高考数学压轴专题专题备战高考《复数》难题汇编附答案

的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式.
8．复数 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，再利用共轭复
数的概念求出复数 【详解】
的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .
等于（ ）
A． 3
【答案】B
B． 4
C． 5
D． 9
【解析】
【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数 z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模
的几何意义得到 M , m ，从而可得 M m 的值.
【详解】
因为 z 3 4i 2，
故复数 z 在复平面上对应的点 P 到 z1 3 4i 对应的点 A 的距离小于或等于 2，
12．复数 1 的共轭复数是 （ ） 1 i
A． 1 1 i 22
B． 1 1 i 22
【答案】A
【解析】
【分析】
C．1 i
D．1 i
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 1 ，进而可得 1 i
结果. 【详解】
1
因为
1
i
1i
1 i1 i
1 2
1 2
i
，
所以 1 的共轭复数是 1 1 i ，
1 i
22
故选：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
13．若复数 z 满足 z(1 2i) 10 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( )
所以 P 在以 C 3, 4 为圆心，半径为 2 的圆面内或圆上，
又 z 1 i 表示 P 到复数 z2 1 i 对应的点 B 的距离，
故该距离的最大值为 AB 2 3 12 4 12 2 41 2 ，
最小值为 AB 2 41 2 ，故 M m 4 .
故选：B. 【点睛】
本题考查复数中 z1 z2 的几何意义，该几何意义为复平面上 z1, z2 对应的两点之间的距
a，b
的方程组
1
b
c
0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项
2 2 2b 0
【详解】
由题意 1 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c＝0
∴1+2 2 i﹣2+b 2 bi+c＝0，即 1 b c 2 2 2b i 0
∴
1
b
c
0
，解得 b＝﹣2，c＝3
2 2 2b 0
1 i
， zz
1 i1 i
2,
3i zz 1
i ，故选
B.
3．已知复数 z i(2 i) ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模 z = ( )
A． 3
【答案】B 【解析】
B． 5
C．3
z i(2 i) i 2 i 22 (1)2 5 ，故选 B．
D．5
4．若 z C 且 z 3 4i 2，则 z 1 i 的最大和最小值分别为 M , m ，则 M m 的值
9．已知 m 为实数， i 为虚数单位，若 m m2 4 i 0 ，则 m 2i （ ） 2 2i
A． i
B．1
C． - i
D． 1
【答案】A
【解析】
m0
因为
m
(m2
4)i
0
，所以
m
(m2
4)i
是实数，且
{ m
2
4
0
m
2
，故
m 2i 2(1 i) i ，应选答案 A． 2 2i 2(1 i)
16．已知两非零复数 z1, z2 ，若 z1z2 R ，则一定成立的是
A． z1z2 R
【答案】D
B．
z1 z2
R
C． z1 z2 R
D．
z1 z2
R
【解析】
利用排除法：
当 z1 1 i, z2 1 i 时， z1z2 R ，而 z1z2 1 i2 2i R ，选项 A 错误，
运用复数的除法运算法则,先计算出 z 的表达式,然后再计算出 z .
【详解】
由题意复数 z 1 i 得 1 i = (1 i)2
1 2i i2
i ,所以
z
=1 .
1 i 1 i (1 i)(1 i)
2
故选 A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为 x, y ，
x a
y
b
2a
t
，即 y
2x
t
，
因为 z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当 x 0 时，1 t 1 且1t 0 ，
解得 t 0 且 t 1 ，
即 t 的取值范围是 0,1 1, .
故选：C 【点睛】 本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能 力，属于基础题型.
故选：D．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得
到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
7．已知 i 是虚数单位，则 1 3i （ ） 1 i
A． 2 i
【答案】B
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可.
实掌握其运算技巧和常规思路，如 (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i, (a, b, c.d R) .
其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a bi(a,b R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a2 b2 、对应点为 (a, b) 、共轭为 a bi.
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．
【详解】
）
D． i
复数
z
1 2i 2i
1 2i2 i 2i2i
5i 5
i
，所以复数
z
的虚部为
1，故选
C．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复
数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．设复数 z a bi （i 为虚数单位， a,b R ），若 a, b 满足关系式 b 2a t ，且 z 在
复平面上的轨迹经过三个象限，则 t 的取值范围是( )
A．[0,1]
B．[1,1]
C． (0,1) (1, ) D． (1, )
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到 z 的轨迹方程 y 2x t ，再根据指数函数的图象，得到关于
离，注意 z1 z2 也有明确的几何意义（可把 z1 z2 化成 z1 z2 ），本题属于中档题.
5．已知复数 z1 2 3i, z2 a bi （ a,b R,且b 0 ），其中 i 为虚数单位，若 z1z2 为
实数，则 a 的值为（ ） b
A． 3 2
【答案】B
B． 2 3
6．若1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（ ）
A． b 2,c 3
B． b 2,c 1
C． b 2,c 1
D． b 2,c 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程 x2+bx+c＝0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
故选：A. 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法 则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14．已知复数 z 1 2i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ 2i
A．－1
B．0
C．1
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
若复数
z
x2
x
x
1i
x
R
在复平面内对应的点在第一象限，则
x2
x
0
,
x 1 0
解得 x 1，故“ x 1”是“复数 z x2 x x 1i x R 在复平面内对应的点在第一象
限”的充要条件. 故选 C. 【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
解：复数 x 2i (i 是虚数单位）， 1i
而
C1 2020
x1
C2 2020
x2
C3 2020
x3
C 2020 2020
x2020
(1
x)2020
1，
而1 x 1 i 2i 1 i (1 i)2 i ， 1 i 1 i (1 i)(1 i)
故
C1 2020
x1
C2 2020
C． 2 3
D． 3 2
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求 a,b 比值.
【详解】
因为 z1z2 2 3i(a bi ) 2a 3b (3a 2b ) i ，
所以 3a 2b 0，
因为 b 0 ，所以 a 2 ，选 B. b3