【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1﹣i）2=4i，则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A={x|＜0}，B={x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}=（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}3．若A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（）A．B．C．D．6．已知二项式（2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件，则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则数对（a，b）为（）A．（﹣3，3）B．（﹣11，4）C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11）11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x）=2x2，当x＜0时，f'（x）+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，则实数a的最小值为（）A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若||=||+||，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n }满足++…+=5﹣（4n +5）（）n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i （岁）与身高的中位数y i （cm ）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（yi）（xi ））（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x 2+10.17x +68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CS=2，∠BSD=90°．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若SC⊥BD，求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．20．（12.00分）已知圆的圆心为M，点P是圆M上的动点，点，点G在线段MP上，且满足．（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点T（4，0）作斜率不为0的直线l与（1）中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=ax+lnx+1．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）对任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1﹣i）2=4i，则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z（1﹣i）2=4i，∴z==﹣2．则复数z的共扼复数=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设集合A={x|＜0}，B={x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}=（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁R A、∁R B，即可得出结论【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x≤﹣3}，则∁R A={x|x≤﹣3或x≥1}，∁R B={x|x＞﹣3}；∴（∁R A）∩（∁R B}={x|x≥1}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．若A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n==120，A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，由此能求出A，B两位同学不相邻的概率．【解答】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，基本事件总数n==120，A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，∴A，B两位同学不相邻的概率为p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：赋值，n=2，S=0，第一次执行循环体后，S=0+，n=2+2=4；判断4≥19不成立，第二次执行循环体后，S=+，n=2+4=6；判断6≥19不成立，第三次执行循环体后，S=+，n=6+2=8；判断8≥19不成立，第四次执行循环体后，S=++，n=8+2=10；…判断18≥19不成立，执行循环体后：S=+++…+，n=18+2=20判断20≥19成立，终止循环，输出S=+++…+=（）=．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．已知，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，则=sin[﹣（x+）]=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．6．已知二项式（2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．84【分析】由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为﹣1求得r值，则答案可求．【解答】解：由二项式（x﹣）n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n=128，即n=7，∴（2x2﹣）n=（2x2﹣）7，=•x14﹣3r．由T r+1取14﹣3r=﹣1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．4【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，从而可得该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，且AB=2，BC=4、AD=2，PA=2，PA⊥平面ABCD，由图可得，PD=2，CD=2，PC==2，PB=2，则该几何体的表面积为：S△PAB+S△PAD+S△PBC+S ABCD+S△PDC=+=．故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8．若x，y满足约束条件，则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+2x+y2=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+2x+y2=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，∴z=x2+2y+y2的最小值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，∴，k∈Z解得：∵ω＞0，当k=0时，可得：．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用．属于基础题．10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则数对（a，b）为（）A．（﹣3，3）B．（﹣11，4）C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11）【分析】求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出检验即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，若f（x）在x=1处的极值为10，则，解得：或，经检验，a=4，b=﹣11，故选：C．【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出【解答】解：由|AB|=2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣=1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x=c，代入﹣=1，可得y=b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴=（c，b），设E（x，y），∴=（x+c，y），∵=，∴（x+c，y）=（c，b），解得x=﹣c，y=b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）=1，即e2﹣（﹣1）=，即e2=7，即e=，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x）=2x2，当x＜0时，f'（x）+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，则实数a的最小值为（）A．B．﹣1 C．D．﹣2【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，判断g（x）的奇偶性和单调性，得出a的范围．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣2x2=0，∴g（x）是奇函数．当x＜0时，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴g（x）在R上是减函数．∵f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，∴f（a+1）﹣a2﹣2a﹣1≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，即f（a+1）﹣（a+1）2≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，即g（a+1）≤g（﹣a），∴a+1≥﹣a，即a≥﹣．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若||=||+||，则实数m=2．【分析】根据题意，求出向量+的坐标，进而可得向量+与、的模，分析可得=+，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（m，2），=（1，1），则+=（m+1，3），则|+|=，||=，||=，若||=||+||，则有=+，解可得：m=2；故答案为：2．【点评】本题考查模的计算，关键是分析向量与的关系．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．【分析】利用等体积法，设内切球半径为r，则r（S△ABC +S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA•S△ABC，解得求出r，再根据球的体积公式即可求出．【解答】解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴V P﹣ABC=×PA•S△ABC=，设内切球半径为r，则r（S△ABC +S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA•S△ABC，解得r=．故答案为：．【点评】本题考查四面体内切球的体积求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为﹣．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式，以及正弦定理即可求出．【解答】解：∵2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，∴2sinA（cosθcosB+sinθsinB）+2sinB（cosθcosA﹣sinθsinA）+sinC=0，∴2sinAco sθcosB+2sinAsinθsinB+2sinBcosθcosA﹣2sinBsinθsinA+sinC=0，∴2cosθ（sinAcosB+cosAsinB）+2sinθ（sinAsinB﹣sinBinA）+sinC=0，∴2cosθsin（A+B）+sinC=0，∴2cosθsinC+sinC=0，∴cosθ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理，属于基础题．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=64．【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126=27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．【解答】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n 行．126=27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4=31+2，∴S126=2×31+2=64，故答案为：64【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意可得：=1+2（n﹣1），可得：S n=2n2﹣n．n≥2时，a n=S n ，n=1时，a1=1．可得a n．﹣S n﹣1（2）++…+=5﹣（4n+5）（）n，n≥2时，++…+=5﹣（4n+1），相减可得：=（4n﹣3）×，进而得出b n．即可得出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可得：=1+2（n﹣1），可得：S n=2n2﹣n．∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣n ﹣[2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）]=4n ﹣3．n=1时，a 1=1．对上式也成立．∴a n =4n ﹣3．（2）++…+=5﹣（4n +5）（）n ，∴n ≥2时，++…+=5﹣（4n +1）， 相减可得：=（4n ﹣3）×，∴b n =2n ． ∴数列{b n }的前n 项和T n =2×=2n +1﹣2．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i （岁）与身高的中位数y i （cm ）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（y i ）（x i ））（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x 2+10.17x +68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）将x=11代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07和（1）问中的方程，得到的结果与145.3cm比较，即可判断【解答】解：（1）由题意，=5.5，=112.45，==≈6.87，=﹣=112.45﹣6.87×5.5≈74.67；∴y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67；（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．当x=11时，代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．可得y=142.74；当x=11时，代入回归方程是y=6.87x+74.67；可得y=150.24；由11岁男童身高的中位数为145.3cm．可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大．故回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好．【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．19．（12.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CS=2，∠BSD=90°．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若SC⊥BD，求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，再由已知证明△COD≌△COS，可得∠COD=∠COS=90°，即AC⊥OS，则AC⊥平面SBD；（2）由（1）知，AC⊥BD，又SC⊥BD，可得BD⊥平面SAC，则平面SAC⊥平面SBD，在平面SBD中，过O作OH⊥SB，连接AH，可得∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】（1）证明：∵△ABD为正三角形，CB=CD，取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，垂足为O，∵∠BSD=90°，∴△BSD为直角三角形，∵O为BD中点，∴OD=OS，在△COD与△COS中，∵OD=OS，CS=CD，OC=OC，∴△COD≌△COS，则∠COD=∠COS=90°，∴AC⊥OS，则AC⊥平面SBD；（2）解：由（1）知，AC⊥BD，又SC⊥BD，∴BD⊥平面SAC，则平面SAC⊥平面SBD，在平面SBD中，过O作OH⊥SB，垂足为H，连接AH，可得AH⊥SB，∴∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角，在△BCD中，由CB=CD=2，∠BCD=120°，可得OB=OD=，则OS=，则△SOB为等腰直角三角形，则H为SB的中点，∴OH=，AO=3，AH=，∴cos∠AHO=，即二面角A﹣SB﹣D的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查二面角的平面角的求法，是中档题．20．（12.00分）已知圆的圆心为M，点P是圆M上的动点，点，点G在线段MP上，且满足．（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点T（4，0）作斜率不为0的直线l与（1）中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ面积的最大值．【分析】（1）根据向量知识可知GN=GP，从而可得|GM|+|GN|=4，结合椭圆定义得出轨迹方程；（2）设l斜率为k，联立方程组求出k的范围和A，B两点的坐标的关系，根据弦长公式计算|AB|，求出Q点坐标计算Q到直线AB的距离d，得出△ABQ面积关于k的函数，从而求出面积的最大值．【解答】解：（1）M（﹣，0），|MP|=4．∵，∴﹣=0，即|GN|=|GP|．又G在线段MP上，∴|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=4．又|MN|=2＜|MP|，∴G点轨迹是以M，N为焦点的椭圆．设G的轨迹方程为=1，则2a=4，即a=2，c=，∴b==1，∴点G的轨迹方程为+y2=1．（2）由题意可知直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，﹣y1），联立方程组，消元得：（1+k2）x2﹣8k2x+16k2﹣4=0，由△＞0可得64k4﹣4（1+k2）（16k2﹣4）＞0，解得k2＜．由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===，直线BD的方程为，令y=0可得x====1，即Q（1，0），∴Q到直线AB的距离d=，==||=6，∴S△ABQ令=t，则＜t＜1，∴﹣+﹣3=﹣4t2+7t﹣3=﹣4（t﹣）2+．∴当t=时，﹣+﹣3取得最大值，的最大值为6×=．∴S△ABQ【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=ax+lnx+1．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）对任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）=0，得﹣a=，x＞0，求得右边函数的导数，以及单调性和最值，即可得到所求零点个数；（2）任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，即为a≤e2x﹣恒成立，设h（x）=e2x﹣﹣2，设m（x）=xe2x﹣lnx﹣1﹣2x，x＞0，求得导数，单调性和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax+lnx+1，由f（x）=0，可得﹣a=，x＞0，设g（x）=，x＞0，g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，可得x=1处g（x）取得最大值1，如图所示：当﹣a≤0或﹣a=1，即a≥0或a=﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）有一个交点，当0＜﹣a＜1即﹣1＜a＜0时，直线y=﹣a与y=g（x）有两个交点，当﹣a＞1即a＜﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）没有交点，综上可得，a＜﹣1，函数f（x）零点的个数为0；﹣1＜a＜0，函数f（x）零点的个数为2；a≥0或a=﹣1时，函数f（x）零点的个数为1；（2）任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，即为a≤e2x﹣恒成立，设h（x）=e2x﹣﹣2=，设m（x）=xe2x﹣lnx﹣1﹣2x，x＞0，m′（x）=e2x+2xe2x﹣﹣2=（1+2x）（e2x﹣），设e2x﹣=0的根为a，即有x＞a，m（x）递增；0＜x＜a时，m（x）递减，可得x=a处m（x）取得最小值m（a），由m（a）=ae2a﹣lna﹣1﹣2a=1﹣lne﹣2a﹣1﹣2a=0，可得h（x）≥0恒成立，即有e2x﹣≥2，则a≤2，即a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查函数导数的运用，求函数的单调性和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．转化为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x．（Ⅱ）直线l与曲线C交于两点A，B，则：把（t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，整理得：．由于|PA|•|PB|=2，故：．解得：m=2或﹣1【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．【分析】（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．可得|x+1|，即可得出．（2）a＞0，b＞0，对a，b分类讨论：x≥时，f（x）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣5x﹣2a+b．利用一次函数的单调性及其函数f（x）的最小值为2，可得：当x=时，=2，即可得出．【解答】解：（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．∴|x+1|，∴x+1，x+1，解得x，或x．∴不等式f（x）≥3|x|+1的解集为{x|x，或x}．（2）a＞0，b＞0，x≥时，f（x）=2（x+a）+（3x﹣b）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣5x﹣2a+b．∵函数f（x）的最小值为2，∴当x=时，=+2a﹣b=2，可得：6a+2b=6，∴3a+b=3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x <<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(1，4)D ．(3，4)2. 已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．12log y x = B ．1y x= C ．3y x = D ．x y tan = 4. 设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条 BC ．充要条件 D5. 一个空间几何体的三视图如图所示,为A ．2B ．4C ．6．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 正视图 左视图俯视图a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为 A ．31n a n =- B ．31n n a =- C ．123n n a -=⋅D ．21(3)2n a n n =+7．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正()3,n n n ≥∈N 边形内的概率为n p ，下列论断正确的是A ．随着n 的增大，n p 先增大后减小B ．随着n 的增大，n p 减小C ．随着n 的增大，n p 增大D ．随着n 的增大，n p 先减小后增大8. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当2x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①若{}1,1m S ==则； ②若11,1;24m l =-≤≤则③若1,022l m =-≤≤则； 其中正确的命题的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题) 9. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ．10. 已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a . 11. 10(2x dx =⎰ ．12. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为_______.13. 已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）， ， 则第581个数对是 _.（二）选做题（14、1514．（几何证明选讲选做题） 如图所示，已知圆O 的直径AB，C 为圆O BC过点B 的切线交AC 延长线于点D ，则DB =_____. 15．（坐标系与参数方程选做题） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2214x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， （第14题）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为3cos r q =,则曲线C 被直线l 截得的弦长为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l4分）在ABC∆中，设角,,A B C的对边分别为,,a b c，向量(cos ,sin ),m A A =sin ,cos )n A A =，若1m n = .(1)求角A 的大小； (2)若b =c =，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）A某高校从参加今年自主招生考试的学生中，随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（l ）写出表中①②位置的数据； （2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三组、第四组、第五组中用分层抽样法，抽取6名学生进行第二轮考核，第四、（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，其中有ξ名第三组的，求ξ的数学期望.18．(本小题满分14分)如图（1），等腰梯形ABCD 中，0,2,60//AB AD ABC AD BC ==∠=，E 是BC 的中点，将ABE ∆沿AE 折起，得到如图（2）所示的四棱锥'B AECD -，连结'',BC B D ，F 是CD 的中点，P 是'B C 的中点，且2PF =.（1）求证： AE ⊥平面PEF ；（2）求二面角'B EF A --的余弦值.B图（1）图（2）19.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：222112OAOBOM++为定值；（Ⅲ）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由.20.(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11212,n n na a a a +-==，1n nb a =-，数列{}n b 的前n 和为n S .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设2n n n T S S =-，求证：1n n T T +>； （3）求证：对任意的n N *∈有21122nn n na S na +≤≤-成立．21.（本小题满分14分）已知函数32()63),.x f x x x x t e t R =-++∈（ （Ⅰ）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取得极值，求t 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x≤恒成立，求正整数m 的最大值.普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．D ． 2．B ． 3．B ．4．A ．5．A ．6．C ． 7．C ．8．D ． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．4950． 10．2．11．14π-． 12．0y ±=． 13．（20,15）． 14．15．3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
广州一模理科数学试题以及解答(Word精美版)
试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2018.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2 2．已知全集U =R ，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U AB =ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16B ．13C ．12D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为．11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a =，若145n a =，则n =．图1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB =．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．）18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD ．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．5 121 22 图2 图4 甲组 乙组 8 9 7 a3 5 7 9 6 6 P图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n nn b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B两点为顶点，离心率为P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．5 / 212018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．312．[]1,213．35，10 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-…4分（2）解：因为6 / 213tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以c sα=，sin 5α=-10分 所以cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+………………………………………………………11分⎛== ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为7 / 21()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为A B B C ==，4=AC ，所以……………………10分8 / 21BE ===3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为PD =，3CD =， 所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE ，1DE =，所以BD ===．…………5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt△PBD 中，因为PD，BD =，所以PB =6分在PBC ∆中，因为BC =，PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥．因为A B B C==，4=AC ，所以BE ===3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以B D =+4分 在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =， 所以2BC BD C+=，所以B ⊥．……………………………………………………………5分BPACDE9 / 21因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以B ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=，所以3AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD ，1AD =， 所以2A P =+．………………………………………………………13分因为3sin 23AH APH AP ∠===．10 / 21所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分 由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PDPB P =，所以BC ⊥平面PBD ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt △PAD中，因为PD ，1AD =，所以2AP ===． (11)分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD =，PB =PD ，所以2PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为314分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG 中，PB BG BC ===PACDEK BPA CDMN所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点， 所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG = 所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分 则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为314分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -…1分 则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．AA所以BP BC ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ， 则sin cosAP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以21122112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分 又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分 （2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232n n =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为A Pk k=，所以121211y yx x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--． 因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==， 所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =时，()()2212max21SS f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()x x e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥， 所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >． ②假设当n k=（*k ∈N ）时，对任意x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①、②知，当x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <． 所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立． (10)分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222kk k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n+，……………………………………………………………………………………11分12n+≤，……，12n+，将以上n个不等式相乘，得1!2nnn+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n，不等式()123222211e2341nngn⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤<⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分21 / 21。
全国省级联考广东省2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案解析
全国省级联考⼴东省2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题及答案解析2018年普通⾼等学校招⽣试卷全国统⼀考试⼴东省理科数学模拟考试（⼆）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B ?=，则x y +=（） A.13B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】分析：⾸先应⽤{0}A B =I 确定出3log 0x =，从⽽求出x 的值，再进⼀步确定出y 的值，最后求得结果即可.详解：因为{0}A B =I ，所以3log 0x =，解得1x =，所以0y =，所以101x y +=+=，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从⽽找到等量关系式，最后求得结果.2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（） A. 12z z ?是实数 B.12z z 是纯虚数 C. 24122z z =D. 22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进⾏相应的运算，对选项中的结果⼀⼀对照，从⽽选出满⾜条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ?=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题⼀⼀检验，从⽽找到正确的结果.3.已知()1,3a =-v ，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v ，若a b v P v，则b c ?=v v （）A. -7B. -2C. 5D. 8【答案】A 【解析】分析：利⽤向量平⾏列⽅程求出m 的值,然后直接利⽤向量数量积的坐标表⽰求解即可. 详解：因()1,3a v =-，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v，所以由//a b r r，可得()340m m +-=，则1,m =()()1,3,2,3b c ∴=-=v ，12337b c ?=?-?=-v v，故选A.点睛：利⽤向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题⽅式有两个：（1）两向量平⾏，利⽤12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利⽤12120x x y y +=解答.4.如图，?AD 是以正⽅形的边AD 为直径的半圆，向正⽅形内随机投⼊⼀点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.16πB.316C.4π D.14【答案】D 【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的⾯积，再⽤⼏何概型的概率公式进⾏求解. 详解：连接AE ，由圆的对称性得阴影部分的⾯积等于ABE ?的⾯积，易知1=4ABE ABCDS S ?正⽅形，由⼏何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为14P =.故选D. .点睛：本题的难点是求阴影部分的⾯积，本解法利⽤了圆和正⽅形的对称性，将阴影部分的⾯积转化为求三⾓形的⾯积.5.已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐1q ≠-，且()54323a a a a +=+91239a a a a =L （） A. 9- B. 9C. 81-D. 81【答案】B 【解析】分析：⾸先利⽤等⽐数列的项之间的关系，求得公⽐q 的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第⼏项，再结合题中所给的数列的⾸项得出结果.详解：根据题意可知254323a a q a a +==+，942991239551139a a a a a a a q ?===?=?=，故选B.点睛：该题考查的是等⽐数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式⼦化简，利⽤⾸项和公⽐求出结果.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的⼀个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的⽅程为( )A. 22188x y -=B. 2211616x y -=C. 22188y x -=D. 22188x y -=或22188y x -= 【答案】A 【解析】分析：先利⽤双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利⽤焦点位置确定双曲线的类型，最后利⽤⼏何元素间的等量关系进⾏求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，⼜双曲线2222:x y C a b-=的⼀个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的⽅程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的⼏何性质，要注意以下等价关系的应⽤：等轴双曲线的离⼼率为2，其两条渐近线相互垂直. 7.已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该⼏何体是由圆柱的⼀半（沿轴截⾯截得，底⾯半径为1，母线长为3）和⼀个半径为1的半球组合⽽成（部分底⾯重合），则该⼏何体的表⾯积为12π+π2π3236π62S =+??+?=+. 【名师点睛】先利⽤三视图得到该组合体的结构特征，再分别利⽤球的表⾯积公式、圆柱的侧⾯积公式求出各部分⾯积，最后求和即可.处理⼏何体的三视图和表⾯积、体积问题时，往往先由三视图判定⼏何体的结构特征，再利⽤相关公式进⾏求解. 8.设x ，y 满⾜约束条件0,2,xy x y ≥??+≤?则2z x y =+的取值范围是（）A. []22-,B. []4,4-C. []0,4D. []0,2【答案】B 【解析】分析：⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，是两个三⾓形区域，结合⽬标函数的属性，可知其为截距型的，从⽽确定出在哪个点处取得最⼩值，哪个点处取得最⼤值，从⽽确定出⽬标函数的范围. 详解：直线2x y +=-与x 轴交于(2,0)A -点，与y 轴交于(0,2)B -点，直线2x y +=与x 轴交于(2,0)C 点，与y 交于(0,2)D 点，题中约束条件对应的可⾏域为,AOB COD ??两个三⾓形区域，移动直线2y x z =-+，可知直线过点A 时截距取得最⼩值，过点C 时截距取得最⼤值，从⽽得到min max 2(2)04,2204z z =?-+=-=?+=，从⽽确定出⽬标函数的取值范围是[4,4]-，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，判断⽬标函数的类型，属于截距型的，从⽽判断出动直线过哪个点时取得最⼩值，过哪个点时取得最⼤值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9.在印度有⼀个古⽼的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明⼈——宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个⼩格⾥，赏给我1粒麦⼦，在第2个⼩格⾥给2粒，第3⼩格给4粒，以后每⼀⼩格都⽐前⼀⼩格加⼀倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆⼈吧！”国王觉得这要求太容易满⾜了，就命令给他这些麦粒．当⼈们把⼀袋⼀袋的麦⼦搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚⾄全世界的麦粒全拿来，也满⾜不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下⾯是四位同学为了计算上⾯这个问题⽽设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等⽐数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进⾏验证. 详解：由题意，得每个格⼦所放麦粒数⽬形成等⽐数列{}n a ，且⾸项11a =，公⽐2q =，所设计程序框图的功能应是计算2641222S =++++，经验证，得选项B 符合要求.故选B . 点睛：本题以数学⽂化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满⾜()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最⼩值为（）A. 494-B. 498-C. 14-D. 28-【答案】C 【解析】分析：⾸先对题中所给的数列的递推公式进⾏变形，整理得出数列25n a n ??-为等差数列，确定⾸项和公差，从⽽得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利⽤其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从⽽能够判断出n m S S -在什么情况下取得最⼩值，并求出最⼩值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--，式⼦的每⼀项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n na a n n +-=+--，所以数列25n a n ??-??是以15525=--为⾸项，以1为公差的等差数列，所以5(1)1625na n n n =-+-?=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从⽽得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最⼩值，且5234536514n m S S S a a S a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从⽽借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，⽽题中要求的n m S S -的值表⽰的是连续若⼲项的和，根据通项公式判断出项的符号，从⽽确定出哪些项，最后求得结果.11.已知菱形ABCD 的边长为060BAD ∠=，沿对⾓线BD 将菱形ABCD 折起，使得⼆⾯⾓A BD C --的余弦值为13-，则该四⾯体ABCD 外接球的体积为( )A.B.C.D. 36π【答案】B 【解析】【分析】⾸先根据题中所给的菱形的特征，结合⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，先找出⼆⾯⾓的平⾯⾓，之后结合⼆⾯⾓的余弦值，利⽤余弦定理求出翻折后AC 的长，借助勾股定理，得到该⼏何体的两个侧⾯是共⽤斜边的两个直⾓三⾓形，从⽽得到该四⾯体的外接球的球⼼的位置，从⽽求得结果. 【详解】取BD 中点M ,连结,AM CM ，根据⼆⾯⾓平⾯⾓的概念，可知AMC ∠是⼆⾯⾓A BD C --的平⾯⾓，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32AM CM ===，此时满⾜ 2199233()243AC =+--=，从⽽求得AC =，22222AB BC AD CD AC +=+=，所以,ABC ADC ??是共斜边的两个直⾓三⾓形，所以该四⾯体的外接球的球⼼落在AC 中点，半径2ACR ==所以其体积为34433V R ππ==?=，故选B. 【点睛】该题所考查的是有关⼏何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明⽩外接球的球⼼的位置，这就要求对特殊⼏何体的外接球的球⼼的位置以及对应的半径的⼤⼩都有所认识，并且归类记忆即可. 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下⾯对函数()f x 的描述正确的是（）A. ()3,x ?∈-+∞，()13f x ≥B. ()3,x ?∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ?∈-+∞，()01f x =- D. ()()min 0,1f x ∈【答案】B 【解析】分析：⾸先应⽤导数研究函数的单调性，借助于⼆阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的⽅程，在中学阶段是解不出来的，所以⽤估算的办法求出来，之后进⾏⽐较，对题中各项的结果进⾏对⽐，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为(3,)-+∞，1'()3x f x e x =-+，21''()(3)xf x e x =++，可以确定''()0f x >恒成⽴，所以'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，⼜11'(1)02f e -=-<，11'()0522f -=->，所以01(1,)2x ?∈--，满⾜0'()0f x =，所以函数()f x 在0(3,)x -上是减函数，在0(+)x ∞，上是增函数，0()f x 是最⼩值，满⾜00103xe x -=+，000()ln(3)x f x e x =-+00x e x =+在1(1,)2--上是增函数，从⽽有01()()(1)1f x f x f e ≥>-=-，结合该值的⼤⼩，可知最⼩值是负数，可排除A,D ，且111e->-，从⽽排除C 项，从⽽求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利⽤导数研究函数的性质，本题借着⼆阶导来得到⼀阶导函数是增函数，从⽽利⽤零点存在性定理对极值点进⾏估算，最后不是求出的确切值，⽽是利⽤估算值对选项进⾏排除，从⽽求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最⼤值是________________．【答案】6π- 【解析】分析：先利⽤三⾓函数的变换得到()g x 的解析式，再利⽤诱导公式和余弦函数为偶函数进⾏求解. 详解：函数()()()2sin 20f x x =+<的图象向左平移3π个单位长度，得到π2π2sin[2()]2sin(2)33y x x ??=++=++，即2π()2sin(2)3g x x ?=++，⼜()g x 为偶函数，所以2πππ,32k k Z ?+=+∈，即ππ,6k k Z ?=-+∈，⼜因为0?<，所以的最⼤值为π6-. 点睛：本题的易错点是：函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3π个单位长度得到 ()g x 的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于⾃变量""x ⽽⾔，不要得到错误答案“π()2sin(2)3g x x ?=++”. 14.已知0a >，0b >，6b ax x ??+ ??展开式的常数项为52，则2+a b 的最⼩值为__________．【答案】2 【解析】分析：由题意在⼆项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为52，确定出12ab =，再利⽤基本不等式求得2+a b 的最⼩值.详解：6()bax x+展开式的通项公式为666166()()rrr r r r r r r b T C ax a b C x x----+==，令620r -=，得3r =，从⽽求的333652C a b =，整理得12ab =，⽽22a b +≥==，故答案是2. 点睛：该题考查的是有关⼆项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚⼆项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利⽤基本不等式求最值的问题，注意其条件是⼀正⼆定三相等.15.已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1 【解析】分析：⾸先应⽤条件将函数解析式化简，通过解析式形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的⾃变量，从⽽将不等式转化为3(log )(0)f x f <，进⼀步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当0m =时，2()log (41)xf x =+是R 上的增函数，且2(0)log (11)1f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为3(log )(0)f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从⽽得答案为(0,1).点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满⾜的不等式，从⽽求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16.设过抛物线()220y px p =>上任意⼀点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另⼀个交点为Q ，则ABQ ABOS S ??=__________．【答案】3 【解析】分析：画出图形，将三⾓形的⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后转化为坐标⽐，设出点的坐标，写出直线的⽅程，联⽴⽅程组，求得交点的坐标，最后将坐标代⼊，求得⽐值,详解：画出对应的图就可以发现，1ABQ Q P Q ABOP PS x x y PQ S OP x y ??-===-设211(,)2y P y p ，则直线121:2y OP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联⽴，可求得14Q y y =，从⽽得到⾯积⽐为11413y y -=，故答案是3. 点睛：解决该题的关键不是求三⾓形的⾯积，⽽是应⽤⾯积公式将⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后将长度⽐转化为坐标⽐，从⽽将问题简化，求得结果.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17.在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =o ，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，ANBM =，求AM 的值；（2）若12b =，求ABC ?的⾯积.【答案】（1）213（2）24283+. 【解析】分析：第⼀问根据题意得出两个点的位置，从⽽设出对应的边长，在三⾓形中，应⽤余弦定理求得x所满⾜的等量关系式，求得对应的值，再放在三⾓形中应⽤余弦定理求得对应的边长，第⼆问根据正弦定理找出⾓所满⾜的条件，最后利⽤⾯积公式求得三⾓形的⾯积.详解：（1）由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM x=，则2BN x=，23AN x=，⼜60B=o，8AB=，在ABN中，由余弦定理得22 12644282cos60x x x=+-??o，解得2x=（负值舍去），则2 BM=.在ABN中，22182282522132AM=+-==.(2）在ABC中，由正弦定理sin sinb cB C=，得38sin32sin12c BCb===.⼜b c>，所以B C>，则C为锐⾓，所以6cos C=.则()3613323sin sin sin cos cos sin2A B C B C B C+=+=+=?+?=，所以ABC的⾯积1323sin48242832S bc A+==?=+.点睛：该题所考查的是有关利⽤正余弦定理解三⾓形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满⾜的条件，对解出的结果进⾏相应的取舍，将⾯积公式要⽤活.18.如图，在五⾯体ABCDEF中，四边形EDCF是正⽅形，AD DE=，090ADE∠=，120ADC DCB∠=∠=.(1)证明：平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF ； (2)求直线AF 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】分析：第⼀问证明⾯⾯垂直，在证明的过程中，利⽤常规⽅法，抓住⾯⾯垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第⼆问求的是线⾯⾓的正弦值，利⽤空间向量，将其转化为直线的⽅向向量与平⾯的法向量所成⾓的余弦值的绝对值，从⽽求得结果.详解：（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ?平⾯ABCD ，且AD CD D =I ，所以DE ⊥平⾯ABCD .⼜DE ?平⾯EDCF ，故平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平⾯ABFE . ⼜平⾯ABCD ?平⾯ABFE AB =，故//AB CD . 所以四边形ABCD 为等腰梯形.⼜AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA u u u v的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ??- ? ???，()B ，所以3,12FA ??=- ? ???u u u v，()DB =u u u v，12DF ??=- ? ???u u u v . 设平⾯BDF的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ??=??=?u u u v u u u v 所以0,10,22x y z ?=??-++=??取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =， cos ,FA n FA n FA n ?===u u u vu u u v u u u v .设直线与平⾯BDF 所成的⾓为θ，则sin θ=. 所以直线AF 与平⾯BDF点睛：该题在解题的过程中，第⼀问⽤的是常规法，第⼆问⽤的是空间向量法，既然第⼆问要⽤空间向量，则第⼀问也可以⽤空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题⽅法是不唯⼀的.19.经销商第⼀年购买某⼯⼚商品的单价为a （单位：元），在下⼀年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠⼒度越⼤，具体情况如下表：上⼀年度销售额/万元[)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[)400,500[)500,+∞商品单价/元 a0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商⼀年的销售额，得到下⾯的柱状图.已知某经销商下⼀年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该⼯⼚针对此次的调查制定了如下奖励⽅案：经销商购买单价不⾼于平均估计单价的获得两次抽奖活动，⾼于平均估计单价的获得⼀次抽奖活动.每次获奖的⾦额和对应的概率为记Y （单位：元）表⽰某经销商参加这次活动获得的资⾦，求Y 的分布及数学期望. 【答案】（1）0.873a （2）见解析【解析】分析：第⼀问根据题意，列出对应的变量的分布列，利⽤离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第⼆问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利⽤公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：X 的平均估计值为：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.（2）购买单价不⾼于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==?=，()1113313100002424432P Y ==?+??=，()2111331500024416P Y C ===，()11112000024432P Y ==??=.所以Y 的分布列为()31331500010000150002000093758321632E Y =?+?+?+?=（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，⼀定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有⽤，会提⽰我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式⼀定要熟记并能灵活应⽤.20.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．【答案】（1）1 2-（2解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=.(1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，⼜MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以21211 2y y x x -=--. 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时,11 m n +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的⽅程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联⽴⽅程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ?=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k -=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利⽤抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进⽽确定椭圆的标准⽅程，再利⽤点差法求直线的斜率；（2）设出直线的⽅程，联⽴直线和椭圆的⽅程，得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数的关系进⾏求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ?+=+=?? 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，⼜MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-.（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的⽅程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联⽴⽅程得()222,28,y k x x y ?=-?+=?消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210k k k k ?=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+.所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ??+++=+=?++?为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利⽤点差法进⾏求解，⽐联⽴⽅程的运算量⼩，另设直线⽅程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解. 21.已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成⽴，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】分析：第⼀问给⾃变量赋值求得解析式，利⽤导数研究函数的单调性即可，第⼆问关于恒成⽴问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的⾛向，所以离不开求导确定函数的单调区间. 详解：（1）由()()0120f f =+，得()01f =-. 因为() ()2220xx f x ee f =-'-'，所以()()0220f f =-'-'，解得()00f '=.所以()22xx f x ee =-，()()22221x x x xf x e e e e ='=--，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）令()()()221xxx g x af x e x aea e x =-+=-++，根据题意，当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成⽴.()()()()222211211x x x x g x ae a e ae e '=-++=--.①当102a <<，()ln2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()ln2,a -+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a ∈-+∞，所以不符合题意；②当12a ≥，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所有恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()0,x ∈+∞都成⽴”的充要条件是()00g ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上，a 的取值范围是[]1,0-.点睛：该题属于导数的综合应⽤问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这⼀步必须保持头脑清醒，第⼆问在证明不等式恒成⽴的时候，可以构造新函数，恒成⽴问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进⾏讨论.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中,直线l的参数⽅程为34x y a ?=?=?,（t 为参数），圆C 的标准⽅程为22(3)(3)4x y -+-=.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标⽅程； (2)若射线(0)3πθρ=>与直线l 的交点为M ,与圆C 的交点为,A B ,且点M 恰好为线段AB 的中点,求a 的值.【答案】（1）cos sin ρθρθ-304a -+=.26cos 6sin 140ρρθρθ--+=（2）94a = 【解析】分析：（1）将直线l 的参数⽅程利⽤代⼊法消去参数，可得直线l 的直⾓坐标⽅程，利⽤cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的极坐标⽅程，圆的标准⽅程转化为⼀般⽅程，两边同乘以ρ利⽤利⽤互化公式可得圆C 的极坐标⽅程；（2）联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得3,23M π??+ ? ???，将323M π??+ ? ???代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，解⽅程即可得结果.详解：（1）在直线l 的参数⽅程中消去t 可得，304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代⼊以上⽅程中，所以，直线l 的极坐标⽅程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标⽅程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ??，2,3A πρ??，3,3B πρ??. 联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=，即3M π.把3M π代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a ++=，所以94 a =.。
广州一模理科数学试题与答案全word版
A数试卷类型：年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2018学（理科）2018.3分钟150分．考试用时120本试卷共4页，21小题，满分注意事项：铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在2B1．答卷前，考生务必用铅笔将试2B/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用的市、县）填涂在答题卡相应位置上。
卷类型（A铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，2B2．选择题每小题选出答案后，用用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位3置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，2B4．作答选做题时，请先用答案无效。
．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
51ShV?hS是锥体的底面积，，其中参考公式：锥体的体积公式是锥体的高．3????1??12nnn??2222*???n?2?13N?n．6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2??m4ii??3m?i的值为是虚数单位，若1．已知，则实数2?2?2?2B．．A．C．D cca CbB2ABCC?BA为2．在△，若中，角，，，所对的边分别为，则，b C2cosC2cosB2sinB2sin B．．A．DC．22????1x?12??y?xy?对称的圆的方程为．圆3关于直线2222????????1?y?12?12x?1??y??x．A．B2222????????1?y?2x?2?y?1?1x?1? D．C．??2?faxx??x1a R的取值范围为4的定义域为实数集，则实数．若函数????????????2,2?2,?????2,2?,22,?????2,．AB．C．．D1 / 16．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制5组距频率/0.030 ??50,60，成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为0.0250.020 ????????90,10080,9060,7070,80，，，．若用分层抽0.0150.010??80,100范围内的数据16样的方法从样本中抽取分数在个，0100 90 60 70 80 50 分数??90,100则其中分数在范围内的样本数据有1图个个D．10A．5个B．6个C．8?3?AZA?xx?Z?且6．已知集合，则集合中的元素个数为??x?2??5．．4DA．2B．3C b=aab a b．设成立的一个必要非充分条件是，是两个非零向量，则使7????0?ba b?ab?baa?B．D．A．C．mmaama bbb0m?同余，记为8．设和，和，），若为整数（被对模除得的余数相同，则称????20012220m?abmodmod10ba?2C2?C??C?2????aC b，则．若的值可以是，202020202018 ．．2018 DA．2018 B．2018 C分．分，满分30小题，考生作答6小题，每小题5二、填空题：本大题共7 13题）～（一）必做题（9??1x?a?a3x?1x?的解集为，则实数．若不等式的值为．9??*kS?7N k?的值为．，则输入．执行如图2的程序框图，若输出10 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．开始k输入50?0,S?n11 22lo正（主）视侧（左）视图输出结束 4图31n?2SS??俯视图2图2 / 16?3????????????cossin．，则12．设为锐角，若????5126????1????a???SS1a?aa n，为数列中，已知．的前13项和，则，记．在数列2014n11?nnn1a?n（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）????????asin??cos?42cossin?BA与曲线中，直线，相交于两点，若在极坐标系C23?AB a的值为．，则实数PD E15．（几何证明选讲选做题）O BOCOPCPA交于是圆的切线，切点为与圆如图4，，直线CACBAPC?DABE的平分线分别交弦，，两点，，于APE PC?3PB?24图，则，两点，已知的值为．PD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）π??，0?xsinx?cosa(fx)?的图象经过点．已知函数??3??a的值；1（）求实数2??2?xf()?g(x))(xg（2）设的最小正周期与单调递增区间．，求函数．（本小题满分12分）172，甲，丙两人同时不能被聘用的概率甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是563，乙，丙两人同时能被聘用的概率是是，且三人各自能否被聘用相互独立．1025（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；??的分布列）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求2（与均值（数学期望）．3 / 16．（本小题满分14分）18D C11DDDCABCD?ABa E的正方体中，点5，在棱长为的是棱如图11111A1B E1BBFBBF?2F．中点，点上，且满足在棱11D C C?AEF）求证：；（111FCC GGEAF，，）在棱（2，使，上确定一点四点共面，并求1A GC B此时的长；1ABCDAEF5 图与平面3）求平面所成二面角的余弦值．（1419．（本小题满分分）????*ba N?n，．的首项为2，等比数列1已知等差数列，公比为2的首项为10，公差为nn????ba与）求数列的通项公式；（1nn??b,ac?min Snn．（2）设第个正方形的面积之和个正方形的边长为，求前nnnn??b,amin a b与表示的最小值．）（注：．（本小题满分14分）2022yx?????10aFF OE：，，离心率为，左，右焦点分别为已知双曲线的中心为原点2124a2a53?x0QF?PF Q EP 上，且满足上任意一点，点．，点在双曲线是直线2253a（1）求实数的值；PQOQ与直线2）证明：直线的斜率之积是定值；（M lMNN1P P上，过点，作动直线的纵坐标为与双曲线右支交于不同两点，在线段）若点（3MHPM?M NHH，，满足取异于点的点，????x2e e1??2fxx?x已知函数为证明点恒在一条定直线上．HNPN14分）21．（本小题满分????????????xtsthx,s,tts?hs,的自然对数的底数）．（其中)xf(的单调区间；（1）求函数上的取值范围为在区间，则称区间）定义：若函数（2为函数????1,)(xf上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条“域同区间”．试问函数在．理说，存若”区域的件“同间；不在请明由4 / 162018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 题号A B A D B C D A 答案二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9 10 11 12 13 14 15 题号201122?5?1? 342答案或3210三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）π???????0f，0?x?sinxacosf(x)?．的图象经过点，所以）因为函数解：（1????33????ππ????sin?cos?a??0即．????33????3a??0?．即223a?解得．f(x)?sinx?3cosx．2（）方法1 由（1）得：??22?cos?sin?x3x22(f?)xg([?x)]所以1 / 16 22x?2x?3cos?23sinx?sincosx?3sin2x?cos2x??13?2sin2x?cos2x????22???????2sin2xcos?cos2xsin??66??π???2sin2x?．??6??2???)g(x．的最小正周期为所以2??????2k?k???,2xy?sin Z?k的单调递增区间为，因为函数??22??πππ???π?π??2k?2x2kg(x)Zk?单调递增，时，函数所以当262ππ??ππ?x?kk??g(x)Z?k单调递增．时，函数即36ππ????ππ,??kk)(xg Z?k．所以函数的单调递增区间为??36??x3(fx)?sinx?cos）得方法2：由（1?????2sinxcos?cosxsin??33??π???2sinx?．??3??2π????22?2sinx??2x)]?[g(x)?f(所以????3????π??22???4sinx??3??π2???x2cos??2?????k??,2k2?x?ycos Z?k，因为函分??3??2???)xg(分所以函数的最小正周期为2数的单调递减区间为2 / 162???2k??2k???x??2)(xg Z k?所以当单调递增．时，函数3ππππ?kk??x?)(xg Z?k单调递增．（即）时，函数63ππ????ππ,?kk?)(xg Z k?．所以函数的单调递增区间为??63??）17．（本小题满分1（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）AAA 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为，，，解：（312AAA由已知，，相互独立，且满足3122???,?PA?15?6?????,?PA1?PA1??????????3125?3?????.A?PAP??????PA?PA，解得．322531所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为．，3210?3152?，3（2）．的可能取值为1???????AAAPAA?3??PPA因为332211????????????A1P?A1??PPAPPAAPA??1????????????3232112132136???????．25552552196??????3?P?P?11???1?所以．2525?所以的分布列为19252537196???3??1E?所以．2525253 / 1618．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：DB BD（1）证明：连结，，11D C11DAC?BDBCA是正方形，所以．因为四边形11111111A E B11DC?ABCDABABCD?DD平面，在正方体中，111111111DC FDDAC??ACDCAB平面，所以．111111111A BDBBDDD?DBDDD?DB，，因为平面，111111111?ACDBBD．平面所以1111C?BBDDEFA?EF，所以平面．因为1111CCAEBH BHH的中点，连结．2（）解：取，则1D C11G CCBBAEBHFGFG F在平面，则．中，过点作A11H E B11GEGEAF，，连结，则四点共面．，D1111C aCH?CC?aHG?BFCC??，，因为F 112233A1B GCaHG???CCCH?．所以1161GCa?GEAF时，，四点共面．，故当，16 MEFDB?AMDBEF，，连结）延长，，设（3ABCDAEFAM是平面与平面的交线．则D NFN?BNAMB过点作，，垂足为，连结C11BFB?BNAMFB?，因为，A BNF?AM所以．平面1B E1FNBNFFN??AM因为平面．，所以ABCD?FNBAEF与平面所成所以为平C二面角的平面角．1Aa B2MBBF3???因为，N13MDDEa 2M4 / 16MB2?，即3aMB?2a2MB?2所以．135??ABM aAB?ABM中，，，在△222cos135?MB?2?AB?MBAM?AB?所以??2??222a?13AMa?13?a?a?22a?2?a?22?．即．????2??11sin135?MB?AM?BN?AB因为，222?2aa?2132AB?MB?sin1352??aBN?所以．13AMa1322??1327131??22a??a?aFN?BF?BN所以．??????39133????6BN?cos?FNB?所以．7FN6ABCDAEF所成二面角的余弦值为与平面故平面．7空间向量法：zDD DCDDA，为坐标原点，所在的直线，（1）证明：以点D1C11x y z轴，分别为轴，建立??????1B aC,,0,aA,0,0a0,AaaE，，，则11111D????如图的空间直角坐标系，轴，Ay a,a,aE0,0,Fa，，C????F32????A B1????x a?a,a,?EF,0,aa?AC?，所以．??116??220??aa?0?EFAC?因为，11CAEF?EFAC?．所以所以．1111??h,Ga0,BBCCAADD，因为平面设解：平面，）（21111BAADDBCC AEAEGFAEGF?FG?，平面，平面平面平面1111AEFG．所以5 / 16??AEFG?，使得所以存在实数．11????a?a,0,?a,0,h?FGa??AE因为，，????32????11?????a,0,?a,0,h?a??a所以．????23????5?ah?1?，所以．615GC?aa?aCG??CC?所以．11661GCa?GEAF，四点共面．故当时，，，1611????,0,aAE?0,a,a??aAF）知1解：由（（．，3）????32??????zx,?y,n AEF设是平面的法向量，?0,nAE??则?0.nAF???1?0,?ax?az???2即?1?0.??azay?3?2?y?3?6xz?，则．取，??2,6n??3,AEF的一个法向量．所以是平面??aDD?0,0,ABCD 是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF所成的二面角为设平面与平面，nDD1??cos (1)则DDn1?06??．72??22a6?2?3??6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（1）、（2）给分同推理论证法．DD DCDDA所在的直线解：3（）以点为坐标原点，，，16 / 16x y z轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，分别为11??????aFa,aE0,0,,a,0,0Aa，，则，????32????zD C111????1a,AF,0,a?0,aAE??a则，．????32????A1B E1??zx,y,n?AEF设是平面的法向量，D y C F1?0,az??ax???0,?nAE??2AB则即??10.AF?n???x 0.??ayaz?3?2??y3?xz?6．，取，则??2,6??3,n AEF是平面的一个法向量．所以??a?0,0,DDABCD是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF设平面与平面所成的二面角为，DDn1??cos1…则DDn1??6a?2?0?3?0??6??．72??22a2?3??6?6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7）19．（本小题满分1（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）??a 2，10的首项为（解：1）因为等差数列，公差为n??2?n??a10?1所以，n8??2na即．n??b 2，的首项为1因为等比数列，公比为n1?n21??b所以，n1?n2b?．即n7 / 16a?10a?12a?14a?16a?18a?20，，，）因为，，，（2531246b?1b?16b?328??b?2b4b．，，，，，615423a?b5n?．时，易知当nn b?a6n?成立．时，不等式下面证明当nn6?1?20?2?6?8?a32b?2?6n?，不等式显然成立．时，当方法1：①66??k?16k??2k?28kn?．时，不等式成立，即②假设当 ????????1?kk?8k?k2?2?2?6?2?k?12?8?1?222k?8．则有n?k?1时，不等式也成立．这说明当n?6的所有整数都成立．综合①②可知，不等式对b?a6n?．时，所以当nn n?6时因为当方法2：n?1??????1?n8?22n?8???ba?21?1?nnn????n021?18??C??CC?2?n?C1?n?1n?1nn?1????02n?112n?3n?8n??2?C?C?C??CC?C1n?n?1?11n?1nn?1?n????0128??C2?C?C?2n1nn?1?n?1????2?0n?4???nn?3n?6?6n，b?a6?n．所以当时，nnn?1?,n2?5,???b,ac?min所以?nnn n?8,5.2n??22n??n2,?5,?2?c则?n2??5.?n?4,n4??5n?当时，2222c??c??S?cc nn3122222b???b?b?bn2130242n?22???2?22???n?1??4．n4?111?438 / 16n?5时，当????222222aba???ab??b???2222c??cS?c??c n3n21??222????????5?n?4?4?7?4?46?14??n761251??3????????2225n???n?n???8166?7?341?4?67????????????2222225?2???n5n?341?4?1?2??641?326?7?n?? ??????????5?n6?n?1n2n?1n??????32?4?55?64n?5?341??62??424223?n???18n679n．331???n n??15,,4??3S?综上可知，?n2424?23nn??5.n?n679,?18?33?20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）c E，设双曲线的半焦距为（1）解：?c35,??由题意可得5a??22?4.?ca?a?5．解????x??tP,y3,0xQF,）可知，直线1），点证明：由（2．设点，,（??002得25a5??333??5????0x,?yt3?,??3?0QF?PF，所以因为．??00223??4??3?tyx?．所以????22001??yxQ,5?y?xE上，所以在双曲线，即．因为点00005459 00322yx4/ 162ty?yy?ty0000???k?k所以OQPQ55x2xx?x?0????23??x?x540053??．552xx?0034OQPQ 0003344????,1P yMy,Hxx,lE，的右支交于不同两点（3）所以直线的斜率之积是定值与直线．55??证法1：设点的直线，且过点与双曲线????????2222222220y??54x yN,x5x?xy?y??520y??54x，即，，，则．113??44222112221155??,PNPM?MHPM????，则设．?HNPN?.MH?HN??55??????,1y??,y?1??x,x??????????.yx?x,yyx?x,y????22115?????,1??x?x①?123????,1??y?y②221133????即????2222??,x?xx?1?⑤?213由①×③，整理，得?21?????,x?1x?x?③21?????.1?y?y?y④??215?②×④得????2222??.y1y?y??⑥?2144????22225?x?yxy??5代入⑥，将，212155222?x?x421???4y得⑦．2??1544?y?x．将⑤代入⑦，得30?3y?12?4x H所以点恒在定直线上．lk依题意，直线证法2：存在．的斜率5???k1y??x l，的方程为设直线??3??10 / 16?5??,?x?1?ky???3???由?22yx?1.???54???????2222y0?5k??3kx?255k9?k94?56xk?30消去．得????yN,x,yMxlE与双曲??????22220,?6?900k4?5k?95k5??900k?3k??线，的右支交于不同两点因为直线，2112????2k?30k53?,?x?x②则有???2124?95k????29k?525k?6??x.x ①???21245k?9?5?xMHPMx?x131??，得由．③?5HNPNx?x?x1223????0??103x?5xx?x6xx?1 ．整理得???? 2211??????22kx?5?15035k5?6k?930k3010x???将②③代入上式得．??015?5?k?4x3x?224?599kk5?4整理得④．5???x1??ky lH⑤因为点．在直线上，所以??3??0?4x3y?12?k 得联立④⑤消去．04x?3??12y H恒在定直线所以点上．y x0y3?12?4x?H恒在定直线上，无需求出的范围．）3（本题（）只要求证明点或）21．（本小题满分1（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）????x2e1??2fxx?x，（解：1）因为??x2e??x1xx2x?1)e??x(?2x?x2)e?(?x1)ex?1)((2)f(x?．所以?????????,???1fx?01,)x(f1x1?x??和或当时，，即函数的单调递增区间为．11 / 16 ?????,1?f?0x1)xf(11?x??．时，当，即函数的单调递减区间为??????,1??,?1?11,??)f(x．和所以函数，单调递减区间为的单调递增区间为????1,)x(f[s,t](1?s?t)，上存在“域同区间”2）假设函数在（????1,)xf(上是增函数，）知函数在由（12s f(s)?s,?,?(s?1)s?e?所以即??2t f(t)?t.(t?1)?e?t.??2x xe?(x?1)也就是方程1的相异实根．有两个大于x22x?11)e?(x)?(x?g(gx)?(x?1)e?x(x?1)．，则设??????x2x2??1(x)?(x?g1)e??xhe1xx?x?h?2，则．设???????xh???0xh1,)??(1,上单调递增．在因为在，所以上有??2??0?3eh?21?0??11h?因为，，????,21x??0xh．即存在唯一的，使得00????????x?x,1?xxh1,x??g0)xg(上是减函数；当时，，即函数在00??????????xx?,???g?0,xhxx?)g(x上是增函数．时，在当，即函数????1,)(gx上只有一个零点．在区间所以函00??2??1g?10g(x)?g(1)?0g(2)?e?2?0，因为，，0????1,)x(f在上不数2x x??1)ex(有两个大于这与方程1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．存在“域同区间”．所以函数12 / 16。
最新【省会检测】广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1﹣i）2=4i，则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A={x|＜0}，B={x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}=（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}3．若A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（）A．B．C．D．6．已知二项式（2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件，则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则数对（a，b）为（）A．（﹣3，3）B．（﹣11，4）C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11）11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x）=2x2，当x＜0时，f'（x）+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，则实数a的最小值为（）A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若||=||+||，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n }满足++…+=5﹣（4n +5）（）n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i （岁）与身高的中位数y i （cm ）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（yi）（xi ））（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x 2+10.17x +68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CS=2，∠BSD=90°．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若SC⊥BD，求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．20．（12.00分）已知圆的圆心为M，点P是圆M上的动点，点，点G在线段MP上，且满足．（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点T（4，0）作斜率不为0的直线l与（1）中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=ax+lnx+1．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）对任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1﹣i）2=4i，则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z（1﹣i）2=4i，∴z==﹣2．则复数z的共扼复数=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设集合A={x|＜0}，B={x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}=（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁R A、∁R B，即可得出结论【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x≤﹣3}，则∁R A={x|x≤﹣3或x≥1}，∁R B={x|x＞﹣3}；∴（∁R A）∩（∁R B}={x|x≥1}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．若A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n==120，A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，由此能求出A，B两位同学不相邻的概率．【解答】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，基本事件总数n==120，A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，∴A，B两位同学不相邻的概率为p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：赋值，n=2，S=0，第一次执行循环体后，S=0+，n=2+2=4；判断4≥19不成立，第二次执行循环体后，S=+，n=2+4=6；判断6≥19不成立，第三次执行循环体后，S=+，n=6+2=8；判断8≥19不成立，第四次执行循环体后，S=++，n=8+2=10；…判断18≥19不成立，执行循环体后：S=+++…+，n=18+2=20判断20≥19成立，终止循环，输出S=+++…+=（）=．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．已知，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，则=sin[﹣（x+）]=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．6．已知二项式（2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．84【分析】由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为﹣1求得r值，则答案可求．【解答】解：由二项式（x﹣）n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n=128，即n=7，∴（2x2﹣）n=（2x2﹣）7，=•x14﹣3r．由T r+1取14﹣3r=﹣1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．4【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，从而可得该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，且AB=2，BC=4、AD=2，PA=2，PA⊥平面ABCD，由图可得，PD=2，CD=2，PC==2，PB=2，则该几何体的表面积为：S△PAB+S△PAD+S△PBC+S ABCD+S△PDC=+=．故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8．若x，y满足约束条件，则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+2x+y2=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+2x+y2=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，∴z=x2+2y+y2的最小值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，∴，k∈Z解得：∵ω＞0，当k=0时，可得：．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用．属于基础题．10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则数对（a，b）为（）A．（﹣3，3）B．（﹣11，4）C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11）【分析】求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出检验即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，若f（x）在x=1处的极值为10，则，解得：或，经检验，a=4，b=﹣11，故选：C．【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出【解答】解：由|AB|=2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣=1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x=c，代入﹣=1，可得y=b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴=（c，b），设E（x，y），∴=（x+c，y），∵=，∴（x+c，y）=（c，b），解得x=﹣c，y=b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）=1，即e2﹣（﹣1）=，即e2=7，即e=，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x）=2x2，当x＜0时，f'（x）+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，则实数a的最小值为（）A．B．﹣1 C．D．﹣2【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，判断g（x）的奇偶性和单调性，得出a的范围．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣2x2=0，∴g（x）是奇函数．当x＜0时，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴g（x）在R上是减函数．∵f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，∴f（a+1）﹣a2﹣2a﹣1≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，即f（a+1）﹣（a+1）2≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，即g（a+1）≤g（﹣a），∴a+1≥﹣a，即a≥﹣．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若||=||+||，则实数m=2．【分析】根据题意，求出向量+的坐标，进而可得向量+与、的模，分析可得=+，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（m，2），=（1，1），则+=（m+1，3），则|+|=，||=，||=，若||=||+||，则有=+，解可得：m=2；故答案为：2．【点评】本题考查模的计算，关键是分析向量与的关系．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．【分析】利用等体积法，设内切球半径为r，则r（S△ABC +S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA•S△ABC，解得求出r，再根据球的体积公式即可求出．【解答】解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴V P﹣ABC=×PA•S△ABC=，设内切球半径为r，则r（S△ABC +S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA•S△ABC，解得r=．故答案为：．【点评】本题考查四面体内切球的体积求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为﹣．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式，以及正弦定理即可求出．【解答】解：∵2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，∴2sinA（cosθcosB+sinθsinB）+2sinB（cosθcosA﹣sinθsinA）+sinC=0，∴2sinAcosθcos B+2sinAsinθsinB+2sinBcosθcosA﹣2sinBsinθsinA+sinC=0，∴2cosθ（sinAcosB+cosAsinB）+2sinθ（sinAsinB﹣sinBinA）+sinC=0，∴2cosθsin（A+B）+sinC=0，∴2cosθsinC+sinC=0，∴cosθ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理，属于基础题．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=64．【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126=27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．【解答】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n 行．126=27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4=31+2，∴S126=2×31+2=64，故答案为：64【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意可得：=1+2（n﹣1），可得：S n=2n2﹣n．n≥2时，a n=S n ，n=1时，a1=1．可得a n．﹣S n﹣1（2）++…+=5﹣（4n+5）（）n，n≥2时，++…+=5﹣（4n+1），相减可得：=（4n﹣3）×，进而得出b n．即可得出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可得：=1+2（n﹣1），可得：S n=2n2﹣n．∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣n ﹣[2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）]=4n ﹣3．n=1时，a 1=1．对上式也成立．∴a n =4n ﹣3．（2）++…+=5﹣（4n +5）（）n ，∴n ≥2时，++…+=5﹣（4n +1）， 相减可得：=（4n ﹣3）×，∴b n =2n ． ∴数列{b n }的前n 项和T n =2×=2n +1﹣2．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i （岁）与身高的中位数y i （cm ）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（y i ）（x i ））（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x 2+10.17x +68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）将x=11代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07和（1）问中的方程，得到的结果与145.3cm比较，即可判断【解答】解：（1）由题意，=5.5，=112.45，==≈6.87，=﹣=112.45﹣6.87×5.5≈74.67；∴y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67；（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．当x=11时，代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．可得y=142.74；当x=11时，代入回归方程是y=6.87x+74.67；可得y=150.24；由11岁男童身高的中位数为145.3cm．可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大．故回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好．【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．19．（12.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CS=2，∠BSD=90°．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若SC⊥BD，求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，再由已知证明△COD≌△COS，可得∠COD=∠COS=90°，即AC⊥OS，则AC⊥平面SBD；（2）由（1）知，AC⊥BD，又SC⊥BD，可得BD⊥平面SAC，则平面SAC⊥平面SBD，在平面SBD中，过O作OH⊥SB，连接AH，可得∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】（1）证明：∵△ABD为正三角形，CB=CD，取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，垂足为O，∵∠BSD=90°，∴△BSD为直角三角形，∵O为BD中点，∴OD=OS，在△COD与△COS中，∵OD=OS，CS=CD，OC=OC，∴△COD≌△COS，则∠COD=∠COS=90°，∴AC⊥OS，则AC⊥平面SBD；（2）解：由（1）知，AC⊥BD，又SC⊥BD，∴BD⊥平面SAC，则平面SAC⊥平面SBD，在平面SBD中，过O作OH⊥SB，垂足为H，连接AH，可得AH⊥SB，∴∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角，在△BCD中，由CB=CD=2，∠BCD=120°，可得OB=OD=，则OS=，则△SOB为等腰直角三角形，则H为SB的中点，∴OH=，AO=3，AH=，∴cos∠AHO=，即二面角A﹣SB﹣D的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查二面角的平面角的求法，是中档题．20．（12.00分）已知圆的圆心为M，点P是圆M上的动点，点，点G在线段MP上，且满足．（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点T（4，0）作斜率不为0的直线l与（1）中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ面积的最大值．【分析】（1）根据向量知识可知GN=GP，从而可得|GM|+|GN|=4，结合椭圆定义得出轨迹方程；（2）设l斜率为k，联立方程组求出k的范围和A，B两点的坐标的关系，根据弦长公式计算|AB|，求出Q点坐标计算Q到直线AB的距离d，得出△ABQ面积关于k的函数，从而求出面积的最大值．【解答】解：（1）M（﹣，0），|MP|=4．∵，∴﹣=0，即|GN|=|GP|．又G在线段MP上，∴|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=4．又|MN|=2＜|MP|，∴G点轨迹是以M，N为焦点的椭圆．设G的轨迹方程为=1，则2a=4，即a=2，c=，∴b==1，∴点G的轨迹方程为+y2=1．（2）由题意可知直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，﹣y1），联立方程组，消元得：（1+k2）x2﹣8k2x+16k2﹣4=0，由△＞0可得64k4﹣4（1+k2）（16k2﹣4）＞0，解得k2＜．由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===，直线BD的方程为，令y=0可得x====1，即Q（1，0），∴Q到直线AB的距离d=，==||=6，∴S△ABQ令=t，则＜t＜1，∴﹣+﹣3=﹣4t2+7t﹣3=﹣4（t﹣）2+．∴当t=时，﹣+﹣3取得最大值，∴S的最大值为6×=．△ABQ【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=ax+lnx+1．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）对任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）=0，得﹣a=，x＞0，求得右边函数的导数，以及单调性和最值，即可得到所求零点个数；（2）任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，即为a≤e2x﹣恒成立，设h（x）=e2x﹣﹣2，设m（x）=xe2x﹣lnx﹣1﹣2x，x＞0，求得导数，单调性和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax+lnx+1，由f（x）=0，可得﹣a=，x＞0，设g（x）=，x＞0，g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，可得x=1处g（x）取得最大值1，如图所示：当﹣a≤0或﹣a=1，即a≥0或a=﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）有一个交点，当0＜﹣a＜1即﹣1＜a＜0时，直线y=﹣a与y=g（x）有两个交点，当﹣a＞1即a＜﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）没有交点，综上可得，a＜﹣1，函数f（x）零点的个数为0；﹣1＜a＜0，函数f（x）零点的个数为2；a≥0或a=﹣1时，函数f（x）零点的个数为1；（2）任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，即为a≤e2x﹣恒成立，设h（x）=e2x﹣﹣2=，设m（x）=xe2x﹣lnx﹣1﹣2x，x＞0，m′（x）=e2x+2xe2x﹣﹣2=（1+2x）（e2x﹣），设e2x﹣=0的根为a，即有x＞a，m（x）递增；0＜x＜a时，m（x）递减，可得x=a处m（x）取得最小值m（a），由m（a）=ae2a﹣lna﹣1﹣2a=1﹣lne﹣2a﹣1﹣2a=0，可得h（x）≥0恒成立，即有e2x﹣≥2，则a≤2，即a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查函数导数的运用，求函数的单调性和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．转化为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x．（Ⅱ）直线l与曲线C交于两点A，B，则：把（t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，整理得：．由于|PA|•|PB|=2，故：．解得：m=2或﹣1【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．【分析】（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．可得|x+1|，即可得出．（2）a＞0，b＞0，对a，b分类讨论：x≥时，f（x）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣5x﹣2a+b．利用一次函数的单调性及其函数f（x）的最小值为2，可得：当x=时，=2，即可得出．【解答】解：（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．∴|x+1|，∴x+1，x+1，解得x，或x．∴不等式f（x）≥3|x|+1的解集为{x|x，或x}．（2）a＞0，b＞0，x≥时，f（x）=2（x+a）+（3x﹣b）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣5x﹣2a+b．∵函数f（x）的最小值为2，∴当x=时，=+2a﹣b=2，可得：6a+2b=6，∴3a+b=3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018广东省一模理科数学(含答案)
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广东省广州市2018届高三综合测试(一)数学理
AC 5 ，双曲线
D
C
E
过 C ， D ， E 三点，且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为
A
B
A． 7
B． 2 2
C． 3
D ． 10
f
12．设函数
x 在 R 上存在导函数
f
x ，对于任意的实数 x ，都有 f x
f
x
2x2 ，当 x 0
时， f x 1 2x ，若 f a 1 ≤f a 2a 1，则实数 a 的最小值为
同学不相邻的概率为
4 A． 5
3 B． 5
2 C． 5
1 D． 5
4．执行如图所示的程序框图，则输出的
S
9 A ． 20
4 B． 9
2
9
C． 9 D． 40
sin x
5．已知
4
3
cos x
5 ，则
4
n 2, S 0 y log x
1 S S+
nn 2
nn2
否 n≥19? 是
输出 S 结束
4 A． 5
3 B． 5
4
3
C． 5 D． 5
6．已知二项式
n
2x2 1 x 的所有二项式系数之和等于
1 128，那么其展开式中含 x 项的系数是
A ． 84
B． 14
C． 14
D． 84
7．如图，网格纸上小正方形的边长为
1，粗线画出的是某个几何体的三
· 1·
视图，则该几何体的表
A． 4 4 2 2 3
面积为
1 0, B． 2
18 ,
C． 2 3
3 ,2
D． 8
10．已知函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 处的极值为 10 ，则数对 a, b 为
(完整)【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．26．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．14．设x，y 满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/127155人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C 过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N 两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x，其导数f′（x）=24x2﹣6，则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c==a，则双曲线C的离心率e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．6．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】解：n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=，n=100，s=，n=101＞100，结束循环，故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据正弦定理可得===，∴sinB=，sinC=，∵2bsinB+2csinC=bc+a，∴+=bc+a，∴b2+c2=abc+a2，∴b2+c2﹣a2=abc，∴==cosA=∴a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S=bcsinA=bc≤△ABC故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，∴M（﹣，0），∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣故选：C．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|，可得2﹣2a+1=2b+1﹣2，可化为2a+2b=2，当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30，可得c+d=11，令x2﹣11x+30=2，解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32，则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设t=2c，则t+在（16，32）递减，可得g（t）=t+∈（96，144），则2+2c+的范围是（98，146）．故选：B．【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴=；∴．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z=x+y 的最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=﹣．【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d．（2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．（2）=（2n+3）•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+（2n+3）•3n﹣1．∴3S n=5×3+7×32+……+（2n+1）×3n﹣1+（2n+3）×3n，∴﹣2S n=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）×3n=5+2×﹣（2n+3）×3n，解得S n=（n+1）3n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000以上步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），∴P（X≤2）=1﹣（）3=，X的数学期望E（X）=3×=．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，P（x=3，y=2）==，P（x=3，y=1）==，P（x=3，y=0）=×=，P（x=2，y=1）=×=，P（x=2，y=0）=×=，P（x=1，y=0）=×=，∴P（x＞y）=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），∴=（﹣m，2，m），，∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2．∴=（﹣2，2，2），，，设面DBF的法向量为，则，即，令y=4可得：=（3，4，），同理可得平面CDB的法向量为，∴cos＜＞===．由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，故椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||，则S=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|，△PMOS△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|，由，可得=，即有﹣2=﹣2，可得=，即=（）2=k2，由y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，即为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，可得=k2•，即有4k2=1（m≠0），可得k=﹣（舍去），则直线l的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xe x﹣a=0，讨论a的范围得出方程xe x﹣a=0的根的情况，从而得出结论；（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）e x+a（﹣1）=（x＞0），令g（x）=xe x﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）e x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=﹣a．∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点，当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．（2）当a≤0时，xe x﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e，当a＞0时，y=xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e﹣a=0，若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）=﹣e，不符合题意；若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1），则f（b）=（b﹣2）e b+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e ﹣ab＜﹣e，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=x；（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，故g（x）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z(1﹣i）2=4i,则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A=｛x|＜0}，B=｛x｜x≤﹣3},则集合{x/x≥1｝=（)A．A∩B B．A∪B C．（∁R A)∪（∁R B}D．（∁R A)∩（∁R B｝3．若A，B，C,D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为(）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（)A．B．C．D．6．已知二项式(2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+)（ω＞0)在区间[﹣，］上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2］10．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对（a,b）为（）A．（﹣3,3）B．（﹣11，4) C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11) 11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2｜CD|。
=，双曲线过C,D,E三点,且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为(）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x)在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x)=2x2，当x＜0时，f'(x)+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a)+2a+1，则实数a的最小值为（)A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若｜|=｜｜+｜|，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数,记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，数列｛}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列｛a n}的通项公式;（2）设数列{b n ｝满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列｛b n}的前n项和T n．18．（12。
(2018年广州一模理科)有答案)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =AA ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ DA ．AB IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R RI痧3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A同学不相邻的概率为BA ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =DA ．920 B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭DA ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是AA ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为C A．4+ B．14+C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为DA ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为BA ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为CA ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线D C ABE过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AAB ．C ．3D 12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为AA ．12- B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = 2 ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为36． 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为 12- ．16．我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．图②图①（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a a n b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）； （2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．()()()121nx x y y i i i b nx x i i =--∑=-∑=$已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。