初二数学角平分线的性质
初二数学-角的平分线的性质
初二数学第8课时 角的平分线的性质（1）教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计设计意图 一、创设情境 导入新课在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．求证：∠MOC=∠NOC ．通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线．受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC•与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了．思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线． 作法：动手制图（尺规），边（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 【议一议】1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 【总结】1．去掉“大于12MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．【探究2】如图，将∠AOB 的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．三、应用迁移巩固提高【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，•图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线．有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．【练习】课本Р19 练习四、总结反思拓展升华本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．五、课堂作业P22 1 2教学理念/反思第9课时角的平分线的性质（2）教学目标1．角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题1】画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点？【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？二、合作交流 解读探究 【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：经过点P 作射线OC ． ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．三、应用迁移 巩固提高【例1】如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ． ∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上． ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．学生参与教师分析，主动探究学习．三角形的三条角平分线相交于一点．【例2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．【练习】课本Р22 练习四、总结反思拓展升华我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．五、课堂作业P22 3 4 5 6教学理念/反思。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质的综合运用
B
C
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要
使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处
修建？
A
分析：
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
B
C 总之找角平分线交点
已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三
角形三边都相等．
作图：
分别作∠BAC和
A
∠ABC的平分线，
P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND
F
M
思路：过点P分别向三角形 各边作垂直，标垂足．
P
由角的平分线的性质得
B
E
C
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
追问 点P在∠BAC的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
ND
F
M
分析：“双垂距离推角分” 略证：（用已证结论）
两线交于点O，
则点O即为所求．
O
课下可以试试证明．
B
C
发展 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形
三边都相等． A
分析：
（1）根据之前的Biblioteka 研究，在三角形内O1
部，两条角平分线
B
C
的交点符合要求；
（2）在三角形的外部呢？ 有相邻两外角的平分线的交点，符合要求吗？
O2 B
A
O1 C
作法：如图 （1）作△ABC两 内角的平分线，其 O3 交点为O1； （2）分别作 △ABC两外角平分 线，其交点分别为 O2，O3，O4．
O4
初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思
证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定 理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。 判断正误,并说明理由:： (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。 （4）例题讲解 例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。 求证:EB=FC.。 变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求 证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。 教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种 数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数 学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教 教学策略选 学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪 择与设计 多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用 动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并 留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引
八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版
初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标：1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
二、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。
三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。
角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。
中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。
这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。
思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。
所以，直线CM即为所求。
解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。
在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。
小结：本题属于作图题。
在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
《角的平分线的性质》说课稿
《§11.3 角的平分线的性质》说课稿第1课时尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的内容是人教版八年级数学上册第十一章第三节《角的平分线的性质》第一课时。
下面我将从教材分析、学法、教法、教学程序、教学设想等五个方面进行说明，教学程序将是我阐叙的重点。
一、教材分析：1、教学内容分析：本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规，它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。
2、教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。
3、教学目标：在新课程改革背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程》对本节课内容的要求及本节课的学习结果类型，针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法．（2）理解角的平分线的性质并能初步运用．（3）过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
（4）情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的自信心。
4、教学重点、难点：根据教材的内容及作用确定本节课的教学重、难点重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。
人教版初中八年级数学上册角的平分线的性质教案
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）求证：PD=PE．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线． 证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ； 求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
C
证明： 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
C ∴EB = FC．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A N
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
C
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A ND
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
作业
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线． 求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC， 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别 是M、N．求证：PM = PN．
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找 一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形， 并写出画法）
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角平分线的性质
马丽娜
角平分线的性质
教学目标
知识与能力
1.了解平分角的仪器的制作方法
2.学会尺规作图的方法画已知角的角平分线
3.掌握角的平分线的性质
过程与方法
1.通过观察，推理以及实际操作，探究作已知角的平分线的方法，培养动手能力。
2.通过对角平分线性质的实际应用的探究，掌握运用相关知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观
1.在现实情境中学习相关知识，体会数学与现实的密切联系，培养数学应用意识。
2.通过小组探究和合作交流，学会与他人合作，培养数学交流能力和团队协作的精神。
教学重、难点及突破
重点：作已知角的平分线的方法；角的平分线的性质及其运用。
难点：作已知角的平分线的方法；运用角平分线性质解决相关的实际问题。
教学突破：在介绍做已知角的平分线的方法的过程中，教师要注意引导学生探究方法背后的数学背景，另外，也强调尺规作图的过程。
教学准备：多媒体课件圆规三角板
教学设计
一. 创设情境，引入新课
1.引导学生回顾判定两个三角形全等的方法。
2.一个纸角不用仪器怎样把它分成相等的两个角？折痕和角是什么关系？引出本节课
题。
3.多媒体展示如下问题，请学生思考。
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。
你能说明它的道理吗？
B
师生共同分析讨论，探究问题的解答。
师：你们有什么想法？
生：可以证明两个三角形全等。
师：哪两个三角形？
生：△ADC和△ABC
师：怎么证明两△个三角形全等呢？
生：可以用边边边。
师：很好！我们一起写证明过程{多媒体展示}
证明:在△ADC和△ABC中
∵AB=AD BC=DC AC=AC
∴△ADC≌△ABC
∴∠DAC=∠BA C
∴AE是∠DAB的平分线
二. 探究角平分线的做法的性质
1.教师总结指出:由上面的探究可以得出做已知角的平分线的方法。
已知：∠AOB 求作∠AOB 的平分线。
做法：（1）以0为圆心适当长为半径作弧，交OA于M ,交OB于N 。
（2）分别以MN为圆心、大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C （3）做射线OC，射线OC 即为所求。
A
M
C
O
N B
让学生明白上述做法的本质还是利用了“边边边”判断两个三角形全等的知识。
已知平角怎样做他的角平分线
2.多媒体展示如下问题，组织学生分组讨论。
探究:将角对折，再画出一个直角三角形是以第一条折痕为斜边，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
A
A
D
C P C
O O B（A）O E B
B
请各组派代表发言，介绍本组的讨论成果，教师引导学生共同总结讨论，给出探究的一致解答。
2.总结指出：第一条折痕是角的平分线，第二次折叠形成的两条折痕是角的平分线上
一点到角两边的距离，这个距离相等。
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.提问：能否证明角的平分线的性质？
讲解要证明这个性质，首先应分清其中的已知和求证。
该性质中的已知和求证是什么呢?
学生讨论后举手回答已知是一个点在角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等。
4.肯定学生的回答。
为了更直观清楚的表达题意，我们通常证明之前画出图形并用符
号表示已知和求证。
多媒体展示问题，学生尝试完成。
A
D
P C
O E B
如图∠AOC=∠BOC, 点P在OC上，P D⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，求证PD=PE。
证明：∵P D⊥OA PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO=90°
∠AOC=∠BOC,
OP=OP
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE。
5.上题说明，在一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，可以按照类似的步骤
进行，即：（1）明确命题中的已知和求证
（2）根据提议画出图形，并用数学符号表示已知和求证
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
三. 巩固练习（多媒体展示）
四. 本课小结
1.做已知角的平分线的方法。
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
五. 作业：习题1.2题。