第九次作业

1．什么是形式逻辑推理的基本规律？
形式逻辑推理的基本规律有同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。

同一律：在同一论证过程中，使用的概念和判断必须保持同一性，亦即确定性。

矛盾律: 在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断不能同真，其中至少有一个是假的。

排中律：在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断和否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的。

充足理由律：对于任何判断都必须有充分的根据才被认为是对的。

2．什么是归纳推理？在中学数学教学中如何运用？
归纳推理是从个别的或特殊的事物所做的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推理。

这种推理可简称为由特殊到一般的推理或者称为归纳法。

根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。

完全归纳法：如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，则这种归纳推理叫做完全归纳法。

用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要遗漏，亦即前提判断范围的总和不能小于结论
判断的范围。

不完全归纳法：如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。

在中学数学教学中，从具体数的运算概括出运算律、指数运算性质等的推理都是不完全归纳法。

要注意，根据不完全归纳法推出的结论可能是真实的，也可能是错误的。

利用不完全归纳法得出的判断，只能作为一种假设或猜想，其正确与否，尚需实践检验或证明。

4. 试举例说明分析法和综合法。

例如：θθθθππθsin 1cos cos sin 1,2-=+
≠－求证已知k 。

（1） 综合法：
证明：
θθθθθ222cos )sin 1)(sin 1(1
cos sin =+-∴=+
θθθθθθπ
πθsin 1cos cos sin 10sin 1,0cos 2
-=∴≠-≠∴+≠－又k
（2） 分析法：
证明： 0sin 1,0cos 2
≠-≠∴+≠θθπ
πθk
θ
θθθθθθ
θθθθθθsin 1cos cos sin 11cos sin cos )sin 1)(sin 1(sin 1cos cos sin 1222-==+=+--=∴－由此倒推，即可证明，显然成立。

亦即即证－要证
5．在中学数学中分别找出一个用反证法、同一法、和数学归纳
法来证明例题的例子。

反证法
例：已知a 、b 为实数，且a^2+b^2<=2ab ，求证：a=b. 证明：反证，假设,b a ≠
b a ab
b a b a b a b a b a =>+>-≠-≠-与已知矛盾，故即故为实数
、因）从而（则20
)(0
,
02222
反证法：是通过确定与论题相矛盾的反例题的虚假，根据排
中律，由假推真，来证明论题的真实性的一种论证方法。

同一法
例：如图，E 是正方形ABCD 内部的一点，连接ED ，EC ，EA ，
EB ，如果∠ECD=∠EDC=45°，求证△EAB 是正三角形。

证明：在已知正方形ABCD 内部作一正△FAB
并连接FC 和FD ，则△BCF 显然是一个等腰三角形，即ＢＣ＝BF 。

且∠CBF=90°-60°=30°
故∠BCF=90°-0.5*∠CBF=75° A B
C D
∠DCF=15°
同理
∠CDF=15°
从此可见F 与E 是同一点，所以△FAB 和△EAB 是同一个三角形，因此△EAB 是正三角形。

由上例可知，证明时先构造论题的逆命题，并且证明这个命
题的真实性，然后证明逆命题中题设所指的对象与原命题结论所指的对象是同一对象，从而肯定原命题的真实性。

这种证明方法称为同一法。

数学归纳法
例：)12)(1(6
13212222++=
+⋯⋯+++n n n n 证明： 故原等式成立。

等式也成立时，则成立等式时
假设时，等式显然成立
证明：
)32)(2)(1(6
1)1()12)(1(6
1)1(3211)12)(1(6132112
22222222+++=++++=++⋯⋯++++=++=
+⋯⋯+++==k k k k k k k k k n k k k k k n n 由上例可知，一般使用不完全归纳法从特殊的判断推广到一
般的判断，然后根据归纳原理来证明这个一般判断。

这种方法称为数学归纳法。