北师大版数学九年级下册第3章第4节圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级下.1圆周角和圆心角的关系(一)课件
n这三个角的大小有什 么关系?.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由。
不是
不是
是
图１
图２
图３
不是
图４
不是
图５
2、指出
图中的圆 周角。 A
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
圆周角和圆心角的关系
• 如图,视察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
分析：学会找准AB所对的圆周角和圆心角，以及 BC所对的圆周角和圆心角，再根据题目条件进行 代换即可。
证明：∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A
O
C B
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
A
B
.O X B A
A C
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=__1_3。0°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
做做看，收获知多少？
4、判断
∴ ∠ABC = ∠AOC.
B
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
n提示:能否也转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: n∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版
【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
4.教师对学生的作业完成情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、实践能力和创新思维。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例通过生活中的圆形物体导入新课，使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
4.强调圆周角和圆心角在几何图形中的重要性，及其在实际生活中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论话题：“圆周角和圆心角之间的关系有什么应用？你们能想到哪些实际问题需要用到这一关系？”
2.学生分组进行讨论，分享自己的观点和发现。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点给予个性化的指导和建议。
（四）总结归纳
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.2“圆周角和圆心角的关系”这一节内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上进行讲解的。本节内容主要让学生了解圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角是圆心角的两倍。这一节内容对于学生来说，既是对圆的相关知识的一个巩固，又是为后续学习圆的更复杂性质和应用打下基础。
4.结合现实问题，如圆形场地、圆形路径等，让学生思考圆周角和圆心角在实际中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题：圆周角和圆心角之间有什么关系？它们在几何图形中有什么特殊性质？
2.设计具有启发性的问题，如：为什么圆周角是圆心角的两倍？这个结论在实际生活中有哪些应用？
3.鼓励学生自主探索，引导学生通过对圆的性质的观察和推理，发现圆周角和圆心角之间的关系。
2.培养学生运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题的能力，如计算未知角度等。
北师大版九年级数学下册《三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 圆的内接四边形》公开课教案_19
1 3.4《圆心角和圆周角的关系（第2课时）》 一． 教材与学生实况分析 本节教材是北师大版（2011年版）九年级下册第三章圆中的3.4圆周角与圆心角的关系，共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的2个推论，并利用这些解决一些简单问题。 教材与学生的知识技能基础：本班学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心角和圆周角的关系，并对定理进行了较为严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力。 教材与学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，我班学生已经经历了化归和分类讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力。 二． 三维目标分析 知识与技能： 1．认识圆内接四边形；探索并掌握圆周角定理的2个推论的内容。 2．会熟练运用推论解决问题。 过程与方法 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。 2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式。 情感态度与价值观： 培养学生的探索精神和解决问题的能力，并热爱学校，热爱生活。 教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。 教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。
三． 教学用具：多媒体，校徽，教学工具，课后补充题。 2
四． 教学准备：让学生课前先预习P81-83的内容。 五． 教学过程： 说明：本节课设计了八个教学环节：情景导入——新课学习（一）——推论的应用（一）——新课学习（二）——推论的应用（二）——知识方法总结——巩固拓展——作业布置。 第一环节 情景导入 活动内容：出示ppt 1.你知道吗? 我们学校教学楼正中央的大校徽是一个美丽的图案， 她是圆形的！ 而你知道吗？当时工人师傅制 作时，可是花费了不少的功夫！ 2. 因为校徽很大，工人需要分成两个半环形(如下图是两个半环形）和中间部分，再在楼上进行拼装！而拼装前得先注意检测两个环形是不是都是半圆。
北师大版九年级数学下册第三章圆第4节圆周角和圆心角的关系课后练习
第三章圆第4节圆周角和圆心角的关系课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、单选题1．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当40OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒2．在半径等于5 cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或120° 3．如图，ABC ∆的外接圆O 的半径是1.若45C ∠=︒，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．234．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）⊙AC ＝CD ；⊙AD ＝BD ；⊙AC +BD ＝BC ；⊙CD 平分⊙ACBA ．1B ．2C ．3D ．45．如图，⊙ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若⊙DBC＝33°，则⊙A等于()A．33°B．57°C．67°D．66°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若⊙DAB=50°，则⊙ABC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，⊙ACD=30°，则⊙BAD为（）A．30°B．50°C．60°D．70°8．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊙CD，垂足为E，连接CO，AD，⊙BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．⊙OCE=40°D．⊙BOC=2⊙BAD9．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，⊙ABD＝35°，则⊙DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°10．如图，AB为O的直径，,C D为O上两点，若40BCD∠︒＝，则ABD∠的大小为（）．A．60°B．50°C．40°D．20°评卷人得分二、填空题11．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且⊙BAC=40°，则⊙BOD=_____．12．如图，已知点C是AB的一点，圆周角⊙ACB为125°，则圆心角⊙AOB=_______度.13．在⊙O中，AB为直径，⊙ACD=45°，已知AC=7，BC=5，则CD =_______ 14．在⊙O中，弦AB=2cm，⊙ACB=30°，则⊙O的直径为_____cm15．如图，AB是⊙O的弦，OH⊙AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=23，OH=1，则⊙APB的度数是___．16．如图，在ABC中，AB为⊙O的直径，⊙B=60°，⊙BOD=100°，则⊙C的度数为_____．17．如图，AD是⊙ABC的高，且AB=42，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE是______.18．如图，点A、B、C在⊙O上，若⊙A＝105°，则⊙BOC＝___________°．评卷人得分三、解答题19．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，⊙CAB＝40°，⊙APD＝65°.(1)求⊙B的度数；(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．20．如图，AB是O的直径，点C、D是O两点，且AC=CD．求证：OC//BD．21．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图⊙，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：⊙ADF⊙⊙ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE= AE．请你说明理由；（3）如图⊙，若点E在AD上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）第26题22．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若⊙C=45°，（1）求⊙ABD的度数；（2）若⊙CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．23．如图，AB为⊙O的直径，⊙ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊙AB于点E．（1）求证：⊙BCO＝⊙D；（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．25．已知：如图，AB为O的直径，点C是半圆上一点，CE⊙AB于E，BF⊙OC，连接BC，CF．（1）求证：⊙OCF＝⊙ECB；（2）当AB＝10，BC＝25，求CF的值．参考答案：1．A【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出BOC∠的度数，然后根据圆周角定理可得到A∠的度数．【详解】OB OC=，∴40OCB OBC∠=∠=︒，∴1804040100BOC∠=︒︒︒=︒--，∴1502A BOC∠=∠=︒．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．C【解析】【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊙AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出⊙AOD的度数，进而确定出⊙AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．【详解】如图所示，⊙OD⊙AB，⊙D为AB的中点，即AD=BD=532，在Rt△AOD中，OA=5，AD=532，⊙sin⊙AOD=5332=52，又⊙⊙AOD为锐角，⊙⊙AOD=60°，⊙⊙AOB=120°，⊙⊙ACB=12⊙AOB=60°，又⊙圆内接四边形AEBC对角互补，⊙⊙AEB=120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．3．A【解析】【分析】由题意连接OA、OB，根据圆周角定理求出⊙AOB，利用勾股定理进行计算即可．【详解】解：连接OA、OB，由圆周角定理得：⊙AOB=2⊙C=90°，所以AB的长为22112+=.故选：A.【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．4．A【解析】【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断⊙；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断⊙．【详解】过D作DD'⊙BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，⊙ABC＝⊙CBD'，⊙AC＝CD'＝CD，故⊙正确；⊙点D是AB的中点，⊙AD＝BD，⊙AC＝CD'，故⊙正确；⊙=AC CD'，由折叠得：BD BD=，⊙+=AC BD BC；故⊙正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，⊙OD⊙AB，⊙⊙ACE＝⊙BCE，⊙CD不平分⊙ACB，故⊙错误；故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．5．B【解析】【详解】如图，连接DC，⊙BD是⊙O的直径，⊙⊙BCD=90°，⊙⊙D=180-⊙BCD-⊙DBC=180°-90°-33°=57°，又⊙⊙A=⊙D，⊙⊙A=57°.故选B.6．C【解析】【详解】连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以⊙BOC=⊙DAB=50°，因为OC=OB，所以⊙ABC=⊙OCB=65°，故选C．7．C【解析】【详解】试题分析：连接BD ，⊙⊙ACD=30°，⊙⊙ABD=30°，⊙AB 为直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙BAD=90°﹣⊙ABD=60°．故选C ．考点：圆周角定理 8．D【解析】【详解】⊙AB 是直径，CD 是弦，AB⊙CD ，⊙BC=BD ， ⊙⊙BAD 是BD 所对的圆周角，⊙COB 是BC 所对的圆心角，⊙2BOC BAD ∠=∠，故选D.【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟记定理的内容并结合图形进行解题是关键. 9．A【解析】【分析】根据⊙ABD ＝35°就可以求出AD 的度数，再根据180BD ︒=，可以求出AB ,因此就可以求得ABC ∠的度数，从而求得⊙DBC【详解】解：⊙⊙ABD ＝35°，⊙的度数都是70°，⊙BD为直径，⊙的度数是180°﹣70°＝110°，⊙点A为弧BDC的中点，⊙的度数也是110°，⊙的度数是110°+110°﹣180°＝40°，⊙⊙DBC＝＝20°，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．10．B【解析】【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD∠的大小.【详解】解：连接AD，⊙AB为O的直径，⊙90ADB∠=︒．⊙40BCD∠=︒，⊙40A BCD∠=∠=︒，⊙904050ABD∠=︒-︒=︒．故选B．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握. 11．80°．【解析】【详解】⊙⊙O的直径AB与弦CD垂直，⊙BC BD．⊙⊙BOD=2⊙BAC=80°．12．1100【解析】【分析】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据四边形对角互补可得⊙ADB的度数，然后再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【详解】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，⊙⊙ACB=125°，⊙⊙ADB=180°-125°=55°，⊙⊙AOB=110°，故答案为：110．13．2或62【解析】【分析】分情况讨论，过点A作AM⊙CD，过点B作BN⊙CD，连接AD,BD，通过证明⊙MAC,⊙NBC，⊙ABD均为等腰直角三角形和⊙MAD⊙⊙NDB求解.【详解】解：如图：过点A作AM⊙CD，过点B作BN⊙CD，连接AD,BD⊙45ACD ABD∠=∠=且AB是圆的直径⊙⊙MAC,⊙NBC，⊙ABD均为等腰直角三角形⊙AD=BD⊙AM⊙CD，BN⊙CD⊙90AMD DNB∠=∠=又⊙90,90MAD MDA MDA NDB∠+∠=∠+∠=⊙MAD NDB∠=∠⊙⊙MAD⊙⊙NDB⊙DN=AM又⊙⊙MAC,⊙NBC均为等腰直角三角形⊙27222AM MC AC===,25222NC BC==⊙7252222CD DN CN AM CN=-=-=-=;如图：过点A作AM⊙CD，过点B作BN⊙CD，连接AD,BD同理可证，此时7252+++6222CD DN CN AM CN====故答案为：2或62【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是本题的解题关键.14．4【解析】【详解】试题分析：由题意知，弦长为1所对的圆周角为30°，则弦对的圆心角为60°，由于弦与圆心构成的三角形是等腰三角形，所以当圆心角为60°，这个三角形是等边三角形，边长已知，半径不难求出．试题解析：连接OA和OB，⊙AB=2，圆周角⊙ACB=30°，⊙弦AB所对的圆心角⊙AOB=60°，⊙OA=OB，⊙三角形AOB为等边三角形，⊙半径=AB=2．考点：1.圆周角定理；2.含30度角的直角三角形．15．60°【解析】【详解】试题分析：如图，连接OA，OB，⊙OH⊙AB，AB=，⊙AH=12AB=．⊙OH=1，⊙．⊙⊙AOH=60°．⊙⊙AOB=⊙AOH=120°．⊙⊙APB=12⊙AOB=12×120°=60°．16．70°．【解析】【详解】试题分析：由在⊙ABC中，AB为⊙O的直径，⊙B=60°，⊙BOD=100°，可求得⊙AOD的度数，继而求得⊙A的度数，则可求得答案．解：⊙AB为⊙O的直径，⊙BOD=100°，⊙⊙AOD=180°﹣⊙BOD=80°，⊙OA=OD，⊙⊙A=⊙ADO=50°，⊙⊙B=60°，⊙⊙C=180°﹣⊙A﹣⊙B=70°．故答案为70°．考点：圆周角定理．17．52【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等得⊙E=⊙C，由直径所对的圆周角为直角得⊙ABE=90°，可推出⊙ABE⊙⊙ADC，再由相似三角形对应边成比例列出比例式即可求AE.【详解】由同弧所对的圆周角相等得⊙E=⊙C，由直径所对的圆周角为直角得⊙ABE=90°⊙⊙ABE=⊙ADC=90°，⊙⊙ABE⊙⊙ADC⊙AB AE=AD AC，⊙AB AC425AE===52AD4⋅⨯故答案为52.【点睛】本题考查圆的计算问题，熟练的运用圆周角定理得到相似三角形是解题的关键.18．150【解析】【分析】利用圆周角定理求得⊙1，再利用周角的定义可求得答案．【详解】解：⊙⊙A=105°，⊙⊙1=2⊙A=210°⊙⊙BOC=360°-210°=150°，故答案为150．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．19．（1）25°（2）3【解析】【详解】解：(1）⊙⊙C=65°-40°=25°⊙⊙B=⊙C=25°（2）作OE⊙BD于E,则DE=BE,又圆心O到BD的距离为3考点:1.三角形内外角之间的关系；2.圆的性质；2.中位线的性质20．证明见解析.【解析】【分析】直接利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出答案．【详解】证明：⊙AC=CD，⊙=AC DC，⊙⊙ABC=⊙DBC，⊙OC=OB，⊙⊙OCB=⊙OBC，⊙⊙OCB=⊙DBC，⊙OC⊙BD．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及平行线的判定，正确得出⊙OCB=⊙DBC是解题关键．21．（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）BE-DE=2AE．【解析】【分析】（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明⊙ADF=⊙ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；（2）中易证⊙AEF是等腰直角三角形，所以EF=2AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；（3）类比（2）不难得出（3）的结论．【详解】（1）如图：在正方形ABCD 中，AB=AD ，⊙⊙1和⊙2都对AE ，⊙⊙1=⊙2，在△ADF 和△ABE 中，12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙⊙ADF⊙⊙ABE （SAS ）；（2）由（1）有△ADF⊙⊙ABE ，⊙AF=AE ，⊙3=⊙4，在正方形ABCD 中，⊙BAD=90°，⊙⊙BAF+⊙3=90°，⊙⊙BAF+⊙4=90°，⊙⊙EAF=90°，⊙⊙EAF 是等腰直角三角形，⊙EF 2=AE 2+AF 2，⊙EF 2=2AE 2，⊙EF=2AE ，即DE-DF=2AE ，⊙DE-BE=2AE ；（3）BE-DE=2AE ．理由如下：在BE 上取点F ，使BF=DE ，连接AF ，易证△ADE⊙⊙ABF，⊙AF=AE，⊙DAE=⊙BAF，在正方形ABCD中，⊙BAD=90°，⊙⊙BAF+⊙DAF=90°，⊙⊙DAE+⊙DAF=90°，⊙⊙EAF=90°，⊙⊙EAF是等腰直角三角形，⊙EF2=AE2+AF2，⊙EF2=2AE2，⊙EF=2AE，即BE-BF=2AE，⊙BE-DE=2AE．【点睛】本题主要考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有圆周角定理、全等三角形的判定及勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，难度适中，熟记和圆有关的各种性质定理和判断定理是解题的关键．22．（1）45°；（2）3；【解析】【分析】（1）求出⊙A的度数，继而在Rt⊙ABD中，可求出⊙ABD的度数；（2）连接AC，则可得⊙CAB=⊙CDB=30°，在Rt⊙ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径．【详解】（1）⊙⊙C=45°，⊙⊙A=⊙C=45°，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙ABD=45°；（2）连接AC，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙CAB=⊙CDB=30°，BC=3，⊙AB=6，⊙⊙O的半径为3．23．（1）证明见解析；（2）4.5.【解析】【分析】（1）连结AE、BD，由E为BD的中点可得AE是⊙CAB的平分线，再由直径所对的圆周角为直角可知⊙AEB=⊙AEC=90°，故可证AEC AEB，则CE=EB=DE；（2）设半径为r，则可得AB=AC=2r，则AD=AC-CD=2r-2，在Rt⊙CBD中运用勾股定理求解BD，再在Rt⊙ABD中运用勾股定理即可求解.【详解】（1）连结AE,BD⊙E为BD的中点⊙ED = BE ，⊙CAE=⊙BAE-⊙⊙AEB 是直径所对的圆周角⊙⊙AEB=90°即AE⊙BC⊙⊙AEB=⊙AEC=90°在AEC 和AEB 中CAE BAE AE AEACE AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共边）， ⊙AEC AEB ≅（ASA ）⊙CE=BE⊙DE=CE=BE=12BC ； (2)在Rt⊙CBD 中，222BD BC CD 32=-=设半径为r ，则AB=2r ，由（1）得AC=AB=2rAD=AC-CD=2r-2在Rt⊙ABD 中222AD BD AB +=⊙222r 2322r -+=（）（） 求得r=4.5.【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角以及同圆中等弧对等弦等知识.24．（1）见解析；（2）r ＝134． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得⊙BCO ＝⊙B ，根据圆周角定理可得⊙B=⊙D ，即可得⊙BCO＝⊙D；（2）由垂径定理可得CE=12CD=3，设⊙O的半径为r，可得OE=r-2，利用勾股定理列方程求出r值即可.【详解】（1）⊙OC＝OB，⊙⊙BCO＝⊙B，⊙⊙B和⊙D都是AC所对的圆周角，⊙⊙B＝⊙D，⊙⊙BCO＝⊙D．（2）⊙AB是直径，CD⊙AB，⊙CE=12CD=3，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．⊙⊙CEO＝90°，⊙OC2＝CE2+OE2，⊙r2＝32+（r﹣2）2，⊙r＝134．【点睛】本题考查了圆周角定理及垂径定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握相关定理是解题关键.25．（1）证明见详解.（2）CF=45【解析】【分析】（1）延长CE交⊙O于点G，利用圆周角的性质进行解答即可．（2）连接AC，FO，利用⊙AOC和⊙FOC均是等腰三角形并且全等，得到CF=AC，在根据AB为直径，⊙ABC为直角三角形，利用勾股定理求出AC即可得到CF的长.【详解】证明：（1）延长CE交⊙O于点G．⊙AB为⊙O的直径，CE⊙AB于E，⊙BC=BG，⊙⊙G=⊙2，⊙BF⊙OC，⊙⊙1=⊙F，又⊙⊙G=⊙F，⊙⊙1=⊙2．即⊙OCF=⊙ECB．（2）连接AC，FO⊙OA=OC=OF，⊙A=⊙CFB，由（1）可知⊙1=⊙CFB，并⊙AOC和⊙FOC均是等腰三角形⊙⊙1=⊙OFC=⊙A=⊙ACO在⊙AOC和⊙FOC中OC是公共边，⊙1= =⊙ACO，⊙OFC=⊙A⊙⊙AOC≅⊙FOC⊙CF=AC⊙AB为直径⊙90ACB∠=⊙22=CF AC AB BC=-()22-=1025=45【点睛】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册3.4节的一节课。
本节课的主要内容是探讨圆周角和圆心角之间的关系，通过圆周角定理的证明，让学生理解并掌握圆周角与圆心角之间的数量关系。
教材通过生动的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着引导学生进行观察、思考，最后得出圆周角定理。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的基本知识，对几何图形有了一定的认识。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生观察、思考，从而得出圆周角定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解并掌握圆周角定理，能够运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的证明和应用。
2.教学难点：圆周角定理的证明过程中，如何引导学生理解并掌握圆周角与圆心角之间的数量关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、观察法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、圆规、直尺等教学工具，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实例，让学生观察并思考，引出圆周角和圆心角的关系。
2.新课讲解：讲解圆周角定理的证明过程，引导学生理解并掌握圆周角与圆心角之间的数量关系。
3.实例分析：通过几个实例，让学生运用圆周角定理解决问题，加深对圆周角定理的理解。
4.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角定理的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：圆周角 = 2 × 圆心角八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养、情感态度三个方面进行。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿《圆周角和圆心角的关系》说课稿1“圆周角和圆心角的关系”是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级数学下册第三章第三节的内容，共两个课时，下面我从第一个课时的设计进行说明.一、教材分析本课是在学习了圆的各种概念和圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是本章重点内容之一。
1、本节知识点（1）圆周角的概念（2）圆周角的定理2、教学目标（1）理解并掌握圆周角的概念；（2）掌握圆周角定理，并能熟练地运用它们进行论证和计算；（3）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。
教学重点：圆周角定理。
教学难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
（重点与难点的突破将在教学过程中详细说明）二、本节教材安排本节共分两个课时，第一课时主要研究圆周角和圆心角的关系，第二课时研究圆周角定理的几个推论，并解决一些简单问题。
今天我向大家汇报的是第一课时的设计。
三、教学方法数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法与学法是密不可分的。
本节主要采取探究合作、启发引导的教学方法，多媒体的运用，激发了学生探究合作的积极性，为教师的启发引导提供了生动的素材，使学生获得知识，形成技能。
四、教学步骤（一）、旧知回放，探索新知（圆周角的概念的突破）1、出示课件，演示将圆心角的顶点由圆心拖至圆上，请同学们仿照圆心角的概念给形成的新角起名字，学生很容易的就会命名为圆周角。
2、引导学生进行讨论，规范圆周角的概念。
（设计意：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数学思想和方法，培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力，使学生通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义。
）特别说明：本节的引入我采用了动态演示的方法，从学生已知的圆心角出发，引申到这节课要学的圆周角，便于学生在已有的知识基础上掌握所学，符合学生的认知规律．本节教材中给出的引例是一个生动而实际的例子，但我并没有采用它，是因为这个例子映射的是＂同弧所对的圆周角相等＂的知识点，它要引出的是第二课时的内容．本着活用教材原则，在深入挖掘教材之后，我觉得这个例子放在第一课时并不太合适．3、巩固练习，看谁最棒（请同学们判断各形的角是否是圆周角，并说明理由。
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
（3）课后作业和测试，了解学生对知识点的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思：
教师应在课后对教学过程进行反思，了解学生在学习过程中的困惑和问题，不断调整教学策略，以提高教学效果。同时，关注学生的情感态度，鼓励学生克服困难，树立自信心，使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示生活中的实例，如自行车轮子、风扇叶片等，引导学生观察并思考这些物体上的角度特点，从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问：询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况，为新课的学习做好铺垫。
3.复习：简要复习圆的基本性质，如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等，为新课的学习打下基础。
2.合作交流：鼓励学生在小组合作中，学会倾听、表达、交流，培养学生的团队协作能力。
3.理性思考：培养学生用数学的眼光看待问题，善于从多个角度分析问题，形成理性思考的习惯。
4.求知欲：通过解决实际问题，激发学生的求知欲，培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时，已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解，这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而，学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时，可能会遇到以下困难：
第四步：总结规律，教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质，并给出严谨的证明。
第五步：巩固练习，设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步：拓展提高，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和能力。
新北师大版九年级数学下册《三章圆4圆周角和圆心角的关系圆的内接四边形》教案_5
活动内容 4：
如图，∠ DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠ A 与∠ DCE 的大小有什么关系？
处理方式： 让学生自主经历猜想， 实验验证， 严密证明三个环
节，多媒体展示过程 .
解：∠ A= ∠CDE ．
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，
∴∠ A+ ∠BCD =180°．（圆内角四边形的对角互补）
∵∠ A: ∠ C=4:5 ，
∴C
5 180
100 ．
9
即∠ C 的度数为 100°.
2. 如图，在 ⊙O 中，∠ BOD=80°，求∠ A 和∠ C 的度数 . 解：∵∠ BOD =80°，
第 2题
∴ DAB
1 BOD
40 ．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
2
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
4 题图
处理方式： 学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根
据答案进行纠错．
设计意图： 在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．
通过这 3 个题
目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维
.
六、布置作业，落实目标
课本 习题 P84 习题 3. 5 第 2， 3 题．
据答案进行纠错．
设计意图： 在学习了推论 “直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径 . ”
立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用， 目的的增加学生对这两个推论的熟练程度， 并
学习灵活应用这两个推论解决问题 . 第 1 题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于
提高学生应用数学解决实际问题的能力 .
∠BAC ）
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北师大版数学九年级下册第3章第4节圆周角和圆心角的关系
同步检测
一.选择题
1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在 CD 上不同于点C的任意一点，
则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
答案：A
解析：解答：连接OB，OC，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=12∠
BOC=45°．
故选A．
分析：首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC=90°，
然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．
2.如图，AB.CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（ ）
A．28° B．31° C．38° D．62°
答案：A
解析：解答：∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵∠CDB=62°，