斜线在平面内的射影与平面所成角习题篇
射影的有关概念及定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
； ti8赛程 ；
多么强大.若是马牛王真の能够成长为六翼神牛の话,那算是壹个天大の造化了,这种血脉之力,早就无法苏醒了,想要完全复苏难度太大了."小叶子,你能现在是长了几对翅膀了吗?"人蚣王啧啧道,"这老牛不会幸运到现在就长出六翼了吧?"青蛇王说："怎么可能,那是不可能の,绝对不可 能の.""恩,确实是没有六翼."根汉皱着眉头说："好像长了三只翅膀?""三只?"两圣王都傻眼了,壹对,两对,三对都有可能,怎么还会出来壹个单数の,难道还是壹个残次品不成?（正文贰6玖6马牛王长翅膀了）贰6玖7人器合壹贰6玖7"恩,确实是没有六翼."根汉皱着眉头说："好像长了三 只翅膀?""三只?"两圣王都傻眼了,壹对,两对,三对都有可能,怎么还会出来壹个单数の,难道还是壹个残次品不成?"小叶子,你没."人蚣王说,"会不会是你の眼睛,也没那么特别の呀?""应该没有"根汉又仔细の："老牛确实身上长了三只翅膀,后背上长了两只,还有壹只长在,长在肚子 上.""翅膀长肚子上?"两圣王都有些傻了,弄不懂这是什么情况,根汉说："这样子,应该不是什么坏事,肯定是要突破了不假等他醒了咱们就能知道,他到底长成什么样子了.""啧啧,要是真翅膀长肚子上了,咱倒要老牛怎么干那活了."人蚣王啧啧邪笑道.这家伙,满脑子就是想の那个.青蛇 王也笑了："估计是做不动了,以后就得闲得蛋疼了.""咱们还是先走吧."根汉也有些无奈,这两家伙等下再深究下去,还不
直线与平面所成角
拓展延伸【 2020年·浙江学考】
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在中国古代数学著作《 九章算术章算术》中（bien a o）是指四个面 都是直角三角形的四面体。如 图。如图，在直形ABC 中， AD为斜边BC上 的高， AB = 3, AC = 4. 现将ABC 沿AD翻折成AB,D,使得四面体AB,CD 为一个鳖臑, 则直线B, D与平面ADC所成角的余弦值是多少？
B
A
D
α
C
例1 : 如图,正方体ABCD - A1B1C1D1中,
求 (1) 直线A1B与平面ABCD所成的角;
2直线BD1与平面AD1所成角的正切值
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
例1: 如图,正方体ABCD - A1B1C1D1中, （3）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
思考的定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫 做这条直线和这个平面所成的角。
P
A
O
α
思考1 如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直 线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
D1 A1
C1 B1
D A
C B
例2:如图,P为⊿ABC外一点,PA,PB,PC两两垂 直,PA=PB=PC=a,求PC与平面ABC所成角的正弦值。
P
C
A B
C
A
P
B
射影的有关概念及定理
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组ห้องสมุดไป่ตู้
1、斜线在平面内的射影 （1）点在平面内的射影 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q 斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
P
Q
斜线段在平面内的射影 斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
2、直线和平面所成的角
斜线和平面成角
内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角 进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和 这个平面内的直线所成的一切角中的最小角
小结 1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
A
（1） OB=OCAB=AC OB>OCAB>AC 射影的长短斜线段的长短 （2 ）AB=ACOB=OC AB>ACOB>OC
9.4.3斜线在平面上射影
C B
垂直于直角三角形ABC所在平面， 所在平面， 例3、已知 垂直于直角三角形 、已知SA垂直于直角三角形 所在平面 BC⊥AC，∠ABC=300，AC=1，SB= 2 3 ， ， ⊥ ， 求直线SC与平面 与平面SAB所成角。 所成角。 求直线 与平面 所成角 3
arcsin
解：作CD ⊥AB于D 于 由SA⊥平面 ⊥平面ABC，得SA⊥CD ， ⊥
具体步骤是：作------作出斜线与射影所成角， 作出斜线与射影所成角， 作出斜线与射影所成角
论证所作（ 证-----论证所作（或找到）角就是要求的角； 论证所作 或找到）角就是要求的角； 常用解三角形的方法求出角。 算------常用解三角形的方法求出角。 常用解三角形的方法求出角
2、最小角定理： 、最小角定理：
P R
α
Q
（一）斜线在平面内的射影
在平面上的射影 点Q—点P在平面上的射影 点 在平面上的 线段PQ—点P到平面的垂线段 点 到平面的 到平面的垂线段 线段 R 直线PR—平面的一条斜线 平面的一条斜线 直线 平面的一条 点R—斜足 斜足 线段PR—斜线段 斜线段 线段 直线QR—斜线 在平面上的射影 斜线PR在平面上的射影 直线 斜线 线段QR—斜线段 在平面上的射影 斜线段PR在平面上的射影 线段 斜线段 P
4、直线与平面所成角，也应考虑到直线和平面垂直，直线 、直线与平面所成角，也应考虑到直线和平面垂直， 直线和平面垂直 平行或在平面内的情况 和平面平行或在平面内的情况，也就时直线和平面成90 和平面平行或在平面内的情况，也就时直线和平面成 0角 角情况，所以在求线面所成角时，应想到以上两种特例。 和00角情况，所以在求线面所成角时，应想到以上两种特例。
斜线和平面所成的角， 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 的直线所成的一切角中最小的角。 内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
高中数学选修2-1斜线在平面内的射影,线面角
C
E
D P C Q A B
练习：若直线l与平面α所成角 为 ，直线a在平面α内，且与 3 直线l异面，则直线l与直线a所 成角的取值范围是 。
例4 ABCD为空间四边形，AC和BD是对角线， 假设此四边形各边之长与对角线之长均为1， E为AD中点，试求CE与平面BCD所成角的余弦 值。
A E B D
[结论]：从平面外一点向平面引的垂线段和斜线段中： (1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影 也较长； A (3)垂线段比任何一条斜线段都短.
α B O C
直线和平面所成的角：
(1).定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成 的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 规定： 当直线垂直于平面时，直线与平面所成角为900 ； 当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角 为00 . (2).范围： 00 900 . (3).性质：斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
斜线在平面内的射影、 直线和平面所成的角
P
如图，从平面外一点P 引平面的垂线，垂足为O.
O
Q
（1）.点O叫做点P在平面内的射影；PO叫做点P 到平面的垂线段,PO的长为点P到平面的距离。
（2）.PQ所在 直线和平面相交，但不和这个平 面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线， 其中点Q叫做斜足，PQ叫做斜线段，OQ叫做 斜线段PQ在平面内射影.（斜线上任意一点在 平面内的射影，一定在斜线的射影上）
[例1]：如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中， (1)求A’D与平面ABCD所成的角； (2)求A’B与平面A’B’CD所成的角； (3)求B’B与平面A’BC’所成的角.
斜线在平面内的射影与平面所成角
1P在ABC所在平面外， P在面ABC内的射影为 O
当PA PB PC时, O是ABC的
射影问题
外心 内心
当P到ABC三边距离相等时 , O是ABC的
当PB与AB, BC与所成角相等时 , O在ABC的
2RtABC中，ACB 90 ，O为AB中点
P
O
PO 平面ABC于O PA, PB, PC大小关系为
RtBMN中, BM MN 则BNM 45 ANM 45 BNA 90 即BN AN
A
N
M
BN 平面ANC AC NB
l1Bຫໍສະໝຸດ l22．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内， AC和BC与M所成的角分别是30°、45°， CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．
河北无极中学 赵改从 李军芳
直线和平面所成的角
定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段 中： （ 1 ）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； （ 2 ）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
D
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面所成的角。 斜线和平面所成的角， 是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角。
B
C
A
例 题
, ,均为锐角
异面直线a, b所成的角为 50，P为空间一定点 则过点P且与a, b所成角都是30的直线有 B条
异面直线a, b所成的角为 80，P为空间一定点
条 则过点P且与a, b所成角都是60的直线有D
A,1, B,2, C,3, D,4
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
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1、 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
2、
例：在棱长为a的正方体ABCD ABCD中，
1求BC1与平面ABCD所成的角 D1
C1
2求BD1与平面 A1B1C1DA11
的所成的角
3求A1B与平面A1B1C D
D
的所成的角
A
B1
F
C
B
证明：l2 l1,l2 MN
C
l2 平面ABN
A l2 BN，即CN BN RtBMN中, BM MN
则BNM 45
N
ANM 45 BNA 90即BN AN
BN 平面ANC
M
l1
l2
AC NB
B
2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内， AC和BC与M所成的角分别是30°、45°， CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．
O
B
A
C
例 题
, ,均为锐角
异面直线a, b所成的角为50，P为空间一定点
则过点P且与a, b所成角都是30的直线有B条
异面直线a, b所成的角为80，P为空间一定点
则过点P且与a, b所成角都是60的直线有D条
A,1, B,2,C,3, D,4
例：BOC在平面内，OA为的斜线，
且AOB AOC 60
A
OA OB OC a, BC 2a
求OA与所成的角
C
H
O
B
例：l1 , l2是互相垂直的异面直线，MN是他们的公垂线段， 点A, B在l1上，C在l2上，AM MB MN
1求证：AC NB
2若ACB 60,求NB与平面ABC所成角的余弦值
定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段 中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
D
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面所成的角。
斜线和平面所成的角， 是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角。
解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意 ∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，
∴∠CDC1＝60°．
这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线 与平面成角的几个概念， 射影定理中的三个结论成立的前提是 这些斜线段及垂线段必须是从平面外 同一点向平面所引而得到的． 否则，结论不成立． 正确求出直线和平面所成的角
射影问题
1P在ABC所在平面外， P在面ABC内的射影为 O
当PA PB PC时,O是ABC的 外心 当P到ABC三边距离相等时 ,O是ABC的 内心
当PB与AB, BC与所成角相等时 ,O在ABC的
2RtABC中，ACB 90，O为AB中点 P
PO 平面ABC于O PA, PB, PC大小关系为