数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法2009

一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。

)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。

)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2可加性 ()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x i E X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n n i i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~();i X N Y n X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质 T 分布具有对称性，1()(); 45t n t n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

解：()()()2221212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N σσσ⇒+-()()()()2222~0, 1~0, 1~1; ~1N N χχ⇒()()()()()22122212241220121~1, 124arctan 2.X X F X X X X P X X π+⇒==-⎡⎤+⇒<==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰①上分位点 α定义为()t n 分布的分位数② 性 质n● 证明结论 ()()2~1, t n F n ~(0,1)U N 2~()V n χ ~()T t n =22;U T V n= 而 22~(1)U χ时()()22~(1, )~1, T F n t n F n ⇒⇒● 证明结论 11(, )(, )F n m F m n αα-=如下(){}()()()()()()()()()1111~, ~, 1111, 11, 11, 1 , 1111, , , , X F m n Y F n m XP X F m n P X F m n P X F m n P F n m X P P F n m F n m X F m n X F m n αααααααααααα---=--⎧⎫⎪⎪≥=-⇒≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫−−−−−−−−→≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎧⎫>=≥⇒=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭又根据分位数的定义，而连续分布对一点的概率取值为零，则二、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明1． 单个正态总体设2{}~(, )n X N μσ为一系列简单随机样本，则有()1 若σ已知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量)证明一：11ni i X X n ==∑111()()n i i E X E X n n nμμ===⋅⋅=∑2222111()()ni i D X D Xn n nn σσ===⋅⋅=∑证明二：()0X E E X μμσ⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2()X n D D X μμσσ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=222[()()]n E X E X μμσ---=()222[20]nE X X μμσ+-- =2222[()2]n E X μμσ+-=2222(()2)nE X μμσ+-=2222[()]1nnσμμσ+-=故~(0,1)X N μσ-公式 ① 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。

()2若μ未知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（X 是随机变量） 证 明：已知()()21,2,,~, i X i n Nμσ= ，且相互独立，令 ()()121,2,,,,,~0,1i i n X Y i n Y Y Y N μσ-==⇒ ，且相互独立。

作下列正交变换：11222122212n n n n n nn Z Y Z Y c c c Z Y c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭正交变换不改变向量组的秩，由于12,,,n Y Y Y 相互独立，则12,,,n Z Z Z 相互独立，且都服从()0,1N 。

记 1111111111nn n n i i i ii i i X XX Y Y X n n nn n n μμμμσσσσσσ====--===⋅-=-⋅⋅=∑∑∑∑ 由上述变换矩阵等式易得：()112~0,1n Z N =+++= 正交变换不改变向量的长度2211nni i i i Y Z ==⇒=∑∑，所以222221122111222121(1)1()() ()()2 ()()2 ()n ni i i i nnni i i i i ni i ni i X n S X X X X X X X X X X n n X X n μμσσσσμμμμσσσσμμμσσσμμσσ=======---=-=-⎛⎫----⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---=+- ⎪⎝⎭⎛⎫--=- ⎝∑∑∑∑∑∑∑()22222221112~1n nni ii i i i Y nY Z Z Z n χ===⎪⎭=-=-=-∑∑∑222221(1)1()~(1)niin SX X nχσσ=-=--∑有重要的应用价值，如计算()()22;E S D S。

()()()()()()()()()()()()() 22222222222222224 222211,121(1)11111(1)(1)2121111E n n D n nn SE S E E n nn n nn S nD S D D n nn n n χχσσσχσσσσσχσσ-=--=-⎛⎫-⇒==-=⋅-=⎪---⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⎡⎤==⋅-=⋅-=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∵()3若σ未知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量证明：()0,1~1XNXt nSμσμ--==-()4若μ已知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（μ是常量）证明：()()22222111~0,11()()~iin n nii ii i iXY NXX Y nμσμμχσσ===-=--==∑∑∑2．两个正态总体（X和Y独立同分布）21~(,)X Nμσ，222~(,)Y Nμσ11niiX Xn==∑11niiY Yn==∑2222121111(),()11n mi ii iS X X S Y Yn m===-=---∑∑则有：()5 若2212, σσ已知，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量证明：221212 ()~0, ~(0,1)X Y N N n m σσμμ⎡⎤---+⇒⎢⎥⎣⎦()6若2212, σσ未知，但12σσσ==时，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量其中：W S=证明：212211()~0,110,X Y N n m N μμσσ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥=()2110, 0, 10,10,1 ~2N N N N t n m σσ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⋅====+-()7如12, μμ已知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()2122122112122221221122()1()~,1()()ni ni i i m ni ii i Xn X n n nF n m m Y Y m mm μχμσσχσμμσ====--==--∑∑∑∑根据F 分布的意义，可以推知222111222221()/~()()/~()n i i m i i X n Y m μσχμσχ==⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∑∑()8如12, μμ未知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()()()()()2212221122222221221111~1,11111n S n n S n F n m m S m S m m χσσχσσ----==------ 三、先进题型与求解秘技量纲法求复合统计量的抽样分布。

3种抽样源正态；量纲法则判类型。

根据定义凑模式；标准变量容量值。

【例1】设1234, , , x x x x 来自正态总体()20, 2N 的简单随机样本，求, a b ，使得 ()()2221234234~X a x x b x x χ=-+-。

解：()()))))()[])()()[]()22221234123422122234223423412~0, 220, 2020134~0, 220, 100100~2X a x x b x x x x x x x x N N a a x x N N a b X χ⎤⎤=-+-=-+-⎦⎦⎡⎤-+=⇒=⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+=⇒=⎢⎥⎣⎦【例2】2{}~(0,2)i N N ，22212345678910()()()Q aX b X X c X X X d X X X X =+++++++++服从2χ分布，求, , , a b c d 和自由度m 。

解： 2221111111~(0,2)~(0,1)~(1)24X N X X N X xσ⇒=⇒ 同理 23~(0,8),X X N +156~(0,12),X X X N ++78910~(0,16)X X X X N +++ 22231()~(1)8X X χ+ 24561()~(1)12X X X χ++ 278101()~(1)16X X X X χ+++ 由2()n χ的可加性知 2~(4)Q χ 所以 14a =18b = 112c = 116d = 4m = 【例3】设, X Y 相互独立，都服从()20, 3N，则统计量U =服从什么分布。