八年级数学上 角平分线的作法

一. 教学内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．OAB①②③2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ．OPABMN12C证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAO ＝∠PBO∠1＝∠2OP=OP∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）OPABMN12如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上．OABMNP证明：连结OP在R t △PAO 和R t △PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PBOP ＝OP∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ）∴∠1＝∠2∴OP 平分∠MON即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）OPABMN12C如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．比例尺1∶2000北4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．A BCDEFP(1)两个内角的角平分线三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．ABCC'分析：由条件∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′，可以把点A 看作是∠CBC ′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C ＝∠C ′＝90°（已知），∴AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′（垂直的定义）． 又∵AC ＝AC ′（已知），∴点A 在∠CBC ′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC ＝∠ABC ′．（2）∵∠C ＝∠C ′，∠ABC ＝∠ABC ′，∴180°－（∠C ＋∠ABC ）＝180°－（∠C ′＋∠ABC ′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC ＝∠BAC ′， ∵AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′，∴BC ＝BC ′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．A BCE FD P1234分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD 平分∠BAC ．∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ． 评析：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？ABCD NMF EP分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段． 解：AP 平分∠BAC ．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m ；点P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号． 解：（1）∵点P 在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P 到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P 到公路的距离是400m ，∴点P （学校）到铁路的距离是400m ． （2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．ABCDE分析：由于点D 在∠CAB 的平分线上，若过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝DC ．于是有BD ＋DE ＝BD ＋DC ＝BC ＝AC ，只要知道AC 与AE 的关系即可得出结论．解：能．过点D 作DE ⊥AB 于E ，则△BDE 的周长等于AB 的长．理由如下： ∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴DC ＝DE ．在R t △ACD 和R t △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DEAD ＝AD ，∴R t △ACD ≌R t △AED （HL ）． ∴AC ＝AE ．又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ．∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ． 评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 如图所示，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（ ）A. PC ＞PDB. PC ＝PDC. PC ＜PDD. 不能确定OPABCD 第1题 2. 在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，若BC ＝10，BD ∶CD ＝3∶2，则点D 到AB 的距离是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是AB 边的中点，BD 是角平分线，且DE ⊥AB ，则（ ） A. BC ＞AE B. BC ＝AE C. BC ＜AE D. 以上都有可能4. 如图所示，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是（ ）PAB DCE第4题 A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AE ＝AC ，下列结论中错误的是（ ）A. DC ＝DEB. ∠AED ＝90°C. ∠ADE ＝∠ADCD. DB ＝DCABC DE 第5题6. 到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定7. 如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）ABCD E 第7题A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）A BC第8题A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________．PACBFE 第9题 10. 如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝__________，∠CDA ＝__________．AB CD 第10题 11. 如图所示，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD ＝PE 时，必须满足的条件是____________________．OPABDE 第11题 12. 如图所示，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，BD ＝DC ，则要证明AD 是∠BAC 的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B 与∠C 互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD 与DC 已经分别是__________的距离．AB CD 第12题 13. 如图所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C在__________．A B D第13题C14. 如图所示，在R t △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．AB CD第14题（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为__________． 15. （1）∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OP 平分∠AOB （依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝DC ．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．A B CDE17. 如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°．（1）求证：DE ＝DF ； （2）若把最后一个条件改为：AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？ABCDE F18. 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，AE 与BD 相交于点C ．求证：AC ＝BC ．ABCDEO 1219. 如图所示，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm ．（1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图） （2）求出仓库G 到铁路的实际距离．A 区MNPQO四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．O试题答案一. 选择题1. B2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. D二. 填空题9. 3cm 10. 40°，50° 11. PD ⊥OA ，PE ⊥OB12. 角平分，全等，角平分线的性质，点D 到AB 、AC 两边13. ∠DAB 的角平分线上14. （1）3（2）1515. （1）PD ＝PE （2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上三. 解答题16. （1）证明：∵DC ⊥BC ，DE ⊥AB ，DE ＝DC ，∴点D 在∠ABC 的平分线上，∴BD 平分∠ABC ．（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝54°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝27°． 17. （1）证明：作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，又∵AD 平分∠BAC ，∴DM ＝DN ，∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°， ∵∠AFD ＋∠CFD ＝180°，∴∠AED ＝∠CFD ，∴△DME ≌△DNF ，∴DE ＝DF ．（2）仍成立．18. 证明：∵∠1＝∠2，BD ⊥OA ，AE ⊥OB ，∴CD ＝CE ，∵∠DCA ＝∠ECB ，∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ACD ≌△BCE ，∴AC ＝BC ．19. （1）图略，仓库G 在∠NOQ 的平分线上，（2）仓库G 到铁路的实际距离是100m ．四. 探究题20. 他这种作法对，理由如下：由作法可知：OC ＝OD ，OB ＝OA ，∠COB ＝∠DOA ，∴△BCO ≌△ADO ，AC ＝BD ，∴∠OCE ＝∠ODE ，∵∠AEC ＝∠BED ，∴△ACE ≌△BDE ，∴CE ＝DE ，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．。