2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(五)数学
河北省衡水市2021届新高考数学五模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.2．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12-C ．12D ．60【答案】B 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数． 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．23D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a ∴=， 因此，双曲线的离心率为2222213c a b b e a a a+===+=. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 4．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.5．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一6．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.7．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.9．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法， 从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法，则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ． 【点睛】10．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()1132z i i -=-=， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．11．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，把1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线()()10y k x k =+>， 解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 12．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算求出z ，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【详解】(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i -+====+++-，2155z i =-，对应点为21(,)55-，在第四象限． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(六)理科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分） 1.已知集合{|,A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据整数与整除的方法枚举即可. 【详解】因为32Z x∈-,故23,1,1,3x -=--,即5,3,1,1x =-共四种情况.故集合A 中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题. 2.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l ”，则“lm 且l n ”，反之若“l m且ln ”，当m//n 时，推不出“l ”，∴ “l”是“lm 且ln ”的充分不必要条件，选A ．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4512a a +=，则8S 等于（ ） A. 18 B. 36C. 48D. 72【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,故()()1884584482a a S a a +==+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题. 4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14y x -B. 22=14x y -C. 22=14y x -D.22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5.若平面向量b 与向量(2,1)a =平行，且25b =，则b =（ ） A. (4,2) B. (4,2)--C. (4,2)或(4,2)--D. (6,3)-【答案】C 【解析】 【分析】求得a 后根据平行向量满足b a λ=求解即可.【详解】由题221a =+=又25b =且平面向量b 与向量a 平行.故2b a =±,即(4,2)b =或(4,2)--. 故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.6.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A. 9-B. 12C. 12-D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题. 8.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B.52C. 22+D. 231+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积．【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为DBC 、DCC 、DB C 、DBB 、正方形BCC B ''的面积之和，即该几何体表面积为1121111221=2222故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A. 3 B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得PA 的值. 【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+324198322PA ππ⋅+=， 解得PA=1, 故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.11.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若121290,2,3PF F F PF c S ︒∠===△，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A.2πB.4π C.3π D.6π【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得b ,再根据2c =求得a ,进而求得渐近线的斜率与夹角即可.【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有212123tan2PF F b S F PF ==∠△得23b =故2221a c b =-=.故渐近线的斜率b k a=±=.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为3π与23π.故双曲线的两条渐近线的夹角为3π. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题. 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有'()()?tan f x f x x >成立.则有（ ）()()43f ππ>()2cos1(1)6f π>⋅C. 2()()46f ππ<()()63f ππ<【答案】D 【解析】 【分析】 ：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数()y f x cosx =，由此题意，得出原函数()f x cosx 单增函数，由此判断函数值的大小． 【详解】：先构造()()'·tan y f x f x x =-的原函数，因为x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cosx >，那么在不等式的两边同时乘以cosx不等号不变，()()()()()'cosx cosx '0f x f x tanx f x f x sinx f x cosx ⎡⎤-=-=>⎣⎦'（），所以原函数()()g x f x cosx =单增函数，由此()g g g 1g 643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3g 626f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2g 424f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1g 323f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()g 111f cos =，所以 21g g 243242343f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错 ()()()3g g 11132cos11666f cos f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错32g g 266462446f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 错 故选D ．【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.【答案】sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.14.设S n 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-,则63S S =________. 【答案】12【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式求得3q ，再运用等比数列的前n 项和公式，表示()3631S S q=+，可得值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则36312a q a ==-,又()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-，所以363111122S q S =+=-=, 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n 和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题.15.抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______.【答案】 【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2b Ac a =-． （1）求B ；（2）若c =cos 10A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）4π；（2）2 【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理的推论可把cos b A c = 边化成角得sin cos sin B A C A =，用诱导公式变形为sin cos sin()B A A B A =+，再用两角和的正弦公式变形化简可得cos sin 02B A A -=，化简可得cos 2B =，进而求得4B π=．（2）由(1)的结论4B π=和条件10c A ==，要求三角形的面积，应先求一条边．所以应由正弦定理求一条边．先由cos A =，(0,)2A π∈ ，求得sin 10A === ．再由sin sin()C AB =+和两角和的正弦公式求得4sin sin()sin cos cos sin =+=1021025C A B A B A B =+=+．再由正弦定理可得sin 254sin 5c Bb C===．进而用三角形的面积公式可得11sin 5222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．详解：(1)在ABC ∆中，因为cos 2b A c =-，所以sin cos sin B A C A =-．所以sin cos sin()2B A A B A =+-，化简可得cos sin 02B A A -= ． 因为sin 0A ≠，所以cos 2B = ． 因为(0,)2B π∈ ，所以4B π=．（2）因为cos A =，(0,)2A π∈ ，所以sin10A===．因为4Bπ=所以4 sin sin()sin cos cos sin=5C A B A B A B=+=+在ABC∆中，由正弦定理可得sin254sin5c BbC===．所以11sin522210ABCS bc A∆==⨯⨯=ABC∆的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；（2）知ABC∆的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18.已知数列{}n a的前n项和为n S，(1)n nS na n n=+-（其中2n≥），且5a是2a和6a的等比中项.（1）证明：数列{}n a是等差数列并求其通项公式；（2）设11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132na n=-；（2）nT=12122nn-.【解析】【分析】(1)根据通项n a与前n项和n S的关系求出关于n a的递推公式,再根据5a是2a和6a的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得132na n=-,再根据裂项相消求和即可.【详解】（1）由(1)n nS na n n=+-得11(1)(1)n nS n a n n++=+++,所以11(1)2n n n nS S n a na n++-=+-+,又11n n nS S a++-=所以12n n na na n +=+,故12n n a a +-=-.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列,且5a 是2a 和6a 的等比中项,即2526a a a =,得()()()21118210a a a -=--,解得111a =,所以132n a n =-. （2）由题得111112132112n n n b a a n n +⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭, 121111111211997132112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121111212122nn n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了根据通项与前n 项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和方法.属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD=，OB OD=,∴BD OP⊥,又∵OP AC O⋂=,∴BD PAC⊥面又BD ABCD⊂面,∴PAC ABCD⊥面面.（2）∵PAC ABCD⊥面面，过点P做PE AC⊥,垂足为E∴ABCDPE⊥面∵PA与底面ABCD所成的角为030，∴030PAC∠=,又PA PC⊥，设2PC=,则23,3,3,4,22AP PE AE AC AD=====如图所示，以A为坐标原点，,AB AD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P⎛⎝设面PBC法向量为()1,,n x y z=，()220,22,0,,322BC CP⎛==--⎝11n BCn CP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2202230x y z⎧=+=，1,0,6z y x===令则()16,0,1n=同理PCD面法向量()20,6,1n=，1212121cos,7n nn nn n⋅==∴求二面角B PC D--的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．20.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y与仰卧起坐个数x之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50xxyxx≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）0.03a=；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a+++⨯=∴=（（2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.1 0.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）以AB 为直径的圆过定点(0,0).【解析】 【分析】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线l 与圆222:3M x y +=相切得出,k m 的关系式,代入证明0OA OB ⋅=即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率2e =,所以2c a =,即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点,所以a =所以1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为y kx m =+.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222214220k x kmx m +++-=, 所以设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.①因为直线l 和圆M 相切,所以圆心到直线l的距离3d ==, 整理,得()22213m k =+,② 将②代入①,得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知,以AB 为直径的圆过定点(0,0).【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题. 22.：已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间与极值．【答案】（1）2()23f x x x =--（2）见解析 【解析】【详解】解：（1）由2()3f x ax bx =+-，可得()2f x ax b =+'．由题设可得(1)0,{(0) 2.f f ''==-即20,{ 2.a b b +==-解得1a =，2b =-． 所以2()23f x x x =--．（2）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(五)数学(文科)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-，则AB =（ ） A. {}1,1-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}11x x -≤≤ 【答案】A【解析】【分析】根据集合交集的运算即可得解. 【详解】集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-，根据集合交集运算可知{}1,1AB =-，故选：A.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题.2.若(1)(1)iz i i =-+，则z =（ ）A. 2iB. 0C. i -D. 2i - 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算，化简即可得解.【详解】(1)(1)iz i i =-+， 则由复数除法运算可得(1)(1)i i z i-+= 22i i==-， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.3.已知向量(1,1)(2,3)a b =-=-，，则a b -=（ ）A. B. 1 C. 5 D. 25【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标运算，可得a b -，再由模的运算即可得解.【详解】向量(1,1)(2,3)a b =-=-，，则()(1,1)(2,3)3,4a b -=---=-，则235a b -=+=， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.4.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()lg f x x =，则函数()f x 的零点个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】B【解析】【分析】根据奇函数定义可得零点0x =，结合函数单调性及函数零点定义可得函数()f x 的其他零点，即可得解.【详解】由奇函数定义可知，当定义域为R 时，(0)0f =，当0x >时，()lg f x x =，由()lg f x x =单调递增且(1)lg10f ==可知当0x >时有1个零点， 根据奇函数性质可知，当0x <时也为单调递增，且(1)(1)0f f -=-=，综上可知，()f x 有3个零点，分别为0，1-，1.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题.5.命题“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为（ ）A. 2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤B. 2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-≤ C. 2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-≤D. 2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定即可得解.【详解】根据全称量词命题的否定可知，“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤，故选：A.【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题. 6.2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）A. 甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B. 乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C. 甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D. 乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标【答案】C【解析】【分析】根据指标雷达图，分别判断各选项即可.【详解】由指标雷达图可知：对于A ，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A 错误；对于B ，乙的雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B 错误；对于C ，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C 正确；对于D ，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D 错误；综上可知，正确的为C ，故选：C.【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题.7.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24410,24a a S +==，则1a 的值为（ ）A. 9B. 1C. 9-D. 2-【答案】A【解析】【分析】 根据等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式，可得关于1,a d 的方程组，进而解方程组可得1a 的值.【详解】根据等差数列通项公式及前n 项和公式可得241141310434242a a a d a d S a d +=+++=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩， 解方程组可得192a d =⎧⎨=-⎩， 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题.8.在棱长均相等的四面体OABC 中，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】B【解析】【分析】 取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ，则PMN ∠为异面直线MN 与AB 所成角，由线面垂直的判定定理可证明AB ⊥平面OCQ ，因而可知PM PN ⊥，从而可得MPN △为等腰直角三角形，即可得PMN ∠.【详解】取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ，由中位线定理可知//MP AB ,则PMN ∠（或补角）为异面直线MN 与AB 所成角，//,//MP AB PN OC ，,OQ AB CQ AB ⊥⊥且CQ OQ Q ⋂=，所以AB ⊥平面OCQ ，则AB OC ⊥，所以PM PN ⊥，四面体OABC 棱长均相等，则PM PN =，所以MPN △为等腰直角三角形，所以45PMN ∠=︒，【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题.9.兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径.【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为401002160⨯=，设拉伸五次后面条的截面半径为r ，由面团体积为31000cm 可得216001000r π⨯⨯=，解得r =d = 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题. 10.已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =C. y =D. 13y x =± 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义可得a ，由焦点坐标可知c ，进而由222c a b =+可求得b ，即可得双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-，则由双曲线定义可得1222PF PF a -==，所以1a =，由1(2,0)F -，可知2c =，根据双曲线中222c a b =+，可得3b =， 所以渐近线方程为3b y x x a =±=±， 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题.11.定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B. (,0)(2,)-∞+∞C. (0,1)D. (,0)-∞ 【答案】B【解析】【分析】根据(1)f x +是偶函数，结合函数图像平移变换可知()y f x =关于1x =对称，再由函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解.【详解】定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，所以()y f x =的图像关于1x =对称，示意图如下图所示：而()()31f f =-，且()y f x =[)1,+∞单调递增，所以若(21)(3)f x f ->，需满足211x 或213x ->，解得0x <或2x >，所以使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围为(,0)(2,)-∞+∞，故选：B.【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.12.在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】C【解析】【分析】设讲解员人数为x ，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得中位数.【详解】设讲解员人数为x ，由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数1x ≥+，家长人数多于教师人数，则家长人数2x ≥+，女学生人数多于家长人数，则女学生人数3x ≥+，男学生人数多于女生人数，则男学生人数4x ≥+，而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足24x x >+，解得4x >，所以当该微信群总人数取最小值时5x =，则各组人数分别为讲解员5人，教师6人，家长7人，女学生8人，男学生9人，所以中位数为7.故选：C.【点睛】本题考查了不等式在实际问题中应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[,]a b ，则b a -=______． 【答案】3【分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得,a b 的值，进而得解. 【详解】因为[]3,x ππ∈，由余弦函数的图像与性质可得1cos [1,]2x ∈-， 则[]2cos 2,1y x =∈-，由值域为[,]a b 可得2,1a b =-=，所以()123b a -=--=，故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.14.数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a =______.【答案】21【解析】【分析】利用递推公式，即可得解.【详解】数列{}n a 中，111,2n n n a a a +=+=，当1n =时，代入可得122a a +=，则21a =，当2n =时，代入可得234+=a a ，则33a =，当3n =时，代入可得348a a +=，则45a =，当4n =时，代入可得4516a a +=，则511a =，当5n =时，代入可得6532a a +=，则621a =，故答案为：21.【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题.15.已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-=______．【答案】2【解析】根据导数的几何意义，即可求得a 的值，结合正切函数差角公式即可得解.【详解】曲线4sin cos y a x x =-，则4cos sin y a x x '=+，曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，所以当0x =时，满足41y a '==， 解得14a =， 代入并由正切函数的差角公式可得tan tan 46tan 461tan tan 46ππππππ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭+⋅123==故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题.16.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为12，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB ⋅=______．【答案】0【解析】【分析】根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得,a c 关系，由,,F A B 的坐标，可得,FB AB ，进而结合平面向量数量积的坐标运算得解. 【详解】设椭圆的标准方程为()22221,0x y a b a b +=>>，则12c a =，则12c a =()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以()(),,,FB c b AB a b ==-， 由平面向量数量积的坐标运算可得()()222,,FB AB c b a b ac b ac a c ⋅=⋅-=-+=-+-22211022a a a ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭-+-，故答案为：0.【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题；共60分．17.已知ABCD 是矩形，2AD AB E F =，，分别是线段AB BC ，的中点，PA ⊥平面ABCD ． （1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD ，求AGAP的值． 【答案】（1）详见解析；（2）14【解析】试题分析：（1）通过证明DF AF DF PA ⊥⊥，，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证明DF ⊥平面PAF ；（2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ，所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =，所以平面//EHG 平面PFD ，进而满足题意． 试题解析：（1）在矩形ABCD 中，因为2=AD AB ，点F 是BC 的中点，所以45AFB DFC ∠=∠=︒． 所以90AFD ∠=︒，即AF DF ⊥．又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DF ⊥，所以DF ⊥平面PAF ． （2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ， 所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =．所以平面//EHG 平面PFD ，所以//EG 平面PFD ，从而点G 满足14AG AP =． 考点：1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC 的面积83=S 213R =，求ABC 的周长． 【答案】（1）23C π=（2）127+【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得c ，结合三角形面积公式可得ab ，代入余弦定理可得+a b ，进而得ABC 的周长．【详解】（1）()2cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin 0A C B C B C ++=. 即()2sin cos sin sin A C B C A =-+=-， 又sin 0A ≠，故1cos 2C =-， 又0C π<<， 所以23C π=（2）由23C π=，3R =及2sin c R C =，可得c =又121sin 2322S ab ab π==⨯=32ab =， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得(22222cos3a b ab π+-=， 即()222112a b ab a b ab ++=+-=， 又32ab =，故12a b +=.所以12a b c ++=+即ABC 的周长为12+【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题. 19.某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.参考公式：1122211()()()ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1）13（2） 2.21 3.19y x =+.可靠 【解析】 【分析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）根据所给数据，分别求得x y ，，代入公式可得ˆ,ba ，进而得回归直线方程；分别再代入10x =，9x =检验即可判断.【详解】（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，()()()()()1.1,1.2,1.1,1.3 1.1,1.4 1.1,1.5 1.1,1.6，()()()()1.2,1.3 1.2,1.4 1.2,1.5 1.2,1.6，()()()1.3,1.4 1.3,1.5 1.3,1.6，()()1.4,1.5 1.4,1.6，()1.5,1.6.记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A ，则A 中有()()()()()1.1,1.2 1.2,1.3 1.3,1.4 1.4,1.5 1.5,1.6，共5个基本事件， 故()51153P A ==. （2）()11113128114x =+++=， ()2730322127.541y =+++=， 所以()()11271230133282141127.512411210ˆ 2.21121169144644121498484b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-==≈+++-⨯- ˆ27.5 2.2111 3.19a=-⨯=. 所求的回归方程为 2.21 3.19y x =+.当10x =时，25.29y =，25.29261-<， 当9x =时，25.08y =，23.08241-<. 故此线性回归方程是可靠的.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.20.已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线12,l l 与曲线G 分别相交于点,A B 和,C D ，线段AB 和CD 的中点分别为,M N .如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．【答案】（1）28y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可知圆心E 的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程. （2）由题意可设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k，表示出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点M 的坐标，进而以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标；即可表示出直线MN 的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标.【详解】（1）依题意EF 等于E 到直线20x +=的距离， 故所求轨迹是以()2,0F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线. 故其轨迹G 的方程为28y x =.（2）依题意直线12,l l 斜率都存在且均不为0， 故设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k. 直线AB 的方程为()23y k x -=-， 即为()32y k x =-+.由()2328y k x y x⎧=-+⎨=⎩消去x 整理得2824160ky y k --+=， 所以8A B y y k +=，点M 的坐标为24243,kk k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为()2423,4k k k -+， 所以直线MN 的斜率222 1141142 21MNk k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪==⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以直线MN 的方程为()224423121y k x k k k k ⎡⎤-=--+⎣⎦⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即1112k y x k⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.故MN 经过定点()1,0-.【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定点的求法，属于中档题.21.已知函数2()[(25)85]()x f x e x a x a a R =+--+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[0,2]x ∈时，若不等式2()2f x e ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为27e ，极小值为33e -.（2）252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）将1a =代入解析式，求得()f x '并令()0f x '=，求得极值点；由导函数的符号，可判断函数()f x 的单调性，进而求得其极值.（2）根据解析式求得()f x '，并令()0f x '=，求得极值点；讨论a 的取值范围，即可由最值及不等式求得符合题意的a 的取值范围． 【详解】（1）由1a =得()()233xf x e xx =--，故()()()()2623xx f x exx e x x '=--=+-.令()0f x '=，解得2x =-或3x =， 由()0f x '>，得2x <-或3x >，所以()f x 在() ,2-∞-和()3,+∞单调递增， 由()0f x '<，得23x -<<， 所以()f x 在()2,3-单调递减.所以()f x 极大值为()272f e-=，极小值为()333f e =-. （2）()()()23xf x e x a x '=+-，[]0,2x ∈，令()()()230xf x ex a x '=+-=，得12x a =-，23x =， （i ）当20a -≤，即0a ≥时，()f x 在()0,2单调递减， 依题意则有()()222412f a e e =-+≥成立，得34a ≤-，此时不成立； （ii ）当022a <-<，即 10a -<<时，()f x 在()0,2a -上单调递增，在()2,2a -上单调递减，依题意则有()()()2220852,2412,f a e f e a e ⎧=-+≥⎪⎨=--≥⎪⎩得252834e a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由于25218e -<-，故此时不成立；（iii ）当22a -≥，即1a ≤-时，()f x 在()0,2上单调递增，依题意则有()202f e ≥，得2528e a -≤ 综上，a 的取值范围是252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.（二）选考题；共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答．并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为222x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(,2)a ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且4PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）20x y a --+=，()220y x x =≠.（2）4225或269. 【解析】 【分析】（1）根据参数方程，消参后可得直线l 直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，即可由韦达定理及4PA PB =求得a 的值．【详解】（1）直线l的参数方程为2x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 直线l 直角坐标方程为20x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入C 即得， 曲线C 的直角坐标方程为()220y x x =≠.（2）将,22,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22y x =，化简得2480t a +-+=， 由判别式>0∆得32a >， 设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，则12t t +=-1284t t a =-， 依题意有124t t =，即124t t =±， 代入解得4225a =或269a =，均满足32a >， 所以实数a 的值为4225或269.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题. 23.已知函数()f x =（1）解不等式()(2)f x f ≥； （2）若关于x 的不等式25()2f x t t ≤-在[0,3]上无解，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或2}x ≥.（2）132t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集. （2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得t 的取值范围. 【详解】（1）函数()|2||21|f x x x ==-+-，不等式可化为|2||21|3x x -+-≥，即12333x x ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，12213x x ⎧<<⎪⎨⎪+≥⎩或2333x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得0x ≤或2x ≥.所以不等式的解集为{|0x x ≤或2}x ≥.（2）由于()133,,212211,2,233,2,x x f x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当[]0,3x ∈时，()min 32f x =， 不等式()252f x t t ≤-在[]0,3上无解， 则有()2min 5322t t f x -<=，解得132t -<<.故所求t的取值范围为132t t⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，含参数绝对值不等式的解法，属于中档题.。
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷(五)理科数学
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题(共50分)1．(本题5分)①{}{}0012∈，，，②{}0φ⊇，③{}{}a b b a ⊆，，，④{}2 |20x x x Q φ-=∈=，，⑤{}R π⊆，⑥∅ A 其中表示法正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．(本题5分)下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．22y x =-+B ．2xy -=C ．ln y x =D ．1y x=3．(本题5分)下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ）A ．ln y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．(5分)已知集合()(){}124A x x x =-+>，集合12xB y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,+∞D ．(]0,25．(本题5分)二次函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），且f （x ）在[0，2]上是减函数，若f （a ）≤f （0），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，4] B ．（﹣∞，0] C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[4，+∞）6．(本题5分)函数lg(y ax =是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．0D ．±17．(本题5分)若,a b ∈R ，则“1a >且1b >”是“1ab >且2a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．(本题5分)设a ＝log π2，b ＝40.3，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a9．(本题5分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-10．(本题5分)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +-=，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()()2f x f x +=C ．()()31f x f x -=-D ．()()2f x f x -=二、填空题(共15分)11．(本题5分)函数y ＝f (x )图象如图所示，则f (0)＝______________，f (1)＝____________，f [f (－2)]＝____________.12．(本题5分)已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．13．(本题5分)已知a ，b ，c 分别为锐角的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则的周长的取值范围为__________．三、解答题(共35分)14．(本题10分)小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x （万元）与收益y 万元）之间的关系，小王选择了甲模型2y ax bx c =++和乙模型x y pq r =+.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r 的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？15．(本题12分)已知函数()12log (2),111,x x t f x x t x a--≤≤⎧⎪=⎨⎪--+<≤⎩，若存在实数t ，使()f x 值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围为____________.16．(本题13分)已知函数()2log f x x =，()()2log 1g x ax =+，a R ∈. （1）若2a =，解关于x 的方程()()0f x g x +=；（2）设t R ∈，函数()()h x f x t t =-+在区间[]28,上的最大值为3，求t 的取值范围；（3）当0a >时，对任意1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()()y g x f x =-在区间[],1m m +上的最大值与最小值的差不大于1，求a 的取值范围。
2021届高考数学试卷专项练习05三角函数与解三角形含解析
三角函数与解三角形一、单选题 一、单选题1．（2021·江苏盐城市·高三二模）计算2cos10sin 20cos 20︒-︒︒所得的结果为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】将cos10︒转化成cos(3020)︒-︒，展开整理化简即可. 【详解】2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒=︒︒==故选：C2．（2021·浙江高一期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．98【答案】C 【解析】求得y 的最小正周期，由此求得每400年差的天数，由此确定需要设定的闰年的个数. 【详解】()2182.62112365.2422,40036596.88970.01720279T T π=≈⨯=-=≈，所以应设定闰年的个数为97.故选：C3．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750- C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.4．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()()2sin ln1f x x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据()00f =，排除B 、C 选项；再由函数的奇偶性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数())2sin ln 1f x x x x =+，可得()00f =，可排除B 、C 选项；又由()())2sin ln1f x x x x -=-+=22211sin ln 1x x x x x x x +++--+-⎝)122sin ln sin ln 11x x x xx x -⎛⎫=-=-++-)()2sin ln1x x x f x =+=，所以函数()f x 为偶函数，所以排除D 选项. 故选：A.5．（2021·河南高三月考（文））函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】将函数转化为()f x =2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()g x 2sin 212x π⎫⎛=+⎪⎝⎭，然后逐项判断. 【详解】因为()23sin cos f x x x =-22sin 12sin 26x x π⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭．其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 2246g x x ππ⎡⎤⎫⎛=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 212x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的图象．所以()g x 的最小正周期为π，故A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，所以()g x 的图象关于直线524x π=对称，故B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，所以函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故D 正确． 故选：C6．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】通过函数的定义域判断选项C ，通过函数的奇偶性判断选项B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，通过函数的正负判断选项A ，即可得出结果. 【详解】因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{|2,}x x k k π≠∈Z ，则0x ≠，故排除C ； 而()cos()1x f x x --=--()cos 1xf x x -==--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 10x -<，()0cos 1x f x x =<-，所以排除A ． 故选：D ．7．（2021·全国高三专题练习（文））已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（ ） A ．513B ．113C ．513-D ．113【答案】B 【解析】由诱导公式以及商数关系得出3tan 2α=，再由倍角公式以及弦化切得出答案. 【详解】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++． 故选：B8．（2021·山东德州市·高三一模）已知π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．13B ．13-C D ．3-【答案】B 【解析】利用两角和的正弦公式化简然后使用辅助角公式计算即可.【详解】由π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以111sin sin coscos sinsin 33323ππααααα=++=++111sin 233πcos 6ααα-=-⇒⎛⎫+ ⎪=-⎝⎭ 故选：B9．（2021·山东日照市·高三一模）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称【答案】C 【解析】先求出()y f x =的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin cos 2y f x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()cos y f x x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，所以()cos y f x x ==是偶函数，故选项A 不正确；()cos y f x x ==的周期为221T ππ==，故选项B 不正确； ()cos y f x x ==的图象对称中心为(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确；()cos y f x x ==对称轴为()x k k Z π=∈，直线2x π=不是()y f x =的图象的对称轴，故选项D 不正确；故选：C.10．（2021·全国高三专题练习（文））明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（ ）A ．1235B ．1237C ．16D ．13【答案】B 【解析】根据12块正方形模板成等差数列可知6指板的长度，再由三角恒等变换求值即可. 【详解】由题意，12块正方形模板组成以2厘米为首项，最大边长24厘米的等差数列， 所以公差2422121d -==-，故第6块正方形模板边长为2(61)212+-⨯=厘米，即 6指的板长度为12厘米. 因为眼睛到木板距离为72厘米， 故在直角三角中61tan 726α==， 所以222122sin cos 2tan 126sin 22sin cos 1sin cos 1tan 37136ααααααααα⨯=====+++， 故选：B11．（2021·山东青岛市·高三一模）已知角θ终边上有一点417tan π,2sin π36P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos θ的值为（ ）A ．12B ．12-C ．D ．2【答案】D 【解析】先算出点P 的坐标，再利用三角函数的定义计算即可. 【详解】因为4tantan tan 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭17sin sin 266ππππ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin sin 6662πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即112sin 16π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以)1P-所以cos θ==故选：D.12．（2021·湖南高二月考）将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=3【答案】A 【解析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A13．（2021·广东广州市·高三一模）函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】C 【解析】根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项. 【详解】因为函数3()sin f x x x =-，()11sin10f =->，故排除AD ，331sin 066662f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故排除B ，只有C 满足条件.故选：C14．（2021·山东菏泽市·高三一模）函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项． 【详解】 因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x xx x x x x xf x e e e e------+-==++ 得()()f x f x =--， 所以sin x xx xy e e --=+为奇函数排除C;在[0,)+∞，设()sin g x x x =-， ()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=， 故sin 0x xx xy e e--=≥+在 [0,)+∞上恒成立， 排除AD 故选：B.15．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 6） A ．6sin α=B ．2cos 23α=-C ．5sin 2α=D ．5tan 2α=【答案】B 【解析】根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，再由二倍角公式求得sin 2,cos 2αα，然后由同角关系得tan 2α后判断各选项． 【详解】由三角函数的定义，可知cos 6α=，sin 6α=±，则22cos 22cos 13αα=-=-，sin 2α、tan 2α均有两解 故选：B.16．（2021·山东淄博市·高三一模）已知()()cos cos f x x x x =在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32，则实数m 的最小值是（ ） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π 【答案】D 【解析】利用()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值，结合()f x 的单调性求得m 的最小值. 【详解】()()cos cos f x x x x =+2cos cos x x x =1cos 21122cos 2222x x x x +=+=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由于1131sin 21,sin 262622x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 211sin 33622f πππ⎛⎫⎛⎫-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在3x π=-处取得最小值，而()f x 的最小正周期为22ππ=，其一半为2π，则326πππ-+=，所以()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且在6x π=处取得最大值32，故m 的最小值为6π. 故选：D17．（2021·辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（ ） A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A 【解析】先根据诱导公式化简得()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-,再结合半角公式整理得()5πsin 1cos 112tan sin 3πsin 23ααααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-=--. 【详解】由诱导公式化简整理得：()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-， 由于2cos 12sin,sin 2sincos222ααααα=-=，所以()25πsin 12sin cos 1122tan sin 3πsin 232sin cos 22αααααααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-=--⋅ 故选：A18．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先由平移变换得到()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D 为AC 的中点，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3cos 2x ω=±，然后根据ABC 为钝角三角形，只须4ACB π∠<，由tan 1BDACB DC∠=<求解， 【详解】由题意得，()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，作出两个函数图像，如图：A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点， 由对称性，则ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2AC T πω==，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，整理得cos 3sin x x ωω=， 解得3tan x ω=3cos x ω= 即32C B y y =-=， 所以23B BD y ==， 因为ABC 为钝角三角形，则4ACB π∠<，所以tan 1BD ACB DC π∠==<，解得03ω<<， 故选：B.19．（2021·全国高三专题练习（文））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（ ） A．BC．-D．【答案】D 【解析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得tan α的值，利用二倍角公式可得出sin 22sin cos ααα=，在所得代数式上除以22sin cos αα+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，代入tan α的值计算即可得解. 【详解】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1331sincos 3cos sin 2222，整理得2sin αα=，tan α∴=，因此，222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 11ααααααααα⎛⨯ ⎝⎭=====++⎛+⎝⎭故选：D.20．（2021·山东滨州市·高三一模）将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min6x x π-=，则ϕ=（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 【答案】C 【解析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，解得答案.【详解】()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，()()124f x g x -=，则12min226T x x ππϕϕ-=-=-=，故3πϕ=. 故选：C . 二、多选题21．（2021·河北唐山市·高三二模）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ） A ．将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心 D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π【答案】BD 【解析】A ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；B ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；C ：根据正弦型函数的对称性进行判断即可；D ：根据正弦型函数的零点进行判断即可；【详解】A ：曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，得到函数2sin 2()sin(2)sin(2)sin(2)3333y x x x x πππππ=-=-=-+=-+， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故本说法不正确； B ：由曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得 sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故本说法正确；C ：因为()sin 101263f πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，所以点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是该函数的对称中心，故本选项不正确； D ：由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得2()()326k x k k Z x k Z ππππ-=∈⇒=+∈ 因为()()120f x f x ==，所以111()26k x k Z ππ=+∈，222()26k x k Z ππ=+∈， 所以12122x x k k π-=-，因为12x x ≠，12,k k Z ∈，所以12k k -的最小值为1，即12x x -的最小值为2π，故本选项正确， 故选：BD22．（2021·辽宁高三二模）以下有关三角函数()sin cos2f x x x =⋅的说法正确的为（ ） A ．x ∀∈R ，()()0f x f x --= B ．0T ∃≠，使得f x Tf xC ．()f x 在定义域内有偶数个零点D ．x ∀∈R ，()()π0f x f x --=【答案】BD 【解析】 对于A ，取3x π=可得答案；对于B ，取2T π=可得答案；对于C ，根据奇函数图象的对称性可得答案；对于D ，利用解析式运算可得答案. 【详解】对于A ，22()()sin()cos sin cos 333333f f ππππππ--=-⋅-⋅11()()22=--=0≠，故A错误.对于B ，因为()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x x x x x +=++=⎡⎤⎣⎦， 所以0T ∃≠，使得f x Tf x ，故B 正确.对于C ，因为()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，因为0x =在定义域内，所以()00f =，故()f x 有奇数个零点，故C 错误.对于D ，()()()π()sin πcos 2πsin cos 2sin cos 2f x f x x x x x x x --=---=⎡⎤⎣⎦sin cos 20x x -=，故D 正确. 故选：BD23．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解 【答案】AC 【解析】根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断 即可. 【详解】将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变， 可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π， 则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确； 对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确；对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤， 即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确； 对于D ，()2x f x g ⎛⎫=⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC24．（2021·山东高三专题练习）已知()442sin ,cos 22x x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．直线3π2x =是()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】BC 【解析】根据向量共线的坐标表示求出()f x ，由三角函数的平移变换原则可判断A ；由2T πω=可判断B ；将3π2x =代入，结合余弦函数的对称轴可判断C ；利用余弦的单调递减区间为()2,2,k k k Z πππ+∈可判断D. 【详解】因为a 与b 共线，则()4412sincos 0222x xf x ⎛⎫⨯--+= ⎪⎝⎭，所以()442222cossin cos sin 2cos sin 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+-⋅ ⎪⎝⎭ ()211131sin 11cos 2cos 22444x x x =-=--=+.对于A ，将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数12π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A 错误；对于B ，222T πππω===，故B 正确；对于C ，当3π2x =时，则3232ππ⨯=， 由余弦函数的对称轴为,x k k Z π=∈，故C 正确； 对于D ，ππ,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则π22,x π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由余弦函数的单调递增区间为()2,2,k k k Z πππ-∈， 当0k =时，余弦函数的单调递增区间为(),0π-， 所以函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BC25．（2021·广东广州市·高三一模）已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】 化简得出()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可根据正弦函数的性质分别判断.【详解】2()sin 22cos sin 2cos212sin 214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最大值为21+，故A 错误；()2sin 2121884f ⎛⎫=⨯++=+ ⎪⎝⎭πππ，则()f x 的图像关于直线8x π=对称，故B 正确； ()2sin 211884f ⎡⎤⎛⎫-=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πππ，则()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则可得2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ时，函数单调递减，故D 错误. 故选：BC.26．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】先求出A ，再根据图像得出周期，进而算出ω，最后代入点算出ϕ. 【详解】根据图象，可得2A =，设()f x 的最小正周期为T则37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得T π=，所以22Tπω==. 将最低点的坐标7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中 得72sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，则7262k ππϕπ+=-（k ∈Z ） 解得523k πϕπ=-（k ∈Z ），所以()52sin 223x k f x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 令0k =，则()5772sin 22sin 22cos 22cos 236266x x x f x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BC.27．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 【详解】()()cos 22sin cos cos 22cos sin 22f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=+⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x A 不正确； ()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项B 正确； 因为2842k ππππ⨯+=+，解得：0k =，所以直线8x π=是()f x 的图象的对称轴，故选项C 正确；令()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 不正确，故选：BC.28．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数()()(0)20,2f x sin x πωϕωϕ=+><<.2x π=为函数的一条对称轴，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()f x 在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（ ） A ．43 B ．83C ．163D ．323【答案】BC 【解析】 由2x π=为对称轴，及318f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω的范围，即可求出ω的值； 【详解】 解：2x π=为对称轴22k ππωϕπ⇒+=+，k Z ∈；3312886f m πππωϕπ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭或526m ππ+，m Z ∈； 联立解之得:()8823k m ω=-+或()8823k m ω=--，k Z ∈，m Z ∈； 又在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调， 348160ππππωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩，所以08ω<≤83ω∴=或163故选：BC29．（2021·全国高三专题练习）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】BD 【解析】利用反例可判断AC 错误，结合函数的解析式可判断BD 为正确，从而可得正确的选项. 【详解】()12f =，而()()1cos11f f -=<，故()f x 不是偶函数，故A 错误.因为77cos cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 不是增函数，故C 错误. ()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确. 当0x <时，()[]1,1f x ∈-，当0x ≥时，()[)1,f x ∈+∞， 故()f x 的值域为[1,)-+∞，故D 正确. 故选：BD.30．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1 B ．()f x 的最小正周期是2π C ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点【答案】ACD 【解析】利用正弦型函数的最值可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；利用图象法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin sin 2sin 23f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2633x πππ≤-≤，则当36x ππ-=时，函数()f x 取最小值，即()min 2sin 16f x π==， A 选项正确；对于B 选项，()sin f x x x =，()0f =12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()02f f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是2π，B 选项错误； 对于C 选项，若k 为奇数，则()()()()sin sin cos sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--===；若k 为偶数，则()()()()sin sin sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--=-+=+=. 由上可知，当k Z ∈时，()()f k x f x π-=， 所以，直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴，C 选项正确；对于D 选项，()()()sin sin cos sin f x x x x x x x πππ+=+++=-+=+，所以，π为函数()f x 的周期.当02x π≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭；当2x ππ≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭.综上可知，()2f x ≤.当0x <时，20x π<，()sin 0f x x x =≥，即函数2y x π=与()f x 在(),0-∞上的图象无交点；当x π>时，22x π>，()2f x ≤，所以，函数2y x π=与()f x 在(),π+∞上的图象也无交点.作出函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象如下图所示：由图象可知，函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象有两个交点，D 选项正确.故选：ACD.31．（2021·山东高三专题练习）已知函数()sin cos f x x x =，则（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的值域为48⎡⎣ 【答案】ABD 【解析】对A ，由()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可判断；对B ，由()()f x f x -=可判断；对C ，根据4f π⎛⎫⎪⎝⎭和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小可判断；对D ，求出()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围即可. 【详解】 对A ，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2π是()f x 的周期，故A 正确； 对B ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 关于y 轴对称，故B 正确；对C ，当0k =时，区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，34sincos2444f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，34122f π⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故C 错误；对D ，由AB 可得()()2f x f x f x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则()f x 关于4x π=对称，且周期为2π，故()f x 的值域即为()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围，此时()f x =()))3322cos sinx x f x -'=，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x ∴>，()0f x '∴>，可知()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增，()01f =，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡⎣. 故选：ABD.32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD【解析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确；D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD33．（2021·山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-34．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【解析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD.35．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）．A ．()g x 的最小正周期为2π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 【答案】AC 【解析】根据函数图象得到A =2，2,2T T ππω===，再根据函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得函数()f x 的解析式，然后利用伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，再逐项判断. 【详解】由函数图象知：A =2，5212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，因为函数图象过点5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 则532,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得22,3k k Z πϕπ=+∈， 所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，得到()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A. ()g x 的周期是23T π=，故正确； B. 因为ππ,93x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π3,626x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故错误； C. 因为3,62x k k Z πππ+=+∈，所以,39k x k Z ππ=+∈，故正确； D. 因为2sin 3296ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故错误.故选：AC36．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()22sin cos f x x x x =+则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【解析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD37．（2021·山东济宁市·高三一模）将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【解析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC38．（2021·山东高三专题练习）函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．将()f x 的图象向左平移512π个单位后与2sin 2y x =-的图象重合 D ．若12,x x π-=则()()12f x f x =【答案】ACD 【解析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 220666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 2126y x x x πππ⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦，C 正确；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确． 故选：ACD ．39．（2021·广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确； 对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+， 所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题40．（2021·山东烟台市·高三一模）已知2()0,a π∈，若1sin 223πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________.【答案】2【解析】由诱导公式可求得1cos 23α=，再根据二倍角的余弦公式求得sin ,cos αα，即可求得tan α. 【详解】1sin 2cos 223παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，2()0,a π∈，sin 3α∴==，cos 3α==，sin tan cos ααα∴==.故答案为：2. 41．（2021·全国高三专题练习（文））若1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】79- 【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得sin 26x 的值.【详解】27sin 2sin 2cos 22cos 6366912x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤+=-=-=-⎭ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎣=-⎢⎥⎣⎭⎦⎦.故答案为：79-.42．（2021·山东高三专题练习）已知sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】59【解析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由二倍角的余弦公式可得225cos 2cos 212sin 123669πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 故答案为：59.43．（2021·全国高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '.若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______.【解析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【详解】解：设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，所以222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，所以其面积为2221)22412SA B A B A B a b ''''''=⨯==+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理。
河北省衡水市联考卷2025届高考仿真卷数学试卷含解析
河北省衡水市联考卷2025届高考仿真卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．253．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:4．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥5．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过137．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±8．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-10．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 （）2018 ．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 18 种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为 8 ．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。
河北衡水中学2021届高三调研试题 数学 Word版含答案
绝密★启用前河北衡水中学2021届高三调研试题数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}，B＝{x|4x－4>0}，则A∩B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|x≥－2}C.{x|1<x≤6}D.{x|x≥－6}2.已知复数z＝1ii，则z＝A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i3.某年1月25日至2月12日某旅游景区A及其里面的特色景点a累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是A.1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B.2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9700人次C.2月6日至2月8日景区A 累计参观人次的增长率大于特色景点a 累计参观人次的增长率D.2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率4.“3sin 2α－sin αcos α－2＝0”是“tan α＝2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.函数()22sin x 1f x x -=的部分图象是6.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE ＝A.31AD AF 42+B.11AD AF 22+C.13AD AF 24+D.1AD AF 2+ 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为A.37B.47C.314D.11148.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为双曲线右支上一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为3 3 C.3123＋1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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17．(本题12分)如图，在 中，点 在 上， ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长.
18.（本题12分）．如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，且 ， ， ， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19（本题12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中 至少投入一元钱.现统计了连续 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
13．已知函数f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0且a≠1)，其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则 ________.
__.
16．已知函数 ，若有且只有两个整数 ， 使得 ，且 ，则a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（1）求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 与直线 交于点 ，点 ，求 的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）若函数 的最小值为3，求实数 的值；
（2）在ห้องสมุดไป่ตู้1）的条件下，若正数 满足 ，求证： .
数学答案
1．B
,选B.
2．D
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前 名,获一等奖学金 元.(2)综合考核21至50名,获二等奖学金 元.(3)综合考核 名以后的不获得奖学金.
(1)若 与 成线性相关,则某天售出 箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为 ,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和 的分布列及数学期望.
3．D
【详解】
对于A，根据命题与逆否命题之间的关系知，命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”，则A正确；
对于B， 时， 或 ，充分性不成立； 时， ，必要性成立，是必要不充分条件，则B正确；
对于C，根据特称命题 ，使得 ，它的否定命题是 ， ，则C正确；
对于D， 为真命题时， 与 至少有一个为真命题，但是 与 也可能都是假命题，则D错误.
A． B． C．4D．
11．已知点P是双曲线 下支上的一点， 、 分别是双曲线的上、下焦点，M是 的内心，且 ，则双曲线的离心率为（）
A．2B． C．3D．
12．若关于 的方程 有三个不等的实数解 ,且 ,其中 , 为自然对数的底数,则 的值为（）
A． B． C． D．
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．{0,1}C．{0,1,2}D．
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
A． B．
C． D．
6．已知函数 对于任意 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 图象的大致形状是（）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若函数 在区间 上有且只有两个零点，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
9．已知 中， 为 的外心，则 （ ）
10．过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于 两点，若 ，O为坐标原点，则 （）
附:回归方程 ,其中 , .
20（本题12分）．已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，点 关于原点 的对称点为 ，求 的面积 的最大值．
21（本题12分）．已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）证明当 时， ；
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（五）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
2．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 为（）
A．1B． C．2D．
3．以下有关命题的说法错误的是（）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
C．对于命题 ，使得 ，则 ，均有
D．若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题
5．如图，在 中，点 是边 的中点， ，则用向量 表示 为（）
（Ⅲ）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．