山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)理科数学试题 (含答案)
C．{x − 2 < x ≤ 3}
D．{x − 3 < x ≤ 3}
2．设复数 z 满足 z ⋅ (2 + i) = 5 ，则 z − i =（ ）
A． 2 2
B． 2
C．2
D．4
3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平
行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之
在，请说明理由．
5
19．（本小题满分 12 分） 新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相
关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验 n 次．二是混合 检验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 k 份血液全为阴性，因而检 验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪些为共为 k+1 次．某定点医院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案 一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样 本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 P = 2 2 ．
2
7
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D B D C A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. x2 y2 1 4 12
14． 1 2
（Ⅱ）已知直线 l : y = kx 与曲线 C2 交于 A，B 两点，若 OA = 4 AB ，求 k 的值
23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 f (x) = 2x − a , g(x) = x −1 . （I）若f(x ) + 2g(x )的最小值为 1，求实数 a 的值； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）<1 的解集包含[ 1 ,1] ，求实数 a 的取值范围.
..................9 分
∴
sin
A
sin(B
C)
sin
2π 3
C
32 7 1 2 72
21 7
21 . 14
18. （本小题满分 12 分）
..................12 分
解(Ⅰ)∵ AE 平面 BCE ， BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ，
∴ AE BE, AE BC ，
D． (−∞,−2) (0,2)
3
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x2 13.已知双曲线 a2
3 （I）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的焦点为 F1（-1，0）和 F2（1，0），过 F2的直线交 E 于 A，B 两点，过 A 作与 y 轴垂直
C. a = 5
C.42
D. a = 6
D.21
2
8．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的 三视图，则其外接球的体积为（ ）
A. 3π
B. 3π
3π
C.
2
D. 4 3π
x + y −6 ≤ 0
9．已知变量
x，y
满足约束条件
x x
− ≥
3y 1
E
x
易知平面 ABF 的一个法向量为 m (1, 0, 0) ，................................9 分
设平面 BEF 的一个法向量为 n (x, y, z) ，而 BE ( 3 , 3 , 0), BF (0, 2, h) ， 22
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（理科）
（考试时间：下午 3：00——5：00） 注意事项：
1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 4 页，第Ⅱ卷 5 至 8 页。 2．回答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
+
2
≤
0
，若目标函数
z=ax+by（a>0，b>0）的最小值为
2，则
1 a
+
3 b
的最小值为（ ）
A． 2 + 3
B． 5 + 2 6
C． 8 + 15
D． 2 3
10．已知椭圆
C：x a
2 2
+
y2 b2
= 1(a
>
0, b
> 0) 的右焦点为
F，过点
F
作圆 x2
+
y2
= b2 的切线，若两条切线互
已知△ABC 外接圆的半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 2R（sin2B-sin2A）=（a +c） sinC．
（I）求角 B； （Ⅱ）若 b= 7 ，c=2，求 sinA 的值．
18．（本小题满分 12 分） 如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE⊥平面 BCE，且 AE=1． （I）求证：平面 ABCD⊥平面 ABE； （Ⅱ）线段 AD 上是否存在一点 F，使二而角 A-BF-E 等于 45°？若存在，请找出点 F 的位置；若不存
相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
1
2
2
6
A.
B.
C.
D.
2
2
3
3
1l．设 AB = 10 ，若平面内点 P 满足对任意的 λ ∈ R ，都有 2 AP − λ AB ≥ 8 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. PA ≥ 5
B. PA + PB ≥ 10
C. PA⋅ PB ≥ −9
D. ∠APB ≤ 90
15． 3 3
三、解答题（共 70 分）
（一）必考题 17. （本小题满分 12 分）
解(Ⅰ) 2R(sin2 B sin2 A) (a c)sin C ，
16． 835
10 11 12 DCD
∴ 2R 2R(sin2 B sin2 A) 2R(a c)sin C ，
即 b2 a2 c2 ac ，
−
y2 b2
= 1(a
> 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y =
3x ，若其右顶点到这条渐近线的距离为
3 ，则双曲线方程为
.
14．已知函数 f (x) = sin(ωx − π )(ω > 0) 在 (0, 4π ) 单调递增，在 ( 4π ，2π ) 单调递减，则ω =
.
6
3
3
15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD⊥平面 ABEF，活动弹子 M，N 分别
（1）判断函数 f（x）在区间（0．一）上零点的个数； （Ⅱ）设函数 g（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为 x1，x2，x3，x4，…，xn． 证明：（1）g（x1）+g（x2）<0；
（2）对一切 n∈N*，g（x1）+g（x2）+g（x3）+…+g（xn）<0 成立．
6
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作
在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是
.
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行
和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）=11，则 a（41，18）=
.
4
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题；共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
的直线交直线 x=3 于点 C．设 AF2 = λF2B ，已知当 λ = 2 时，|AB|=|BF1|．
（I）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）求证：无论 λ 如何变化，直线 BC 过定点．
2L．（本小题满分 12 分）
已知函数= f (x) x sin x + cos x ， g(x) = cos x ． x
式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板
拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
5
A.
16
11
B.
32
7
C.
16
1
13
D.
32
4．已知等比数列{ an }中， a1 >0，则“ a1 < a4 ”是“ a3 < a5 ”的（ ）
山西省太原市2020届高三数学模拟试题(一)理(含解析)
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查复数的除法运算.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B:或者，所以选项B是假命题；选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
山西省太原市2020年高三一模理科数学试题文字版带解析
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围为()A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]2.已知复数z的共轭复数z=1+2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．()A. 正确B. 错误3.若6<a<10，a2≤b≤2a，c=a+b，则c的取值范围是()A. 9≤c≤18B. 15<c<30C. 9≤c≤30D. 9<c<304.已知α∈(π4,3π4)，sin2α=−2425，则tanα等于()A. 43B. −34或−43C. −43D. 34或−435.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于()A. 2B. 3C. 4D. 56.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 13B. −13C. 19D. −197.设向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(x,4)，则“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派3位专家对2个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 129.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx10.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(14)=1，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 211.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△ABO的面积为()A. 5B. 52C. 32D. 17812.点M在曲线G：y=3ln x上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x 交于点N，若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={2x(x<−1),3x−2(x≥−1),则f(f(−2))=_______．14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S，且(b+c)2−a2=4√3S，则角A=______．15.设F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|，则双曲线的离心率为______．16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F//平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α．①∃F，使得B1F⊥CD1②直线B1F与直线BC所成角的正切值的取值范围是[√24,1 2 ]③α与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD−A1B1C1D1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是_______.(写出所有正确的命题序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，数列{b n}满足b1=1，(1+log2a n)b n+1=n(b n+2)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．18.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：表(1)并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示：成功完成时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40]人数101055表(2)(Ⅰ)将表(1)补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？(Ⅱ)现从表(2)中成功完成时间在[0,10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．，其中n=a+b+c+d．附参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为1的菱形，∠A1B1B=60°，E为A1C1的中点，AC1=B1C1=1，A1C1=BC1，A1B∩AB1=O．(1)证明：平面AB1C1⊥平面AA1B1B；(2)求二面角A−OE−C的余弦值．20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．21.已知函数f(x)=14x2−4x+ln(x+14)，判断函数f(x)的单调性并求其极值．22.已知过点P(x0,0)的直线l的倾斜角为π，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极6轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ．(1)求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的一个参数方程；(2)若直线l和曲线C交于A、B两点，且|PA|⋅|PB|=2，求实数x0的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|(1)解不等式f(x)≤x+2;(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在互x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}={x∈R|−1≤x≤4}=[−1,4]；B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则A⊆B；∴实数a的取值范围是[4,+∞)．故选：B．解不等式求得集合A，根据A∪B=B知A⊆B，从而求得a的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题主要考查复数的代数表示以及几何意义，属于基础题．求出复数z的对应点的坐标，即可得到选项．解：因为复数z=1+2i，所以z=1−2i对应的点的坐标为(1,−2)，z在复平面内对应的点位于第四象限，故错误．故选B．3.答案：D解析：a2≤b≤2a，则a2+a≤b+a=c≤2a+a，即3a2≤c≤3a，又6<a<10，则{c>9c<30，故选D．4.答案：C解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由条件得sinαcosα=−1225，利用sin 2α+cos 2α=1，即可得结果．解：因为sin2α=−2425，所以sinαcosα=−1225， 即sinαcosαsin 2α+cos 2α=−1225，所以有tanαtan 2α+1=−1225， 解得tanα=−34或−43． 又α∈(π4,3π4)，所以|tanα|>1，故tanα=−43． 故选C ．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得 a =4，b =2，n =1， a =6，b =4，不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =2，a =9，b =8 不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =3，a =13.5，b =16 满足循环的条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为3． 故选：B ．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到。
2020届山西省太原市普通高中高三下学期三模考试数学(理)试题及解析
【解析】
根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设|PF2|=m，则|PF1|=2m，显然点P在双曲线的右支上，
因此有 ，因此 ，
而 ，∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可知；
，
即 ，化简得：
故答案为：
16.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α.
【答案】A
【解析】
由偶函数的性质将 化为： ，再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.
【详解】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以 ，
则 为 ，
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log2a|≤1，解得 a≤2，
则a的取值范围是[ ，2]，
故选：A.
当F为线段MN的中点时，可证明①；
②利用平移的思想，将直线B1F与直线BC所成角转化为B1F与B1C1所成的角，由于B1C1⊥平面MNC1，所以tan∠FB1C1即为所求，进而求解即可；
③平面MNB1与平面CDD1C1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan∠B1QC1即可；
④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断.
（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.
【详解】解：（1）根据题意填写2x2列联表，
计算K2 6.272＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
山西省太原市20xx届高三数学模拟试题(一)理(含解析).doc
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
2020年山西省高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年山西省高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2≤4}，且B={x|0≤x−1≤1}.则集合∁A B=()A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2≤x≤1}C. {x|x<1}D. {x|x≤1}2.cos(−20π3)=()A. 12B. √32C. −12D. −√323.如果复数(1+i)(2−ai)(a∈R)为纯虚数，则a=()A. 2B. 1C. 0D. −24.函数y=xcosx+sinx的图像大致为()A.B.C.D.5.sin225°+cos225°−6sin75°cos75°=()A. −12B. 0 C. 12D. 526.如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为()A. 43√3 B. 4 C. 4√3 D. 8√37.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1−15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为()A. 1910B. 3910C. 3455D. 44558.设双曲线的渐近线方程是y=±3x，则其离心率是()A. √10或√103B. √10 C. √5 D. √5或√529.已知log2m=3.5，log2n=0.5，则()A. m+n=4B. m−n=3C. mn=7 D. m⋅n=1610.在△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则ACcosA的值等于()A. 2B. 52C. 3 D. 7211.菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D−ABC体积最大时，其外接球表面积为()A. √153π B. 2√153π C. 209π D. 203π12.函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(−π4,π4)内有最大值无最小值，则ω的取值范围是()A. (43,83] B. (43,83) C. (43,163] D. (43,163)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2−k,4)，b⃗ =(2,k−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|b⃗ |=______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−2⩾0,x−2y+4⩾0,2x−y−1⩽0,则z=3x+2y的最小值为________．15.已知，则________．16.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e−x−1−x，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且(a n+1)2=4S n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n4n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC,A′A,AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.求函数y=4在x=2处的导数．x220.已知动点P到点A(−2,0)与点B(2,0)的斜率之积为−1，点P的轨迹为曲线C．4(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D.求证：A、D、N三点共线．21. 已知函数f(x)=a(1x −1)+lnx ，a 为常数．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+rcosαy =rsinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π6)=3，且曲线C 1,C 2恰有一个公共点(1) 求曲线C 1的极坐标方程(2) 已知曲线C 1上两点A,B 满足∠AOB =π4，求ΔAOB 面积的最大值23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|，M 为不等式f(x)≤4的解集．(1)求集合M ．(2)当a ，b ∈M 时，求证2|a −b|≤√16−7a 2b 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，B={x|0≤x−1≤1}={x|1≤x≤2}则∁A B={x|−2≤x<1}，故选A．2.答案：C解析：解：cos(−20π3)=cos(−6π−2π3)=cos2π3=−12，故选C．利用诱导公式可得cos(−20π3)=cos(−6π−2π3)=cos2π3，从而得到结果．本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为cos(−6π−2π3)，是解题的关键．3.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的四则运算，属于基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：(1+i)(2−ai)=2+a+(2−a)i，因为(1+i)(2−ai)为纯虚数，所以2+a=0，解得a=−2．故选D．4.答案：D解析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用特殊值排除A和C，则答案可求．本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，属于基础题．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=π2时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．5.答案：A解析：【分析】本题考查同角三角函数的关系及倍角公式，属于基础题．【解答】解：．故选A．6.答案：C解析：【分析】本题考查三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：底面为边长为2的正三角形，高为4的三棱柱，故：V=12⋅2⋅2⋅√32⋅4=4√3，故选C．解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、组合等基础知识，考查计算能力，是基础题．从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n=C153，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【解答】解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n=C153，其中能组成勾股数的为：(3,4，5)，(6,8，10)，(9,12，15)，(5,12，13)，共4组，∴这三个数为勾股数的概率为：p=4C153=4455．故选：D．8.答案：A解析：解：当焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3x，可得ba=3，则该双曲线的离心率为e=√a2+b2a =√a2+9a2a=√10，当焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3x，可得ba =13，则该双曲线的离心率为e=√a2+b2a =√a2+19a2a=√103，故选：A．由题意可得可得ba=4，再由曲线的离心率的公式运算求得结果．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题．9.答案：D解析：解：∵log2m=3.5，log2n=0.5，∴log2m+log2n=4，∴log2mn=4=log216，∴mn=16，故选：D根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．解析：解：∵BC =1，∠B =2∠A ，∴由正弦定理BCsinA =ACsinB 得：1sinA =ACsin2A =AC2sinAcosA ， 则ACcosA =2． 故选A由正弦定理列出关系式，将BC 的长及∠B =2∠A 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出所求式子的值．此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11.答案：D解析： 【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式得答案． 本题考查多面体外接球的表面积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 【解答】 解：如图，当平面ABC ⊥底面ACD 时，三棱锥D −ABC 体积最大． 分别设等边三角形ACD 与等边三角形ABC 的外心为E ，F ， 分别过E ，F 作平面ACD 与平面ABC 的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，连接OD ， 则OD =√DE 2+OE 2=(2√33)(√33)=√153．∴三棱锥D −ABC 外接球的表面积S =4π×(√153)2=20π3．故选D ．12.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，正弦函数的图象与性质，属于基础题． 根据已知及函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，求出实数ω的取值范围． 【解答】解：∵f(x)=2sin(ωx +π6)， 令：ωx +π6 =t ， 所以：f(x)=2sint ，，f(x)在区间(−π4,π4)内有最大值无最小值，则{−π2≤−πω4+π6<π2π2<πω4+π6≤3π2,解得： {−43<ω≤8343<ω≤163, 即ω∈(43,83], 故选A ．13.答案：√5解析：解：∵a ⃗ ⊥b⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2(2−k)+4(k −3)=0，解得k =4． ∴b ⃗ =(2,1)，∴|b ⃗ |=√22+12=√5． 故答案为√5．本题考查向量垂直与坐标运算，利用a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a ⃗ ⋅b ⃗ =0即可得出k 的值，即可求b ⃗ 的模．14.答案：4解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由图像可知当直线y=−32x+z2过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小，计算得点A坐标为(0,2)，此时z=3×0+2×2=4，即z的最小值为4．故答案为4．15.答案：725解析：【分析】本题主要考查了二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题；【解答】解：因为，所以；故答案为725．16.答案：2x−y=0解析：首先求出x>0时函数的解析式，在由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程.设x>0，则−x<0，f(−x)=e x−1+x∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x),∴f(x)=e−x−1−x．∵当x>0时f′(x)=e x−1+1∴f′(1)=e1−1+1=1+1=2∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y−2=2(x−1)，即2x−y=0．17.答案：解：(1)∵(a n+1)2=4S n，∴n≥2时，4a n=4(S n−S n−1)=(a n+1)2−(a n−1+1)2，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵a n+a n−1>0，∴a n−a n−1=2，n=1时，(a1+1)2=4a1，解得a1=1，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2(n−1)=2n−1．(2)b n=a n4n =2n−14n，∴数列{b n}的前n项和T n=14+342+543+⋯…+2n−14n，∴14T n=142+343+⋯…+2n−34n+2n−14n+1，两式相减可得3 4T n=14+2(142+143+⋯…+14n)−2n−14n+1=1+2×116[1−(14)n−1]1−14−2n−1n+1=14+16−16×4n−1−2n−14n+1=512−6n+512×4n，解得T n=59−6n+59×4n．解析：本题考查了数列递推关系，等差数列的通项公式与求和公式，以及利用错位相减法求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)已知(a n+1)2=4S n，n≥2时，4a n=4(S n−S n−1)，化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，由a n+a n−1>0，可得a n−a n−1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出；(2)b n=a n4n =2n−14n，利用错位相减法即可得出．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC，BB′⊂平面B′C′CB，∴平面B′C′CB⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又平面B′C′CB⊥平面ABC，平面B′C′CB∩平面ABC=BC，∴AD⊥平面B′C′CB，∵AD⊂平面AB′D，∴平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF．∵D、E、F、M分别为棱BC，A′A，AC，AB′的中点，∴DF//AB,DF=12AB,EM//A′B′,EM=12A′B′，∵AB//A′B′，AB=A′B′，∴DF//EM，且DF=EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解∵Δy=4(Δx+2)2−422=4(Δx+2)2−1=−(Δx)2+4Δx(Δx+2)2．解析：本题考查的是导数的运算，属于基础题．20.答案：解：(I)设P 点坐标(x,y)，则k AP =y x+2(x ≠−2)，k BP =yx−2(x ≠2)，由已知yx+2⋅yx−2=−14，化简得：x 24+y 2=1．所求曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2)．(II)由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0， 设方程为y =k(x +2)，由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)，消去y 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0…(1)． 因为−2，x Q 是方程(1)的两个根， 所以−2×x Q =16k 2−41+4k 2，得x Q =2−8k 21+4k 2， 又y Q =k(x Q +2)=k(2−8k 21+4k 2+2)=4k1+4k 2，所以Q(2−8k 21+4k 2,4k1+4k 2)． 当x =4，得y M =6k ，即M(4,6k)．又直线BQ 的斜率为−14k ，方程为y =−14k (x −2)，当x =4时，得y N =−12k ，即N(4,−12k )． 直线BM 的斜率为3k ，方程为y =3k(x −2)．由{x 2+4y 2=4y =3k(x −2)，消去y 得：(1+36k 2)x 2−144k 2x +144k 2−4=0…(2)． 因为2，x D 是方程(2)的两个根，所以2⋅x D =144k 2−41+36k 2，得x D =72k 2−21+36k2，又y D =3k(x D −2)=−12k1+36k 2，即D(72k 2−21+36k 2,−12k 1+36k 2)．由上述计算：A(−2,0)，D(72k 2−21+36k ,−12k1+36k )，N(4,−12k )． 因为k AD =−112k ，k AN =−112k ，所以k AD =k AN ． 所以A 、D 、N 三点共线．解析：(I)设P 点坐标(x,y)，利用斜率计算公式即可得到yx+2⋅yx−2=−14，化简即可得到曲线C 的方程；(II)由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0，设方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到D ，N 的坐标，证明k AD =k AN .即可得到A 、D 、N 三点共线．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、利用斜率线段证明三点共线等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.答案：解：(1)由题意x>0，f′(x)=1x −ax2=x−ax2，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a>0时，在区间(0,a)上f′(x)<0，区间(a,+∞)上f′(x)>0，故当a>0时，在区间(0,a)上函数单调递减，区间(a,+∞)上函f(x)单调递增．(2)由(1)可知当a≤0时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，又f(1a)=−lna+a(a−1)<0，与题设矛盾，当a>0时，在区间(0,a)上函数f(x)单调递减，区间(a,+∞)上函数f(x)单调递增，所以函数f(x)≥f(a)=1−a+lna≥0即可，设g(x)=1−x+lnx，x>0，在区间(0,1)上g′(x)>0，区间(1,+∞)上g′(x)<0，故在区间(0,1)上函数g(x)单调递增，区间(1,+∞)上函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=0，综上，当a=1时，f(a)=1−a+lna≥0，所以a=1时，f(x)≥0恒成立．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数符号即可求解；(2)结合(1)中函数的单调性可转化为f(x)min≥0，即可求解．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：(1)曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=3，可得C2的直角坐标方程为：x+√3y−6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为(2,0)，半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|=|2−6|2=2，圆C1的普通方程为x2+y2−4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ；(2)由题意可设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π4)，(ρ1>0,ρ2>0)，S△AOB=12|OA||OB|sinπ4=√24ρ1ρ2=4√2cosθcos(θ+π4)=4(cos2θ−sinθcosθ)=4(1+cos2θ2−sin2θ2)=2+2√2cos(2θ+π4)，所以△AOB面积的最大值为2+2√2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.答案：解：(1)∵f(x)={−2x,x≤−1 2,−1<x<1 2x,x≥1，∵f(x)≤4，∴x∈(−1,1)恒成立，当x≤−1时，−2x≤4得x≥−2，∴−2≤x≤−1，当x≥1时，2x≤4，得x≤2，∴1≤x≤2，综上所述M={x|−2≤x≤2}；(2)证明：由(1)知：−2≤a≤2，−2≤b≤2，要证2|a−b|≤2b2，只需4(a2−2ab+b2)≤16−7a2b2，只需4a2+4b2−a2b2−16≤0，只需(a2−4)(4−b2)≤0(∗)，∵0≤a2≤4，0≤b2≤4，∴(∗)恒成立，则原不等式得证．解析：(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)两边平方，问题转化为证明4a2+4b2−a2b2−16≤0即可，根据a，b的范围证出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。
山西省太原市2020届高三理科数学一模试卷(解析版)
．
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了
数表的奇数行和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）
＝11，则 a（41，18）＝
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C5．函数 ሺᖈݔ
若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设|AB|＝10，若平面上点 P 满足对任意的λ∈R，恒有
λ
，则一定正确的是
3
（）
A．
B． 諨
C．
D．∠APB≤90°
12．设函数 f'（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，当 x＞0 时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），
山西省太原市 2020 届高三理科数学一模试卷（解析版）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y 諨 ᖈ ᖈ }，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣2≤x＜3} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤3}
山西省太原2020年高三年级模拟试题(一)理科数学(含答案)
山西太原市2020年高三模拟试题（一）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=a D.6=a 7.73)13(x x +展开式中的常数项是（ ）A.189B.63C.42D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（ ）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R （sin 2B-sin 2A ）=（a +c ）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =． （I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
太原市2020年高三年级模拟试题(一)数学(理)
.......................................................3 分
∴ cos B a2 c2 b2 1 ，
2ac
2
........................................................5 分
0 B π ， B 2π . 3
(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系 A xyz ， ∵ AE 1, AB 2, AE BE ,
z
D
C
F
BE 3 ， B(0, 2, 0), E( 3 , 1 , 0) , ................................8 分 22
A
B y
假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 F(0, 0, h) ， (h 0) ，
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D B D C A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. x2 y2 1 4 12
14． 1 2
g(x1) g(x2 ) g(x3) g(x4) g(x2k1) g(x2k ) g(x2k1) 0 ，结论也成立.
综上，对一切 n N ，g x1 g x2 g x3 g xn 0 成立. .........................12 分
（二）选考题 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分）
......................................................................6 分