2018年河南省南阳市中考数学一模试卷含答案解析
2018年河南省南阳市中考数学一模试卷含答案解析中考数学一模试卷一、选择题1. 下列各数的相反数中，比1大的数是( )A. −√2B. 0C. −1D. 42. 下列运算中不正确的是( )A. a 3+a 2=a 5B. a 3⋅a 2=a 5C. a 3÷a 2=aD. (a 3)2=a 63. 如图是由几个相同的小正方形搭成的几何体的主视图与左视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 94. 如图，点A 在反比例函数y =kx 的图象上，AM ⊥y 轴于点M ，P 是x 轴上一动点，当△APM 的面积是4时，k 的值是( ) A. 8 B. −8 C. 4 D. −45. 不等式组{2x +1≤3−12x <1的整数解的和为( )A. −2B. −1C. 0D. 16. 某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：165，170，175，168，172，增加身高为170cm 的1名成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比( )A. 平均数不变，方差变小B. 平均数不变，方差变大C. 平均数不变，方差不变D. 平均数变小，方差不变 7. 关于x 的一元二次方程(a −1)x 2+3x −2=0有实数根，则a 的取值范围是( )A. a >−18 B. a ≥−18 C. a >−18且a ≠1D. a ≥−18且a ≠18. 有两个有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B ，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A 获胜的概率是( )A. 23B. 59C. 12D. 499.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM.若BC=2，∠BAC=30∘，则线段PM的最大值是()A. 4B. 3C. 2D. 110.在扇形OAB中，∠AOB=90∘，正方形OCED的顶点C，D分别在半径OA，OB上，顶点E在AB⌢上，以O为圆心，OC长为半径作CD⌢，若OA=2，则阴影部分面积为()A. πB. π2C. √2D. 1二、填空题)−1=______．11.计算：(π−3)0+(−1312.如图，EF//BC，若AE：EB=2：1，EM=1，MF=2.则BN：NC=______．13.若将图中的抛物线y=x2−2x+c向上平移，使它经过点(2,0)，则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是______．14.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______．15.如图，在R△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，BD=2，点E是边AB上一动点，把∠B沿直线DE折叠，使点B的对应点为B’，若直线DB′与边AB垂直，则BE的长为______．三、解答题16.先化简，再求值：x2−y2x ÷(2xy−y2x−x)，其中，x=√3+2，y=√3−2．17.某中学开学前准备购进A、B两种品牌足球，已知购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需210元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元.(1)求A、B两种品牌的足球售价各是多少元？(2)为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，问至少可购买A品牌足球多少个？(3)在(2)条件下，如果购买A品牌足球的数量不超过22个，问怎样购买总费用最低？最低费用为多少元？18.中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题(1)本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部；(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；(3)请将条形统计图补充完整；(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．19.如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP的长是______时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当AP⌢的长度是______时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．20.图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD//AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37∘50′，FG=30cm，CD=10cm，求CF的长(结果取整数，参考数据：sin37∘50′≈0.6l，cos37∘50′≈079，tan37∘50′≈0.78)21.如图，已知一次函数y=2x+6的图象与反比例函数y=k(>0)的图象相交于点A(1,m)，与x轴相交于点B．x(1)填空：m的值为______，反比例函数的解析式为______；(2)点P是线段AB上一动点，过P作直线PM//x轴交反比例函数的图象于点M，连接BM若△PMB的面积为S，求S的最大值．22.【问题情境】在四边形ABCD中，BA=BC，DC⊥AC，过D作DE//AB交BC延长线于点E，M 是边AD的中点，连接MB，ME.【特例探究】(1)如图①，当∠ABC=90∘时，线段MB与ME的数量关系是______，位置关系是______；(2)如图②，当∠ABC=120时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；【拓展延伸】(3)如图③，当∠ABC=α时，请直接用含角α的式子表示线段MB与ME之间的数量关系．23.如图，已知直线y=−3x+c与x轴相交于点A(1,0)，与y轴相交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB=2S△AOB时，求点P的坐标；(3)连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. B 4. B5. C6. A7. D8. B 9. B 10. D11. −2 12. 1：213. 0<x <2 14. (4√2,3√5) 15. 23 16. 解：x2−y 2x÷(2xy−y 2x−x)=(x +y)(x −y)x ÷2xy −y 2−x 2x =(x +y)(x −y)x ⋅x −(x −y)2=−x+yx−y ，当x =√3+2，y =√3−2时，原式=√3+2+√3−2√3+2−√3+2=−2√34=−√32． 17. 解：(1)设购买一个A 品牌的足球需x 元，购买一个B 品牌的足球需y 元，根据题意得：{2x +3y =340x+2y=210， 解得：{y =80x=50．答：购买一个A 品牌的足球需50元，购买一个B 品牌的足球需80元． (2)设此次购买B 品牌足球m 个，则购买A 品牌足球(50−m)个， 根据题意得：50×(1+8%)(50−m)+80×0.9m ≤3260， 解得：m ≤3119．∵m 为正整数， ∴m ≤31．答：该中学此次最多可购买31个B 品牌足球． (3)设购买50个足球所需总费用为w 元，根据题意得：w =50×(1+8%)(50−m)+80×0.9m =18m +2700． ∵购买A 品牌足球的数量不超过22个， ∴50−m ≤22， ∴m ≥28． 又∵m ≤31， ∴28≤m ≤31．∵在w =18m +2700中，k =18>0，∴当m =28时，w 取最小值，最小值为3204．答：当购买A 品牌足球22个、B 品牌足球28个时，总费用最低，最低费用为3204元 18. 1；2；54π19. 2√2；2320. 解：如图所示，过点E作EP⊥BC于点P，延长ED、BC交于点H，根据题意知∠θ=∠1=37∘50′，∵∠2=∠FGH=90∘，∴∠1=∠FHG=37∘50′，在Rt△FGH中，∵FG=30cm，，∵AB//CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，即∠DCH=90∘，∴在Rt△DCH中，，则．21. 8；y=8x22. MB=ME；MB⊥ME23. 解：(1)把A(1,0)代入y=−3x+c得−3+c=0，解得c=3，则B(0,3)，把A(1,0)，B(0,3)代入y=−x2+bx+c得{c+3−1+b+c=0，解得{c=3b=−2，∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；(2)连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1，设P(x,−x2−2x+3)(x<−1)，S△PAB=S△POB+S△ABO−S△POA，∵S△PAB=2S△AOB，∴S△POB−S△POA=S△ABO，当P点在x轴上方时，12⋅3⋅(−x)−12⋅1⋅(−x2−2x+3)=12⋅1⋅3，解得x1=−2，x2=3(舍去)，此时P点坐标为(−2,3)；当P点在x轴下方时，12⋅3⋅(−x)−12⋅1⋅(x2+2x−3)=12⋅1⋅3，解得x1=−5，x2=0(舍去)，此时P点坐标为(−5,−12)，综上所述，P点坐标为(−2,3)或(−5,−12)；(3)存在．当y=0时，−x2−2x+3=0，解得x1=−1，x2=−3，则C(−3,0)，∵OC=OB=3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45∘，BC=3√2，当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D(0,t)，∵∠DBE=45∘，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=√22BD=√22(3−t)，∵∠MCB=∠ABO，∴tan∠MCB=tan∠ABO，∴DECE =OAOB=13，即CE=3DE，∴3√2−√22(3−t)=√22(3−t)，解得t=32，则D(0,32)，设直线CD的解析式为y=mx+n，把C(−3,0)，D(0,32)代入得{−3m+n=0n=32，解得{m=12n=32，∴直线CD的解析式为y=12x+32，解方程组{y=12x+32y=−x2−2x+3得{y=0x=−3或{x=12y=74，此时M点坐标为(12,74)；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y=−3x+3，AB=√10，AC设N(k,−3k+3)，∵∠MCB=∠ABO，∠CBO=∠OCB，∴∠NCA=∠ABC，而∠BAC=∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴AB：AC=AC：AN，即√10：4=4：AN，∴AN=8√105，∴(k−1)2+(−3k+3)2=(8√105)2，整理得(k−1)2=6425，解得k1=95(舍去)，k2=−15，∴N点坐标为(−15,185)，易得直线CN的解析式为y=97x+277，解方程组{y=97x+277y=−x2−2x+3得{y=0x=−3或{x=−27y=17149，此时M点坐标为(−27,17149)，综上所述，满足条件的M点的坐标为(12,74)或(−27,17149).【解析】1. 解：−√2的相反数是√2，0的相反数是0，−1的相反数是1，4的相反数是−4，∵√2>1，0<1，1=1，−4<1，∴各数的相反数中，比1大的数是−√2．故选：A．首先求出每个数的相反数是多少；然后根据实数大小比较的方法判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 解：A、原式不能合并，符合题意；B、原式=a5，不符合题意；C、原式=a，不符合题意；D、原式=a6，不符合题意，故选：A．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3. 解：根据主视图和左视图可得：这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2=6个正方体，第二层有1个正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+1=7个；根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．4. 解：设点A的坐标为：(x,kx)，由题意得，12×|x|×|kx|=4，解得，|k|=8，∵反比例函数y=kx的图象在第四象限，∴k=−8，故选：B．设点A的坐标为：(x,kx)，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．5. 解：{2x+1≤3①−12x<1②，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x>−2；所以不等式组的解集为：−2<x≤1，所以不等式组的整数解为：−1，0，1，所以整数解的和为−1+0+1=0，故选：C．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6. 解：原数据的平均数为15×(165+170+175+168+172)=170(cm)、方差为15×[(165−170)2+(170−170)2+(175−170)2+(168−170)2+(172−170)2]=585(cm2)，新数据的平均数为16×(165+170+170+175+168+172)=170(cm)，方差为16×[(165−170)2+2×(170−170)2+(175−170)2+(168−170)2+(172−170)2]=586=293(cm2)，所以平均数不变，方差变小，根据平均数的意义、方差的意义，可得答案．本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键．7. 解：根据题意得a≠1且△=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，且a≠1．解得a≥−18故选：D．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．8. 解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，∴选择转盘A获胜的概率是5，9故选：B．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9. 解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30∘，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，A′B′=2，∴PC=12∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线)．故选：B．如图连接PC.思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．10. 解：连接OE，交CD⌢于W，连接DE，则OA=OE=OB=2，∵四边形OCED是正方形，∴∠AOE=∠BOE=45∘，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90∘，CE=OC，在等腰三角形OCE中，CE=OC=2√2=√2，∴S扇形AOE −S△EOC=S扇形EOB−S△EOD，∴阴影部分的面积S=S正方形OCED −S扇形COD+12(S扇形AOB−S正方形OCED)=√2×√2−90π×(√2)2360+12×(90π×22360−√2×√2)=1，故选：D．根据正方形的性质得到∠AOE=∠BOE=45∘，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90∘，CE=OC，求出正方形OCED的边长，得出阴影部分的面积=S正方形OCED−S扇形COD+1 2(S扇形AOB−S正方形OCED)，分别求出即可．本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．11. 解：(π−3)0+(−13)−1，=1−3，=−2，故答案为：−2．根据零指数和负整数指定幂运算法则进行计算即可．此题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数和负整数指定幂运算法则是关键．12. 解：∵AE：EB=2：1，∴AE：AB=2：3，∵EF//BC，∴AEAB =EMBN=AMAN=MFNC，即23=1BN=2NC，∴BN=1.5，NC=3，∴BN：NC=1：2．故答案为：1：2．先根据AE：EB=2：1，得到AE：AB=2：3，再根据EF//BC，即可得到23=1BN=2NC，进而得出BN：NC的值．本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．13. 解：设平移后的抛物线解析式为y=x2−2x+c+b，把A(2,0)代入，得0=c+b，解得c+b=0，则该函数解析式为y=x2−2x．当y=0时，x2−2x=0，解得：x1=0，x2=2，∴此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是：0<x<2，故答案为：0<x<2．设平移后的抛物线解析式为y=x2−2x+c+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到c+b的值，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，即可得到结论．主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．14. 解：如图，连接PD．∵B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，∴AE=EB=3，AD=AB=6，在Rt△AED中，DE=√62+32=3√5，∴PB+PE的最小值为3√5，∴点H的纵坐标为3√5，∵AE//CD，∴PCPA =CDAE=2，∵AC=6√2，∴PC=23×6√2=4√2，∴点H的横坐标为4√2，∴H(4√2,3√5).故答案为(4√2,3√5).如图，连接PD.由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，推出AE=EB=3，AD=AB=6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题；本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15. 解：∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=10，∵∠ACB=90∘，DB′⊥AB，∴△BFD∽△BCA，∴DFAC =BFBC=BDAB，即DF8=BF6=210，解得，DF=85，BF=65，由折叠的性质可知，DB′=DB=2，BE′=BE，∴FB′=DB′−DF=25，在Rt△B′EF中，EF2+B′F2=B′E2，即(65−BE)2+(25)2=BE2，解得，BE=23，故答案为：23．根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质分别求出DF、BF，根据勾股定理计算即可．本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．16. 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17. (1)设A、B两种品牌的足球的单价分别为x元和y元.接下来，依据购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需340元：购买1个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需210元列方程组求解即可；(2)设此次购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球(50−m)个，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其内的最大值即可；(3)设购买50个足球所需总费用为w元，根据总价=单价×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；(2)根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，列出关于m的一元一次不等式；(3)根据总价=单价×购买数量，找出w关于m的函数关系式．18. 解：(1)∵调查的总人数为：10÷25%=40，∴1部对应的人数为40−2−10−8−6=14，∴本次调查所得数据的众数是1部，∵2+14+10=26>21，2+14<20，∴中位数为2部，故答案为：1、2；(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：640×360∘=54∘；故答案为：54；(3)条形统计图如图所示，(4)将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P(两人选中同一名著)=416=14．(1)先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；(2)根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360∘，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；(3)根据1部对应的人数为40−2−10−8−6=14，即可将条形统计图补充完整；(4)根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识.注意平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．19. (1)证明：∵PC切⊙O于点P，∴OP⊥PC，∵AC⊥PC，∴AC//OP，∴∠1=∠3，∵OP=OA，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AP平分∠CAB；(2)解：①当∠AOP=90∘，四边形AOPC为矩形，而OA=OP，此时矩形AOPC为正方形，AP=√2OP=2√2；②当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP=60∘，AP⌢的长度=60⋅π⋅2180=23π.故答案为2√2，23π.(1)利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC//OP得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，所以∠1=∠2；(2)①当∠AOP=90∘，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP=2√2；②根据菱形的判定方法，当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP 和△AOD为等边三角形，然后根据弧长公式计算AP⌢的长度．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了正方形和菱形的判定．20. 作EP⊥BC于点P，延长ED、BC交于点H，根据题意求得∠1=∠FHG=37∘50′，先根据FG=30求得，再根据CD=10求得，继而由CF=HF−HC可得答案．本题主要考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题意构建所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题的关键．21. 解：(1)把点A(1,m)代入y=2x+6，得m=2+6=8，∴点A的坐标为(1,8)把点A(1,8)代入y=kx(k>0)，得k=8．∴反比例函数的解析式为：y=8x故答案为：8，y=8x(2)设点P的坐标为(x,2x+6)由于直线PM//x轴，所以点M的纵坐标为：2x+6∴点M(82x+6,2x+6)∵S△PMB=12PM×(2x+6)=12(82x+6−x)×(2x+6)=−x2−3x+4当x=−−3−2=−1.5时，因为a=−1<0S最大=4×(−1)×4−(−3)24×(−1)=25 4答：S的最大值为254(1)利用点A在一次函数图象上，先求出m，再把点A代入y=kx，确定反比例函数解析式；(2)设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示出点P的纵坐标，由于PM与x轴平行，P、M有相同的纵坐标，可表示出点M的横坐标，利用三角形的面积公式得到关于x的二次函数关系，求出S的最大值．本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的面积及二次函数的极值.题目综合性比较强，利用三角形的面积公式得到x的二次函数关系是解决本题的关键．22. (1)解：如图1中，连接CM．∵∠ACD=90∘，AM=MD，∴MC=MA=MD，∵BA=BC，∴BM垂直平分AC，∵∠ABC=90∘，BA=BC，∴∠MBE=12∠ABC=45∘，∠ACB=∠DCE=45∘，∵AB//DE，∴∠ABE+∠DEC=180∘，∴∠DEC=90∘，∴∠DCE=∠CDE=45∘，∴EC=ED，∵MC=MD，∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC=45∘，∴△BME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案为BM=ME，BM⊥EM．(2)解：结论：ME=√3MB．理由：如图2中，连接CM．∵∠ACD=90∘，AM=MD，∴MC=MA=MD，∵BA=BC，∴BM垂直平分AC，∵∠ABC=120∘，BA=BC，∠ABC=60∘，∠BAC=∠BCA=30∘，∠DCE=60∘，∴∠MBE=12∵AB//DE，∴∠ABE+∠DEC=180∘，∴∠DEC=60∘，∴∠DCE=∠CDE=60∘，∴△CDE是等边三角形，∴EC=ED，∵MC=MD，∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC=30∘，∠CED=30∘∴∠MBE+∠MEB=90∘，∵∠MEB=12∴EM=√3BM．(3)如图3中，结论：EM=BM⋅sinα．2理由：同法可证：BM⊥EM，BM平分∠ABC，．所以EM=BM⋅sinα2(1)如图1中，连接CM.只要证明△MBE是等腰直角三角形即可；(2)结论：EM=√3MB.只要证明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30∘即可；.证明方法类似；(3)结论：EM=BM⋅sinα2本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．23. (1)先把A点坐标代入y=−3x+c求出得到B(0,3)，然后利用待定系数法求抛物线解析式；(2)连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x=−1，设P(x,−x2−2x+3)(x<−1)，由于S△PAB=S△POB+S△ABO−S△POA，S△PAB=2S△AOB，则S△POB−S△POA=S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，12⋅3⋅(−x)−12⋅1⋅(−x2−2x+3)=12⋅1⋅3，当P点在x轴下方时，12⋅3⋅(−x)−12⋅1⋅(x2+2x−3)=12⋅1⋅3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；(3)解方程−x2−2x+3=0得C(−3,0)，则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D(0,t)，表示出DE=BE=√22(3−t)，接着利用tan∠MCB=tan∠ABO得到DECE=OA OB =13，所以3√2−√22(3−t)=√22(3−t)，解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y=12x+32，然后解方程组{y=12x+32y=−x2−2x+3得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y=−3x+3，设N(k,−3k+3)，证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN=8√10 5，再利用两点间的距离公式得到(k−1)2+(−3k+3)2=(8√105)2，解方程求出t得N点坐标为(−15,185)，易得直线CN的解析式为y=97x+277，然后解方程组{y=97x+277y=−x2−2x+3得此时M点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．第21页，共21页。
(完整版)2018年河南省中考数学一模试卷
2018年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．﹣（﹣2）C．0D．﹣2．（3分）据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为（）A．9.29×109B．9.29×1010C．92.9×1010D．9.29×1011 3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）小明解方程﹣=1的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得1﹣（x﹣2）=1①去括号，得1﹣x+2=1②合并同类项，得﹣x+3=1③移项，得﹣x=﹣2④系数化为1，得x=2⑤A．①B．②C．③D．④5．（3分）为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160个），周二（160个），周三（180个），周四（200个），周五（170个）．则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（）A．180个，160个B．170个，160个C．170个，180个D．160个，200个6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°8．（3分）郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）=．12．（3分）方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2=．13．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．（3分）如图1，在R t△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒2cm的速度从点A 出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD 的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长的值为．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x2，其中x=+2，y=﹣2．17．（9分）全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．运动形式A B C D E人数1230m549请你根据以上信息，回答下列问题：（1）接受问卷调查的共有人，图表中的m=，n=；（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是，不运动的市民所占的百分比是；（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有1500人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．（1）求证：AE=AD．（2）若AE=3，CD=4，求AB的长．19．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）20．（9分）如图，反比例y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内交于A（4，a）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值．21．（10分）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）22．（10分）如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1中，PM与PN的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明：将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出△PMN面积的最大值．23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．2018年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答．【解答】解：因为在数轴上﹣3在其他数的左边，所以﹣3最小；故选：A．【点评】此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于929亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：929亿=92 900 000 000=9.29×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】先细心观察原立体图形和长方体的位置关系，结合四个选项选出答案．【解答】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4．【分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．【解答】解：﹣=1去分母，得1﹣（x﹣2）=x，故①错误，故选：A．【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．5．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选：B．【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．6．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，再将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式以及在数轴上表示不等式的解集，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．7．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD中，S△ABC =S△ACD，即BC×AE=CD×AF，∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．8．【分析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．【解答】解：列表得：A B C D EA AA BA CA DA EAB AB BB CB DB EBC AC BC CC DC ECD AD BD CD DD EDE AE BE CE DE EE∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况，∴恰好选择从同一个口进出的概率为=，故选：C．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．【分析】根据S△ABE =S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE===，∵S△ABE =S矩形ABCD=3=•AE•BF，∴BF=．故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P的坐标为（7，4）．故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．【解答】解：∵22=4，∴=2．故答案为：2【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x2﹣5x+2=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a2﹣5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，∴3a2﹣5a+2=0，∴3a2﹣5a=﹣2，∴6a2﹣10a+2=2（3a2﹣5a）+2=﹣2×2+2=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13．【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．14．【分析】由P的速度和图2得出AC和BC的长，运用勾股定理求出AB，即可求出sin∠B，求出P运动5秒距离B的长度利用三角函数得出PD的值．【解答】解：∵P以每秒2cm的速度从点A出发，∴从图2中得出AC=2×3=6cm，BC=（7﹣3）×2=8cm，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB===10cm，∴sin∠B===，∵当点P运动5秒时，BP=2×7﹣2×5=4cm，∴PD=4×sin∠B=4×=2.4cm，故答案为2.4cm．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，理清图象的含义即会识图是解题的关键．15．【分析】由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，于是得到DE=DG=AD÷=1，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°∴∠D=∠B=120°，∠A=180°﹣120°=60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB=，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG为等腰三角形时，①当EF=EG时，EG=，如图1，过点D作DH⊥EG于H，∴EH=EG=，在Rt△DEH中，DE==1，②GE=GF时，如图2，过点G作GQ⊥EF，∴EQ=EF=，在Rt△EQG中，∠QEG=30°，∴EG=1，过点D作DP⊥EG于P，∴PE=EG=，同①的方法得，DE=，③当EF=FG时，∴∠EFG=180°﹣2×30°=120°=∠CFE，此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合题意，故答案为：1或．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．【解答】解：原式=x2+4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）﹣2x2=x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2=4xy，当x=+2，y=﹣2时，原式=4×（+2）×（﹣2）=4×（3﹣4）=﹣4．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．17．【分析】（1）由B项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D项目人数除以总人数可得n的值；（2）360°乘以A项目人数占总人数的比例可得；（3）由表可知样本中散步人数最多，据此可得，再用E项目人数除以总人数可得；（4）总人数乘以样本中C人数所占比例．【解答】解：（1）接受问卷调查的共有30÷20%=150人，m=150﹣（12+30+54+9）=45，n%=×100%=36%，∴n=36，故答案为：150、45、36；（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为360°×=28.8°，故答案为：28.8°；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是×100%=6%，故答案为：散步、6%；（4）1500×=450（人），答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人．【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．【分析】（1）连接OC，如图所示，由CD⊥AB，AE⊥CF，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由CF为圆的切线，利用切线的性质得到CO⊥EF，可得出AE 与OC平行，利用两直线平行内错角相等，等边对等角得到一对角相等，利用AAS得到三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）连接BC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形AEC中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF是圆O的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO，在△CAE和△CAD中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC中，cos∠EAC==，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB==，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点评】此题考查了切线的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．19．【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan ∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，答：塔杆CH的高为42米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．【分析】（1）由已知先求出a，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y=kx ﹣3求出k的值即可求出一次函数的解析式；（2）易求点B、C的坐标分别为（n，），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，易得OD=OE=3，那么∠OED=45°．根据平行线的性质得到∠BCA=∠OED=45°，所以当△ABC是等腰直角三角形时只有AB=AC一种情况．过点A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC，依此得出方程﹣1=1﹣（n﹣3），解方程即可．【解答】解：（1）∵反比例y=的图象过点A（4，a），∴a==1，∴A（4，1），把A（4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x﹣3；（2）由题意可知，点B、C的坐标分别为（n，），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，如图．当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=3，∴OD=OE，∴∠OED=45°．∵直线x=n平行于y轴，∴∠BCA=∠OED=45°，∵△ABC是等腰直角三角形，且0＜n＜4，∴只有AB=AC一种情况，过点A作AF⊥BC于F，则BF=FC，F（n，1），∴﹣1=1﹣（n﹣3），解得n1=1，n2=4，∵0＜n＜4，∴n2=4舍去，∴n的值是1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．21．【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据题意得：，解得：．答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600（元），单独请乙组所需费用为：140×24=3360（元），∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下：单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000（元），单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160（元），请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120（元）．∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数22．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，推出当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，推出当B、C、D共线时，BD的最大值=BC+CD=6，由此即可解决问题；【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：延长AE交BD于O．∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO，∴∠CBD+∠BEO=90°，∴∠BOE=90°，即AE⊥BD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN．故答案是：PM=PN，PM⊥PN．（2）如图②中，设AE交BC于O．∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，∴当B、C、D共线时，BD的最大值=BC+CD=6，∴PM=PN=3，∴△PMN的面积的最大值=×3×3=．【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．23．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA==，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）．（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA==，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE==，∵∠MBA=∠BDE，∴=当点M在x轴上方时，=，解得m=﹣或3（舍弃），∴M（﹣，），当点M在x轴下方时，=，解得m=﹣或m=3（舍弃），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m=，当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m=，∴满足条件的m的值为或；【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2018年河南省南阳市中考数学一模试卷附答案解析
3.
如图是由几个相同的小正方形搭成的几何体的主视图与左视图，则搭成这 个几何体的小正方体的个数最多是( )
A.
4.
B. 7
������
C. 8
D. 9
������ = ������ 如图，点 A 在反比例函数 的图象上，������������ ⊥ ������轴于点 M，P 是 x 轴上一动点，当 △ ������������������的面积是 4 时，k 的值是( )
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A. ������
������
B. 2 C. 2 D. 1
二、填空题 (������ ‒ 3)0 + ( ‒ 3) ‒ 1 =
1
11. 计算：
______．
12. 如图，������������//������������，若 AE：������������ = 2：1，������������ = 1，������������ = 2.则 BN：������������ = ______．
A. 平均数不变，方差变小 C. 平均数不变，方差不变
7.
B. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变
2 关于 x 的一元二次方程(������ ‒ 1)������ + 3������ ‒ 2 = 0有实数根，则 a 的取值范围是( )
1 1
A. C.
8.
������ >‒ 8 ������ >‒ 8
1
B. D.
������ ≥‒ 8 ������ ≥‒ 8
1
且������ ≠ 1
且������ ≠ 1
有两个有两个除所标数字外构造完全相同的转盘 A 和 B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次， 指向的数字较大者获胜，则选择转盘 A 获胜的概率是( )
河南省南阳市镇平县2018年中考数学一模试卷及答案解析
2018年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，则∠BAC的度数是（）A．120°B．80°C．60°D．30°4．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3155．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．2 C．D．46．（3分）四张相同的卡片，每张的正面分别写着，，，，将卡片正面朝下扣在桌上，随机抽出一张，这张卡片上写的不是最简二次根式的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（）A．B．12 C．14 D．218．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的9．（3分）某家庭搬进新居后又添置了新的电冰箱，电热水器等家用电器，为了了解用电量的大小，该家庭在6月份初连续几天观察电表的度数，电表显示的度数如下表：这个家庭六月份用电度数为（ ）A ．105度B ．108.5度C ．120度D ．124度10．（3分）如图，一段抛物线：y=﹣x （x﹣2）（0≤x ≤2）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C2，交x轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P （11，m ）在第6段抛物线C 6上，则m 为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算（﹣2）÷（﹣）的结果为 ．12．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．13．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．14．（3分）已知抛物线y=ax 2﹣2ax +c 与x 轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax 2﹣2ax +c=0的根为 ．15．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，点E 是边AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 折叠，点A 落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判列方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．17．（9分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率．18．（9分）某校七年级共有500名学生，团委准备调查他们对“低碳”知识的了解程度，（1）在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生请问其中最具有代表性的一个方案是；（2）团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图①、图②所示），请你根据图中信息，将其补充完整；（3）请你估计该校七年级约有多少名学生比较了解“低碳”知识．19．（9分）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．20．（9分）如图，某校八年级（1）班学生利用寒假期间到郊区进行社会实践活动，活动之余，同学们准备攀登附近的一个小山坡，从B点出发，沿坡脚15°的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了10分钟，然后沿坡比为1：的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，用了5分钟，求小山坡的高（即AC的长度）（精确到0.01千米）（sin15°≈0.2588，cos15°≈0.9659，≈1.732）21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，BD和CD为⊙O的切线，切点分别为B和C．（1）求证：AC∥OD；（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．22．（10分）（1）问题发现如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时，=（用含a，b的代数式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是（用含n，a的代数式表示）23．（11分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），点P是AB上的动点，设点P的横坐标为n，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C，与x轴交于M点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段AB上异于A，B的动点，是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这最大值，若不存在，请说明理由；（3）点P在直线AB上自由移动，当三个点C，P，M中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，请直接写出m的值．2018年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵一个正方形的面积是15，∴该正方形的边长为，∵9＜15＜16，∴3＜＜4．故选：B．2．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又∵OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．3．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=∠BOC=×120°=60°．故选：C．4．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．5．【解答】解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OA=OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM=60°，∴OM=OBsin∠OBM=4×=2，故选：B．6．【解答】解：在，，，这4张卡片中不是最简二次根式的是，所以卡片上写的不是最简二次根式的概率是，故选：A．7．【解答】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，∴cosB==，∴∠B=45°，∵sinC===，∴AD=3，∴CD==4，∴BD=3，则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．故选：A．8．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选：C．9．【解答】解：这七天一共用电的度数=（143﹣115）÷7=4，月份用电度数=4×30=120（度），故选C．10．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．【解答】解：（﹣2）÷（﹣）=﹣1+6=5；故答案为：5．12．【解答】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20，∴红球有：20﹣（8+4）=8（个），故答案为：8．13．【解答】解：如图连接OC、OD、BD．∵点C、D是半圆O的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OC=OD=OB，∴△COD、△OBD是等边三角形，∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2，∴OC∥BD，=S△BDO，∴S△BDC==．∴S阴=S扇形OBD14．【解答】解法一：将x=﹣1，y=0代入y=ax2﹣2ax+c得：a+2a+c=0．解得：c=﹣3a．将c=﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a=0．∴a（x2﹣2x﹣3）=0．∴a（x+1）（x﹣3）=0．∴x1=﹣1，x2=3．解法二：已知抛物线的对称轴为x==1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c=0的两个根为﹣1，3故答案为：﹣1，3．15．【解答】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=AD=1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E=AE，A′B=AB=1，∴A′N==0，即A′与N重合，∴A′M=1，∴A′E2=EM2+A′M2，∴A′E2=（1﹣A′E）2+12，解得：A′E=1，∴AE=1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABC D 的对称轴，∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B=2PB，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×=；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．【解答】解：（1）∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）将x=3时，原方程为9+6m+m2﹣1=0，即（x+2）（x+4）=0，解得：m1=﹣2，m2=﹣4．17．【解答】解：（1）设布袋里红球有x个．由题意可得：，解得x=1，经检验x=1是原方程的解．∴布袋里红球有1个．（2）记两个白球分别为白1，白2画树状图如下：由图可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中，两次摸到的球都是白球的情况有2种，∴P（两次摸到的球都是白球）=．18．【解答】解：（1）方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；（2）如上图；（3）500×30%=150（名），∴七年级约有150名学生比较了解“低碳”知识．19．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．20．【解答】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DE ⊥AC 于点E ，∵沿坡比为1：的坡面以3千米/时的速度达到山顶A 点，∴=， ∴∠ADE=30°，∵BD=×10=（km ），AD=×5=（km ），∴AC=AE +EC=AE +DF=AD•sin30°+BD•sin15°=×+×0.2588≈0.34（千米）． 答：小山坡的高为0.34千米．21．【解答】（1）证明：连接OC ．∵BD 和CD 为⊙O 的切线，OD ⊥BC ，O 为圆心，∴OB ⊥BD ，OC ⊥CD ，∵OB=OC ，DO=DO ，∴△OBD ≌△OCD ．∴OC=∠BD ，OD 平分BC ．∴BC⊥OD又∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC∴AC∥OD；（2）∵DB，DC为切线，B，C为切点，∴DB=DC．又∵DB=BC=6，∴△BCD为等边三角形．∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．∴OM=，OB=2．∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC=﹣×6×=4π﹣3（cm2）．22．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴=∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案为；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴=由PG∥AB，PH∥AD可得，∵AB=a，BC=b∴，即=∴=，故答案为；（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴=当AP=nPC时（n是正实数），=∴PM=a∴四边形PMCN的面积=（a）2=，故答案为：．23．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=6，则B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴解得，∴所求抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+6；（2）设P的坐标为（n，n+2）（＜n＜4），则点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，∵a=﹣2＜0，∴当n=时，线段PC取得最大值；（3）设P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），若M点为PC的中点，则PM=CM，即n+2=﹣（2n2﹣8n+6），整理得2n2﹣7n+8=0，此方程没有实数解；若P点为CM的中点，则PM=PC，即2n2﹣8n+6=2（x+2），整理得n2﹣5n+5=0，解得n1=，n2=；若C点为PM的中点，则PC=CM，即n+2=2（2n2﹣8n+6），整理得4n2﹣17n+10=0，解得n1=，n2=；综上所述，n的值为或．。
河南省2018年中招第一次模拟考试数学试卷及答案
天宏大联考2018年河南省中招第一次模拟考试试卷数学(本卷满分120分，考试时间100分钟)注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阋读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1、322-的倒数是（ ） A 、322B 、213-C 、83-D 、832、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）3、若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是（ ）A 、6B 、3C 、3D 、124、如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=27°，则∠2的度数是（ ）A 、53°B 、63°C 、73°D 、27°第5题图 第6题图5、对于任意的实数m ，一元二次方程3x 2－x=m 的根的情况是（ ）A 、有两个相等的实数根B 、对于不同的实数m ，方程根的情况也不相同C 、有两个不相等的实数根D 、无实数根6、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=6cm ，以斜边AB 上的一点O 为心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则圆O 的半径为（ ）A 、3. 5cmB 、 2. 5cmC 、2cmD 、2. 4cm7、已知一元二次方程x 2－3x －1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A 、－3B 、3C 、－6D 、68、如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AB=1，BC ＝3，点E ，F 分别是线段AB ，AD 上的点，连接CE ，CF ，若∠BCE=∠ACF ，且CE=CF ，则AE+AF ＝（ ）A 、1.2B 、332C 、433 D 、3第8题图 第9题图 第10题图9、矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止。
2018年河南南阳中考数学试题及答案
【导语】将在本次河南南阳中考过后，考后发布2018年河南南阳中考数学试卷及答案解析，⽅便考⽣对照估分，⼤家可收藏并随时关注、栏⽬，中考信息持续更新！中考科⽬：语⽂、数学、英语、物理、化学、政治、历史、地理、⽣物、体育（各地区有所不同，具体以地区教育考试院公布为准。
）考试必读：中考所⽤的2B铅笔、0.5mm⿊⾊墨⽔签字笔、橡⽪、垫板、圆规、尺⼦以及准考证等，都应归纳在⼀起，在前⼀天晚上就准备好，放⼊⼀个透明的塑料袋或⽂件袋中。
涂答题卡的2B铅笔要提前削好（如果是⾃动笔，要防⽌买到假冒产品）。
不要⾃⼰夹带草稿纸，不要把⼿机、⼩灵通等通讯⼯具带⼊考场，如果带了的话⼀定要关机（以免对⾃⼰造成影响）。
有些地区禁⽌携带⼿机等通讯⼯具进⼊考场，否则将以作弊论处。
避免违规：中考是中国重要的考试之⼀，直接决定着考⽣升⼊⾼中后的学习质量，对⾼考成绩有着⾮常重⼤的影响。
因此，中国教育部门对于中考违规、作弊的处罚⼒度是相当⼤的。
视违规情节的不同，轻则对试卷进⾏扣分处理，重则取消违规科⽬或全科的成绩并将其记⼊考⽣档案伴随终⽣，对于涉嫌犯罪的⼈员要追究刑事责任。
中考对于复读⽣也有⼀定的惩罚措施，例如禁⽌报考热点⾼中、对试卷进⾏扣分处理、取消额外加分等等。
因此，在中考的过程中要绝对避免出现违规、作弊的情况，不能铤⽽⾛险，酿成终⾝的遗憾。
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2018年河南南阳方城中考一模试卷数学
2018年河南省南阳市方城县中考一模试卷数学一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.下列各数中，比-12小的数是( ) A.-1C.12D.0解析：-1＜-102＜-1.答案：A2.近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是( )A.1.6×104B.0.16×10-3C.1.6×10-4D.16×10-5解析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.0.00016=1.6×10-4. 答案：C3.下列计算正确的是( )===3=-解析：A =，运算正确，故本选项正确；B ==C 2=不是同类二次根式，不能进行合并同类二次根式，故本选项错误；==，所以本项中的二次根式化简错误，故本选项错误.D3答案：A4.如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是( )A.B.C.D.解析：从正面看是一个大正方形内的左上角是一个小正方形.答案：D5.如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=27°，则∠2的度数是( )A.53°B.63°C.73°D.83°解析：∵∠1=27°，∴∠3=90°-∠1=90°-27°=63°.∵a∥b，∴∠2=∠3=63°.答案：B6.如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )解析：∵∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BAC+∠BOC=180°，∵∠BAC=12∠BOC ，∴∠BOC=120°， 过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，∴BD=CD ，∵OB=OC ，∴OB 平分∠BOC ，∴∠DOC=12∠BOC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°， 在Rt △DOC 中，OC=2，∴OD=1，∴答案：C7.不等式组215840x x -≥⎧⎨-⎩，＜的解集是( )A.x ＞2B.x ≥3C.2＜x ≤3D.x ≥2解析：215840x x -≥⎧⎨-⎩①，＜②，解不等式①，得x ≥3；解不等式②，得x ＞2；∴不等式组的解集为x≥3.答案：B8.如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是( )A.B.C.D.s解析：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC.答案：D9.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1，1)、C(3，1).规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移一个单位”为一次变换.如此这样，连续经过2018次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标为( )A.(2018，2)B.(2018，-2)C.(-2016，2)D.(2016，2)解析：∵正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1，1)、C(3，1).∴点M的坐标为(2，2)，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1，-2)，即(1，-2)，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2-2，2)，即(0，2)，第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3，-2)，即(-1，-2)，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2-n，-2)，当n为偶数时为(2-n，2)，∴连续经过2018次变换后，点M的坐标变为(-2016，2).答案：C10.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点(点P不与点B，C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E.设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为( )A.B.C.D.解析：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE=∠C′PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，∴∠BPE=∠PDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△PCD ∽△EBP ，∴BE PB PC CD =，即53y xx =-，∴()211525533212y x x x ⎛=-=--+⎫ ⎪⎝⎭，∴函数图象为C 选项图象.答案：C二、选择题(每小题3分，共15分)11.计算：2cos60°-(3+1)0= . 解析：原式=2×12-1=1-1=0. 答案：012.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上).将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后(0＜n ＜180 )，如果EF ∥AB ，那么n 的值是 .解析：①如图1中，EF ∥AB 时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF ∥AB.②如图2中，EF ∥AB 时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°，∴旋转角n=360-135=225，∵0＜n ＜180，∴此种情形不合题意， 答案：4513.在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是13.则n= . 解析：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n 个，∴球的总个数为6+4+n ，∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为13，∴1643n n =++，解得，n=5. 答案：514.如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且AC=CD ，∠ACD=120°，CD 是⊙O 的切线：若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为 .解析：连接OC ，∵AC=CD ，∠ACD=120°，∴∠CAD=∠D=30°，∵DC 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD=90°，∴∠COD=60°，在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，∴，∴阴影部分的面积是S △OCD -S 扇形COB =2160222.23603ππ⨯⨯⨯=答案：23π15.如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(0，3，∠ABO=30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为 .解析：如图，过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=30°，点B 的坐标为(0，，∴CAB=30°，∴BC=AC ·tan30°==3，∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，∴∠BAD=30°，，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=12AD =，∴AM=9cos302︒=，∴MO=93322-=，∴点D 的坐标为(32答案：(32)三、解答题(本题共8分，满分75分)16.先化简，再求值：211121mm m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭-÷+++，其中解析：根据分式的运算法则即可求出答案.答案：当时，原式=()2111m m m m m+⋅=+=+17.某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括最大值但不包括最小值)，请你根据统计图解决下列问题：(1)此次抽样调查的样本容量是 .(2)补全左侧统计图，并求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数. (3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？解析：(1)根据统计图可知“10吨～15吨”的用户10户占10%，从而可以求得此次调查抽取的户数；(2)根据(1)中求得的用户数与条形统计图可以得到“15吨～20吨”的用户数，再用360°乘以“25吨～30吨”户数所占百分比；(3)根据前面统计图的信息可以得到该地6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格.答案：(1)此次抽样调查的样本容量是10÷10%=100，(2)用水量在15～20的户数为100-(10+36+25+9)=20，补全图形如下：其中扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为360°×25100=90°；(3)60000×102036100++=39600(户)，答：该地区6万用户中约有39600户的用水全部享受基本价格.18.如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB.(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为 cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为 cm时，四边形ABCD为正方形.解析：(1)由AB、AD分别相切于点E、F，得到∠EAO=∠FAO，于是得到OD=OB，根据AO=OC，推出四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论；(2)①连接OE由切线的性质得到OE⊥AD，由△ABD为等边三角形，得到BD=AB=AD=4，根据直角三角形的性质得到结论由正方形的性质得到∠DAO=∠ADO=45°，由AD=AB=4，得到OA=OD=.答案：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，∴∠EAO=∠FAO，∴OD=OB，∵AO=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)①当⊙O的半径为3时，△ABD为等边三角形；连接OE，∵AD切⊙O于点E，∴OE⊥AD，∵△ABD 为等边三角形，∴BD=AB=AD=4，∴∠DAO=30°，11288OD BD AO OE AO ∴===∴==，∴当⊙O 时，△ABD 为等边三角形； ②当⊙O 的半径为2cm 时，四边形ABCD 为正方形；如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，∵AD=AB=4，∴OA=OD=(2)知，OE ⊥AD ，∴OE=AE=2，∴当⊙O 的半径为2cm 时，四边形ABCD 为正方形.19.如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD 的高度.由距塔CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α.测得A ，B 之间的距离为10米，tan α=1.6，tan β=1.2，试求塔CD 的大约高度.解析：CD 与EF 的延长线交于点M ，设DM=x 米.由三角函数的定义得到，在Rt △DMF 中，DMFM=tan α=1.6，在Rt △DGE 中，DMEM=tan β=1.2，根据EF=EM-FM ，得到关于x 的方程，求出x ，再加上1.6即为建筑物CD 的高度. 答案：延长EF 与CD 交于点M ，设DM=x 米，由题意知，EF=EM-FM=AB=10，在Rt △DMF 中，DM FM =tan α=1.6，在Rt △DME 中，DM EM=tan β=1.2， 101.6 1.2 1.2 1.6x x x x FM EM EM FM ∴==∴-=-=，，，解得：x=48， ∴CD=DM+1.6=49.6米，答：塔CD 的高度大约是49.6米.20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n(m ≠0)的图象与反比例函数y=k x(k ≠0)的图象交于第一、三象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM=OM ，，点A 的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接MC ，求四边形MBOC 的面积.解析：(1)根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A 的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；(2)根据(1)中的函数解析式可以求得点C ，点M 、点B 、点O 的坐标，从而可以求得四边形MBOC 的面积.答案：(1)由题意可得，BM=OM ，，∴BM=OM=2，∴点B 的坐标为(-2，-2)，设反比例函数的解析式为y=k x ，则-2=2k -，得k=4，∴反比例函数的解析式为y=4x， ∵点A 的纵坐标是4，∴4=4x ，得x=1，∴点A 的坐标为(1，4)， ∵一次函数y=mx+n(m ≠0)的图象过点A(1，4)、点B(-2，-2)，∴422m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，，得22m n =⎧⎨=⎩，，即一次函数的解析式为y=2x+2； (2)∵y=2x+2与y 轴交与点C ，∴点C 的坐标为(0，2)，∵点B(-2，-2)，点M(-2，0)，点O(0，0)，∴OM=2，OC=2，MB=2，∴四边形MBOC的面积是：22224 2222OM OC OM MB⋅⋅⨯⨯+=+=.21.某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品.若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元.(1)求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件.考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7 (3)若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元.在(2)中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？解析：(1)根据甲种纪念品4件乙种纪念品3件需要550元，甲种纪念品5件乙种纪念品6件需要800元；列出方程组，求出甲乙的单价；(2根据甲纪念品的进货价+乙纪念品的进货价≤7100元，甲纪念品数量不小于60件，列出不等式组或不等式，确定一个纪念品的取值范围.根据取值范围得进货方案.(3)根据：总利润=甲种纪念品的利润+乙种纪念品的利润，得函数关系，利用一次函数的性质，得结论.答案：(1)设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元.由题意得：4355056800x yx y+=⎧⎨+=⎩，，解得：10050xy=⎧⎨=⎩，，答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元.(2)设购进甲种纪念品a(a≥60)件，则购进乙种纪念品(80-a)件.由题意得：100a+50(80-a)≤7100，解得a≤62，又a≥60，所以a可取60、61、62.即有三种进货方案.方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品62件，乙种纪念品18件.(3)设利润为W，则W=20a+30(80-a)=-10a+2400所以W是a的一次函数，-10＜0，W随a的增大而减小.所以当a最小时，W最大.此时W=-10×60+2400=1800答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元.22.如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立.(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)时，如图②，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图③，延长DB 交CF 于点H ；(ⅰ)求证：BD ⊥CF ；(ⅱ)当AB=2，时，求线段DH 的长.解析：(1)欲证明BD=CF ，只要证明△CAF ≌△BAD 即可；(2)(ⅰ)由(1)得△CAF ≌△BAD ，推出∠CFA=∠BDA ，由∠FNH=∠DNA ，∠DNA+∠NAD=90°，即可推出∠CFA+∠FNH=90°，由此即可解决问题；(ⅱ)只要证明△DMB ∽△DHF ，可得DM DB DH DF=，构建方程即可解决问题； 答案：(1)BD=CF.理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=α，在△CAF 和△BAD 中，CA BA CAF BAD FA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△CAF ≌△BAD ，∴BD=CF.(2)(ⅰ)由(1)得△CAF ≌△BAD ，∴∠CFA=∠BDA ，∵∠FNH=∠DNA ，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD ⊥CF. (ⅱ)连接DF ，延长AB 交DF 于M ，∵四边形ADEF 是正方形，，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM-AB=1，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF ，∴△DMB ∽△DHF ，∴DM DB DH DF =，即3DH =23.如图，已知二次函数21322y x bx =+-与x 轴交于点A(-3，0)和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E.(1)试求出二次函数的表达式和点B 的坐标；(2)当点P 在线段AO(点P 不与A 、O 重合)运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.解析：(1)将A 点坐标代入21322y x bx =+-中求出b 得到二次函数的表达式为21322y x x =+-，然后解方程21322x x +-=0得B 点坐标； (2)设PA=t(-3＜t ＜0)，则OP=3-t ，如图1，证明△DAP ∽△POE ，利用相似比得到OE=21344t t -+，然后利用二次函数的性质解决问题； (3)讨论：当点P 在y 轴左侧时，如图2，DE 交AB 于G 点，证明△DAP ≌△POE 得到PO=AD=4，则PA=1，OE=1，再利用平行线分线段成比例定理计算出AG=125，则计算S △DAG 即可得到此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；当P 点在y 轴右侧时，如图3，DE 交AB 于G 点，DP 与BC 相交于Q ，同理可得△DAP ≌△POE ，则PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行线分线段成比例定理计算出OG 和BQ ，然后计算S 四边形DGBQ 得到此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积.答案：(1)将点A(-3，0)代入21322y x bx =+-得93322b --=0，解得b=1， ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-， 当y=0时，21322x x +-=0，解得x 1=1，x 2=-3，∴B(1，0)； (2)设PA=t(-3＜t ＜0)，则OP=3-t ，如图1，∵DP⊥PE，∴∠DPA=∠PEO，∴△DAP∽△POE，∴AP ADOE PO=，即43tOE t=-，∴2213139444216OE t t t⎛⎫⎪=-+=--+⎝⎭，∴当t=32时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为916；(3)存在.当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，∵PD=PE，∠DPE=90°，∴△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=1，OE=1，∵AD∥OE，∴1245AG ADAGOG OE==∴=，，∴S△DAG=112244255⋅⋅=，∴P点坐标为(-4，0)，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为245；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=7，OE=7，∵AD∥OE，∴421711AG ADOGOG OE==∴=，，同理可得BQ=127，∴S四边形DGBQ=121112712144. 2112777⋅+⋅+⋅⋅=⎛⎫⎪⎝⎭∴当点P的坐标为(4，0)时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为712 77.。
2018年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷含答案解析
2018年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．（3分）下列各数中，比﹣小的数是（）A．﹣1 B．C．D．02．（3分）近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是（）A．1.6×104B．0.16×10﹣3C．1.6×10﹣4D．16×10﹣53．（3分）下列计算正确的是（）A．B．= C．D．4．（3分）如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（）A． B． C．D．5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=27°，则∠2的度数是（）A．53°B．63°C．73°D．83°6．（3分）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．4 B．3 C．2 D．7．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．x≥28．（3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移一个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2018次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标为（）A．（2018，2）B．（2018，﹣2）C．（﹣2016，2）D．（2016，2）10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（）A．B．C．D．二、选择题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：2cos60°﹣（+1）0=．12．（3分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是．13．（3分）在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=．14．（3分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为．三、解答题（本题共8分，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m=﹣1 17．（9分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图（每组数据包括最大值但不包括最小值），请你根据统计图解决下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是．（2）补全左侧统计图，并求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？18．（9分）如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为cm时，四边形ABCD为正方形．19．（9分）如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD 一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．21．（10分）某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？22．（10分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；（ⅰ）求证：BD⊥CF；（ⅱ）当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．23．（11分）如图，已知二次函数y=x2+bx﹣与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．2018年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．（3分）下列各数中，比﹣小的数是（）A．﹣1 B．C．D．0【解答】解：﹣1＜﹣＜0＜，最小的数是﹣1，故选：A．2．（3分）近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是（）A．1.6×104B．0.16×10﹣3C．1.6×10﹣4D．16×10﹣5【解答】解：0.00016=1.6×10﹣4，故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．= C．D．【解答】解：A、根据二次根式的乘法运算法则，，运算正确，故本选项正确；B、，所以本项运算错误，故本选项错误；C、=2，与不是同类二次根式，不能进行合并同类二次根式，故本选项错误；D、=3，所以本项中的二次根式化简错误，故本选项错误．故选：A．4．（3分）如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（）A． B． C．D．【解答】解：从正面看是一个大正方形内的左上角是一个小正方形，故选：D．5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=27°，则∠2的度数是（）A．53°B．63°C．73°D．83°【解答】解：∵∠1=27°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣27°=63°．∵a∥b，∴∠2=∠3=63°．故选：B．6．（3分）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．4 B．3 C．2 D．【解答】解∵∠BAC与∠BOC互补，∴∠BAC+∠BOC=180°，∵∠BAC=∠BOC，∴∠BOC=120°，过O作OD⊥BC，垂足为D，∴BD=CD，∵OB=OC，∴OB平分∠BOC，∴∠DOC=∠BOC=60°，∴∠OCD=90°﹣60°=30°，在Rt△DOC中，OC=2，∴OD=1，∴DC=，∴BC=2DC=2，故选：C．7．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．x≥2【解答】解：解不等式①，得x≥3；解不等式②，得x＞2；∴不等式组的解集为x≥3，故选：B．8．（3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC故选：D．9．（3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移一个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2018次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标为（）A．（2018，2）B．（2018，﹣2）C．（﹣2016，2）D．（2016，2）【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），∴连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（﹣2016，2）．故选：C．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（）A．B．C．D．【解答】解：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE=∠C′PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，∴∠BPE=∠PDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△PCD∽△EBP，∴=，即=，∴y=x （5﹣x ）=﹣（x ﹣）2+， ∴函数图象为C 选项图象．故选：C ．二、选择题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：2cos60°﹣（+1）0= 0 ．【解答】解：原式=2×﹣1=1﹣1=0故答案为：0．12．（3分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180 ），如果EF ∥AB ，那么n 的值是 45 ．【解答】解：①如图1中，EF ∥AB 时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF ∥AB ．②如图2中，EF ∥AB 时，∠ACE +∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360﹣135=225，∵0＜n ＜180，∴此种情形不合题意，故答案为4513．（3分）在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=5．【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，∴=，解得，n=5．故答案为5．14．（3分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为2﹣．【解答】解：连接OC，∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=∠D=30°，∵DC切⊙O于C，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD=90°，∴∠COD=60°，在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，∴CD=2，∴阴影部分的面积是S △OCD ﹣S 扇形COB =×2×2﹣=2﹣π，故答案为：2﹣π．15．（3分）如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，3），∠ABO=30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为 （，） ．【解答】解：如图，过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=30°，点B 的坐标为（0，3），∴AC=OB=3，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=3×=3， ∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，∴∠BAD=30°，AD=3，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=3×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴点D的坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本题共8分，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m=﹣1【解答】解：当m=﹣1时，原式=•=m+1=17．（9分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图（每组数据包括最大值但不包括最小值），请你根据统计图解决下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是100．（2）补全左侧统计图，并求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？【解答】解：（1）此次抽样调查的样本容量是10÷10%=100，故答案为：100；（2）用水量在15～20的户数为100﹣（10+36+25+9）=20，补全图形如下：其中扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为360°×=90°；（3）60000×=39600（户），答：该地区6万用户中约有39600户的用水全部享受基本价格．18．（9分）如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，∴∠EAO=∠FAO，∴OD=OB，∵AO=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴▱ABCD是菱形；（2）①当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；连接OE，∵AD切⊙O于点E，∴OE⊥AD，∵△ABD为等边三角形，∴BD=AB=AD=4，∴∠DAO=30°，∴OD=BD=2，AO=2，∴OE=AO=，∴当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；故答案为：；②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，∵AD=AB=4，∴OA=OD=2，由（2）知，OE⊥AD，∴OE=AE=2，∴当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；故答案为：2．19．（9分）如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD 一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．【解答】解：延长EF与CD交于点M，设DM=x米由题意知，EF=EM﹣FM=AB=10，在Rt△DMF中，=tanα=1.6，在Rt△DME中，=tanβ=1.2，∴FM=，EM=，∴EM﹣FM=﹣=10解得：x=48，∴CD=DM+1.6=49.6米，答：塔CD的高度大约是49.6米．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．【解答】解：（1）由题意可得，BM=OM，OB=2，∴BM=OM=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），设反比例函数的解析式为y=，则﹣2=，得k=4，∴反比例函数的解析式为y=，∵点A的纵坐标是4，∴4=，得x=1，∴点A的坐标为（1，4），∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），∴，得，即一次函数的解析式为y=2x+2；（2）∵y=2x+2与y轴交与点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），∴OM=2，OC=2，MB=2，∴四边形MBOC的面积是：==4．21．（10分）某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？【解答】解：（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元．由题意得：，解得：答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）设购进甲种纪念品a（a≥60）件，则购进乙种纪念品（80﹣a）件．由题意得：100a+50（80﹣a）≤7100解得a≤62又a≥60所以a可取60、61、62．即有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品62件，乙种纪念品18件．（3）设利润为W，则W=20a+30（80﹣a）=﹣10a+2400所以W是a的一次函数，﹣10＜0，W随a的增大而减小．所以当a最小时，W最大．此时W=﹣10×60+2400=1800答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．22．（10分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；（ⅰ）求证：BD⊥CF；（ⅱ）当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．【解答】解：（1）BD=CF．理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=α，在△CAF和△BAD中，，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF．（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD⊥CF．（ⅱ）连接DF，延长AB交DF于M，∵四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，DB==，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴=，即=，解得，DH=．23．（11分）如图，已知二次函数y=x2+bx﹣与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）代入y=x2+bx﹣得﹣3b﹣=0，解得b=1，∴二次函数的表达式为y=x2+x﹣，当y=0时，x2+x﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴B（1，0）；（2）设PA=t（﹣3＜t＜0），则OP=3﹣t，如图1，∵DP⊥PE，∴∠DPA=∠PEO，∴△DAP∽△POE，∴=，即=，∴OE=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，∵PD=PE，∠DPE=90°，∴△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=1，OE=1，∵AD∥OE，∴==4，∴AG=，∴S△DAG=••4=，∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=7，OE=7，∵AD∥OE，∴==，∴OG=，同理可得BQ=∴S四边形DGBQ=•（+1）•4+•4•=∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．。
2018年河南省中考数学一模试卷(可编辑修改word版)
﹣2018 年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）下列各数中，最小的数是（ A ．﹣3B ．﹣（﹣2）） C ．0D ．﹣2．（3 分）据财政部网站消息，2018 年中央财政困难群众救济补助预算指标约为 929 亿元，数据 929 亿元科学记数法表示为（ ）A ．9.29×109B ．9.29×1010C ．92.9×1010D ．9.29×10113．（3 分）如图所示的几何体的主视图是 （）A ．B ．C ．D ．4．（3 分）小明解方程 =1 的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得 1﹣（x ﹣2）=1① 去括号，得 1﹣x +2=1② 合并同类项，得﹣x +3=1③ 移项，得﹣x=﹣2④ 系数化为 1，得 x=2⑤ A ．①B ．②C ．③D ．④5．（3 分）为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160 个），周二（160 个），周三（180 个），周 四（200 个），周五（170 个）．则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（ ）A．180 个，160 个B．170 个，160 个C．170 个，180 个D．160 个，206．（3 分）关于x 的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0 有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3 分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°8．（3 分）郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E 五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．B．C．D．9．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE，过点B 作BF⊥AE 交AE 于点F，则BF 的长为（）A．B．C．D．10．（3 分）如图，动点P 从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第2018 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）二、填空题（每小题3 分，共15 分）11．（3 分）=．12．（3 分）方程3x2﹣5x+2=0 的一个根是a，则6a2﹣10a+2= ．13．（3 分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1 的图象上，若当1＜x1＜2，3 ＜x2＜4 时，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．（3 分）如图1，在R t△ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿折线AC﹣CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD⊥AB，垂足为D，PD 的长y（cm）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象如图2 所示．当点P 运动5 秒时，PD 的长的值为．15．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，AB=，∠B=120°，点E 是AD 边上的一个动点（不与A，D 重合），EF∥AB 交BC 于点F，点G 在CD 上，DG=DE．若△EFG 是等腰三角形，则DE 的长为．三、解答题（本大题共8 小题，满分75 分）16．（8 分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x2，其中x=+2，y=﹣2．17．（9 分）全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．运动形式 A B C D E人数12 30 m 54 9请你根据以上信息，回答下列问题：（1）接受问卷调查的共有人，图表中的m= ，n=；（2）统计图中，A 类所对应的扇形圆心角的度数为；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是，不运动的市民所占的百分比是；（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有1500 人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？18．（9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，经过C 作CD⊥AB 于点D，CF 是⊙O 的切线，过点A 作AE⊥CF 于E，连接AC．（1）求证：AE=AD．（2）若AE=3，CD=4，求AB 的长．19．（9 分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，乙同学站在岩石B 处测得叶片的最高位置D 的仰角是45°（D，C，H 在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG 为4 米，两处的水平距离AG 为23 米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH 的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）20．（9 分）如图，反比例y=的图象与一次函数y=kx﹣3 的图象在第一象限内交于A（4，a）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若△ABC 是等腰直角三角形，求n 的值．21．（10 分）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付费用共3520 元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12 天，乙组单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200 元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）22．（10 分）如图1，△ABC 与△CDE 都是等腰直角三角形，直角边AC，CD 在同一条直线上，点M、N 分别是斜边AB、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1 中，PM 与PN 的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明：将图1 中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE 与MP、BD 分别交于点G、H，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE 绕点 C 任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出△PMN 面积的最大值．23．（11 分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m．①当∠MBA=∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN∥x 轴，与抛物线交于点N，P 为x 轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．﹣2018 年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3 分，共30 分）1．【分析】应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答．【解答】解：因为在数轴上﹣3 在其他数的左边，所以﹣3 最小；故选：A．【点评】此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于929 亿有11 位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：929 亿=92 900 000 000=9.29×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与n 值是关键．3．【分析】先细心观察原立体图形和长方体的位置关系，结合四个选项选出答案．【解答】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4．【分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．【解答】解：=1去分母，得1﹣（x﹣2）=x，故①错误，故选：A．【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．5．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160 出现了2 次，出现的次数最多，则众数是160；故选：B．【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．6．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围，再将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0 有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式以及在数轴上表示不等式的解集，牢记“当△≥0 时，方程有实数根”是解题的关键．7．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．【解答】解∵四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC，CD 边上的高为AE，AF．则AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD 中，S△ABC =S△ACD，即BC×AE=CD×AF，∴BC=CD，即AB=BC．故 B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A 正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C 正确；如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．8．【分析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．【解答】解：列表得：A B C D EA AA BA CA DA EAB AB BB CB DB EBC AC BC CC DC ECD AD BD CD DD EDE AE BE CE DE EE∴一共有25 种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有 5 种情况，∴恰好选择从同一个口进出的概率为=，故选：C．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．9．【分析】根据S△ABE =S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF 即可．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE 中，AE===，∵S△ABE = S矩形ABCD=3= •AE•BF，∴BF=．故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6 次反弹为一个循环组依次循环，用2018 除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6 次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P 第2018 次碰到矩形的边时为第336 个循环组的第2 次反弹，点P 的坐标为（7，4）．故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6 次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．二、填空题（每小题3 分，共15 分）11．【分析】如果一个数x 的平方等于a，那么x 是 a 的算术平方根，由此即可求解．【解答】解：∵22=4，∴=2．故答案为：2【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a 代入方程3x2﹣5x+2=0，列出关于a 的一元二次方程，通过变形求得3a2﹣5a 的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵方程3x2﹣5x+2=0 的一个根是a，∴3a2﹣5a+2=0，∴3a2﹣5a=﹣2，∴6a2﹣10a+2=2（3a2﹣5a）+2=﹣2×2+2=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13．【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5 可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A 点横坐标离对称轴的距离小于 B 点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．14．【分析】由P 的速度和图2 得出AC 和BC 的长，运用勾股定理求出AB，即可求出sin∠B，求出P 运动5 秒距离B 的长度利用三角函数得出PD 的值．【解答】解：∵P 以每秒2cm 的速度从点 A 出发，∴从图 2 中得出AC=2×3=6cm，BC=（7﹣3）×2=8cm，∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∴AB= ==10cm，∴sin∠B= ==，∵当点P 运动 5 秒时，BP=2×7﹣2×5=4cm，∴PD=4×sin∠B=4×=2.4cm，故答案为2.4cm．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，理清图象的含义即会识图是解题的关键．15．【分析】由四边形ABCD 是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△EFG 为等腰三角形时，①EF=GE= 时，于是得到DE=DG=AD÷=1，② GE=GF 时，根据勾股定理得到DE=．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠B=120°∴∠D=∠B=120°，∠A=180°﹣120°=60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB= ，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG 为等腰三角形时，①当EF=EG 时，EG=，如图1，过点 D 作DH⊥EG 于H，∴EH= EG= ，在Rt△DEH 中，DE==1，②GE=GF 时，如图2，过点G 作GQ⊥EF，∴EQ= EF= ，在Rt△EQG 中，∠QEG=30°，∴EG=1，过点D 作DP⊥EG 于P，∴PE= EG= ，同①的方法得，DE=，③当EF=FG 时，∴∠EFG=180°﹣2×30°=120°=∠CFE，此时，点 C 和点G 重合，点 F和点B 重合，不符合题意，故答案为：1 或．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．三、解答题（本大题共8 小题，满分75 分）16．【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y 的值代入进行计算即可得解．【解答】解：原式=x2+4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）﹣2x2=x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2=4xy，当x=+2，y= ﹣2 时，原式=4×（+2）×（﹣2）=4×（3﹣4）=﹣4．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．17．【分析】（1）由B 项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D 项目人数除以总人数可得n 的值；（2）360°乘以 A 项目人数占总人数的比例可得；（3）由表可知样本中散步人数最多，据此可得，再用E 项目人数除以总人数可得；（4）总人数乘以样本中C 人数所占比例．【解答】解：（1）接受问卷调查的共有30÷20%=150 人，m=150﹣（12+30+54+9）=45，n%=×100%=36%，∴n=36，故答案为：150、45、36；（2）A 类所对应的扇形圆心角的度数为360°×=28.8°，故答案为：28.8°；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是×100%=6%，故答案为：散步、6%；（4）1500×=450（人），答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450 人．【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．【分析】（1）连接OC，如图所示，由CD⊥AB，AE⊥CF，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由CF 为圆的切线，利用切线的性质得到CO⊥EF，可得出AE 与OC 平行，利用两直线平行内错角相等，等边对等角得到一对角相等，利用AAS 得到三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）连接BC，在直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出AC 的长，在直角三角形AEC 中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF 是圆O 的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO，在△CAE 和△CAD 中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD 中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC 中，cos∠EAC==，∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB= =，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点评】此题考查了切线的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．19．【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x 知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，根据BE=DE 可得关于x 的方程，解之可得．【解答】解：如图，作BE⊥DH 于点E，则GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x，在Rt△ACH 中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，答：塔杆CH 的高为42 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．（1）由已知先求出a，得出点A 的坐标，再把A 的坐标代入一次函数y=kx﹣3 【分析】求出k 的值即可求出一次函数的解析式；（2）易求点B、C 的坐标分别为（n，），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3 与x 轴、y 轴分别交于点D、E，易得OD=OE=3，那么∠OED=45°．根据平行线的性质得到∠BCA=∠OED=45°，所以当△ ABC 是等腰直角三角形时只有AB=AC 一种情况．过点 A 作AF⊥BC 于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC，依此得出方程﹣1=1﹣（n﹣3），解方程即可．【解答】解：（1）∵反比例y= 的图象过点A（4，a），∴a==1，∴A（4，1），把A（4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x﹣3；（2）由题意可知，点B、C 的坐标分别为（n，），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3 与x 轴、y 轴分别交于点D、E，如图．当x=0 时，y=﹣3；当y=0 时，x=3，∴OD=OE，∴∠OED=45°．∵直线x=n 平行于y 轴，∴∠BCA=∠OED=45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，且0＜n＜4，∴只有AB=AC 一种情况，过点A 作AF⊥BC 于F，则BF=FC，F（n，1），∴﹣1=1﹣（n﹣3），解得n1=1，n2=4，∵0＜n＜4，∴n2=4 舍去，∴n 的值是1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．21．【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元，根据题意得：，解得：．答：甲组工作一天商店应付300 元，乙组工作一天商店应付140 元．（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600（元），单独请乙组所需费用为：140×24=3360（元），∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下：单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000（元），单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160（元），请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120（元）．∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数=每天盈利× 装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数22．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）由（2）可知△PMN 是等腰直角三角形，PM=BD，推出当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大，推出当B、C、D 共线时，BD 的最大值=BC+CD=6，由此即可解决问题；【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：延长AE 交BD 于O．∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE 和△BCD 中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO，∴∠CBD+∠BEO=90°，∴∠BOE=90°，即AE⊥BD，∵点M、N 分别是斜边AB、DE 的中点，点P 为AD 的中点，∴PM= BD，PN= AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN．故答案是：PM=PN，PM⊥PN．（2）如图②中，设AE 交BC 于O．∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N 分别为AD、AB、DE 的中点，∴PM= BD，PM∥BD；PN= AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）由（2）可知△PMN 是等腰直角三角形，PM=BD，∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大，∴当B、C、D 共线时，BD 的最大值=BC+CD=6，∴PM=PN=3，∴△PMN 的面积的最大值=×3×3= ．【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．23．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA==，tan∠BDE= =，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ 是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D 坐标（1，4）．（2）①作MG⊥x 轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA= =，∵DE⊥x 轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE= =，∵∠MBA=∠BDE，∴=当点M 在x 轴上方时，=，解得m=﹣或3（舍弃），∴M（﹣，），当点M 在x 轴下方时，=，解得m=﹣或m=3（舍弃），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②如图中，∵MN∥x 轴，∴点M、N 关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ 是正方形，∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m 时，解得m=，当﹣m2+2m+3=m﹣1 时，解得m=，∴满足条件的m 的值为或；【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2018年河南省南阳市内乡县中考数学一模试卷(解析版)
2018年河南省南阳市内乡县中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．在0，1，﹣2，3这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．1C．0D．32．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣53．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．方程2x2+2x＝﹣1的根的情况为（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根6．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．有一组数据：6，4，6，5，3，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（）A．4.8，6，5B．5，5，5C．4.8，6，6D．5，6，58．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为160°，C是上一点，D，E是上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D+∠E的度数为（）A．160°B．140°C．100°D．80°10．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2﹣B．C．﹣1D．1二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．计算π0﹣＝．12．分式方程＝0的解为．13．如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C 作CB⊥x轴于点B，AO：BO＝3：1，则k的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D是边AC上的一动点，过点D作DE ∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，AD的长度为．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝．17．（9分）某校对该校九年级的部分同学做了一次“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集整理数据后，绘制了下列不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：（1）这次抽样调查中，调查的学生为人；（2）扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角为度；（3）请补全条形统计图；（4）若该校九年级有500名学生，则请你估计采用“听音乐”作为减压方式的人数．18．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）探究：①当∠B＝°时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．19．（9分）如图，大楼AB高16m，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为38.5°，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD的高及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，si38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）．20．（9分）如图，已知点A（﹣4，a），B（﹣1，2）是一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（m ＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C．（1）填空：k＝，b＝，m＝；（2）若P是直线AB上的一点，连接PC，若△PCA的面积等于，求点P的坐标．21．（10分）某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元．（1）求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？（2）若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？22．（10分）（1）已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．①初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE＝．②类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP＝1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？（2）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD＝PE，∠DPE＝70°，设BP＝a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a和三角函数的式子表示）23．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的最大值；（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．2018年河南省南阳市内乡县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案．【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜3，∴最小的数是﹣2，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【解答】解：如图，几何体的左视图是．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．【分析】首先分别求出不等式组中每个不等式的解集各是多少；然后求出它们的解集的公共部分，判断出它们的解集在数轴上表示正确的是哪个即可．【解答】解：由①，可得：x＜3，由②，可得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，∴不等式组的解集在数轴上表示正确的是：．故选：A．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握．5．【分析】先把方程化为一般式，再计算出判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：把方程化为一般式得2x2+2x+1＝0，∵△＝22﹣4×2×1＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．【分析】由EF⊥BD，∠1＝60°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．∵AB∥CD，∴∠2＝∠D＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和为180°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角是关键．7．【分析】根据众数、中位数、平均数的概念求解．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，则平均数为：（3+4+5+6+6）÷5＝4.8，众数为：6，中位数为：5．故选：A．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．8．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积＝S，进而得出答案．△CEB【解答】解：如图所示：连接BE ， 可得，AE ＝BE ，∠AEB ＝90°，且阴影部分面积＝S △CEB ＝S △ABC ＝S 正方形ABCD ， 故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：． 故选：B ．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积＝S △CEB 是解题关键． 9．【分析】首先连接OC ，由在⊙O 中，∠AOB 的度数为160度，即可求得∠AOC +∠BOC ＝200°，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠D ＝∠AOC ，∠E ＝∠BOC ，继而求得∠D +∠E 的度数． 【解答】解：连接OC ， ∵在⊙O 中，∠AOB ＝160°，∴∠AOC +∠BOC ＝360°﹣∠AOB ＝200°， ∵∠D ＝∠AOC ，∠E ＝∠BOC ，∴∠D +∠E ＝∠AOC +∠BOC ＝（∠AOC +∠BOC ）＝100°． 故选：C ．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想与整体思想的应用．10．【分析】连接BB ′，根据旋转的性质可得AB ＝AB ′，判断出△ABB ′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB ＝BB ′，然后利用“边边边”证明△ABC ′和△B ′BC ′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′＝BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2，∴BD＝2×＝，C′D＝×2＝1，∴BC′＝BD﹣C′D＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．【分析】原式利用零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2，故答案为：1﹣2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+4﹣x＝0，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解，故答案为：x＝﹣4【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13．【分析】先根据一次函数确定点A的坐标，再根据AO：BO＝3：1确定点B点C的横坐标，把点C的横坐标代入一次函数解析式，得到点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数解析式，求出k值．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3∴点A的坐标为（0，3）即OA＝3．∵AO：BO＝3：1∴BO＝1，即点B的坐标为（﹣1，0）由于CB⊥x轴，点C在直线y＝﹣x+3上，所以点C的坐标为：（﹣1，4），又因为点C在反比例函数y＝的图象上，所以k＝﹣1×4＝﹣4．故答案为：﹣4【点评】本题考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点，根据AO：BO确定点C的横坐标是解决本题的关键．14．【分析】根据折叠的性质得到AF＝AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF＝6，然后设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，CF＝10﹣6＝4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．15．【分析】利用勾股定理求得AC＝3，设DC＝x，则AD＝3﹣x，利用平行线分线段成比例定理求得CE＝进而求得BE＝4﹣，然后根据S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴＝x2﹣8x+12，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，∴AC＝＝3，设DC＝x，则AD＝3﹣x，∵DF∥AB，∴＝，即＝，∴CE＝∴BE＝4﹣，∵矩形CDGE和矩形HEBF，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF＝AD＝3﹣x，则S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF＝DC•CE+BE•BF＝x•x+（3﹣x）（4﹣x）＝x2﹣8x+12，∵＞0，∴当x＝﹣＝时，有最小值，∴DC＝，有最小值，即AD＝3﹣＝时，矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小，故答案为．【点评】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．三、解答题（共8小题，共75分）16．【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy＝x2﹣y2﹣（2x2﹣4y2）＝x2﹣y2﹣2x2+4y2＝﹣x2+3y2，当时，原式＝﹣（﹣1）2+3×＝．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．17．【分析】（1）利用“交流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可求出总人数；（2）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；（3）用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；（4）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解．【解答】解：（1）这次抽样调查中，调查的学生为＝50（人）；故答案为：50；（2）扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角为：360×＝72°；故答案为：72；（3）体育活动的人数是：50×30%＝15（人），补图如下：（4）根据题意得：500×＝120（人），答：估计采用“听音乐”作为减压方式的人数有120人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．【分析】（1）根据已知条件求得∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC＝∠OAD，从而证得OC∥AD，即可证得结论；（2）①若四边形OCAD是菱形，则AC＝OC，从而证得OC＝OA＝AC，得出∠AOC＝60°，即可求得∠B＝∠AOC＝30°；②若AD与⊙O相切，根据切线的性质得出∠OAD＝90°，根据AD∥OC，内错角相等得出∠AOC＝90°，从而求得∠B＝∠AOC＝45°．【解答】解：（1）∵OA＝OC，AD＝OC，∴OA＝AD，∴∠OAC＝∠OCA，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，∴∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∴四边形OCAD是平行四边形；（2）①∵四边形OCAD是菱形，∴OC＝AC，又∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°；故答案为30．②∵AD与⊙O相切，∴∠OAD＝90°，∵AD∥OC，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°；【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．19．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE＝22°，∠CBD＝38.5°，ED＝AB＝16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE＝BD＝x，分别在Rt△BCD中和Rt△ACE 中，用x表示出CD和CE＝AE，利用CD﹣CE＝DE得到有关x的方程求得x的值即可．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE＝22°，∠CBD＝38.5°，ED＝AB＝16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE＝BD＝x，∵在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴CD＝BD tan 38.5°≈0.8x，∵在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴CE＝AE tan 22°≈0.4x，∵CD﹣CE＝DE，∴0.8x﹣0.4x＝16，∴x＝40，即BD＝40（米），CD＝0.8×40＝32（米），答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．20．【分析】（1）把点B代入反比例函数解析式，确定m，然后得到点A的坐标，根据点A、B用待定系数法确定一次函数解析式，从而得到k、b的值；（2）首先设点P的坐标为（x，），利用△PCA的面积等于得到关于x的一元二次方程，即点P的横坐标，代入点P求出其坐标．【解答】解：（1）把B（﹣1，2）代入y＝，得m＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把A（﹣4，a）代入y＝﹣，得a＝，把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数解析式为：y＝x+；故答案为：，，﹣2（2）设点P的坐标为（x，），∵AC⊥x轴，点A（﹣4，），∴AC＝．∵△PCA的面积等于，∴××|x﹣（﹣4）|＝，解得x＝﹣2或﹣6，∵P是直线AB上的一点，∴y P＝×（﹣2）+＝，或y P＝×（﹣6）+＝﹣，∴点P的坐标为（﹣2，）或（﹣6，﹣）．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、一元二次方程的解法及三角形的面积公式．解决本题的关键是设出点P的坐标得到关于x的一元二次方程．21．【分析】（1）利用文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍，全部售完后共获利270元，分别得出等式，组成方程组求出答案；（2）利用再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设文具店购进A种羽毛球排x副，B种羽毛球排y副，由题意，得，解得：，即这个文具店购进A种羽毛球排50副，B种羽毛球排60副；（2）设A种羽毛球排每副的最低售价为m元，由题意，得50（m﹣12）+2×60（12﹣10）≥340，解得：m≥14，故A种羽毛球排每副的最低售价为14元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式是解题关键．22．【分析】（1）先判断出∠BPE＝∠CAD，进而判断出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE＝BC ＝5；（2）先构造出等边三角形，再判断出∠BPE＝∠FPD，进而判断出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE＝BF＝4；（3）类似于（2）的方法判断出△PBE≌△PFD得出BE＝DF，再判断出BF＝2BG，利用用锐角三角函数求出BG＝a•cos55°，即可BD﹣BE＝BF＝2a•cos55°．【解答】解：（1）①∵△ABC和△PDE是等边三角形，∴PE＝PD，AB＝AC，∠DPE＝∠CAB＝60°，∴∠BPE＝∠CAD，∴△PBE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BD+BE＝BD+CD＝BC＝5，故答案为5；②如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，∴△FPB是等边三角形，∴BF＝PF＝PB＝AB﹣AP＝4，∠BPF＝60°，∵△PDE是等边三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝60°，∴∠BPE＝∠FPD，∴△PBE≌△PFD，∴BE＝DF，∴BD+BE＝BD+DF＝BF＝4；（2）如图3，过点P作PF∥AC交BC于F，∴∠BPF＝∠BAC＝70°，∠PFB＝∠C，∵AB＝AC，∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠C＝55°，∴∠PFB＝∠C＝∠PBF＝55°，∴PF＝PB＝a，∵∠BPF＝∠DPE＝70°，∴∠DPF＝∠EPB，∵PD＝PE，∴△PBE≌△PFD，∴BE＝DF，过点P作PG⊥BC于G，∴BF＝2BG，在Rt△BPG中，∠PBD＝55°，∴BG＝BP•cos∠PBD＝a•cos55°，∴BF＝2BG＝2a•cos55°，∴BD﹣BE＝BD﹣DF＝BF＝2a•cos55°．【点评】此题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出△PBE≌△ACD，解（2）的关键是构造出等边三角形，解（3）的关键是构造直角三角形求出BG，是一道中等难度的题目．23．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为△ADE的面积为定值，所以△APD的面积最大时，四边形EAPD面积的最大，过点P 作PG⊥x轴交AD于点G，当PG的值最大时，△APD的面积最大，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣2上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2．（2）过点P 作PG ⊥x 轴交AD 于点G ，∵B （4，0），E （0，2）， ∴直线BE 的解析式为y ＝﹣x +2，∵AD ∥BE ，设直线AD 的解析式为y ＝﹣x +b ，代入A （﹣1，0），可得b ＝﹣， ∴直线AD 的解析式为y ＝﹣x ﹣，设G （m ，﹣ m ﹣），则P （m ， m 2﹣m ﹣2）， 则PG ＝（﹣m ﹣）﹣（m 2﹣m ﹣2）＝﹣（m ﹣1）2+2， ∴当x ＝1时，PG 的值最大，最大值为2，由，解得或，∴D （3，﹣2），∴S △ADP 最大值＝×PG ×|x D ﹣x A |＝×2×4＝4， S △ADB ＝×5×2＝5， ∵AD ∥BE ，∴S △ADE ＝S △ADB ＝5，∴S 四边形APDE 最大＝S △ADP 最大+S △ADB ＝4+5＝9．（3）①如图3﹣1中，当OQ ＝OB 时，作OT ⊥BE 于T ．∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝2，OT＝＝＝，∴BT＝TQ＝，∴BQ＝，可得Q（﹣，）；②如图3中，当BO＝BQ1时，Q1（4﹣，），当OQ2＝BQ2时，Q2（2，1），当BO＝BQ3时，Q3（4+，﹣），综上所述，满足条件点点Q坐标为（﹣，）或（4﹣，）或（2，1）或（4+，﹣）；【点评】本题考查二次函数综合题、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2018年河南省中考一模数学试卷(解析版)
2018年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．﹣（﹣2）C．0D．﹣2．（3分）据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为（）A．9.29×109B．9.29×1010C．92.9×1010D．9.29×1011 3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）小明解方程﹣＝1的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①去括号，得1﹣x+2＝1②合并同类项，得﹣x+3＝1③移项，得﹣x＝﹣2④系数化为1，得x＝2⑤A．①B．②C．③D．④5．（3分）为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160个），周二（160个），周三（180个），周四（200个），周五（170个）．则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（）A．180个，160个B．170个，160个C．170个，180个D．160个，200个6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°8．（3分）郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）＝．12．（3分）方程3x2﹣5x+2＝0的一个根是a，则6a2﹣10a+2＝．13．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）14．（3分）如图1，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长的值为．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠B＝120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG＝DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x2，其中x＝+2，y＝﹣2．17．（9分）全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）接受问卷调查的共有人，图表中的m＝，n＝；（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是，不运动的市民所占的百分比是；（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有1500人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB 于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．（1）求证：AE＝AD．（2）若AE＝3，CD＝4，求AB的长．19．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H 在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）20．（9分）如图，反比例y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内交于A（4，a）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线x＝n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值．21．（10分）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）22．（10分）如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1中，PM与PN的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明：将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．2018年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．﹣（﹣2）C．0D．﹣【解答】解：因为在数轴上﹣3在其他数的左边，所以﹣3最小；故选：A．2．（3分）据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为（）A．9.29×109B．9.29×1010C．92.9×1010D．9.29×1011【解答】解：929亿＝92 900 000 000＝9.29×1010．故选：B．3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．故选：D．4．（3分）小明解方程﹣＝1的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①去括号，得1﹣x+2＝1②合并同类项，得﹣x+3＝1③移项，得﹣x＝﹣2④系数化为1，得x＝2⑤A．①B．②C．③D．④【解答】解：﹣＝1去分母，得1﹣（x﹣2）＝x，故①错误，故选：A．5．（3分）为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160个），周二（160个），周三（180个），周四（200个），周五（170个）．则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（）A．180个，160个B．170个，160个C．170个，180个D．160个，200个【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选：B．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．故选：C．7．（3分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则AE＝AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD中，S△ABC ＝S△ACD，即BC×AE＝CD×AF，∴BC＝CD，即AB＝BC．故B正确；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等），故C正确；如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．故选：D．8．（3分）郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表得：∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况，∴恰好选择从同一个口进出的概率为＝，故选：C．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°，在Rt△ADE中，AE＝＝＝，∵S△ABE ＝S矩形ABCD＝3＝•AE•BF，∴BF＝．故选：B．10．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6＝336…2，∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P的坐标为（7，4）．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）＝2．【解答】解：∵22＝4，∴＝2．故答案为：212．（3分）方程3x2﹣5x+2＝0的一个根是a，则6a2﹣10a+2＝﹣2．【解答】解：∵方程3x2﹣5x+2＝0的一个根是a，∴3a2﹣5a+2＝0，∴3a2﹣5a＝﹣2，∴6a2﹣10a+2＝2（3a2﹣5a）+2＝﹣2×2+2＝﹣2．故答案是：﹣2．13．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）【解答】解：由二次函数y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x＝2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．（3分）如图1，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长的值为 2.4cm．【解答】解：∵P以每秒2cm的速度从点A出发，∴从图2中得出AC＝2×3＝6cm，BC＝（7﹣3）×2＝8cm，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10cm，∴sin∠B＝＝＝，∵当点P运动5秒时，BP＝2×7﹣2×5＝4cm，∴PD＝4×sin∠B＝4×＝2.4cm，故答案为2.4cm．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠B＝120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG＝DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为1或．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°∴∠D＝∠B＝120°，∠A＝180°﹣120°＝60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF＝AB＝，∠DEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝120°，∵DE＝DG，∴∠DEG＝∠DGE＝30°，∴∠FEG＝30°，当△EFG为等腰三角形时，①当EF＝EG时，EG＝，如图1，过点D作DH⊥EG于H，∴EH＝EG＝，在Rt△DEH中，DE＝＝1，②GE＝GF时，如图2，过点G作GQ⊥EF，∴EQ＝EF＝，在Rt△EQG中，∠QEG＝30°，∴EG＝1，过点D作DP⊥EG于P，∴PE＝EG＝，同①的方法得，DE＝，③当EF＝FG时，∴∠EFG＝180°﹣2×30°＝120°＝∠CFE，此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合题意，故答案为：1或．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x2，其中x＝+2，y＝﹣2．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）﹣2x2＝x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2＝4xy，当x＝+2，y＝﹣2时，原式＝4×（+2）×（﹣2）＝4×（3﹣4）＝﹣4．17．（9分）全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）接受问卷调查的共有150人，图表中的m＝45，n＝36；（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为28.8°；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是6%；（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有1500人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？（1）接受问卷调查的共有30÷20%＝150人，m＝150﹣（12+30+54+9）【解答】解：＝45，n%＝×100%＝36%，∴n＝36，故答案为：150、45、36；（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝28.8°，故答案为：28.8°；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是×100%＝6%，故答案为：散步、6%；（4）1500×＝450（人），答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB 于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．（1）求证：AE＝AD．（2）若AE＝3，CD＝4，求AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，∵CF是圆O的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO＝90°，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠CAO，在△CAE和△CAD中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE＝AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE＝3，∴AD＝AE＝3，∴在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，根据勾股定理得：AC＝5，在Rt△AEC中，cos∠EAC＝＝，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝＝，∵∠EAC＝∠CAB，∴＝，即AB＝．19．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H 在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH＝BE、BG＝EH＝4，设AH＝x，则BE＝GH＝GA+AH＝23+x，在Rt△ACH中，CH＝AH tan∠CAH＝tan55°•x，∴CE＝CH﹣EH＝tan55°•x﹣4，∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝CE+DC，即23+x＝tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH＝tan55°•x＝1.4×30＝42，答：塔杆CH的高为42米．20．（9分）如图，反比例y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内交于A（4，a）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线x＝n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值．【解答】解：（1）∵反比例y＝的图象过点A（4，a），∴a＝＝1，∴A（4，1），把A（4，1）代入一次函数y＝kx﹣3，得4k﹣3＝1，∴k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；（2）由题意可知，点B、C的坐标分别为（n，），（n，n﹣3）．设直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，如图．当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x＝3，∴OD＝OE，∴∠OED＝45°．∵直线x＝n平行于y轴，∴∠BCA＝∠OED＝45°，∵△ABC是等腰直角三角形，且0＜n＜4，∴只有AB＝AC一种情况，过点A作AF⊥BC于F，则BF＝FC，F（n，1），∴﹣1＝1﹣（n﹣3），解得n1＝1，n2＝4，∵0＜n＜4，∴n2＝4舍去，∴n的值是1．21．（10分）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据题意得：，解得：．答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．（2）单独请甲组所需费用为：300×12＝3600（元），单独请乙组所需费用为：140×24＝3360（元），∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下：单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600＝6000（元），单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360＝8160（元），请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520＝5120（元）．∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．22．（10分）如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1中，PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN．（2）探究证明：将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．【解答】解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由如下：延长AE交BD于O．∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO，∴∠CBD+∠BEO＝90°，∴∠BOE＝90°，即AE⊥BD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM＝BD，PN＝AE，∴PM＝PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MP A＝∠BDC，∠EAC+∠BDC＝90°，∴∠MP A+∠NPC＝90°，∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN．故答案是：PM＝PN，PM⊥PN．（2）如图②中，设AE交BC于O．∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．∴∠ACE＝∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，∴∠BHO＝∠ACO＝90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM＝BD，PM∥BD；PN＝AE，PN∥AE．∴PM＝PN．∴∠MGE+∠BHA＝180°．∴∠MGE＝90°．∴∠MPN＝90°．∴PM⊥PN．（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM＝BD，∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，∴当B、C、D共线时，BD的最大值＝BC+CD＝6，∴PM＝PN＝3，∴△PMN的面积的最大值＝×3×3＝．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）．（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∴tan∠MBA＝＝，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，∵B（3，0），∴BE＝2，∴tan∠BDE＝＝，∵∠MBA＝∠BDE，∴＝当点M在x轴上方时，＝，解得m＝﹣或3（舍弃），∴M（﹣，），当点M在x轴下方时，＝，解得m＝﹣或m＝3（舍弃），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP＝1，易证GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，当﹣m2+2m+3＝1﹣m时，解得m＝，当﹣m2+2m+3＝m﹣1时，解得m＝，∴满足条件的m的值为或；。