高二数学月考试卷质量分析
岑巩二中高二数学第一次月考试卷质量分析
本次数学月考范围是直线方程，圆的方程，程序框图三个部分。
这三大部分特点是：概念多，内容多，知识点多，容量大。
而且比较抽象，与之前学习的数学明显不一样，很多学生比较不适应。
加上学生数学基础较薄弱，运算能力低，思维层次有限，考试成绩不是很理想。
现将本次月考试卷的考试情况作如下分析：一、试卷的评价
1、试卷的基本情况：
数学考试时间为120分钟。
数学学科的题型包括单项选择题、填空题和解答题。
2、试卷的基本特点：
（1）基础性强。
试题立足于数学基础知识，以重点知识来设计题目。
重在考查学生对数学基础知识的掌握情况。
如选择题的第二题，第六题，第十题。
都是课本上的重点知识。
（2）标高适度。
基于目前二中学生的学习能力和数学教学的现状，试卷没出现较大的偏题、怪题，整卷的试题难度应该说是适中的。
（3）题目设计具有简明性。
题意指向明确，题目的表述较清楚，简单明了，学生审题时一目了然。
二、试卷成绩情况
本次考试，因不分文理科，故文理科成绩相差有一定的距离，平均分理科较文科的高，及格率也是如此，学生得分分布较为均匀，但也有少数分数偏低的情况。
三、学生答题质量分析
1、优点
（1）对数学教材的主干知识掌握得较好。
学生能根据要求加以复习巩固，对重点知识的掌握较熟练。
（2）能正确地运用解题方法。
大部分学生能采用较常用的直选法和排除法来解答选择题。
（3）能根据题意认真解答。
大部分学生能根据题目的要求，认真分析问题，正确地得出答案。
（4）部分学生的学科能力有所提高。
大部分学生的再认再现能力较强；部分学生善于运用已知知识进行分析判断，此次判断题的得分率略高，在一定程度上反映学生具备了理解、分析能力。
2、存在问题
（1）基本功不扎实。
书写不公正、不规范，错别字多。
如解答题的“解”字忘写或者是没有解答过程。
（2）同类知识混淆不清。
学生对同类知识掌握不牢固，张冠李戴的现象很普遍。
如解答题的17和18题，把垂直平分线和中线的概念混淆，故而出现求解错误。
（3）画图、写程序的知识掌握不到位。
如第19题，框图的箭头乱标，对应的程序框为画清楚，还有程序的英文字母表达不对。
（4）分析能力有待进一步提高。
试题中考查考生分析能力的题目得分率较低，反映了学生对数学情景未能正确地加以分析。
如：解答题的20和21题，对圆过两个点和圆与坐标轴相切的应用不能很好的把握，从而出现把两者的关系看成是一样的，所以出现错误。
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为 ．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷解析版
2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。
高二数学月考试卷质量分析
岑巩二中高二数学第一次月考试卷质量分析本次数学月考范围是直线方程，圆的方程，程序框图三个部分。
这三大部分特点是：概念多，内容多，知识点多，容量大。
而且比较抽象，与之前学习的数学明显不一样，很多学生比较不适应。
加上学生数学基础较薄弱，运算能力低，思维层次有限，考试成绩不是很理想。
现将本次月考试卷的考试情况作如下分析：一、试卷的评价1、试卷的基本情况：数学考试时间为120分钟。
数学学科的题型包括单项选择题、填空题和解答题。
2、试卷的基本特点：（1）基础性强。
试题立足于数学基础知识，以重点知识来设计题目。
重在考查学生对数学基础知识的掌握情况。
如选择题的第二题，第六题，第十题。
都是课本上的重点知识。
（2）标高适度。
基于目前二中学生的学习能力和数学教学的现状，试卷没出现较大的偏题、怪题，整卷的试题难度应该说是适中的。
（3）题目设计具有简明性。
题意指向明确，题目的表述较清楚，简单明了，学生审题时一目了然。
二、试卷成绩情况本次考试，因不分文理科，故文理科成绩相差有一定的距离，平均分理科较文科的高，及格率也是如此，学生得分分布较为均匀，但也有少数分数偏低的情况。
三、学生答题质量分析1、优点（1）对数学教材的主干知识掌握得较好。
学生能根据要求加以复习巩固，对重点知识的掌握较熟练。
（2）能正确地运用解题方法。
大部分学生能采用较常用的直选法和排除法来解答选择题。
（3）能根据题意认真解答。
大部分学生能根据题目的要求，认真分析问题，正确地得出答案。
（4）部分学生的学科能力有所提高。
大部分学生的再认再现能力较强；部分学生善于运用已知知识进行分析判断，此次判断题的得分率略高，在一定程度上反映学生具备了理解、分析能力。
2、存在问题（1）基本功不扎实。
书写不公正、不规范，错别字多。
如解答题的“解”字忘写或者是没有解答过程。
（2）同类知识混淆不清。
学生对同类知识掌握不牢固，张冠李戴的现象很普遍。
如解答题的17和18题，把垂直平分线和中线的概念混淆，故而出现求解错误。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.164.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.6146.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.167.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.1035B.23C.715D.758.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，22AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B =B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC 所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.13.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．14.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 所成角的2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-【答案】B【解析】【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-= ，则()()212,4,4,22,3,22a b x y a b x y +=+--=---，因()2//a b + ()2a b - ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B.2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫-⎪⎝⎭ D.111,,424⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】本题运用投影向量的定义即可解题.【详解】因为()()1,1,21,2,1a b =-=-，，则()()·1112215a b =⨯+-⨯-+⨯=a ==故向量b 在向量a上的投影向量是·5555,,6663b a a a aa ⎛⎫⨯==- ⎪⎝⎭，故选：C.3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】分情况讨论1,2,3,4,5,6x =时对应的中位数，从而可求解.【详解】由题意，当1,2,3x =时，8个点数的中位数为3.5；当4x =时，8个点数的中位数为4；当5,6x =时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为16.故选:D.4.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】()()()1111121132322322MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC=+=++=+-+-=-++211322a b c =-++ .故选：B.5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.614【答案】A 【解析】【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将AP、DC，用基底1,,AA AB AD 表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,四边形11DD C C 是平行四边形,侧面11A ADD 是正方形,又P 是11,C D CD 的交点,所以P 是1CD 的中点,因为DC AB =,1120A AB ∠=,60,2DAB AB ∠== ,所以()(()111111)2222AP AD AC AA AD AD AB AA AB AD =+=+++=++，所以()22221111||42444AP AA AB AD AA AB AA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅111444422204227422⎡⎛⎫⎤=++⨯+⨯⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎣，所以7,AP =又2DC =，所以()()11112·222AP DC AA AB AD DC AA AB AD AB ⋅=++=++⋅()21122AA AB AB AD AB =⋅++⋅()211cos120||2|cos602AA AB AB AD AB =⋅++⋅∣21112222223222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得cos AP <,14AP DC DC AP DC⋅>==⋅，所以异面直线AP 与DC的夹角的余弦值为cos ,14AP DC =.故选：A.6.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据条件，先求a 的有关值，再求对应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且()()(),12P D P E a P F ===.恰好能答对两道题为事件,,DEF DEF DEH ，且,,DEF DEF DEH 两两互斥，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得()2112a -=，他三道题都答错为事件DEF ，故()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.35B.3C.15D.5【答案】B 【解析】【分析】先求直线l 的方向向量及平面α的法向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值.【详解】根据材料可知，由平面α的方程为10x y z -++=，得()11,1,1=-n 为平面α的法向量，同理可知，()21,1,0n =- 与()32,0,1n =-分别为平面20x y -+=与210x z -+=的法向量.设直线l 的方向向量(),,a x y z = ，则230n a n a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,1,2a = .设直线l 与平面α所成角为θ，则11sin 3n a n aθ⋅==⋅ .故选：B.8.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3【答案】C 【解析】【分析】设,AC m AD n ==，根据对角线向量的性质列方程求,m n 关系，从而可得线线垂直，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角C AB D --的平面角，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积.【详解】设,AC m AD n ==，则4,4BC m BD n =-=-，因为()CD AB AD AC AB AD AB AC AB⋅=-⋅=⋅-⋅cos cos AD AB BAD AC AB BAC=⋅∠-⋅∠22222222AD AB BD AC AB BC AD AB AC AB AD AB AC AB +-+-=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅ 2222AD BC BD AC+--=，所以()()22224402n m n m CD AB +----⋅== ，解得：m n =，即,AC AD BC BD ==，可知ABC ABD ≅V V ，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，则DE AB ⊥，可知CE DE =，且二面角C AB D --的平面角为60CED ∠=︒，则CDE 为等边三角形，即1CE DE ==，设AE x =，因为2222AC AE BC BE -=-，即()()222241m x m x-=--=，解得：10m x =⎧⎨=⎩或3m x =⎧⎪⎨=⎪⎩可知点E 与点A 重合或与点B 重合，两者是对称结构，不妨取点E 与点A 重合，则AC AB ⊥，AD AB ⊥，由AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，则AB ⊥平面ACD ，且CAD ∠为二面C AB D --的平面角，可知CAD 为等边三角形，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，如图所示，1O 为底面正ACD 的外心，即1323233AO =⨯=，O 为A BCD -的外接球球心，可知1//OO AB，且112OO AB ==则三棱锥A BCD -的外接球半径213R =，所以外接球的体积34π327V R ==.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ===，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-【答案】AC 【解析】【分析】根据三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，则平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，再根据空间向量的基本定理及已知条件即可求解.【详解】因为三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，所以在平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，如图①②所示，当23PM PQ = 时，则2233PQ PA PB PC λ=-+，得39322PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得393122λ-+=，解得13λ=-．当43PM PQ = 时，则4233PQ PA PB PC λ=-+，得339424PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得3391424λ-+=，解得13λ=．故选：AC.11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ，B ，利用线面角的向量求法判断C ，利用球的方程求解出半径，再求表面积即可.【详解】如图，作PG AB ⊥，因为面PAB ⋂面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ，所以PG ⊥面ABCD ，且作DH ⊥ABCD ，因为1AP BP ==，π2APB ∠=，所以AP BP ⊥，G 是AB的中点，AB =，2PG =，对于A ，以D 为原点，DH 为z 轴，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系，所以(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(2,0,0)A ，31(,,0)22G ，312(,,222P ，(0,0,0)D ，因为Q 是棱PD的中点，所以31(,,)444Q ，所以33(,,)444CQ =-，(1,1,0)BA =- ，11(,,)222BP =- ，设面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，所以01120222BA n x y BP n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，解得1,0y z ==，所以(1,1,0)n =，可得0CQ n ⋅=，故CQ ∥平面PAB 成立，故A 正确，对于B ，(2,0,0)DA =，31(,,)222DP = ，设面PAD 的法向量为(,,)m a b c = ，所以203120222DA m a DP m a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，解得0,1a c ==，得到(0,m = ，故CQ不平行于m ，所以CQ ⊥平面PAD 不成立，故B 错误，对于C ，(1,0,0)CB = ，31(,,)222CP =- ，设面PBC 的法向量为000),,(a x y z = ，所以000020310222CB a x CP a x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令0y =，解得000,1x z ==，故a = ，设CQ 和平面PBC 所成角为θ，且π0,,sin 02θθ⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以22sin 15a CQCQ aθ⋅==⋅ ，故C 正确，对于D ，设四面体Q BCD -外接球的方程为2222111111()()()a x b y c z R -+-+-=，将,,,Q B C D 四点代入球的方程，可得22222221111121(1)(1),a b c R a b c R -+-+=++=，2222221111212131()()()(,1)444a b c a b c R R -+-+-=+-+=，利用加减消元法得到222222111111(1)(1)(1)a b c a b c -+-+=+-+，解得112a =，再利用加减消元法得到222222111111(1)a b c a b c ++=+-+，解得112b =，现在将112a =，112b =代入方程组，得到2211221111(4416,164c c R R ++=++-=，此时解得14104c R ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程解得11111,,,2442b c a R =-===，故球的方程为222111115228()()()4a b c -+-++=，设球的表面积为S ，则π2455π8S =⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后将点代入球的方程求出半径，再得到所要求的表面积即可．三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.【答案】0或5【解析】【分析】根据1l 斜率是否存在分类讨论，再利用直线位置关系列方程求解即可.【详解】当直线1l 斜率不存在，直线2l 斜率为0时，满足12l l ⊥，此时1432a a -=⎧⎨=-⎩，解得5a =；当直线1l 斜率存在时，因为12l l ⊥，所以()()()23314112a a a ---⨯=-----，解得0a =；综上，0a =或5a =.故答案为：0或513.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．【答案】58##0.625【解析】【分析】先得到基本事件数，再得到不能构成三角形的事件数，利用古典概型公式结合对立事件概率公式求解即可.【详解】从两个数里取三次，共有328=种情况，只有(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)三种情况无法构成三角形，且设概率为P ，所以335128P =-=.故答案为：5814.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案.【详解】12112122co 1,,o 2s c s e e e e e e e e ⋅=⋅⋅== ，由于12,0πe e ≤≤ ，所以12π3,e e = ，问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，()()()2221212122b xe ye b b xe ye xe ye -+=-⋅⋅+++()()2221212222b xb e yb e x y xy e e =-⋅++⋅++⋅⋅ ()()22245b x y x y xy =-++++ 22245b x y xy x y =++--+ ()22245b x y y x y+=++-- ()222432724y b x y -⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭ .则00024022071y x y b -⎧+=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩，解得001,2,x y b === 故答案为：2；【点睛】求解空间向量模有关的问题，可以考虑通过平方的方法进行求解，即利用= a ，将问题转化为利用数量积的运算进行解题.含有多个平方的代数式的最小值，是平方的式子为0的时候最小.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．【答案】（1）250x y -+=（2）3240x y --=或3120x y ++=【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再根据直线AB 的斜率与直线AB 垂直的直线l 的斜率乘积为1-和点斜式求解即可；（2）求出线段AB 垂直平分线的方程为280x y --=，故点C 在直线上，设点C 为()28,a a +，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为1-建立等式求解即可．【小问1详解】由题意得62262AB k --==--，则直线l 的斜率为12，所以过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程为：()1312y x -=-，即250x y -+=．【小问2详解】AB 的中点坐标为()4,2-，由（1）可知线段AB 垂线的斜率为12，所以线段AB 垂直平分线的方程为()1242y x +=-，即280x y --=．因为ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，所以点C 在直线280x y --=上，故设点C 为()28,a a +，由⊥CB CA 可得：621286282a a a a +-⋅=-+-+-，解得0a =或4a =-，所以点C 坐标为()8,0或()0,4-，则直线AC 的方程为3240x y --=或3120x y ++=．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．【答案】（1）①59；②证明见解析（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）①记事件A 为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B 为“第三次收到的信号为1”，事件C 为“三次收到的数字之和为2”，证明()()()P BC P B P C =即可；（2）记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()P M P N >，解不等式可解.【小问1详解】①记事件A 为“至少收到一次0”，则()12115233339P A =⨯⨯+⨯=．②证明：记事件B 为“第三次收到的信号为1”，则()31144P B =-=．记事件C 为“三次收到的数字之和为2”，则()22321112143343343349P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．因为()()()21112113343349P BC P B P C =⨯⨯+⨯⨯==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，则()()2322231P M p p p =-+．记事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2P N p =．根据题意可得()()P M P N >，即()23222231p p p p -+>，因为201p <<，所以()2222222311,2310p p p p p -+>-+<，解得2112p <<，故2p 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．【答案】（1）()112AB AC AA ++（2）3（3）平面ABC ⊥平面11B BCC 【解析】【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；（2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解；（3）根据题意结合空间向量可得AE BC ⊥，1AE BB ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.【小问1详解】由题意可知：点O 是1B C 的中点，则()112BO BC BB =+uu u r uu u r uuu r，所以()()111122AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA =+=++=+-+()112AB AC AA =++．【小问2详解】设1,,AB a AC b AA c ===，则111,2,0,121,12122a b c a b b c a c ⎛⎫===⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，()()222221122224AO a b c a b c a b b c a c⎡⎤=++=+++⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦()1311402242=++++-=．所以2AO = ．又因为BC b a =-，所以()()112AO BC a b c b a ⋅=++-=，BC = ．所以cos ,3AO BC AO BC AO BC⋅==．所以异面直线AO 与BC所成的角的余弦值为3．【小问3详解】取BC 的中点E ，连接AE ，则()()1122AE AB AC a b =+=+．因为AB AC =，E 为BC 的中点，则AE BC ⊥．又()()111022AE BB a b c a c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅=，即1AE BB ⊥．且1BC BB B = ，1,BC BB ⊂平面11B BCC ，所以AE ⊥平面11B BCC ．因为AE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11B BCC ．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．【答案】（1）证明见解析（2）33（32【解析】【分析】（1）设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，利用面面平行的性质，得到//BM HQ ，再由//PF 平面BHQ ，证得//PF HQ ，进而得到HQ PG ⊥和GH HQ ⊥，证得HQ ⊥平面PHG ，即可证得平面BHG ⊥平面PGH .（2）连接CQ ，由HQ ⊥平面PGH ，得到tan 2HGQ ∠=，由//PF 平面BHQ ，将问题转化为F 到平面BHQ 的距离，再利用F BHQ Q BFH V V --=，即可求解.（3）分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，利用平面//ICN 平面BEQ ，将问题转化为平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值为13，过点O 作OK IN ⊥，得到则OKC ∠为平面BHQ 与平面ICN 夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解.【小问1详解】证明：设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，即平面BHQ 平面PGF BM =，因为平面//PGF 平面EHQ ，平面BHQ 平面EHQ HQ =，所以//BM HQ ，又因为//PF 平面BHQ ，PF⊂平面PGF ，BHQ 平面PGF BM =，所以//PF BM ，所以//PF HQ ，因为PF PG ⊥，所以HQ PG ⊥，又因为GH ⊥平面EHQ ，且HQ ⊂平面EHQ ，所以GH HQ ⊥，因为PG GH G = ，且,PG GH ⊂平面PHG ，所以HQ ⊥平面PHG ，又因为HQ ⊂平面BHG ，所以平面BHG ⊥平面PGH .【小问2详解】解：连接CQ ，由（1）知HQ ⊥平面PGH ，所以HGQ ∠就是直线GQ 与平面PGH所成的角，即tan HGQ ∠=，因为1GH =，所以HQ ==，所以CHQ 为直角三角形，又BH BQ ==242BHQS =⋅=，又因为平面EFGH ⊥平面EHQ，所以点Q 到平面EFGH 的距离为1h CQ ==，因为//PF 平面BHQ ，所以点P 到平面BHQ 的距离等于点F 到平面BHQ 的距离，设为d ，因为F BHQ Q BFH V V --=，所以1133BHQ BFH S d S h ⋅=⋅ ，因为11111222BFHS BF GH =⋅=⨯⨯=，所以11232d ⨯==，即点P 到平面BHQ 的距离为33.【小问3详解】解：分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，则//,//IN BQ CI BE ，因为IN CI I = 且,IN CI ⊂平面ICN ，BQ BE B = ，且,BQ BE ⊂平面BEQ ，所以平面//ICN 平面BEQ ，若平面BHQ 与平面BEQ 夹角余弦值为13，则平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值也为13，因为N 为HQ 的中点，,CH CQ BH BQ ==，所以,CN HQ BN HQ ⊥⊥，又因为CN BN N =I 且,CN BN ⊂平面BCN ，所以HQ ⊥平面BCN ，因为HQ ⊂平面BHQ ，所以平面BHQ ⊥平面BCN ，连接BN ，过点C 作⊥OC BN 于点O ，因为平面BHQ 平面BCN BN =，且OC ⊂平面BCN ，所以OC ⊥平面BHQ ，过点O 作OK IN ⊥于点K ，连接CK ，则OKC ∠即为平面BHQ 与平面ICN 夹角，即为1cos 3OKC ∠=，所以tan OKC ∠=设(0)CN t t =>，则BN ==，因为1122BCNS CN BC OC BN =⋅=⋅，所以CN BC CO BN ⋅===，又因为//IN BQ，所以cos cos BNINO NBQ BQ∠=∠==，sin INO ∠=，在直角BCN △中，由射影定理知2CN ON BN =⋅，所以22CN ON BN ==，在直角OKN △中，sin OKINO ON ∠==，所以2OK ON ==，在直角OCK △中，tan OCOKC OK∠==，整理得221(1)4t t -=，解得212t =，即2t =，所以2HQ HN ==.19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②10sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点2,0,6E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D，可得()0,1,0,2S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22Et O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)26,22CB CO ⎛== ⎝⎭，22,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量 =1,1,1，则1111026022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =-，设平面EST法向量 =2,2,2，则22222202n ST x yn TE x tz⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x=，则22,1y t z==-，可得),,1n t=-，要使sinθ取最小值时，则cosθ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅====，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤= +-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ，sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k xy z=，则20k CE zk CA y⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cos θϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A 为平面α内的一点，B 为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B 到平面α的距离AB n d n⋅= .。
高二数学第一次月考情况分析
高二数学第一次月考情况分析一、试卷分析本次考试主要考查内容为高中数学必修5第二章数列，考查内容虽然不多，但都是高考的重点，因此这块内容对学生来说既基础又较灵活。
试卷由范叶华老师命题，主要考查基础知识和运算能力，命题重视数学基本方法的运用，淡化特殊技巧。
回避原苏教版过难、过繁的题目，立意明确，迎合新课程改革的理念，达到了较好的考查目的。
试卷的结构和题量紧贴全国新高考山东卷模式，总题量22小题，总分150分，包括8道单选题、4道多选题、4道填空题和6道解答题。
各部分难度适中，区分度强。
在不同层次班级中，顾建华组长、黄小燕老师、李翔组长、范东明老师、陆秀良主任等许多同仁取得了优异的成绩。
从整体数据上来看基础题99分，占比66%。
其中容易题34分，占比23%；较易题目65分，占比44%；中档题25分，占比17%；难题26分，占比17.3%。
平均分100.1，难度系数0.67，基本接近教务处要求的难度系数0.7，考生分数符合正态分布，贴合新高考考查要求。
从小题角度来看容易题中第7、8、20三题难度系数大，但是区分度却很大，说明这三题班级平均差距明显，难度低却失分现象严重。
此种题型性价比高，提分容易，是我们部分班级提高均分的主要着力点。
同样中档题中15、16两题也是难度系数偏高但是区分度较大。
中档题第11、17题各班标准差相距甚大，班级内部学生得分差异很明显。
这些数据特征值得我们相关班级关注。
从大题角度来看多项选择题也是这种现象，主要原因是多选题赋分的特色，选中部分答案给三分，选错得零分。
这种应试策略影响了部分同学得分，也可以成为教师指导学生应试的着力点。
在新高考模式下，一道客观题最低得分是5分，而一道多小题、多步骤的解答题只有10分或12分，从这个角度上看，重视客观题训练也应提上日程。
从本次试卷数据上来看客观题得分占比仅为78%，尚有很大提升空间。
二、学生答卷中存在的问题1．基本概念不强，灵活应用能力有待进一步提高从学生的答卷情况来看，部分学生对教材的基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用能力还有所欠缺，考虑问题不全面，比如解答题20题未对n=1的情况讨论而导致答案不完善的同学相当地多。
天津市2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题含解析
2023-2024天津市高二年级第一学期第一次阶段性检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题，每题5分，共45分.）1.直线0x +-=的倾斜角为()A.6πB.4π C.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】0x +-=可化为：83y x =-+，∴直线的斜率为3-，设直线的倾斜角α，则tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2.3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a 的值，从而判断结论.【详解】因为直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直，所以()()()11230a a a a -+-+=，解得1a =或3a =-，所以3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的充分不必要条件.故选：A .3.设x ，y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===- ，且,a c b c ⊥ ∥，则|2|a b +=（）A.B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x ，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥ ∥，∴2420124a c x y⋅=-+=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴2(21,2,3)(3,0,3)a b x y +=++=，∴|2|a b +==B 正确.故选：B ．4.圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】D 【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．【详解】2240x x y -+=⇒222(2)2x y -+=圆心坐标为（2，0）半径为2；22430x y x +++=⇒222(2)1x y ++=圆心坐标为(2,0)-，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．5.已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A.()22114x y -+=B.()22112x y -+=C.()22112x y ++=D.()22114x y ++=【答案】A 【解析】【分析】设出线段MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出M 的坐标，根据M 在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段MN 中点(,)P x y ，则(22,2)M x y -．M 在圆22:1C x y +=上运动，22(22)(2)1x y ∴-+=，即221(1)4x y -+=．故选：A ．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．6.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C所成角的余弦值是A.32B.12C.14D.0【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ，向量)12A B =-,()12B C =-，11cos ,A B B C <> 1111A B B C A B B C ⋅=⨯=14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m 的值为（）A.3-B.1- C.3D.3或1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与x ,y 轴交点的坐标，进而可得1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，解可得m 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=，即2222303330x y x y x y m ⎧+-=⎨+-+-=⎩，两式相减可得：10x y m -+-=，即两圆的公共弦所在的直线的方程为10x y m -+-=，该直线与x 轴的交点为(1,0)m -，与y 轴的交点为(0,1)m -，若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，变形可得：2(1)4m -=，解可得：3m =或1-；故选：D8.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A.2B. C.6D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长6AB ==，选C.考点：切线长9.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）10.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于______________．【答案】【解析】【分析】利用圆的弦长公式，结合点线距离公式即可得解.【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，它到直线3450x y +-=的距离1d ==，所以弦AB的长AB ==故答案为：11.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则yx的最大值为_____________.【解析】【分析】当直线y kx =与圆相切时，k 取得最值，利用切线的性质求出k ；【详解】解：设圆22:410C x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．设yk x=，则当直线y kx =与圆C 相切时，直线斜率最大或最小，即k 最大或最小．如图所示：设直线y kx =与圆C 切于第一象限内的点A，则AC =2OC =，1OA ∴=，tan ACk AOC OA∴=∠==，由图象的对称性可知当y kx =与圆C相切于第四象限内时，k =∴yx．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．12.直线12:310,:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=，若12//l l ，则a 的值为______；此时1l 与2l 的距离是______.【答案】①.3-②.12【解析】【分析】由直线平行的判定列方程求参数a ，注意验证排除重合的情况，再根据平行线距离公式求距离.【详解】由12//l l ，则(+1)=6a a ，即2+6=(+3)(2)=0a a a a --，可得3a =-或=2a ，当3a =-时，12:3+3+1=0,:22+1=0l x y l x y --，符合题设；当=2a 时，12:2+3+1=0,:2+3+1=0l x y l x y 为同一条直线，不合题设；综上，3a =-，此时1211:=0,:+=032l x y l x y ---，所以1l 与2l 的距离11|+|2312d .故答案为：3-，1213.如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【答案】【分析】利用向量数量积求得向量AM的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则AM ==即线段AM14.已知()0,3A ，点P 在直线30x y ++=，圆C ：22420x y x y +--=，则PA PC +最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出点A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标，可得PA PC +的最小值BC .【详解】因为22:420C x y x y +--=可转化为：22(2)(1)5x y -+-=，则圆心为()2,1C ，半径为r =.设A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标为(),a b ，则：3302231a b b a +⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，即()6,3B --，所以+=+PA PC PB PC 的最小值是==BC故答案为：15.若直线220kx y k ++-=与曲线1x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是【答案】[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】1x +=，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，作出直线220kx y k ++-=与半圆，利用数形结合即得．【详解】方程220kx y k ++-=是恒过定点(2,2)P -，斜率为k -的直线，1x +=，即22(1)(1)4(1)x y x -+-=≥，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，半圆弧端点(1,1),(1,3),A B -在同一坐标系内作出直线220kx y k ++-=与半圆22:(1)(1)4(1C x u x -+-=≥)，如图，当直线220kx y k ++-=与半圆C2=，且0k ->，解得2613k -=+，又5PB k =-，所以13k ->+或5k -≤-，所以13k <--或5k ≥．故答案为：[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题.（本大题共5小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角,,A B C 2sin a C =．（1）求A ；（2）若a =2b =，求c ；（3）若2cos 3B =，求()cos 2B A +的值．【答案】（1）π3（2）3（3）141518+-【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得π3A =；（2）利用余弦定理解方程可得3c =；（3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出()1cos 218B A ++=-.【小问1详解】由于π02C <<，所以sin 0C ≠，2sin a C =2sin sin C A C =，所以sin 2A =，且三角形ABC 为锐角三角形，即π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以π3A =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理知2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），故3c =.【小问3详解】由2cos 3B =，可得sin 3B =，所以22451cos 2cos sin 999B B B =-=-=-，2sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=()114531415cos 2cos 2cos sin 2sin 929218B A B A B A ++=-=-⨯-⨯=-，即()1cos 218B A ++=-17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，111112A A A B AC ===，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）求点1B 到平面ABD 的距离；（3）求点C 到直线1B D 的距离.【答案】（1）见解析（2）5（3）7【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；（2）利用向量法求由点到面的距离公式求解；（3）利用向量中点到直线的距离公式求解.【小问1详解】以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,3,1D ，()12,0,2BB =- ，()12,0,2AB =u u u u r ，11440BB AB ⋅=-+= ，10BB AC ⋅= ，∴11BB AB ⊥，1BB AC ⊥，又∴1AB AC A = ，1AB ，AC ⊂平面1AB C ，∴1BB ⊥平面1AB C【小问2详解】设平面ABD 的法向量(),,m x y z = ，取()4,0,0AB = ，()0,3,1AD = 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即4030x y z =⎧⎨+=⎩，故03x z y =⎧⎨=-⎩令1y =，解得0x =，3z =-故平面ABD 的一个法向量()0,1,3m =- ，点1B 到平面ABD的距离15m d AB m⋅=== .【小问3详解】()12,3,1B D =-- ，()0,1,1CD =- ，∴11CD B D B D⋅== ∴点C 到直线1B D距离7d ===.18.求满足下列条件的直线方程.(1)过点()2,4M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)已知()3,3A -，()1,1B ，两直线1:240l x y -+=，2:4350l x y ++=交点为P ，求过点P 且与,A B 距离相等的直线方程；(3)经过点()2,1M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程.【答案】（1）20x y -=或60x y +-=；（2）20x y +=或30x y -+=；（3）4350x y --=或2x =..【解析】【分析】（1）根据题意，分直线l 过原点和直线l 不过原点时，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解；（2）联立方程组求得()2,1P -，分直线l 过点P 且与AB 平行和直线l 过点P 和AB 中点N ，求得直线l 的斜率，结合点斜式方程，即可求解；（3）根据题意，求得圆心()3,4O ，半径1r =，分切线斜率存在和切线斜率不存在，两种情况讨论，求得切线的方程，即可得到答案.【详解】解：（1）当直线l 过原点时，可得所求直线为2y x =，即20x y -=，满足题意；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，其中0a ≠，代入()2,4M ，可得241a a+=，解得6a =，所以所求直线l 的方程为166x y +=，即60x y +-=，综上可得，直线l 的方程为20x y -=或60x y +-=.（2）由题意，联立方程组2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，所以()2,1P -，当直线l 过点P 且与AB 平行，可得2142AB k ==--，即直线l 的斜率12l k =-，所以直线l 的方程()1122y x -=-+，即20x y +=；当直线l 过点P 和AB 中点N ，因为()3,3A -，()1,1B ，可得()1,2N -，则111PN k ==，所以直线l 的方程12y x -=+，即30x y -+=，综上，满足条件直线方程为20x y +=或30x y -+=.（3）将圆的方程，化为()()22341x y -+-=，可得圆心()3,4O ，半径1r =，将点()2,1M 代入，可得()()2223141-+->，所以点M 在圆外，①当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，1==，解得43k =，所以所求直线的方程为481033x y --+=，即4350x y --=；②当切线斜率不存在时，此时过点()2,1M 的直线方程为2x =，此时满足圆心到直线2x =的距离等于圆的半径，即直线2x =与圆相切，符合题意，综上可得，所求切线为4350x y --=或2x =.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ∕∕平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为4，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）53131（3）存在，2BP =【解析】【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，证明DA 、DG 、DE 两两垂直，建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；（2）利用向量法即可求出二面角的余弦值；（3）假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，利用向量法根据线面角求出λ，从而可得出答案.【小问1详解】证明：取BC 中点G ，连接DG ，因为112BG BC AD ===，又因为//AD BC ，所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG AB ∕∕，又因为AB AD ⊥，所以DA DG ⊥，因为四边形EDCF 为矩形，所以ED CD ⊥，又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，所以ED ⊥平面ABCD ，又,DA DG ∈平面ABCD ，所以ED DA ⊥，ED DG ⊥，于是DA 、DG 、DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()((1,0,0,1,2,0,,1,2,A B E F -，则(0AB = ，2，0)，(1AE =- ，0，(1DF =- ，2，设平面ABE 的法向量为(m x =，y ，)z，200AB m y AE m x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，m = ，0，1)，因为0DF m ⋅== ，所以DF m ⊥ ，又因为DF ⊂平面ABE ，所以DF ∕∕平面ABE ；【小问2详解】解：(1BE =- ，2-，(2BF =- ，0，设平面BEF 的法向量为(n a =，b ，)c，2020BE n a b BF n a ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取n =，4)，cos ,31m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131；【小问3详解】假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，则(),2DP DF λλλ==- ，()1,2,0BD =--所以()1,2BP BD DF λλ=+=--- ，因为直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，所以cos ,4BP m BP m BP m ⋅=== ，解得12λ=或14，当12λ=时，33,1,22BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，当14λ=时，533,,424BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，所以存在点P ，使得直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，2BP =.20.已知圆M与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 分别与直线=8x 相交于C ，D 两点，记OAB △，OCD 的面积为1S ，2S ，求12S S 的最大值．【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）（3）12S S 的最大值为14【解析】【分析】（1）设圆的方程为222()x a y r -+=，再由直线340x +=与圆相切于点，可得关于a 与r 的方程组，求得a 与r 的值，则圆M 的方程可求；（2）直线(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈恒过定点(3,1)，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点(3,1)为中点时，弦长最短；（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的方程为=y kx ，与圆的方程联立求得A 的坐标，同理求得B 的坐标，进一步求出C 与D 的坐标，写出12S S ，利用基本不等式求最值．【小问1详解】解：由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=，由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=11a r a⎧-⎪⎨-⎪-⎩，解得=4a ，4r =，∴圆的方程为22(4)16x y -+=；【小问2详解】解：由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈有：(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即=3=1x y ⎧⎨⎩即直线l 恒过定点(3,1)；又22(34)1216-+=<，即点(3,1)在圆C 内部；圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP ===【小问3详解】解：由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11k k k ++，又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k k k k-++由题可知：8(8,8),(8,C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，又 228||11||81A C x OA k OC x k+===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴2142222221112141222S k S k k k k k k==++++⋅+ ．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
高二数学第二次月考试卷分析
高二数学第二次月考试卷分析高二数学备课组本次月考高二数学试卷基本上符合数学教学实际，难度设计较全理，试题起点低，而我就结合我所教的班级现状和学期的知识现状为此次考试进行整体的评价，分析一下学生存在的问题及对今后教学的启示。
一、对试卷的总体评析本试卷合计150分，选择题12个小题，合计60分，填空题4个小题，合计16分，解答题6大题，合计74分，试题无偏题、怪题，注意知识点的覆盖。
主要考察导数部分内容，由于学生底子较差，计算能力薄弱，所以时间相对来说较为紧张，不够用。
试题重视基础，大量的题目来源于教材，考查的是学生的基本数学知识和通性通法，对重要的数学思想，如数形结合思想等都进行一定的考查。
注重数学的思想性和应用性与灵活性，强调对数学技能的考察。
二、学生存在的问题及错误原因分析1.基本概念、定理模糊不清，不能用数学语言再现概念。
2.学生自学能力差，不会找重难点，不会提出问题读书被动，无自觉性。
3.课堂缺少解题积极性，上课心不在焉，不肯动脑，缺乏主动参与意识。
4. 对教师布置的练习作业完成的质量不高，不复习，平时不预习，不能正确灵活运用定理、公式，死搬硬套。
三、对今后教学的启示文科班的学生数学基础差，大部分学生对数学毫无兴趣，今后教学中要注意。
1 突出知识结构，打好知识基础。
在教学中首先要扎实学生的数学基础知识，并在此基础上，注意知识间的横纵向联系，帮助学生理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
要加大力度，抓落实，夯实基础，在公式使用的准确性和计算的准确性上狠抓实效2 提高学生逻辑思维能力和想象能力。
在日常教学中切忌千篇一律地老师讲同学听，提倡多一些思维变式题目的训练，强化学生感悟能力和灵活处理问题的能力，求精务实，提高课堂效益回归课本，抓好基础落实3 增强学生动手实践意识重视探究和应用关注身边的数学问题，不断提高学生的数学应用意识，激发学生兴趣。
对学生的答题规范要提出更高要求，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在考试时有发生，对此平时学习过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念。
高二数学月考质量分析
高二数学188班第一次月考质量分析一、试题评价（一）对试卷题型、卷面的分析本试题大体依照高考题型的格式与模式进行设计，整个卷面分为客观题和主观题两部份。
其中客观题分为选择题12道，每题5分，填空题4道，每题5分，共计80分。
主观题6道，共计70分。
卷面总分150分。
本次高二年级数学期中考试采用全年级统一命题，重点考察了高中数学选修2-2第一章，本试卷注重对数学基础知识、大体技术、大体思想和方式的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察，着力表现概念性、思辩性和应用的普遍性。
试题的设计具有必然的梯度和区分度，其中三种题型中基础题、中档题和难题所占的比例也较为适宜，但整个题的计算程度较高。
（二）关于命题知识点和考点的分析1.紧扣考纲，注重双基本次期中考试范围比较大，但有很多题目源于讲义与练习册，紧扣考纲，注重双基。
2.概念思辩性强，突出重点试题对本部份各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识本身的数学思想的考察，如：二、3、4、5、六、7、10、1一、1五、16，均是在大体概念和易混知识上进行了考察，对概念的完备性考查有较高的要求，有效的检测了学生对概念的掌握和理解。
3.突出运算能力，书写能力，考察知识的完备性和准确性。
其中六、八、九、10、1二、13，14、15、1八、20、21表现出既要运算，又考察了学生对知识的运用能力的考察，1二、17、1九、22对学生的逻辑推理能力有必然深度的考查。
二、答卷分析1.数据分析（班级）其中一、二、3，8题得分较高，选择题第4，7题得分较低，填空题得分偏低，解答题17-22得分都较低。
客观题得分较低。
2.失分率较高的答题分析第4题，主要考察复合函数求导的问题，学生掌握求导不够透彻；第5题对单调性的理解掌握不足致使失分；第12题，对分离参数转化为恒成立问题掌握不够致使答案失误；第9题，利用特殊三角形及特殊角求椭圆离心率，特殊值法掌握不足致使失误；第11题，椭圆的概念及余弦定理、向量知识等缺乏处置问题的综合能力及数形结合能力；填空题属于中高档题，得分不高，主要原因是积分公式不熟，导数的单调性极值与最值等相关计算和理解不准确，计算粗心失误；第17题，求导公式和求导的运算法则没有掌握好，致使致命的失分；第19题，对题目的理解不到位和运算的失误致使失分。