九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解

九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解
知识点，重点，难点
所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。

平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。

一般来说，求解定值问题的方法有：
图形分析法。

画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。

特殊位置法。

不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。

参数计算法。

图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。

例题精讲
例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。

分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推
想，该定值可能为⊙O 半径的平方。

证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ
=，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2m
AOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2
m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。

例2：如图，设AB 、CD 是圆O 的两条定直径，P 是圆周上的任一点，
过P 作AB 垂线，过P 作CD 的垂线，其垂足分别为Q 、
R ，DT ⊥AB ，垂足为T ，求证：QR 是定长。

分析 把点P 沿⊙O 运动到特殊的点D 的位置，不难发现QR =DT ，那么当P 是圆周上的任一点时，只要证明QR =DT . 证明 设圆的半径为r ，作RS ⊥AB ，连结OP .因为PQ ⊥AB ，PR ⊥CD ，所以P 、O 、Q 、R 四点共圆，所以∠RQS =QR RS RS
例3：如图，已知△ABC 、△ABD 是在AB 同侧的两个以AB 为斜边的直角三角形，P 是AB 上的动点，但P 不重合于A 、B ，求证：tan ∠PCA ·tan ∠PDB 是定值。

分析 因为P 是AB 上的动点，要考虑tan ∠PCA ·tan ∠PDB 是定值，需要把点P 移动到特殊的位置，即取P 为AB 的中点时，tan ∠PCA · tan ∠PDB =tan ∠PAC ·tan ∠DBP （定值）。

证明 过点P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，过P 点作PF ⊥BD ，垂足为F 点。

因为tan ,tan ,EP EP PCA CAP CE AE
∠=∠=所以tan .tan EP
PCA AE CE EP CAP CE
AE
∠==∠又因为EP ⊥AC ，∠ACB =90°，所以EP ∥BC ，得,A E A P E C B P =所以tan .tan PCA AP CAP BP ∠=∠同理可得tan ,tan PDB BP DBP AP ∠=∠故tan tan tan tan PCA PDB CAP DBP
∠∠∠∠ =1AP BP BP AP
= ，即tan tan tan tan PCA PDB CAP DBP ∠∠=∠∠ （定值）。

例4：平面上有两个边长相等的正六边形ABCDEF 和A'B'C'D'E'F'，且正六边形A'B'C'D'E'F'的顶点A'在正六边形ABCDEF 的中心。

当正六边形A'B'C'D'E'F'绕A'转动时，两个正六边形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论正确吗？试证明你的判断。

解 两个正六边形的重合部分的面积是一个定值。

证明如下：
如图，重合部分的面积'A GBCH S 是一个定值。

连结A'B 、A'D ，由A'为正六边形ABCDEF 的中心知A'B = A'D =AB ，∠A'BG =∠A'DH =60°.又当A'B'与A'B 重合时，必有A'F'与A'D 重合，故知∠GA'B =∠HA'D .在△A'GB 和△A'HD 中，'''''''A B A D A BG A DH A GB
GA B HA D =⎫⎪∠=∠⇒∆⎬⎪∠=∠⎭≌''',A GB A HD A HD S S ∆∆∆⇒=
故
22''sin 60().2
A GBCH A BCD S S BC BC === 因此两个正六边形的重合部分的面积必然是定值。

例5：由圆外定直线上任意点引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点。

分析设直线AA'为⊙O外定直线，A为此线上任一点．由A引两切线为
AE、AF，E，F为切点，连结EF，应过某一定点。

若A点运动到C点(OC⊥AA')的特殊位置，因图形的对称性判定点一定在OC上，而EF与OC的交点P可能就是此定点，如能确定OP的长，问题就解决了。

证明如图，连结AO与EF交于B，连结OE.因为AO⊥EF，又因为∠OEA=
90°，所以OE2=OA·OB.又因为四边形ABPC中，对角∠ABF=∠PCA=90°，所以A、B、P、C四点共圆，所以
OB·OA= OP·OC，OP·OC＝OE2
2
.
OE
OP
OC
=因为OE，OC均为定值，所以OP为一定值，且OP在定直线
OC上。

所以不论点A在直线AA'上何处，弦EF恒过P点。

例6：如图，A、B为两定点，O为一动点．在AB所在平面上异于O点的一侧取A'点及B'点，使∠OAA' =∠OBB'=90°，且BB' =OB，AA' =OA.设A'B'的中点为O'．
（1）试问当O点在线段AB的一侧移动时，A'B'的中点O'，的位置将怎样变化？
（2）请证明你的猜想。

分析分别取O点的三个特殊位置：（1）在AB的垂直平分线上，且与AB相距1
2
AB的位置上；
（2）在以A为垂足且与AB垂直的直线上；（3）在以B为垂足且与AB垂直的直线上可看出O'点不随O点的移动而变化。

解（1）取O点的几个特殊位置，可以看出O'点的位置将不随O点的变化而变化，即无论O点怎样移动，点O'位置保持不变。

(2)过O、A'、O、B'甘点分别作AB的垂线，垂足依次为C、D、E、F.因为∠OAC = 90°－∠DAA'=∠AA'D，AA'=OA，所以Rt△OAC≌Rt△AA'D.同理Rt△OCB≌Rt△BFB'，所以AD=OC=BF，A'D=AC，B'F=BC.点E既是DF的中点，
又是AB的中点O'E是梯形A'DFB'的中位线，所以O'E=111
('')().
222
A D
B F A
C CB AB
+=+= 这就是说，无论
O点在何处，O'点必在线段AB的垂直平分线上距线段AB为1
2
AB处，即A'B'的中点O'始终保持不变。