动态最优化控制
动态优化理论最优决策与动态经济模型
动态优化理论最优决策与动态经济模型动态优化理论（Dynamic Optimization Theory）是指在一定时间范围内，通过调整决策变量来最大化或最小化某个目标函数的理论。
动态优化问题常见于经济学、管理学、工程学等领域，通过数学建模与分析，可以寻求最优决策策略，进而指导实际操作。
一、动态优化理论的基本原理动态优化问题的基本原理是在给定约束条件下，通过对决策变量的调整，使得目标函数在一定时间段内达到最优值。
动态优化问题通常包括状态方程、路径约束和终端约束。
1.1 状态方程状态方程描述了系统状态的演化过程，通常采用微分方程或差分方程的形式表示。
状态方程是衡量系统动态变化的关键因素，对于理解问题的本质和设计决策策略具有重要意义。
1.2 路径约束路径约束是指决策变量的取值必须满足的条件，例如资源限制、技术限制、市场需求等。
路径约束是动态优化问题中的限制条件，对于寻求最优决策具有指导作用。
1.3 终端约束终端约束是指在给定时间段内，目标函数必须满足的条件。
终端约束是动态优化问题中的最终目标，通过调整决策变量来使得目标函数在规定时间内达到最优值。
二、动态优化理论的最优决策方法动态优化理论采用多种数学方法和计算工具，如微积分、动态规划、最优控制理论等，以求解最优决策问题。
2.1 微积分方法微积分方法是解决动态优化问题的基本工具之一。
通过对目标函数和约束条件进行求导，可以得到最优解的局部性质和判别条件。
微积分方法在研究动态经济模型、资本积累问题等方面应用广泛。
2.2 动态规划方法动态规划方法是一种针对递推问题的优化技术。
通过将大问题分解为子问题，并使用递推关系求解，最终得到最优策略。
动态规划方法在资源分配、项目管理等领域具有重要应用。
2.3 最优控制理论最优控制理论是研究在给定目标下，如何使系统状态在一定时间内达到最优值的理论框架。
最优控制理论对于动态经济模型中的决策优化和控制调节具有重要意义。
三、动态经济模型与决策优化动态经济模型是基于动态优化理论构建的经济分析工具，用于研究经济系统的演化过程和决策策略。
经济学中的数学分析方法——12 最优控制与动态最优化
动态最优化的问题， 在自然科学和社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。 在经济 学中， 尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用。 研究动态最优化的数学工具有好几种， 如变分法、动态规划和最优控制理论等。我们在第十章中简要地介绍过动态规划，但是没有 介绍它的最优化原理。在本章我们来介绍变分法、动态规划的最优化原理和最优控制，重点 是最优控制理论。最优控制理论是数学上一个独立的学科，包含的内容很丰富。在本章我们 只 能 简要 地最 优控 制理 论的 框架 和主 要 的 结论 ： Bellman 最 优 化原 理， 庞 得 里亚 金 (Pontryagin) 极大值原理及其在宏观经济学中的应用。
故整个时段的总成本为：
J (u) = ∫ L( t , x ( t ), u( t ))dt
t0
T
（12.9）
于是问题就归结为：求生产速率 u(t)，使其满足约束条件（12.6） ， （12.7） ，且库存量 x(t)满 足（ 12.8） ，并使作为“性能指标”的总成本 J( u)为最小。 最优控制问题的一般提法 通过以上两个实例，可以看出最优控制问题有许多共同点。归纳起来，它们都具有如下 四个要素： （1） 受控对象的数学模型。 受控对象，即状态变量，都是由所谓状态方程描述的动态系统。一般可表为一个微分方 程：
t0 T
最优控制问题是要求一个容许控制 u( t ) ∈ U, t ∈ [ t0 , T ] ，使系统由初始状态 x0 出 发，在某一时刻 T > t 0，达到目标集 S，并使性能 J(u) 达到最小（或最大）值。
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
x∈[ x1 , x2 ]
机械设计中的动态系统优化与控制
机械设计中的动态系统优化与控制在现代工业领域，机械设计的重要性不言而喻。
随着技术的不断发展和应用需求的日益提高，动态系统的优化与控制在机械设计中占据了关键地位。
它不仅能够提升机械系统的性能和可靠性，还能有效降低能耗、提高生产效率，为各行业的发展带来巨大的推动作用。
动态系统是指那些随时间变化而不断改变其状态的系统。
在机械设计中，常见的动态系统包括各类机械传动系统、机器人运动系统、航空航天飞行器的姿态控制系统等等。
这些系统的性能和稳定性直接影响着整个机械设备的运行效果。
为了实现动态系统的优化与控制，首先需要对系统进行精确的建模。
建模过程就像是给系统画一幅“画像”，清晰地描述系统的组成结构、各部件之间的关系以及它们随时间的变化规律。
通过建立数学模型，可以将复杂的机械系统转化为一系列可以用数学方法进行分析和处理的方程。
然而，建模并不是一件简单的事情。
实际的机械系统往往非常复杂，存在着各种非线性因素、不确定性和干扰。
例如，机械部件之间的摩擦、间隙、弹性变形等都会导致系统的行为偏离理想的数学模型。
因此，在建模过程中，需要充分考虑这些因素，尽可能使模型能够准确地反映系统的真实特性。
有了模型之后，接下来就是对系统进行性能分析。
性能指标可以包括系统的稳定性、响应速度、精度、鲁棒性等。
通过对这些指标的评估，可以清楚地了解系统的优点和不足之处。
以稳定性为例，如果一个系统不稳定，那么它在运行过程中可能会出现剧烈的振动甚至失控，这对于机械设备来说是绝对不能允许的。
响应速度则决定了系统对输入信号的反应快慢，精度关系到系统输出结果的准确性，而鲁棒性则反映了系统在面对外部干扰和不确定性时保持性能稳定的能力。
在明确了系统的性能之后，就可以开始进行优化设计。
优化的目标是在满足各种约束条件的前提下，找到使系统性能达到最优的参数组合。
这就像是在一个充满限制的空间里寻找那颗最闪亮的“宝石”。
优化方法多种多样，从传统的基于梯度的优化算法到现代的智能优化算法，如遗传算法、粒子群优化算法等。
动态系统的控制与优化
动态系统的控制与优化动态系统是指在时间上随着某些变量的变化而发生变化的系统。
例如，许多工程和自然现象的系统都是动态系统。
例如，气候系统、机械系统、交通系统等等。
为了使这些系统能够按照我们所需要的方向运行，我们需要进行控制和优化。
本文将探讨动态系统的控制和优化的方法。
1.模型化在设计动态系统的控制和优化策略之前，我们必须先对系统进行建模。
这意味着我们需要将系统的不同方面抽象成数学式子，以便于分析和操作。
例如，我们可以将一个机械系统抽象成由物理方程组成的系统，我们可以将一个交通系统抽象成由流量和拥堵程度等变量组成的数学模型。
通过建模，我们可以用更精确的方式来描述系统，并进行更有效的控制和优化。
2.反馈控制反馈控制是指在运行时使用传感器和控制器来监测系统状态并使其回到预期的状态。
这种方法可以用于许多动态系统，如温度控制系统、机器人控制系统和机动车控制系统等。
反馈控制的基本原理是实时监控系统，将测量值送回到控制器中，控制器实时计算输入值，以修正系统中出现的不良状况。
这种控制策略能够减少系统中的不稳定性，使系统更具容忍度，提高系统的性能。
3.优化控制优化控制是指通过优化技术，寻找系统最优解的方法。
例如，对于交通系统，优化控制可以将车流动态路线化，以减少拥堵和延误。
此外，优化控制还可以在复杂系统中找到更优的控制变量，以实现系统的最大化或最小化目标。
4.模糊控制模糊控制是指根据系统状态的“模糊”描述，通过定义模糊集并指定适当的规则来实现对系统的控制。
模糊控制是一种非线性控制技术，主要用于在不确定条件下控制系统。
模糊控制技术在控制有复杂环境，且不易建模的系统中，能够起到重要的控制作用。
5.神经网络控制神经网络控制是一种仿生学的控制方法，它尝试模拟人脑神经元,通过对系统进行学习和适应，来实现对系统的控制。
神经网络控制需要大量的训练数据来建立模型，然后使用反向传播算法来调整神经网络的权重参数。
这种方法主要用于噪声和模型不确定的系统，例如工业控制和机器人控制等。
机械设计中的动态优化与控制方法
机械设计中的动态优化与控制方法在现代工业领域中，机械设计的重要性不言而喻。
随着科技的不断进步和工业生产的日益复杂，对于机械系统的性能要求也越来越高。
为了满足这些需求，机械设计中的动态优化与控制方法逐渐成为了研究的重点。
机械系统在运行过程中，往往会受到各种动态因素的影响，例如振动、冲击、噪声等。
这些因素不仅会影响机械系统的工作性能和稳定性，还可能导致设备的损坏和故障，降低生产效率和产品质量。
因此，通过动态优化与控制方法来提高机械系统的性能和可靠性具有重要的意义。
动态优化是指在机械设计过程中，考虑到系统的动态特性，通过优化设计参数来改善系统的性能。
这包括对机械结构的几何形状、材料特性、连接方式等方面的优化。
在进行动态优化时，需要建立准确的数学模型来描述机械系统的动态行为。
这些模型通常基于力学原理和数学方程，能够反映系统的振动、运动等特性。
以一个简单的机械传动系统为例，通过优化齿轮的齿数、模数、齿宽等参数，可以减小传动过程中的振动和噪声，提高传动效率和精度。
在建立数学模型时，需要考虑齿轮的啮合关系、轴的扭转振动、轴承的支撑特性等因素。
然后，利用优化算法对这些设计参数进行搜索和优化，找到最优的设计方案。
控制方法则是在机械系统运行过程中，通过实时监测和调整系统的输入和输出，来控制其动态行为。
常见的控制方法包括反馈控制、前馈控制和自适应控制等。
反馈控制是根据系统的输出与期望输出之间的误差来调整输入，从而使系统的输出逐渐接近期望输出。
前馈控制则是根据系统的输入预测其输出，并提前对输入进行调整，以减小输出的误差。
自适应控制则能够根据系统的变化自动调整控制参数，以保持良好的控制效果。
例如，在数控机床的加工过程中，通过安装传感器实时监测刀具的位置和切削力，然后利用反馈控制算法调整电机的转速和进给速度，能够保证加工精度和表面质量。
在一些复杂的机械系统中，还可以采用多种控制方法相结合的策略，以实现更好的控制效果。
在实际应用中，动态优化与控制方法通常是相互结合的。
建筑设计建筑物能耗的动态优化控制
建筑设计建筑物能耗的动态优化控制建筑设计是一个复杂而关键的过程，其中一个重要的考虑因素是建筑物的能耗。
随着能源资源的匮乏和环境问题的不断加剧，建筑物的能耗控制变得尤为重要。
针对这个问题，建筑设计中的动态优化控制成为了解决方案之一。
本文将对建筑设计中的建筑物能耗的动态优化控制进行讨论，并介绍一些相关的方法和技术。
1. 动态优化控制的概念建筑物的能耗控制需要考虑多个变量，如室内温度、湿度、照明等。
静态的能耗控制方法在设计初期就确定了建筑物的能耗控制策略，而动态优化控制则根据实时的室内外环境和能源供给情况，在建筑物运行期间对能耗进行优化调控。
动态优化控制可以根据实际需求和能源状况对建筑物的供暖、通风、空调等系统进行智能化控制，以实现能耗的最小化和能源的最优配置。
2. 动态优化控制的实施动态优化控制需要依靠建筑能耗监测系统的支持。
该系统可以实时监测建筑物内外温度、湿度、光照等参数，并将这些数据反馈给控制系统。
控制系统基于先进的算法和模型，根据监测数据和建筑物的能耗目标，进行自动化的能耗调控。
通过智能化的控制，建筑物的能耗可以在满足舒适需求的前提下得到最小化，从而节约能源和降低运营成本。
3. 动态优化控制的方法（1）模型预测控制：模型预测控制是一种基于动态模型的控制策略，它通过建立建筑物的物理模型或统计模型，预测建筑物在不同控制策略下的能耗情况，并以此作为决策依据进行控制。
模型预测控制可以有效地优化建筑物的能耗，并在系统性能较差时进行自适应调整。
（2）遗传算法优化：遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化算法，它可以应用于建筑物能耗的动态优化控制。
通过遗传算法，可以根据建筑物的能耗目标和限制条件，对建筑物的控制策略进行搜索和优化，以实现能耗的最小化。
（3）模糊逻辑控制：模糊逻辑控制是一种基于模糊集合理论的控制方法，它可以处理模糊性和不确定性问题。
在建筑物能耗动态优化控制中，模糊逻辑控制可以根据实时的监测数据和建筑物的能耗目标，自动调整建筑物的能源供应和消耗，从而实现能耗的最优化。
动态最优化第10讲 具有约束的最优控制问题
最大值原理条件：
0 对于所有的t 0,T
u
c g 0, 0, 0
dy dt
d
dt y
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（5）现值哈密尔顿函数和拉格朗日函数
引入新的乘子： m et （隐含 met）
n et （隐含 net）
汉密尔顿函数和拉格朗日函数：
Gt,
y, u dt
0
Γ
T
T
0
Gt,
y,
u
dt
k
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（4）不等式积分约束
问题重新表述为：
（2个状态变量的无约束问题，新变量具有截断终结线）
Max
T
0
F
t,
y,
u
dt
S.T. dy f t, y,u
dt
dΓ Gt, y,u
dt
y0 y0 yT 自由 （y0 ,T给定）
dt
又由于：汉密尔顿函数H独立于Γ ,
所以有：d H 0 t 常数
dt Γ 最大值原理条件重新表述为：
Max H u
dy H
dt
对于所有的t 0,T
d H t 常数
dt y
T 0
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
等周问题简便解法：
构造拉格朗日函数（增广汉密尔顿函数）：
u1
0
u1
3
0
0 0 0
u2
u2
0 i
0,i
0,i
0 i
0
i
0,i
0,i
有感FOC算法学习与实现总结
有感FOC算法学习与实现总结FOC (Fast Optimization Control)算法是一种高效的最优化控制算法，用于在线解决动态最优化控制问题。
该算法在控制系统中广泛应用，以提高系统的响应速度和精度，并在工业自动化领域取得了显著的成果。
在本文中，将对FOC算法的学习和实现进行总结。
首先，对FOC算法的学习过程进行总结。
在开始学习FOC算法之前，我首先了解了最优化控制的基本概念和理论基础，包括目标函数、约束条件以及优化算法等。
然后，通过阅读相关的文献和书籍，深入了解了FOC算法的原理和应用。
在学习的过程中，我着重研究了FOC算法的数学模型和优化函数的求解方法，以及如何应用FOC算法解决实际的动态最优化控制问题。
其次，对FOC算法的实现过程进行总结。
在实现FOC算法之前，我首先进行了一些准备工作，包括选择适当的编程语言和开发环境，以及准备相关的数学库和工具。
然后，我根据FOC算法的数学模型，编写了相应的代码，并进行了调试和验证。
在实现的过程中，我遇到了一些困难和挑战，例如如何选择合适的控制参数和调整算法的收敛性。
通过不断的实践和尝试，最终成功地实现了FOC算法，并得到了满意的结果。
在学习和实现FOC算法的过程中，我深刻地认识到了FOC算法在动态最优化控制中的重要性和应用价值。
通过应用FOC算法，可以显著提高系统的响应速度和精度，从而提高整个控制系统的性能和效果。
此外，FOC算法还可以应用于多个领域，例如机械工程、电力系统和化学工程等，可以解决各种复杂的动态最优化控制问题。
然而，虽然FOC算法有很多优点和应用价值，但它也存在一些局限性和挑战。
首先，FOC算法对参数的选择和调整非常敏感，需要经验丰富的工程师和专家进行调试和优化。
其次，FOC算法在处理非线性和非凸优化问题时可能会遇到困难，需要进一步研究和改进。
此外，FOC算法在实际应用中还面临着计算量大、计算时间长等问题，需要通过算法优化和硬件加速来改进。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
H
曲线1
曲线2
曲线3 0 b u
max(min)
T
t0
f (t , x(t ), u (t ))dt
s.t. x(t ) g (t , x(t ), u (t )) t0 , T , x(t0 ) x0已知，x(T )自由
构造Hamilton函数
式中St称为状态变量，ct称为控制变量。
• 3、“Cake-eating”问题的求解 • 假设行为人并没有留有遗产的动机，则有： S3=0，c3=S2，c2+c3=S1，c1+c2+c3=S0 • 使用拉格朗日乘子法，得： Max L=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2+λ(S0-c1-c2-c3) • 使L最大化的一阶条件为： L/c1=u´(c1)-λ=0 L/c2=u´(c2)/(1+ρ)-λ=0 L/c3=u´(c3)/(1+ρ)2-λ=0 即有： u´(c1)=u´(c2)/(1+ρ)=u´(c3)/(1+ρ)2
连续时间的最优控制
• 11、庞特里雅金(Pontryagin)最大值原理 • 由上述一阶条件和状态变量的运动方程，还可导出控 制变量的运动方程。一阶条件方程对时间求导，得： fuuu'+fuxx'+λguuu'+λguxx'+λׂgu+fut+λgut=0
将x'=g(x,u,t)代入，并解出λׂ，得： λׂ=-[(fuu+λguu)ċ+(fux+λgux)g+(fut+λgut)]/gu
连续时间的最优控制
12、边界解 如果控制域是一个闭区间 au(t)b，则汉密尔顿函数 H的最大值可能出现在控制 域的一个内部点（曲线1）， 也可能出现在边界点如u=a 或u=b处（曲线2和3）。对 于边界点，一阶条件 H/u=0将不再适用。此时， 最大值原理可以表述为： Maxu H(x,u,t,λ) x'=Hλ=g(x,u,t) λׂ=-Hx=-(fx+λgx) a 这时，需要对边界点进行考察。
• 2、“Cake-eating”问题的数学表述 • 记行为人的效用函数为u(ct)，该效用函数在各 个时期均相同，且有： u´(c)>0，u´´(c)<0，u´(0)= 再记未来效用的折现率为ρ，行为人追求一生 当中效用的现值的最大化，则该行为人的消费 决策问题就可表示为：
u c3 u c2 Max L : u c1 ct 1 1 2 st : S 0 c1 S1 ; S1 c2 S 2 ; S 2 c3 S3
• 3、“Cake-eating”问题的求解 • 由式u´(c1)=u´(c2)/(1+ρ)=u´(c3)/(1+ρ)2，可知： • 如果折现率=0，则有： u´(c1)=u´(c2)=u´(c3) 即： c1=c2=c3 • 如果折现率>0，则有： u´(c1)<u´(c2)<u´(c3) 即： c1>c2>c3 • 如果确切知道和S0的值，则可具体求出c1、c2和 c3。
连续时间的最优控制
• 5、横截条件 • 所谓横截条件，就是可以把状态变量的最优路径 与其他允许路径区别开来的条件。类似于微分方 程中的初始条件，横截条件确定了状态变量的具 体路径，即决定了状态变量和控制变量的最优轨 线(optimal trajectory)。 • 最简单的横截条件是固定始点和固定终点条件， 即： x(t0)=x0，x(T)=xT 许多经济问题都有一个给定的出发点x0，当其终 点值xT本身就是优化问题的一部分。
连续时间的最优控制
• 1、跨期效用函数 • 如此设定的跨期效用函数具有可加性 (additivity)或称可分离性(separability)的性 质。 • 可分离性的条件为： Mij/ck=0 其中Mij为不同时期消费的边际替代率 (marginal rate of substitution between consumption in period i and j)，即： Mij=Ui(.)/Uj(.)=(U/ci、共态变量 • 在最优控制问题的拉格朗日函数中，拉格朗日乘 子λ(t)是伴随着状态变量而引进的，称为共态变量 (costate variables)。由拉格朗日函数可得： L/x0= λ(t0) L/xT= -λ(T) 这表明，状态变量的初始值每增加一个单位，就 可使优化目标函数值增加λ(t0)个单位；而状态变量 的终点值每增加一个单位，则可使优化目标函数 值减少λ(T)个单位。因此，共态变量λ(t)用目标函 数的度量单位计量了状态变量x(t)的价值，可称为 状态变量的影子价格(shadow price)。
第五章
最优控制模型
• 经济行为人决策的典型特征 经济活动的行为主体主要有家庭、企业和政府。 家庭在做决策时，既要考虑今天，也要考虑明天， 既要考虑当代，还要考虑下一代；企业在做决策 时，不仅要考虑当期的收益，也要考虑未来的持 续经营；政府在做决策时，不仅要考虑当前，也 要考虑未来。总之，经济行为人的决策是一个跨 期优化(intertemporal optimazation)问题。 • 处理跨期优化问题的方法 • (1) 最优控制(optimal control) • (2) 变分法(calculus of variations) • (3) 动态规划(dynamic programming)
0 0
连续时间的最优控制
• 6、拉格朗日函数 • 因此，将此式t0Tλ(t)[g(x,u,t)-x']dt加入目标函数之 中，并不影响目标函数的值，于是可将目标函数 扩展为： L= t0Tf(x,u,t)dt+t0Tλ(t)[g(x,u,t)-x']dt = t0T{f(x,u,t)+λ(t)[g(x,u,t)-x'(t)]}dt • 对于此式中的最后一部分使用分部积分，则有： -t0Tλ(t)x'(t)dt=-λ(t)x(t)|0T+t0Tx(t)λ'(t)dt =-λ(T)x(T)+λ(t0)x(t0)+t0Tx(t)λ'(t)dt 代入前式，得拉格朗日函数为： L=t0T[f(x,u,t)+λg(x,u,t)+xλ']dt-λ(T)x(T)+λ(t0)x(t0)
连续时间的最优控制
• 11、庞特里雅金(Pontryagin)最大值原理 • 最优控制问题的一阶条件，如果使用汉密尔顿函数， 则可表示为： Hu=fu+λgu=0 λ'=-Hx=-(fx+λgx) 其中，第1个方程是最优化问题的必要条件，它给 出了控制变量u在每个时刻可能的最优值；第2个方 程是共态变量λ的运动方程，称为辅助方程或伴随 方程(auxiliary or adjoint equation)，该方程与状态变 量x的运动方程： x'=Hλ=g(x,u,t) 一起称为最优控制问题的汉密尔顿系统或标准系统。
连续时间的最优控制
• 10、汉密尔顿(Hamilton)函数 • 在最优控制问题的拉格朗日函数中，与控制 变量u(t)有关的只有其前两项，因此可单独 列出此两项为： H=f(x,u,t)+λg(x,u,t) 此式就称为汉密尔顿函数。 • 对于拉格朗日函数细加分析，可以看出汉密 尔顿函数的经济含义。
一、 离散跨期选择问题
• 1、离散跨期选择的经典问题——“Cake-eating” 问题 • 假设行为人拥有一些不可再生的资源，如一块 蛋糕，该资源的初始存量为S0，行为人在时期t 的消费量为ct，则在时期t资源的存量为： St=St-1-ct 再假设行为人确切地知道他能活3个时期，如 青年、中年、老年三个时期，问题是该行为人 如何将其资源在各个时期中消费？
二、 连续时间的最优控制
• 基本概念 • 1、跨期效用函数 • 所谓跨期效用函数，即行为人一生的总效用函数， 如“Cake-eating”问题中的效用函数： U(c1,c2,c3)=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2 其中，每个时期的效用函数u(ct)称为“幸福” (felicity) 函数。 • 对于连续时间的情形，跨期效用函数通常写为： U(ct)=t0Tu(ct)e-ρtdt 其中每时刻的效用函数u(ct)又称为瞬时效用函数， 或“幸福”函数。
连续时间的最优控制
• 6、拉格朗日函数 • 最简单的最优控制问题可以写为： J(x,t)=Max t Tf(x,u,t)dt s.t : x'(t)=g(x,u,t) x(t0)=x(0)=x0，x(T)自由 • 由于在区间[t0,T]上，状态变量的运动方程 x'(t)=g(x,u,t)始终成立，从而始终有[g(x,u,t)- x']=0。 使用拉格朗日乘子的概念，则有： λ (t)[g(x,u,t)-x']=0 也必然有： t Tλ(t)[g(x,u,t)-x']dt=0
连续时间的最优控制
• 3、目标函数 • 跨期最优化问题的目标函数的一般形式为： F(x,u,t)=t0Tf[x(t),u(t),t]dt 其中，T可以是无穷大，折现因子已包含在了 f[x(t),u(t),t]函数之中。x(t)称为状态变量，u(t)称 为控制变量，t为时间。 • 若时间t只是间接地通过x(t)和u(t)出现在函数f之 中，则称此跨期优化问题为自治问题(autonomous problem)，若t直接出现在函数f之中，则称为非自 治问题(non-autonomous problem)。
• 要使dL0成立，上式中的每一项都必须小于或等 于0。由于du和dx均可正可负，所以必须有： fu+λgu=0 fx+λgx+λ'=0 此二必要条件就称为最优控制问题的一阶条件。