光电检测技术——棱镜式光谱仪原理

第十二章光谱检测原理及应用（光谱学与光谱分析）光谱仪器是光电仪器的重要组成部分。

它是用光学原理，对物质的结构和成份等进行测量、分析和处理的基本设备，具有分析精度高、测量范围大，速度快等优点。

它广泛应用于冶金、地质、石油、化工、医药卫生、环境保护等部门；也是军事侦察、宇宙探索、资源和水文探测等必不可少的遥感设备。

§12—1 棱镜式光谱仪原理一． 光谱棱镜的分光原理1． 棱镜色散公式1665年牛顿发现了光的色散现象，他令一束平行的白光通过一块玻璃棱镜，在棱镜后的屏幕上得到一条彩色光带。

这就是最原始的色散模型。

如图12－1所示是通光棱镜主截面的光路图。

它是一个顶角为α的等腰三角形棱镜。

光束的入射方向和出射方向的夹角θ为偏向角。

折射定律为 n 0Sini 1=n Sini 1'n 0Sini 2'= n Sini 2如果棱镜置于空气中，n 0≈1，则（1 Sini 1=n Sini 1'Sini 2'= n Sini 2 ----------(2)如图可见 α= i 1'+ i 2 ----------(3)θ=（i 1- i 1'）+（i 2'- i 2） = i 1+ i 2'-( i 1'+ i 2)= i 1+ i 2'-α ----------(4)将折射角与入射角的关系式（2）代入上式得αθ-+=)sin arcsin(21i n iαα-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)sin 1arcsin(sin arcsin 11i n n i ----------(5)由（5）式可见，对于α角已定的光谱棱镜，当入射角i 1不变时，偏向角θ是折射率n的函数。

又因为n 是波长λ的函数，所以θ随波长的不同而不同。

一束白光经棱镜后，各波图12－1（ 注：Hartman 哈特曼经验公式1)(00αλλ-+=c n nn 0 、c 和α1都是一些常数，玻璃不同，它们的数值不同。

）2. 最小偏向角条件)(1i θ 函数有一个最小值m in θ将⑷式对1i微分11'21+=di di di d θ 最小偏向角的必要条件是01=di d θ，则⑹ (11)'2-=di di将⑵式微分：⑺...................cos cos cos cos 22'2'2'1'111⎭⎬⎫⋅=⋅⋅=⋅di i n di i di i n di i 将上式相除得：'12'2'1211'2cos cos cos cos di di i i i i di di ⋅⋅⋅=将⑶式微分得'12di di -=并代入上式得⑻....................cos cos cos cos '2'1211'2i i i i di di ⋅⋅-=将此式代入⑹式得：1cos cos cos cos '2'121=⋅⋅i i i i将上式平方并利用⑵式得：22'122222'11sin 1sin .............................sin sin i i n i n i --=--⑼由⑼式可见，只有当'21i i =在 '21ii =时，有：12'22122diid di d =θ＞0在最小偏向角情况下，光路对称，内部光线平行于底边传播。

⑽.............................22'1'21⎭⎬⎫===αi i i i此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡===2sin arcsin ,2sin sin sin 010'101ααn n i n n i n n i 则i 1随n 而变，即随λ而变。

二、光谱棱镜的基本特性 1. 角色散率不同波长的单色光经过棱镜后有不同的偏向角θ，λθd d 称为棱镜角色散率。

将⑷式中1i和α作为常量（不变），然后对波长微分，得：)11....(..............................'2λλθd di d d = 下面求dndi '2: 由于())12......(....................sin cos cos sin )sin(sin sin '1'1'12'2i i n i n i n i ααα-=-==)13....(....................sin 1sin 1cos 212'12'1ni i i -=-=将（13）式代入（12）式11221212'2sin cos sin sin ]sin cos sin 1[sin sin i i n n i ni n i αααα--=--=上式两边对n 微分：'1212122'2'2cos sin sin 1sin sin 22sin cos i n i n n i n ndn di i ααα=-=-⋅=⋅图12－3则)14(..............................cos cos sin '2'1'2i i dn di ⋅=α角色散率)15.........(....................cos cos sin '2'1'2'2λαλλλθd dn i i d dn dn di d di d d ⋅⋅=⋅==λd dn 是棱镜材料的色散率，它表示介质的折射率随波长的变化程度。

当棱镜位于最小偏向角时：2'1α=i ，1'2i i =λαλαλαλαααλθd dn i n d dn i d dni d dn i d d ⋅-=⋅-=⋅=⋅⋅⋅='1221211sin 12sin2sin 12sin2cos 2sin2cos 2cos2cos2sin 2∴)16.......(.. (2)sin 12sin222λααλθd dn n d d ⋅-= 由（16）式可见：,,↑↑n α有利于↑λθd d一般α＝60°～70°2. 光谱棱镜的分辨率两条谱线波长的平均数与这两条刚好能分辨开的谱线之间的波长差之比，成为光谱棱镜的分辨率，即λλd R =设含有两个波长（其波长差为dλ）的一束平行光,以满足最小偏向角条件(i 2’=i 1)通过图12-4所示棱镜，由（16）式，经色散后，其角距离为：dni d ⋅=1cos 2sin2αθ由棱镜矩孔衍射所决定的最小分辨角为：1'2'0cos cos i l il Dd λλλθ===而2sin2αl t =，则10cos 2sin2i t d αλθ=要能分开两个波长的光束，根据瑞利判据0θθd d ≥11cos 2sin2cos 2sin2i t dn i αλα=⋅两边除以dλ得：λλλd t d dn ⋅=1图12－4分辨率：λλλd dn t d R ==要增大棱镜的分辨率，可以增大棱镜底边长度t ，选用介质色散率λd dn大的材料。

三、单色仪系统图1.只要保持三棱镜与平面镜的相对位置不变（Φ不变），则处于最小偏向角的光线的总偏向角(δ)也不变。

试证：图12-5所示总偏向角δ与夹角Φ的关系式为：δ=1800－2Φ 证明：∵ 2∠OKM 0=1800－θmin∴ ∠OKM 0=900－θmin /2 （1） 根据反射定律 ∠O M 0K= ∠D M 0K ’∴ ∠KM 0 D =1800－2∠O M 0K (2)而在⊿O M 0K 中， ∠O M 0K=1800－Φ－∠O K M 0 （3） （1） 代入（3）得∠O M 0K=1800－Φ－900＋θmin /2=900－Φ＋θmin /2 （4） （4）代入（2）得∠K M 0D=1800－2[900－Φ＋θmin /2]=2Φ－θmin （5）在⊿KM 0D 中δ=1800－θmin －∠K M 0D=1800－2Φ （6）由公式（6）可以看出，只要保持Φ不变则总偏向角δ也不变。

即：当入射光线的光轴的空间位置不变（对机架而言），出射光的光轴的空间位置也不变。

此种棱镜称为“瓦茨沃尔脱棱镜系统”，是一种恒偏向棱镜（δ不随波长而变），如图12－6所示，其中Φ=900，δ=1800－2Φ=00棱镜与平面反射镜一起绕o 点转动，就可以使不同波长的光线以最小偏向角位置通过系统射出。

o 为折射棱镜顶角的平分线与平面镜延长线的交点。

2． 把与平面反射镜固成一体（Φ不变）绕O 点转动ω，出射光位置不变（见第1条），而此时入射角i 1发生了变化，实现了对波长λ扫描。

说明：在最小偏向角条件下 i 1’=α/2 (α为棱镜顶角) 由折射定律 n 0sin i 1=nsin i 1’ (n 0=1)∴ i 1=arcsin(nsin2α) i 1(n)是n 的函数也是λ的函数，对i 1扫描就是对λ扫描。

习题1：重火石玻璃棱镜，α=600，哈特曼经验公式为00λλλ-+=Cn n 测得λ0=203.457nm,C=14.62336,n 0=1.61738,求：λ=404.68nm 时的λd dn及角色散率。

习题2：棱镜的折射率n=1.69, 问：棱镜的顶角α有何限制？习题3：图12－6中，由准直反射镜入射到平面镜的光线与平面镜的法线成600角，采用重火石玻璃棱镜，顶角α=600，哈特曼经验公式如习题1所示。

求：出射光波长。