概率统计 6-2.1

则
(
分布的性质
ch6-48
)
(
)
X1＋X2～χ2 (n ＋n2 ) 1
3o n →∞时， 2 (n) →正态分布 χ
4o χ 2 ( n) 分 的 α 分 数 表 0.1 布 上 位 有 可 查
0.08
(定义6.4)
n = 10
+∞
0.06 0.04 0.02
2 P( X ≥ χα ) = ∫ 2 f (x)dx = α χα
8
10
ch6-47
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5 n = 10 n = 15
0.1
5
10
15
20
25
当n充分大时，图像接近正态分布
χ 2 (n)
1o E χ 2 (n) = n, D χ 2 (n) = 2n
2o 若X1 = χ2 (n1), X2 = χ2 (n2 ), X1, X2 相互独立
y 1 −1 − 2 y 2e , y > 0 2π f ( y) = y ≤0 0,
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 6 8 10
χ2分布,记为 Y ~ χ22 (14 ) 称Y 服从自由度为1的
定义6 定义6.1 设 X1, X 2 ,L, X n 相互独立,且 X i ~ N (0,1),则α=0.05例如
2 P( χ（ ） 18.307) = 0.05 10 >
2 χ0.05(10) =18.307
5
10
15
χ2
•
0.05(10)
20
证
°设 χ 2 (n) = 1
Xi2 ∑
i=1
n
Xi ~ N(0,1) i =1,2,L, n
X1, X2 ,L, Xn
相互独立,
2 i
则 E( Xi ) = 0, D( Xi ) = 1, E( X ) = 1 n 2 2 E(χ (n)) = E∑Xi = n i=1 2 1 ∞ 4 − x2 4 E( Xi ) = ∫−∞x e dx = 3 2π
n = 10
α
-t• α
0.2 0.15 0.1 0.05
⇒t0.05 (10) =1.8125
α
t• α
P(T < t0.05 (10)) = 0.05,
即 (T > t0.95 (10)) = 0.95 P
⇒t0.95 (10) = −1.8125
ch6-52
α P(T > tα/2 ) = 2
D( X ) = E( X ) − E ( X ) = 2
2 D χ (n) = D∑Xi = 2n i=1 P170 例 6.5,
n 2
(
2 i
)
4 i
2
2 i
(2) t 分布 (Student 分布) ) 定义6 定义6.3 设 X ~ N(0,1), Y ~ χ (n) X ,Y相互独立, T =
P175 例 6.7,
ch6-54
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
1 2 3 4 5 6
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
1 2 3 4 5 6
F 分布的性质
o 1 若 ~ F(n, m) , 则 1/ F ~ F(m, n) F
ch6-55
2o F(n, m) 的 α 分 数 α (n, m) 有 可 : 上 位 F 表 查 P(F > F (n, m)) =α α
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3
且
1 F−α (n, m) = 1 Fα (m, n)
1 F1−α (n, m) = Fα (m, n)
ch6-56
1 1 P(F ≥ F−α (n, m)) = P ≤ F F (n, m) 1 1−α
1 1 1 =α 由于 ~ F(m, n) 故 P ≥ F F (n, m) F 1−α 1 因而 = F (m, n) α F−α (n, m) 1
n
X1, X2 ,L Xn 同分布 Xi ~ N(µ,σ 2 ) , 1 n σ2 X = ∑Xi ~ N µ , n i=1 n
三大抽样分布
χ 2 (n) 分布（读作：“卡” 平方分布） 分布（读作： 平方分布） (1)
X服从标准正态分布N (0,1),则 Y=X2 的密度函数为
1 −t2 n →∞, fn (t) →ϕ(t) = e 2π
-3
2
n=20
-2
-1
1
2
3
2°T 分布的 上α 分位数 tα 与 双测 α 分位数 tα/2 均 有表可查.
P( T > tα ) = α
P( T ≤ ?) = α
0.35 0.3 0.25
P(T > tα (10)) = 0.05
−tα = t1−α
(3) F 分布
2 2 定义 设 X ~ χ (n), Y ~ χ (m), X, Y 相互独立，
ch6-53
令 F =
X /n Y /m
则称 F 服从第一自由度 第一自由度为n ,第二自由度 m 的F 分布 记为 第二自由度为 分布. 第一自由度 其密度函数为
F F(n, m)
n + m n+m n Γ − 2 n 2 n −1 n 2 t >0 t 2 1+ t n m m f (t, n, m) = Γ m Γ 2 2 0, t ≤0
1 1 =1−α =1− P ≥ F F (n, m) 1−α
ch6-57
作业 P180 –习题六 9 13 14
Y = ∑Xi2 ~ χ2 (n) ( n为自由度 )
n
χ 2 (n) 的密度函数为 一般自由度为 n 的
y +∞ x− −t 1 − 2 n −1 2 e x , y > 0 其中，Γ (x) = ∫0 t 1e dt n n 22 Γ( 2 ) f ( y) = 称为Γ 函数，在x > 0时收敛，具有性质 1 Γ(1/ 2) = π 0, y ≤ 0
2
X Y n
则称 T 服从自由度为 n 的T 分布.
n +1 n+1 − Γ 2 2 t 2 其密度函数为 f (t) = 1+ n n nπΓ 2
0.4 0.3 0.2 0.1
记为 T ~ t(n)
−∞< t < ∞
n= 1
t 分布的图形(红色的是标准正态分布) t 分布的性质 1°f n(t)是偶函数,
i= 1
当n = 2 时,其密度函数为
1 − 2y 2e , f ( y) = 0,
2 3
0.4 0.3
y >0 y ≤0
4 Γ(n +1) = n! (n∈ N)
Γ(2) = Γ(1 =1 ) , Γ(x +1 = xΓ(x), )
0.2 0.1
为参数为1/2的指数分布.
2
4
6
0.35 0.3 0.25 0.2
P( T > tα /2 ) = α
若
α/2
•
α/2
0.15 0.1 0.05
α/2
• t
α/2
-t T ~ t(8) P(T > ?) = 0.025 ⇒t0.025 (8) = 2.306
P( T > ?) = 0.05
⇒t0.025 (8) = 2.306
P172 例 6.6,
确定统计量的分布 是数理统计的基本问题之一 正态总体是最常见的总体, 正态总体是最常见的总体 本节介绍的几个抽样分 布均与正态总体有关. 布均与正态总体有关
2 正态分布 若 X1, X2 ,L, Xn ~ N(µi ,σi )
则 特别地,若 则
∑
n n 2 2 ai Xi ~ N ∑ai µi , ∑ai σi i=1 i=1 i=1
F .01( , 4) = ? 14.2 15 0 F .95 (5 4) = ? , 0
α
•
, 例如 求 F .1(8 5) = ? 3.34 0
4
5
6
Fα(n,m)
F (4, 5) = 5.19 0.05
故
1 1 F (5,4) = = 0.95 F0.05 (4,5) 5.19
例1 证明 证