两角和与差的正弦余弦正切公式导学案
人生重要的事情是确定一个伟大的目标，并决心实现它。
————Johann Wolfgang von Goethe （德国诗人、剧作家歌德）
两角和与差的正弦，余弦与正切公式导学案
1、推导两角和与差的正弦、正切公式。
2、两角和与差的正弦、正切公式及变形的灵活运用。
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系。
复习回顾：
（1）两角差的余弦公式 cos(α-β)=____________________
（2）诱导公式五： =-)2cos(απ
_____________________
（3）同角三角函数基本关系： αtan =_____________________
预习课本P128-130
预习检测：
cos(α+β)= ____________________ sin(α+β)=__________________
sin(α-β)=________________ ta n(α-β)=_____________ tan （α+β）=______________
cos 20cos70sin 20sin 70-=_______________________
sin 72cos 42cos72sin 42-=_________________________
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：如何利用公式)(βα-C 来推导)cos(βα+以及其他两角和差公式？
cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=____________ ＝ ____________
探究任务二：应用诱导公式将正弦转化为余弦
sin(α+β)=cos ［2
π-(α+β)］＝=--])2cos[(βαπ___________ sin(α－β)=)](sin[βα-+＝__________ 探究任务三：利用商关系，实现正切的转化：
tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(β
αβαβαβββ-+=++a a 化简可得 ____________________ tan(α－β)= _________
※ 典型例题
例1、已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4
π-α)的值
※ 变式练习 若.________3sin ,2,23,51cos =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则 已知3tan =α，求)4tan(π
α+
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin 72cos42cos72sin 42-
（2）、cos20cos70sin 20sin 70-；
（3）、1tan15
1tan15+
-
※ 变式练习
)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒
2
___________
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 自我总结
通过本节课的学习，我复习了什么，我学习了什么？。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 答案 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 梳理名称简记符号公式 使用条件 两角和的正切 T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于k π＋π2(k ∈Z )两角差的正切 T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .答案 π4解析 因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－43.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .答案 (1)3 (2)－1解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值. 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1).① 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾.∴由①得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13 C.3 D.－3 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17 B.－7 C.17 D.7答案 D解析 由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7. 故选D.3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .答案 43解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( ) A.2 B.23 C. 3 D.0答案 C解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°＝tan 120°＝－3，∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°， ∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°) ＝ 3.3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.322B.2213 C.1318 D.16答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1) 答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a ).6.设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.－13B.13C.－3D.3答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13. 7.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( ) A.30° B.45° C.120° D.60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. 又∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33， ∴tan B ＝3，∴B ＝60°. 二、填空题8.已知tan α＝12，则tan (π4＋α)－11＋tan (π4＋α)的值是 .答案 129.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ .答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13 ＝17. 12.若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为 . 答案3π4三、解答题13.已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11＋2×1＝22－3. 四、探究与拓展14.如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1. 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 学案
学习过程复习预习1、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图的方法；2、函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：法一法二知识讲解考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_βtan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan 2α＝2tan α1－tan2α三、例题精析【例题1】【题干】化简下列各式：(1)(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 2 10°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.【例题2】【题干】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.【例题3】【题干】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1) 求tan 2α的值；(2)求β.【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.【例题4】【题干】 (天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．【解析】(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12. 法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.课堂运用【基础】1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()A．－1B．－2 2C.22D．12．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59C.59 D.533．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是() A．－1 B．1C．2 D．4【巩固】4 . 3－sin 70°2－cos210°＝________.5．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.【拔高】6．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．7．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．课程小结1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．21 / 21。
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。
让学生感受数形结合及转化的思想方法。
发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
【教学过程】合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形分别与点A1,P1重合．根据圆《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案【学习目标】1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．【重点难点】重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等【知识梳理】1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式3两角和与差的正切公式【学习过程】 问题探究１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k ∈Z ． 如图5.5.1，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A （１，０），以x 轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A 1（cosα，sinα）， P 1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A 1P 1，AP ．若把扇形OAP,绕着点O 旋转β角，则点A ，P 分别与点A 1,P 1重合．根据圆的旋转对称性可知，AP ̂与A 1P 1̂ 重合，从而， 所以AP ＝A 1P 1 根据两点间的距离公式，得[cos (α−β)−1]2+[s in (α−β)]2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2， 化简得:cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α=2kπ＋β （k ∈Z ）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１ 利用公式cos (α−β)证明：（１）cos (π2-α)= sinα ; （２）cos (π-α)= cosα．例２ 已知sinα=45，α∈(π2,π), cosβ=−513，β是第三象限角，求cos (α−β)的值．由公式cos (α−β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式cos (α−β)为基础来推导其他公式． 例如，比较cos (α−β)与cos (α+β)，并注意到α＋β与 α−β之间的联系：α+β＝α−（−β）则由公式cos (α−β)， 有cos (α+β)=cos[α−(−β)]＝cosαcos (−β)+sinαsin (−β)=cosαcosβ−sinαsinβ于是得到了两角和的余弦公式，简记作C （α＋β）． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． 问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin （α＋β），sin （α－β）的公式吗？通过推导，可以得到：s in (α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S （α＋β）） s in (α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ;（S （α－β））你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α+β)，tan (α−β)的公式吗？通过推导，可以得到： tan (α+β)=tan α+tanβ1−tan αtanβT(α+β) tan (α−β)=tan α−tanβ1+tan αtanβT(α−β)和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式． 典例解析例3.已知sinα=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α),cos (π4+α),tan (α−π4)的值．由以上解答可以看到，在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例４ 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （１）sin72°cos42°－cos72°sin42°; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）1+tan 15°1−tan 15°;【达标检测】1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32D ．12 2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210B ．210C ．－25D ．253．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475 D ．－5475 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案： 知识梳理1.cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β2.sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β3.tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β学习过程 典例解析例１证明: (1)cos (π2-α)= cos π2cos α+sin π2sinβsinα=0＋1×sinα=sinα． (2)cos (π-α)== cosπcos α+sinπsinβsinα=(-1)×cosα+o ．＝－ cosα． 例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=−√1−sinα2=−√1−(45)2=−35 又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cosβ2=−√1−(−513)2=−1213．所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35) ×(−513)+(45) ×(−1213)=−3365 例3.解 ： 由 sinα=−35，α是第四象限角， 得cosα=√1−sinα2=√1−(−35)2=45 所以 tanα=sin αcosα=−3545= - 34于是有sin (π4−α)=sin π4cos α−cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;cos (π4+α)=cos π4cos α−sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;tan (α−π4)=tan α−tanπ41+ tan αtanπ4= tan α−11+ tan α=−34−11+(−34)=−7例 ４ 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S （α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C （α +β ） ， 得cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T （α +β ）及tan 45°=1， 得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°tan 45°−tan 15°=tan (45°+15°)=tan 60°=√3三、达标检测1． 【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.【解析】 因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 【答案】 B3．【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．【答案】 A 4．【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.【答案】 15．【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习一基础巩固1．的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知，则为第三象限角，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ． 4．若，，且，均为钝角，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知，则的值为（ ）ABC ．D ．6．计算：______________7．，且是第四象限角，则______. 8．不用计算器，求值：。
(完整word)《 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案正式版
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2。
教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;（3)、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==； （3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=12的。
【知识学习】两角和与差的正弦、余弦函数导学案
两角和与差的正弦、余弦函数导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第三章第二节两角和与差的三角函数（一）3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数斗鸡中学高一数学备课组设计人：强彩红评审人：张博【学习目标】.利用两角差的余弦三角函数公式推导两角和与差的其它三角公式2.初步理解两角和与差的正弦、余弦公式的结构及功能3.能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.【学习重点】两角和与差的正弦、余弦三角函数公式的推导【学习难点】能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.【学习方法】阅读课本，独立完成导学案【学习过程】一、自主学习.两角和与差的余弦2.两角和与差的余弦公式是cos=3.cos=，其中，为2.两角和与差的正弦两角和与差的正弦sinsin=其中，为3.4.5.二、公式推导sin=sincos+cossin,sin=sincoscossin 1538;.证明:在两角和的余弦公式中,利用诱导公式,可得到sin===sincos+cossin,即sin=sincos+cossin.用代替上面公式中的,可得到sin=sincos+cossin,三．活用公式例1．计算：cos65cos115cos25sin 115;cos70cos20+sin110sin20.例2.已知sin=，cos=均为锐角，求cos的值.例3.（1）已知均为锐角且，求的值（2）已知均为锐角，且，，求的值三、巩固公式.下列关系式中一定成立的是（）A.B.c.D.2.的值为（）A.B.c.D.3..3.，，则4.5.已知，且，求的值四、归纳整理.本节课所学的知识内容有哪些？2.本节课学习过程中，还有哪些不明白的地方，请提出来。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
乌审旗高级中学导学案高一数学必修1 高一数学必修13.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式年级：高一 主备人：李波 审核人： 郭爱琴 编号：一、温故互查：（二人小组互述）(1) 你能说出两角和与差的余弦公式吗？cos (α –β )=(2) 你能说出诱导公式的内容吗？我们利用哪些公式能实现正弦、余弦的相互转化呢？二、设问导读：探究一：两角和与差的正弦公式问题1：由公式C (α-β)、及诱导公式 出发，你能将 转化为余弦吗？问题2：你能利用C (α-β)、在问题1的基础上推出两角和的正弦公式吗？1、 =问题3： 的范围是什么？能否用β-替换β？你能推导出两角差的正弦公式吗？ = （其中 的取值范围是 ） 探究二：两角和与差的正切公式问题4：你能根据两角和的正弦、余弦公式推导出用有关αβ、的正弦、余弦表示的 展开式吗？问题5：在问题4的基础上，怎样将 展开式的右端转换成用αβ、的正切表示的关系式呢？2、 = 问题6：类比 的推导你能推出 的公式吗？=思考： 的取值范围是什么呢？三、自学检测：例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值.例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos 2α的值。
公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用例3、计算12cos12sin 3ππ+的值四、巩固训练：1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______2、cos 20cos70sin 20sin 70-的值为3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是 ()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、5、不查表分别求cos75°，sin75o，sin15o及tan15的值。
两角和与差的正弦余弦和正切公式复习导学案
两角和与差的正弦余弦和正切公式复习导学案一．正弦、余弦、正切公式
1、正弦：正弦函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角α，其正弦值sinα定义为与α的直角边构成的直角三角形的邻边与斜边的比值”，记做：
sin α=a/c；
2、余弦：余弦函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角β，其余弦值cosβ定义为与β的斜边构成的直角三角形的邻边与斜边的比值”，记做：
cos β=b/c；
3、正切：正切函数的定义是：“对于任意在0度到360度之间的角γ，其正切值tanγ定义为与γ的直角边构成的直角三角形的邻边与对边的比值”，记做：
tan γ=a/b。
二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式复习
1、两角和的正弦公式：
设α、β分别为两角，a、b、c分别为α、β关于c边的对边和邻边，则：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
2、两角和的余弦公式：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
3、两角和的正切公式：
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-ta nαtanβ）
4、两角差的正弦公式：
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
5、两角差的余弦公式：
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
6、两角差的正切公式：
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
三．总结
正弦、余弦、正切公式是三角函数中重要的公式，是有关三角形比例的关系，记住公式对于正确理解、掌握、使用三角函数都有极大的帮助。
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换。
2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能进行简单的恒等变换。
3、能运用三角恒等变换解决一些简单的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
2、难点（1）灵活运用三角恒等变换公式进行化简、求值和证明。
（2）三角恒等变换与其他数学知识的综合应用。
三、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）四、新课导入在数学中，三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具。
34722_《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》学案1
3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式（导学案）1、知识目标：两角和与差的正弦，余弦和正切公式2、能力目标：会用两角和与差的正弦，余弦和正切公式解决一些简单的一、复习准备：1.三角函数的定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么： y =， x =，tan α= 2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：c o s (2)k πα+=，cos(90) o α-=，cos() α-=，sin() α-=3.向量的数量积：a b =;(模长形式) a b =（坐标形式）二、问题设置：我们在初中的时候，就已经知道tan 451=，3tan 303=，由此，我们能否得出tan15tan 4530=-（）=？大家可以猜想，是不是等于3tan 45tan 3013-=-呢？ 三、知识探究：1、差角的余弦公式推导：如图所示，任意角α的终边OP 与单位圆相交于点P ，根据三角函数的定义可知，点P 的坐标是（用α表示），同样的，任意角β的终边OQ 与单位圆相交于点Q ，根据三角函数的定义，点Q 的坐标是（用β表示），故向量OP =， OQ =（填坐标），,OP OQ 的夹角为，|| ,OP =|| OQ =，由向量的数量积可知：OP OQ ==①（模长形式）OP OQ =②（坐标形式） 由①②可得cos POQ ∠=③ 又∵2k POQ αβπ-=+∠（思考：为什么有这个等式）∴cos()cos(2) k POQ αβπ-=+∠=④ 由③④可得：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角α，β的正弦，余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系。
称之为差角的余弦公式。
简记为()C αβ-显然，有了公式()C αβ-以后，我们只要知道的值，就可以求得cos()αβ-的值。
若令θαβ=-，则有：即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。
必修4 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(导学案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【学习要求】1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切 公式．2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变 【学法指导】1．两角和与差的正切公式变形较多，这样变式在解决某些问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它们．例如，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)等．2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行代换，例如1＝tan 45°，3＝tan π3，33＝tan π6等等．这样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式． 1．两角和与差的正切公式 (1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1探究点一 两角和与差的正切公式的推导问题1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．练习1：直接写出下列式子的结果： (1).tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝________；(2).tan 75°＝________；(3).1－tan 15°1＋tan 15°＝________.练习2：求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.【典型例题】例1 求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.跟踪训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为 ( ) A ．1B ．2C ．－2D ．不确定3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________方法总结1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2 (k ∈Z)．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等． 要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.。