北师大版高中数学必修二课件：1.4空间图形的基本关系与公理
为________.
2.根据图中的几何图形填入相应的符号：
A______平面ABC，A______平面BCD，
BD______平面ABC，平面ABC∩平面ACD =________.
【解析】1.点M在直线a上可表示为M∈a，a在平面α内，可表 示为a α， α.
所以M，a，α间的关系可记为M∈a 答案：M∈a α
α
直线a与平面
直线在平面α 内a α有无 数个交点
直线与平面 α相交a∩ α= A有且只 有一个交点
α平行a∥α无
交点
观察并归纳点与线、面之间的位置关系有哪些.
A
b
a
l
②
①
（4）空间面与面的位置关系有两种. 两平面平行和两平面相交.
如图①②，
l, / /
平面与平面的公共直线叫作交线.
2.点A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD
平面ABC，
平面ABC∩平面ACD=AC.
答案：∈ ∉ AC
2.下列说法：
①空间不同的三点可以确定一个平面；
②如果线段AB在平面α 内，那么直线AB一定在平面α 内；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
其中错误的说法是________(填序号).
【解析】①错误.若三点在同一直线上，则不能确定一个平面.
的平面α，又可记作“平面ABC”．
A,B,C 不共线 ⇒ A,B,C 确定一个平面
思考2：（1）一条直线和直线外一点,可以确定一个平
面吗?
提示：可以.
（2）两条相交直线,可以确定一个平面吗？
提示：可以.
（3）两条平行直线,可以确定一个平面吗？ 提示：可以.
提升总结：三条结论 1. 一条直线和直线外一点确定一个平面.
①
②
空间两条直线的位置关系有三种:
③
（1） 如图①中直线a和b只有一个公共点A，这样
的两条直线叫作相交直线，记作：a∩b=A； （2） 如图②中直线a和b在同一个平面内，但没有
公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：
a∥b；
(3)如图③中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1， 它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作 异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时 通常用一个或两个平面衬托，如图:
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l,且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1.若点M在直线a上，a在平面α 内，则M，a，α 间的关系可记
2. 两条相交直线确定一个平面.
3. 两条平行直线确定一个平面.
思考3：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？ 提示：不一定.
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
a
b
b a
探究点2：空间图形的公理 思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理1
过不在一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B
A
C
确定平面的主要 依据．
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
观察并归纳点与线、面之间的位置关系有哪些.
B b a c A
（1）空间点与直线的位置
关系有两种. 点在直线上和点在直线外. 如图， A a, B a.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外. A , B . 如图，
（3）空间直线与平面的位置关系有三种: 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 .
a
a
A
α
a
α
②正确.由公理2可知，若一条直线上的两点在一个平面内，那
么该直线上的所有点都在这个平面内，即该直线在此平面内.
③空间四边形的两组对边也可相等，故③错. 答案：①③
高中数学北师大版必修2配套课件：1.4空间图形的基本关系与公理
A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面 [答案] D
[解析]
由公理3得，两个不重合的平面有一个公共点，则
它们相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点；若两 个平面重合，亦知也有无数个公共点，A正确；如果任意三点 共线，则四点共面，因此B正确；C满足公理3，正确；两条平
行或相交直线，可以确定一个平面，D是错误的．
[答案] ② [解析] 由已知得a与α相交，
空间点、线、面的位置关系
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1， 如图所示， AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中正确的是( )
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交； ③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行； ④直线AC与平面A1B1C1D1异面； ⑤直线BC与A1B1异面．
作异面直线．
2．空间直线与平面的位置关系
无数个公共点 ，我们称这条直线在这个 (1)直线与平面有______________ 平面内；
一个公共点 ，称这条直线与这个平 (2)直线和平面只有______________
面相交． 没有公共点 ，称这条直线和这个平面平 (3) 直线和平面 ____________ 行．
要学习的内容．
1．空间两条直线的位置关系 没有公共点 ，这样的两 (1) 直线 a与b 在同一平面内，但 _____________ 条直线叫作平行直线； 只有一个公共点 ，这样的两条直线叫作相交 (2)直线a与b________________ 直线； 不同在任何一个平面内 ，这样的两条直线叫 (3)直线a与b______________________
[答案] (1)A∈a，B∈a (2)a α C∈α (3)D∉α b α
高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
高中数学北师大版必修二：1.4 空间图形的基本关系与公理 课件
基本题型
证明点共线：证明这些 点同时在两相交平面内 证明线共点：先确定两 条直线交点，再证交点 在第三条直线上。 证明点共面或线共面： 先由一些元素确定一个 平面，再证另一些元素 也在这个平面内。
(2)
AB B
B A
l
l , A l A
l
思考2:请你用尺子做实验并回答以下 问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
公理2 经过不在同一条直线上的三点,
有且只有一个平面。
O
D
M A B
C
平面的基本性质
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内。 公理3:如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 公理2:经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面。 推论1:经过一条直线和这条直线 外的一点有且只有一个平面。 推论2: 经过两条相交直线有且 只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且 只有一个平面。
点评：证明线共点——先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。
探讨2：3个平面可将空间分成几部分？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
• 例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于O，AC、BD交于点M． • 求证：点C1、O、M共线．
D1 C1 B1
A1
B A
王新敞
奎屯 新疆
C
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
A
B
C
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形的公理课件(北师大版)
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
北师大版高中数学必修二第一章4空间图形的基本关系与公理第1课时
§4 空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～公理3 问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面( )．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．3．下列说法正确的是( )．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A 的交点．求证：O1，M，A三点共线．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l ∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流 3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC在平面α内．活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D 2．D 3．D 4．B5．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C 1平面A1C1CA，B1D 1平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A1C∩平面AB1D1＝M，A1C平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A三点共线．信达。
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3课件北师大版必修2
考点三 点共线问题 [典例] 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分 别交平面 α 于 P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R 三点共线．
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.∴由公理 3 可知， 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上．同理可证 Q，R 也在 平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P，Q，R 三点共线．
第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3
一、预习教材·问题导入 预习课本P22～25，思考并完成以下问题
(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？ (2)空间图形的公理 1，公理 2，公理 3 的内容是什么？各有
什么作用？
二、归纳总结·核心必记
1．空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 ①点B在直线l上： B∈l ； ②点B在直线l外： B∉l . (2)点与平面的位置关系 ①点A在平面α内：A∈α ； ②点B在平面α外： B∉α . [点睛] 通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直 线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于 将图形视为点集．
2．空间图形的公理
公理
内容
过不___在__一__条__直__线___上_
公理1 的三点，有且只有 一个平面
如果一条直线上的
公理2
_两__点___在一个平面 内，那么这条直线
在此平面内
图形
符号
作用
A，B，C三点 用来确 不共线⇒存在
定一个 唯一的α使 平面 A，B，C∈α
A__∈__l，B∈l， 且A∈α，B∈α
[点睛] 公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．
三、基本技能·素养培优