数学学科专业知识—方阵的行列式
行列式大一知识点总结归纳
行列式大一知识点总结归纳行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决方程组、计算矩阵的逆、求解线性方程等方面有着广泛的应用。
在大一的线性代数学习中，行列式是必不可少的一部分。
本文将对大一学习中的行列式知识点进行总结和归纳。
一、行列式的定义行列式是一个实数或复数的方阵所特有的一个标量。
对于一个n阶的方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，行列式的定义如下：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)其中，(-1)^(i+j)是一个符号项，a_ij表示A的第i行第j列的元素，det(A_ij)为去掉第i行和第j列后的(n-1)阶方阵的行列式。
二、行列式的性质1. 行列式的转置等于其本身的行列式：det(A^T) = det(A)2. 互换行列式的两行（列）则行列式变号：若交换行列式A的第i行和第j行（列），则有：det(A) = -det(A')3. 行列式的某一行（列）的公因子可以提出：若A的第i行（列）的所有元素都乘以k，则有：det(A) = k * det(A')4. 行列式有一个相同的行（列）或有一个行（列）全为0，则行列式为0：若A的某一行（列）全为0，或A的某两行（列）相同，则det(A) = 0。
5. 行列式的两行（列）对换后不变：若交换A的某两行（列）位置，行列式不变：det(A) = det(A')三、行列式的计算方法1. 二阶行列式：对于二阶行列式A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式的值为： det(A) = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于三阶行列式A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]，其行列式的值为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 多阶行列式：对于n阶行列式，可以利用代数余子式与余因子展开法进行计算。
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。
它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。
一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。
它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。
2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
矩阵的减法定义类似。
2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。
2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。
3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。
3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。
若A不可逆，则称为奇异矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。
行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。
二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。
设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。
2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。
方阵的行列式
设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有
kA kn A , AB A B .
请特别注意这一性 质,如果不是同阶方 阵结果不成立.
A B mn nm Amn Bnm 成立吗
不成立!
练习
证明 奇数阶反对称阵的行列式为零.
0 2 8
2 0 6 ?
0
8 6 0
由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具 有一般的行列式的性质外，还有如下性质：
思考
你能举一些非奇异和奇异矩阵的例子吗?
n阶方阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
a
n1
an2
Hale Waihona Puke ann 的行列式为
a11 a12 a1n
det A
A
a21
a22
a2n
.
an1 an2 ann
由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具 有一般的行列式的性质外，还有如下性质：
方阵的行列式
定义:由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式,记为
A或det A
1 2 0
1 3 4
A
1
0
8 ,
2 0 0
B
2
6
8 .
1 3 7
1 2 0 1 2 0
A 1
0
8
1
0
8
2
0
0
200
B 0.
这种现象奇怪吗？
32.
定义:若方阵的行列式不为零,则称方阵为 非奇异方阵,否则称为奇异方阵.
设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有
kA kn A , AB A B .
请特别注意这一性 质,如果不是同阶方 阵结果不成立.
线性代数方阵的行列式
a21 b2 j a2n a21 c2 j a2n
an1 bnj ann an1 cnj ann
§2 n阶行列式的性质
➢例
1025 1025 1025
2 D
1
0 0
1 3
0 2 41
0 0
1 3
02
41
0 0
1 3
0 2D
4
2042 2042 2042
D 0.
➢ 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. ➢ 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.
1201
120 1
r1 r2
1 3 5 0 0 r1 r4 1 5 1
D
0156
015 6
1234
003 3
120 1
120 1
0 r2 r3 1 5 1 r3 r4 0 1 5 1
000 7
003 3
003 3
000 7
11 3 7 21
§2 n阶行列式的性质
➢ 例2
3 1 1 1 6 r2 r1 6 6 6
a11 a12
即
ai1
ai 2
aj1 aj2
an1 an2
a1n
a11
ain kri rj
ai1
aj2
a j1 kai1
ann
an1
a12
ai 2
a j2 kai2
an2
a1n ain a jn kain ann
§2 n阶行列式的性质
➢或
a11 a1i a1 j a1n
a11 a12
即 ai1 ai2
矩阵和行列式的基本概念
矩阵和行列式的基本概念矩阵和行列式是线性代数中的基本概念，它们在各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义、性质和应用。
1. 矩阵的基本定义矩阵是一个按照行和列排列的矩形数表。
具体而言，一个m行n列的矩阵A可以表示为：A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃ …… a₁ₙ][a₂₁ a₂₂ a₂₃ …… a₂ₙ][…… …… …… …… ][aₙ₁ aₙ₂ aₙ₃ …… aₙₙ]其中，aᵢₙ表示矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法若A和B是两个相同大小的矩阵，即有相同的行数和列数，则它们的和与差定义为：A +B = [a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₁₃ + b₁₃ …… a₁ₙ + b₁ₙ][a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ a₂₃ + b₂₃ …… a₂ₙ + b₂ₙ] […… …… …… …… ][aₙ₁ + bₙ₁ aₙ₂ + bₙ₂ aₙ₃ + bₙ₃ …… aₙₙ + bₙₙ]A -B = [a₁₁ - b₁₁ a₁₂ - b₁₂ a₁₃ - b₁₃ …… a₁ₙ - b₁ₙ][a₂₁ - b₂₁ a₂₂ - b₂₂ a₂₃ - b₂₃ …… a₂ₙ - b₂ₙ] […… …… …… …… ][aₙ₁ - bₙ₁ aₙ₂ - bₙ₂ aₙ₃ - bₙ₃ …… aₙₙ - bₙₙ]2.2 矩阵的数乘若A是一个矩阵，k是一个数，则kA定义为：kA = [ka₁₁ ka₁₂ ka₁₃ …… ka₁ₙ][ka₂₁ ka₂₂ ka₂₃ …… ka₂ₙ][…… …… …… ][kaₙ₁ kaₙ₂ kaₙ₃ …… kaₙₙ]2.3 矩阵的乘法若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积AB定义为：AB = [c₁₁ c₁₂ c₁₃ …… c₁ₙ][c₂₁ c₂₂ c₂₃ …… c₂ₙ][…… …… …… ][cₙ₁ cₙ₂ cₙ₃ …… cₙₙ]其中，cᵢₙ表示AB的第i行第j列的元素，其计算方式为cᵢₙ =aᵢ₁b₁ₙ + aᵢ₂b₂ₙ + … + aᵢₙbₙₙ。
方阵的行列式
x2
a2n xn b2 ,
()
an1
x1
an2
x2
ann xn bn .
它的解是否也有类似的结论呢？
为此，本章依次解决如下问题： 1）怎样定义n阶行列式？ 2）n阶行列式的性质与计算？ 3） n元线性方程组(＊)在什么情况下有解？
有解的情况下，如何表示此解？
二阶行列式的计算—对角线法则
解
M41 M42 M43 M44
A41 A42 A43 A44
3 0 40
1 1 11
3 40
0 7
7 1 00
1 1 14
1 1 1 1 1 1 1
例3 计算行列式
a11 0 0
Dn
a21
a22
0
an1 an2 ann
解 由定义，将Dn 按第一行展开，得
a22 0 0
a33 0 0
Dn a11
a32
a33
0
a11a22
a43
a44
0
an2 an3 ann
an3 an4 ann
........ a11a22 ....... ann
特殊的行列式
a11 a12 a13
a22 a23
(1)上三角行列式：
a33
a11
(2)下三角行列式： a21 a22
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
b2a11 a11a22
a21b1 a12a21
.
由方程组的四个系数确定
我们用记号D2 =
a11 a21
a12 a22
表示代数和a11a22
a12a21,
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式知识点高考
行列式知识点高考行列式是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常常考察的知识点。
掌握行列式的相关知识对于应对高考数学题目是非常必要的。
本文将以深入浅出的方式介绍行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握行列式知识，提升高考数学应试能力。
一、行列式的定义行列式是由数和符号组成的一种代数形式。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，如果将它的n个数按照一定的规律排列成一个n×n的数表，并标记符号，那么这个数表就是A的行列式，记作det(A)或|A|。
二、行列式的性质1. 行列互换性质：交换行列式中两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 行列式的倍数性质：如果行列式中所有的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
3. 行列式的行（列）成比例性质：如果行列式中的某一行（或某一列）的元素都乘以同一个数k，得到新的行列式，那么新旧两个行列式的值成比例。
4. 行列式的行（列）有零元性质：如果行列式中某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
5. 奇异行列式性质：如果行列式的某两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个二阶行列式A=[a b; c d]，行列式的值为ad-bc。
2. 三阶行列式的计算：对于一个三阶行列式A=[a b c; d e f; g hi]，行列式的值为a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
3. 高阶行列式的计算：高阶行列式的计算较为复杂，一般使用行列式的按行（列）展开法进行计算。
按行（列）展开法是通过选取某一行（或某一列）展开，将高阶行列式转化为低阶行列式的计算。
四、行列式在方程组中的应用行列式在解线性方程组中有重要的应用。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵A的行列式不为0。
五、行列式的性质推导行列式的很多性质可以通过数学推导得到。