+1
y
（3）y=x2–x+1
o
x
令y=0，解一元二次方程的根
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
九年级数学二次函数的图象和性质课件
(h>0)
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
苏科版九年级下册61二次函数ppt课件
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子 。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式 子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其 中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用 来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它 穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点 作为矩形的顶点，可以计算出矩 形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可 以通过二次函数来描述，从而解决与 拱桥相关的问题。
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
九年级数学《二次函数(配方法)》课件
上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
21.2 二次函数
——配方法
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
自主学习，b2
2a
4a
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
y ax2 bx c
a x2 b x c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a2
c
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
直线x b 2a
开口方向 增减性
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为4ac b2
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
y a ( x-h )2的 图 象 与 性 质
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
人教版九年级数学课件-二次函数
1 ④ y x2
不是，右邊 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次數是3.
⑥ y=(x+3)²-x² y=6x+9
方法歸納
判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理 化簡後的形式再作判斷.除此之外，二次函數除有一般形 式y=ax2+bx+c(a≠0)外，還有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
填空： 每個球隊n要與其他 n-1 個球隊各比賽一場，甲隊
對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽，所以比賽
的場次數
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比賽的場次數m與球隊數n之間的關係，對於
n的每一個值，m都有唯一的一個對應值，即m是n的函數.
問題3 某工廠一種產品現在的年產量是20件，計畫今後 兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那麼兩年 後這種產品的產量y將隨計畫所定的x的值而確定，y與x之間的 關係怎樣表示？
填空： 這種產品的原產量是20件, 一年後的產量是 20(1+x)件, 再經過一年後的產量是 20(1+x)2 件,即兩年後的產量 y=__2_0_(1_+__x_)2. 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了兩年後的產量y與計畫增產的倍數x之間的關係， 對於x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數.
且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應， 那麼我們就說x是引數，y是x的函數.
2.什麼是一次函數？正比例函數？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0）的函數叫做 一次函數.當b=0 時，一次函數y=kx就叫做正比例函數.
不是，右邊 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次數是3.
⑥ y=(x+3)²-x² y=6x+9
方法歸納
判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理 化簡後的形式再作判斷.除此之外，二次函數除有一般形 式y=ax2+bx+c(a≠0)外，還有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
填空： 每個球隊n要與其他 n-1 個球隊各比賽一場，甲隊
對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽，所以比賽
的場次數
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比賽的場次數m與球隊數n之間的關係，對於
n的每一個值，m都有唯一的一個對應值，即m是n的函數.
問題3 某工廠一種產品現在的年產量是20件，計畫今後 兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那麼兩年 後這種產品的產量y將隨計畫所定的x的值而確定，y與x之間的 關係怎樣表示？
填空： 這種產品的原產量是20件, 一年後的產量是 20(1+x)件, 再經過一年後的產量是 20(1+x)2 件,即兩年後的產量 y=__2_0_(1_+__x_)2. 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了兩年後的產量y與計畫增產的倍數x之間的關係， 對於x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數.
且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應， 那麼我們就說x是引數，y是x的函數.
2.什麼是一次函數？正比例函數？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0）的函數叫做 一次函數.當b=0 時，一次函數y=kx就叫做正比例函數.
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？