2017-2018学年湖北省恩施一中高二(上)期中数学试卷(文科)

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湖北省部分重点中学联考2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（5×12=60分）1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③D．②④4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（）A．B．C．D．6．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定7．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．两条异面直线a，b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a，b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③ B．②④C．③④D．②③④10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；③三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为）12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（5×4=20分）13．已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b．其中命题成立的是．14．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．16．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．三、解答题（10+12×5=70分）17．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．18．已知：四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离．19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）509020．已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分）1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断C．【解答】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．故选D．2．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样中，分段的间隔（抽样距）=【解答】解：抽样距==40．故选A3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③D．②④【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m 在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．5．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由组合数公式可得从5根木棒中任取3根的情况数目，由三角形的三边关系分析可得取出的三根可以搭成三角形的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从5根木棒中任取3根，有C53=10种情况，其中能构撘成三角形的有3、5、7，3、7、9，5、7、9，共3种情况，则能搭成三角形的概率为；故选D．6．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，根据样本平均数的计算公式，代入数据可以求得甲和乙的平均分，把两个平均分进行比较，得到结果．【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分，，∴a2＞a1故选B．7．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．8．两条异面直线a，b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a，b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，异面直线a、b成60°角，直线a′、b′所成锐角为60°，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条．【解答】解：过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°．①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条．∵a′∥a，b′∥b，∴过点P与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选：C．9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③ B．②④C．③④D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选C．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；③三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】棱柱的结构特征．【分析】对于①由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及可求解；对于②由题意及平面具有延展性可知实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角；对于③由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换性求解体积，和点P的位置及直线AD1与平面BDC1的位置即可判断正误．【解答】解：对于①因为在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，有正方体的及题意易有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以①正确；对于②因为二面角P﹣BC1﹣D的大小，实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故②正确；对于③三棱锥D﹣BPC1的体积还等于三棱锥的体积P﹣DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面且大小一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确．故选D．11．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为）【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出x、y的平均数，即可求出m值．【解答】解：根据题意，计算=×=200，=×（1+3+6+7+m）=，代入回归方程=0.8x﹣155中，可得=0.8×200﹣155=25，解得m=8．故选：D．12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB 与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选B．二、填空题（5×4=20分）13．已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b．其中命题成立的是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间线面之间的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N，或a⊂N，故错误；②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b，故正确；③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a，故正确；④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b，故正确．故答案为：②③④14．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：815．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．16．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．【考点】几何概型．【分析】分析知如两船到达的时间间隔超过了停泊的时间则不需要等待，要求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率；即计算一船到达的时间恰好另一船还没有离开，此即是所研究的事件．【解答】解：设甲船在x点到达，乙船在y点到达，必须等待的事件需要满足如下条件：，画出不等式组表示的平面区域如图所示；所以p（A）=1﹣=；所以一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．故答案为：．三、解答题（10+12×5=70分）17．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…18．已知：四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取PC的中点G，连接FG、EG，证出AF∥EG，由线面平行的判定定理，即可证出：AF∥平面PCE．（2）先证出AF⊥平面PCD，再由（1），可证EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可证出平面PCE⊥平面PCD；（3）过点D作DH⊥PC于H，DH的长为点D到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：取PC的中点为G，连结FG、EG∵FG∥DC，FG=DC，DC∥AB，AE=AB∴FG∥AE且FG=A∴四边形AFGE为平行四边形，∴AF∥EG．又∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE…（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥D，∴PD⊥DC∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA=45°，即△PAD为等腰直角三角形又∵F为PD的中点，∴AF⊥PD ①由DC⊥AD，DC⊥PD，AD∩PD=D，得：DC⊥平面PAD．而AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC ②由①②得AF⊥平面PDC．而EG∥AF∴EG⊥平面PDC，又EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PDC…（3）解：过点D作DH⊥PC于H．∵平面PCE⊥平面PDC，∴DH⊥平面PEC．即DH的长为点D到平面PEC的距离．在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD= a在Rt△PDC中，PD=a，CD=a，PC=a，DH=a．即：点D到平面PCE的距离为a…19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）5090【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．20．已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）直接作出异面直线所成角的平面角，通过余弦定理求解．（Ⅱ）由线线垂直转化为线面垂直及面面垂直然后建立比例关系，最后求参数的值．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为．（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面GBCD，∴FM⊥平面GBCD∴FM∥PG由得GM⊥MD，∴GM=GD•cos45°=∵，∴k=321．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．【分析】（I）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．【考点】棱锥的结构特征．【分析】（1）分别作出三角形的高，求出四个三角形的面积，然后求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D﹣ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．2016年11月26日。

2017年湖北省恩施州咸丰一中高二上学期数学期中试卷与解析(文科)

2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）} 2．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．603．（5分）在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定4．（5分）从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件B与C互斥B．事件A与C互斥C．任何两个均不互斥D．任何两个均互斥5．（5分）2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．7．（5分）过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=108．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.139．（5分）A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB 长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．110．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤212．（5分）直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．14．（5分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是15．（5分）根据下列程序，当a的输入值为2，b的输入值为﹣2时，输出值为a、b，则ab=．16．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：（m+1）x+y+m﹣2=0和直线l2：2x+my﹣1=0（m∈R）．（1）当l1⊥l2时，求实数m的值；（2）当l1∥l2时，求实数m的值．18．（12分）现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，试计算下列事件的概率：（1）事件A：a=b；（2）事件B：函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．19．（12分）我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥面AEF；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M﹣AEF的体积．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣3x+1，数列{a n}（n∈N+）是递增的等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+2，求数列{}（n∈N+）的前n项和．22．（12分）在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m （m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y ﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）}【解答】解：联立得：，解得：或，则A∩B={（0，1），（1，0）}，故选：B．2．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．60【解答】解：∵由题意，98÷63=1 (35)63÷35=1…28，35÷28=1 (7)28÷7=4，∴98与63的最大公约数为7，可得：a=7，又∵110011=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51，可得：b=51，（2）∴a+b=51+7=58．故选：C．3．（5分）在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定【解答】解：如图，∵只有点P在圆C外部时，∠APB为锐角；即为锐角；∴满足．故选：A．4．（5分）从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件B与C互斥B．事件A与C互斥C．任何两个均不互斥D．任何两个均互斥【解答】解：A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．故选：A．5．（5分）2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由茎叶图性质得：（86+87+88+88+89+90+90+90+x+92）=89，解得x=1．故选：C．6．（5分）已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2α=，则sin2（α+）===，故选：D．7．（5分）过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=10【解答】解：由题意可知面积最小的圆的圆心坐标为（，），即（1，0），半径r==，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=2．故选：A．8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.13【解答】解：模拟执行程序，可得：k=0，S=3sin60°=，k=1，S=6×sin30°=3，k=2，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056≈3.11，退出循环，输出的值为3.11．故选：B．9．（5分）A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB 长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：因为圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2=0上的距离d==＞1，所以圆和直线相离．大致图象如图圆心到直线的最短距离为．故线段AB的最小值为：d﹣r=﹣1．故选：C．10．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y≥0.8表示的区域为直线x+y=0.8上方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为1﹣×=1﹣=；则两数之和不小于0.8的概率是．故选：D．11．（5分）曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤2【解答】解：曲线y=与转化为：x2+y2=2（y≥0）表示一个半圆．曲线y=与直线y=﹣x+b相切时，b=2曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点：≤b＜2故选：B．12．（5分）直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜【解答】解：∵直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，∴tanα==1﹣，∵y=2t+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴0≤α＜或＜α＜π．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．【解答】解：∵回归直线方程必过样本中心点，∵，∴样本中心点是（，4）∴y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点（，4）故答案为：（，4）14．（5分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y﹣4=0【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y﹣4=0故答案为x+y﹣4=015．（5分）根据下列程序，当a的输入值为2，b的输入值为﹣2时，输出值为a、b，则ab=．【解答】解：输入a=2，b=﹣2则a=a+b=2﹣2=0，b=a﹣b=0﹣（﹣2）=2故a==1b==﹣可得：ab=1×=﹣．故答案为：﹣16．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是1＜r＜1+．【解答】解：如图，∵原点O到直线l：y=x+1的距离d=．∴以O为圆心，以为半径的圆上仅有一点A到直线l的距离为1，当圆的半径r时，开始有两点满足到直线l的距离为1，到半径增大到为1+时，除直线l的右下方有两点满足条件外，左上方的B点也满足到直线l的距离为1．∴r的取值范围是1＜r＜1+．故答案为：1＜r＜1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：（m+1）x+y+m﹣2=0和直线l2：2x+my﹣1=0（m∈R）．（1）当l1⊥l2时，求实数m的值；（2）当l1∥l2时，求实数m的值．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴2（m+1）+m=0，解得m=﹣；（2）∵l1∥l2，∴，解得m=﹣2．18．（12分）现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，试计算下列事件的概率：（1）事件A：a=b；（2）事件B：函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，将骰子投掷一次有4种结果，所以投掷两次有16种结果，事件A：a=b包含4种结果，由古典概型的概率计算公式可得：事件A：a=b的概率P（A）=．（2）∵函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．∴，即b，a＞0．∴事件B包含6种结果由古典概型的概率计算公式可得：事件B的概率P（B）=．19．（12分）我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表知[25，30）内有人数为5人，由频率分布图得[25，30）内的频率为0.02×5=0.1，∴N==50，由频率分布表得[30，35）和[35，40）的频率分别为0.06×5=0.3，0.08×5=0.4，∴a=0.3×50=15，b=0.4×50=20．（2）设中位数为x，由频率分布直方图得：（x﹣35）×0.08=0.1，解得x=36.25，∴中位数为36.25．平均数为：27.5×0.1+32.5×0.3+37.5×0.4+42.5×0.1+47.5×0.1=36.5．（3）由题意在第一组抽取1人，记为A，在第二组抽取3人，记为B、C、D，∴从这4人中任意抽取2人共有：AB、AC、AD、BC|BD|CD六种结果，其中2人均在第二组的有：BC、BD、CD三种结果，∴从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率为p=．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥面AEF；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M﹣AEF的体积．【解答】解：（1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图，将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处，如右图：证明：（2）设P为BE中点，连MP、NP，∵N为CF中点，∴NP∥EF，NP⊄面AEF，EF⊂面AEF，∴NP∥面AEF，又∵M为AB中点，∴MP AE，∵MP⊄面AEF，AE⊂面MNP，∴MP∥面AEF，而MP∩NP=P，MP、NP⊂面MNP，∴面MNP∥面AEF，∵MN⊂面MNP，∴MN∥面AEF．解：（3）∵正方体棱长为2，∴三棱锥M﹣AEF的体积：V M﹣AEF=V F﹣AEM==．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣3x+1，数列{a n}（n∈N+）是递增的等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+2，求数列{}（n∈N+）的前n项和．【解答】解：（1）由题意：a1+a3=（x+1）3﹣3（x+1）+1+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）+1=2a2=0，解得：x=1或x=2；若x=2，则a1=f（x+1）=1，a2=0，a3=f（x﹣1）=﹣1．（不合题意，舍去），若x=1，则a1=f（2）=﹣1，a2=0，a3=f（0）=1．∴数列{a n}的通项公式为：a n=﹣1+1×（n﹣1）=n﹣2，（2）由（1）知b n=a n+2=n，∴==﹣∴数列{}的前项和为：1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=22．（12分）在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m （m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y ﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设A（x，y），∵动点A满足=m（m＞0且m≠1）．∴=m化简得动点的轨迹方程为：（x﹣）2+y2=表示以（，0）为圆心，为半径的圆．（2）由（1）当m=时，动点A的轨迹方程为：（x﹣2）2+y2=3，设P（x，y）∴x2+y2=4x﹣1假设在平面内存在点R（a，b）使得=λ（其中λ为正常数）∴=λ化简得：x2+y2﹣4y+3=λ2（x2+y2）﹣2aλ2x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2），∵x2+y2=4x﹣1，∴4x﹣4y+2=λ2（4﹣2a）x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2﹣1），对于任意满足（x﹣2）2+y2=3的P（x，y）恒成立∴解得或∴存在点R（1，1）或（，）满足题意赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

高二数学上学期期中试题文(4)word版本

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学上学期期中试题文本试卷共 22 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合 A x x 20， B 1,0,1,2，则 A B （）A ． 0,1,2B ． 2C ． 1,2D ．1, ,1,22．若直线 l 1 : ax 8 y 1 0 与直线 l 2 : 2x ay 3 0 平行，则 a （A. 4B. 4C. 4 或 4D. 03．若直线 a 不平行于平面，则下列结论成立的是（）A ．内的所有直线都与直线 a 异面B ．内不存在与 a 平行的直线C ．内的直线都与 a 相交D ．直线 a 与平面有公共点4．已知圆 C 1 : ( x1)2( y 4)225 ，圆 C 2 : x 2y 24x 4 y 2 0 ，试判断圆 C 1 与圆 C 2 的位置关系是（） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不能确定5．设 m , n 为两条不同的直线， , , 为三个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若 m ， n ，则 m // nB ．若 // ， ⊥ ，则⊥C ．若 m // n ， m ⊥ ，则 n ⊥D ．若 ⊥ ， ⊥ ，则//x 16．若变量 x ，y 满足约束条件x y 03x 5 y 8，则 z 2xy 的最大值为（）15．17 世纪日本数学家们对空间几何体体积的求法还不太清楚，他们将体积公式“V KD 3 ”中的常数 K 称为“立圆术”或“玉积率”，创立了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中， D 为球的直径，类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式 V KD 3 ，其中，在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长，假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为 K 1 , K 2 , K 3 的大小关系是 .16．ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，则 AP BP的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）某高校从“2017 年大一新生英语水平测试”的学生成绩中通过抽样获取了 80 名学生的成绩，将数据按照 [40, 50) ，[50, 60) ，…，[90,100] 分成 6 组制成了如图所示的频率分布直方图，但因工作失误遗失了 [80, 90) 的统计数据．（Ⅰ）求测试成绩分布在[80, 90) 的学生人数 a ，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）求测试成绩的平均分 x 的值．60 70 80 90分数18．（本小题满分 12 分）（Ⅰ）求经过点 B (6, 7) 与直线 l : 3x 2 y 120 垂直的直线 l 方程；（Ⅱ）求过点 A (2, 6) 且被圆 C : ( x 3) 2 ( y 4)2 23 的直线 l 的方程．19．（本小题满分 12 分）已知三角函数 f ( x ) A sin(所示，其中 A0, 0,．2（Ⅰ）求三角函数 f ( x ) 解析式；x ) (x R )的部分图如图5 612x（Ⅱ）在 ABC 中， a ,b ,c 分别是角 A , B , C 的对边，且 a 1 ，1f ( A)，ABC 的面积为23，求边长b,c的值．4（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当m 4 时，记动点P 的轨迹为曲线C ，记曲线C 与x 轴交于A, B 两点，直线l : x 2 上一动点G ，连G A ,G B 分别交曲线C 于F , E ,求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点坐标。

湖北省恩施市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试文科数学试卷含答案

恩施市第一中学高二文科数学试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1。

已知直线3330x y --=，则该直线的倾斜角为A 。

30B 。

60C 。

120D 。

1502．已知直线l 1：x+2ay ﹣1=0，与l 2:（2a ﹣1)x ﹣ay ﹣1=0平行，则a 的值是（）A ．0或1B ．1或C ．0或D ．3。

下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面：①若,m n αα⊥⊂,则m n ⊥ ②若//,m n αα⊂，则//m n③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ ④若//,m αβα⊂,则//m β正确的命题是A. ①③ B 。

②③ C 。

①④D 。

②④4.如下框图所示，已知集合{}|A x x =框图中输出的值集合{}|B y y =框图中输出的值，当0x =时，A B =A. {}0,1,3B. {}1,3,5C. {}1,3,5,7 D 。

{}0,1,3,55．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝错误!，b ＝－4B ．k ＝－错误!，b ＝4C ．k ＝错误!，b ＝4D ．k ＝－错误!，b ＝－46．过点（错误!，0）引直线l 与曲线y ＝错误!相交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）A 。

错误!B ．－错误!C ．±错误!D ．－错误!7.若变量、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（）A 。

2 B.4 C.7 D 。

88. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功"有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈，无广，高一丈。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3．则a 5=﹣7+3×4=5，故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14．故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ．可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2．故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出．（II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1，即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。

湖北省恩施市恩施自治州高级中学高二数学上学期第一次统考试题文新人教A版

图1乙甲751873624795436853432134第一次统考数学试题（文科）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案答在答题卡上。

） 1．如图是根据x ，y 的观测数据()i i y x ,（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x ，y 具有相关关系的图是（）A.①②B.①④C.②③D.③④2．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是（） A ．50B ．41C ．51D ．61．53．已知1,2,3,4,a 的平均数是3，则该组数的方差是（） A ．1B ．10C ．4D ．24．计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：例如用16进制表示D+E ＝1B ，则A ×B=( )A ． 6EB ．7C C ． 5FD ． B0 5．用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值，有如下的说法：①要用到6次乘法和6次加法；②要用到6次加法和15次乘法；③023v =-；④311v =，其中正确的是（）开始i =1 s =0 i =i +1 s =s+i i ≤5? 输出s 结束① ② a是否 A ．①③B ．①④C ．②④D ．①③④6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（） A.01 B.43 C.07 D.497．如右图的程序框图(未完成).设当箭头a 指向①时,输出的结果s m =, 当箭头a 指向②时,输出的结果s n =,则m n += ( ) A.30 B.20 C.15 D.58．如右图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为( ) A.34B.38C.14D.189．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，37，65，92，119，148，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样10．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中{},1,2,3,4a b ∈,若1a b -≤,就称甲乙“心有灵犀”.现任找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A.38B.34C.78 D. 58第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__ __学生。

高二数学上学期期中试题文9

2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（文科）试题（试卷分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 两个圆锥D. 一个圆台2. 下列命题正确的是A. 棱柱的侧面都是长方形B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等D. 一个棱柱至少有五个面3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为A. 1 32D. 2 4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π5. 下列命题正确的是A. 四边形确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 经过三点确定一个平面D. 经过一条直线和一个点确定一个平面6. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，n α⊥，则//m n7. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为A. B. C. D.9. 直线20x y -+=的倾斜角为A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 135︒10. 已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A. 22460x y x y +-+=B. 224680x y x y +-++=C. 22460x y x y +--=D. 224680x y x y +-+-=11. 已知点(1,3)P 与直线l ：10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为A. (3,1)--B. (2,4)C. (4,2)--D. (5,3)--12. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，有以下结论：①//BD 平面11CB D ； ②1AC BD ⊥； ③1AC ⊥平面11CB D ；④直线11B D 与BC 所成的角为45︒．其中正确的结论个数是A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 已知圆C ：222220x y x y +++-=和直线l ：20x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .14. 在正方体1111ABCD A BC D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有条.15. 直线210x ay +-=与直线(1)10a x ay ---=平行，则a 的值是 .16. 已知正方体1111ABCD A BC D -的一个面1111A B C D A ，B ，C ，D 都在半球面上，则正方体1111ABCD A BC D -的体积为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题10分，第18~22题每题12分）17. （本小题满分10分）已知菱形ABCD 中，(4,7)A -，(6,5)C -，BC 边所在的直线经过点(8,1)P -.（1）求AD 边所在的直线方程；（2）求对角线BD 所在的直线方程.18. （本小题满分12分）已知动圆C 经过点(1,2)A -，(1,4)B -.（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线240x y --=上的圆的标准方程.19. （本小题满分12分）四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：BD PC ⊥．20. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，//BE CD ，BE BC ⊥，AB AC =，平面BCDE ⊥平面ABC ，M 为BC 的中点．（1）若N 是线段AE 的中点，求证：//MN 平面ACD ；（2）若1BE =，2BC =，3CD =，求证：DE ⊥平面AME ．21. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别为11AC ，BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：在棱AC 上存在一点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积．22. （本小题满分12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点.（1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5. B6. D7. A8. C9. B 10. A 11.C 12.D二、填空题（每小题5分，共20分）12或0 16.三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分）17. （1）直线AD斜率为5(1)268AD BC PCk k k---====-，由点斜式方程，得72(4)y x-=+，即2150x y-+=；（2）对角线互相垂直，1157(5)646BDACkk=-=-=----，线段AC的中点为(1,1)，由点斜式方程，得51(1)6y x-=-，即5610x y-+=18. （1）以线段AB为直径的圆的周长最小，AB中点坐标(0,1)，AB=圆的标准方程为22(1)10x y+-=，一般方程为22290x y y+--=；（2）线段AB中垂线的斜率为1112431(1)ABkk=-=-=----，中垂线方程为113y x=+，联立方程113240y xx y⎧=+⎪⎨⎪--=⎩，得圆心坐标(3,2)，半径r=标准方程为22(3)(2)20x y-+-=19. （1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O，由O是AC的中点，E是PC的中点，得//OE PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以//PA平面BDE；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO BD⊥，又正方形对角线互相垂直，即BD AC⊥，PO AC O=点，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，得BD PC⊥．20. （1）取AB的中点H，连接MH，NH，由N是AE的中点，得//NH BE，又//BE CD ，得//NH CD ，NH ⊄平面ACD ，所以//NH 平面ACD ，同理可证，//MH 平面ACD ，而MHNH H =点，所以平面//MNH 平面ACD ，从而//MN 平面ACD ；（2）连接AM ，DM ，EM ，由AB AC =，M 为BC 的中点，得AM BC ⊥，又平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，AM ⊂平面ABC ，所以AM ⊥平面BCDE ，则AM DE ⊥，由勾股定理，在Rt EBM ∆中，1BE =，112BM BC ==，得EM ，在Rt DCM ∆中，3CD =，112CM BC ==，得DM 在直角梯形BCDE 中，由平面几何知识计算得DE ==，所以222E M D E D M +=，即EM DE ⊥，而AM EM M =点，所以DE ⊥平面AME ．21. （1）由侧棱垂直于底面，1BB ⊥平面ABC ，得1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BC BB B =点，所以AB ⊥平面11B BCC ，从而平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）取AC 中点M ，连接1C M ，FM ，由F 为BC 的中点，知//FM AB ，FM ⊄平面ABE ，得//FM 平面ABE ，因为1//AM C E ，1AM C E =，所以四边形1AMC E 为平行四边形，则1//C M AE ，1C M ⊄平面ABE ，得1//C M 平面ABE ，而1CM F M M =点，平面1//C FM 平面ABE ，即存在AC 中点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）点E 到底面的距离即为侧棱长12AA =，在Rt ABC ∆中，2AC =，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =11122ABC S AB BC ∆=⋅==，所以12323E ABC V -=⨯=. 22. （1）由条件，AB 为底面圆的直径，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，所以AC BC ⊥，又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥，1A AAC A =点，所以BC ⊥平面1AAC ，从而平面1A BC ⊥平面1A AC ；（2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，则圆柱的体积为2r h π，当点C 是弧AB 的中点时，ABC ∆为等腰直角三角形，面积为2r ，三棱锥1A ABC -的体积为221133r h r h ⨯⨯=，三棱柱111A B C ABC -的体积为2r h ，则四棱锥111A BCC B -的体积为2221233r h r h r h -=，四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为23π．。

2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二上学期期中数学试题(文科)(b卷)(解析版)

2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二（上）期中数学试卷（文科）（B卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知抛物线：x2=4y，则其焦点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，0）2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣2”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣2 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣2C．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣2 D．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣23．（5分）命题“∀x∈R，使得x2+mx+m＞0”为真命题，则实数m的取值范围为（）A．[0，4]B．（0，4） C．[﹣4，0]D．（﹣4，0）4．（5分）已知函数，则=（）A．B．0 C．D．15．（5分）a，b表示空间两条直线，α为一平面，若p：a，b与平面α所成角相等；q：a与b平行，则p是q（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2在[0，4]上的最大值和最小值分别是（）A．2，﹣18 B．﹣18，﹣25 C．2，﹣25 D．2，﹣207．（5分）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则∠FPF2等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）下列命题是真命题的是（）（1）若，则（2）若，则sinx＜tanx（3）函数g（x）=xlnx﹣x+1有且仅有一个零点（4）数列{a n}的前n项和，则数列{a n}为等差数列．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的实轴的两端点分别为A，B，且以线段AB为直径的圆与直线ax﹣by+2ab=0相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）12．（5分）已知命题p：“函数f（x）=2ax2+3lnx在区间（0，1]上是增函数”；命题q：“存在x0∈[1，+∞），使成立”，若p∧q为真命题，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为．14．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的极大值为．15．（5分）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，定点Q（0，3），那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：“实数m满足：（m﹣2a）（m﹣3a）＜0（a＞0）”；q：“实数m满足：方程表示双曲线”；若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx，在x=1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数的单调区间和极值．19．（12分）动点M到直线l：x=﹣1的距离等于它到定点F（1，0）的距离（1）求M点的轨迹C的方程；（2）设过点F且斜率为k的直线l1交曲线C于两点A，B，且|AB|=6，求l1的方程．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的x∈[1，e]恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B 点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．22．（12分）已知函数f（x）=xe x+a（x+1）2．（1）若a=1，求函数在点（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二（上）期中数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知抛物线：x2=4y，则其焦点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，0）【分析】判断抛物线焦点坐标所在的轴，然后求解焦点坐标即可．【解答】解：抛物线：x2=4y，则，焦点在y轴正半轴，故焦点坐标是（0，1），故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣2”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣2 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣2C．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣2 D．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可知，命题的否定为∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2，故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）命题“∀x∈R，使得x2+mx+m＞0”为真命题，则实数m的取值范围为（）A．[0，4]B．（0，4） C．[﹣4，0]D．（﹣4，0）【分析】利用不等式恒成立，通过判别式小于0，列出不等式求解即可．【解答】解：∀x∈R，x2+mx+m＞0恒成立，等价于△=m2﹣4m＜0，解得m∈（0，4）．故选：B．【点评】本题考查二次函数的简单性质以及函数恒成立，考查计算能力．4．（5分）已知函数，则=（）A．B．0 C．D．1【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，令x=计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其导数，当x=时，；故选B【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．5．（5分）a，b表示空间两条直线，α为一平面，若p：a，b与平面α所成角相等；q：a与b平行，则p是q（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a，b与α所成角相等，a，b未必平行；a，b平行，则a，b与α所成角相等；则q⇒p但p不能推出q，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查线面角的关系，是一道基础题．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2在[0，4]上的最大值和最小值分别是（）A．2，﹣18 B．﹣18，﹣25 C．2，﹣25 D．2，﹣20【分析】求出导函数，判断的函数在区间上的单调性，然后区间最值即可．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，知f（x）在[0，3]递减，[3，4]递增，最小值f（3）=﹣25，又f（0）=2，f（4）=﹣18．故选：C．【点评】本题考查函数在闭区间上的最值的求法，函数的导数的应用，考查计算能力．7．（5分）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则∠FPF2等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据题意，设P为x轴上方点其坐标为P（x，y），由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，又由三角形面积公式计算可得，结合椭圆的方程计算可得P的坐标，分析可得P为椭圆短轴的端点，再由b=c=2，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P为x轴上方点其坐标为P（x，y），椭圆的方程为，其中a==2，b==2，则c==2，P是椭圆上一点，若，则，解可得：y=±2，则x=0，故P（0，±2），是椭圆短轴的端点，又由b=c=2，则，；故选D．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是求出P的坐标，判断可得P为椭圆的短轴的端点．8．（5分）下列命题是真命题的是（）（1）若，则（2）若，则sinx＜tanx（3）函数g（x）=xlnx﹣x+1有且仅有一个零点（4）数列{a n}的前n项和，则数列{a n}为等差数列．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）【分析】根据向量，三角函数，零点，数列的相关概念和性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：（1）错，时，不一定成立，（2）对，由三角函数线的定义，可判断，（3）对，g'（x）=lnx，（0，1）递减，（1，+∞）递增，在x=1处取得最小值g （1）=0（4）错，前n项和含有常数项{a n}不是等差数列，故选B．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型综合性较强，难度中档．9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的实轴的两端点分别为A，B，且以线段AB为直径的圆与直线ax﹣by+2ab=0相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式列出方程推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的实轴的两端点分别为A，B，且以线段AB为直径的圆的圆心（0，0），以线段AB为直径的圆与直线ax﹣by+2ab=0相切，圆心到直线的距离为d则，则a2=3b2又c2=b2+a2则，．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．10．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出导函数判断函数的单调性以及函数的最值，结合函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，最小值为e，又函数y为奇函数，故函数在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，x＜0时有最大值为﹣e，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性与函数的导数的关系，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知命题p：“函数f（x）=2ax2+3lnx在区间（0，1]上是增函数”；命题q：“存在x0∈[1，+∞），使成立”，若p∧q为真命题，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】分别求解两个命题都是真命题时，a的范围，利用复合命题的真假，求解a的范围即可．【解答】解：命题p：，f（x）在（0，1]上单调递增，等价于f′（x）≥0，恒成立，在（0，1]上为增函数，x=1时取最大值，则；命题q：问题转化为∃x0∈[1，+∞），使得即，而函数为减函数，x=1时有最大值为，则，又p∧q为真命题，故p，q都为真命题，所以；∴a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的求法，考查计算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为．【分析】利用双曲线的离心率，推出a，c关系，转化为a，b关系，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得（a＞0，b＞0）的离心率为，c=3a，则，渐近线为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的简单性质的应用，考查计算能力．14．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的极大值为e．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，得到函数的单调区间，然后求解函数的极大值即可．【解答】解：函数f（x）=（2﹣x）e x，∴f'（x）=（1﹣x）e x，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，在（1，+∞）递减，f（x）在x=1有极大值f（1）=e．故答案为：e．【点评】本题考查函数的极值的求法，注意判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，定点Q（0，3），那么点P到点Q的距离与点P．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件以及三角不等式，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d=|PF|，∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】设g（x）=xf（x），求出g'（x）判断函数的单调性，推出f（2）=0，f （﹣2）=0；即g（2）=0，g（﹣2）=0当x＞0时，求解不等式f（x）＞0；当x＜0时，求解不等式f（x）＞0，推出结果．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＞0，函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）是定义在R上的偶函数，故g（x）=xf（x）是R上的奇函数，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，而f（2）=0，f（﹣2）=0；即g（2）=0，g（﹣2）=0当x＞0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）=xf（x）＞0，由g（x）＞g（2），得x＞2；当x＜0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）=xf（x）＜0，由g（x）＜g（﹣2），得x＜﹣2，故所求的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：“实数m满足：（m﹣2a）（m﹣3a）＜0（a＞0）”；q：“实数m满足：方程表示双曲线”；若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，由p⇒q，而q不能推出p，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：p真则2a＜m＜3a，q真则（m﹣1）（4﹣m）＜0，解得m＞4或m＜1，p是q的充分不必要条件，则p⇒q，而q不能推出p，【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义以及转化思想，是一道中档题．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx，在x=1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数的单调区间和极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值列出方程求解即可．（2）求出定义域，导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．【解答】解：（1）则f′（1）=2a﹣b=0，且f（1）=a=1得a=1，b=2，（2）f（x）=x2﹣2lnx，定义域为（0，+∞）得，f（x）有极小值f（1）=1所以f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），极小值f（1）=1，无极大值．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．19．（12分）动点M到直线l：x=﹣1的距离等于它到定点F（1，0）的距离（1）求M点的轨迹C的方程；（2）设过点F且斜率为k的直线l1交曲线C于两点A，B，且|AB|=6，求l1的方程．【分析】（1）依题意M到点F的距离等于它到直线x=﹣1的距离，判断动点M 的轨迹是以F为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求解即可．（2）设l的方程为y=k（x﹣1）代入抛物线y2=4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式，求出弦长，转化求解直线方程即可．【解答】解：（1）依题意M到点F的距离等于它到直线x=﹣1的距离，故动点M的轨迹是以F为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，则p=2曲线C的方程为y2=4x（2）设l的方程为y=k（x﹣1）代入抛物线y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由题意知k≠0，且[﹣（2k2+4）]2﹣4k2•k2=16（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，x1x2=1，由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=6，x1+x2=4∴，∴k2=2，即直线l1方程为，即，．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的x∈[1，e]恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，判断函数的单调性然后求解函数的最小值．（2）转化为新函数，求出函数闭区间上的最大值，然后求解即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f（x）在，所以当时，f（x）取最小值且为（2）问题等价于：对∀x∈[1，e]恒成立，令，则，因为x∈[1，e]，所以g′（x）＞0，所以g（x）在[1，e]上单调递增，所以，所以．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B 点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．【分析】（1）利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．（2）联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．【解答】解：（1），a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴所以椭圆的标准方程为（2）证明：设直线l的方程为y=k（x+1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2）联立得（2k2+1）x2+4k（k+1）x+2k2+4k=0，∴，∴=．=．∴直线BM与BN的斜率之和为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）已知函数f（x）=xe x+a（x+1）2．（1）若a=1，求函数在点（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，判断函数的单调性以及函数的极值，利用极值的符号，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）f（x）=xe x+（x+1）2，f′（x）=（x+1）（e x+2），k=f′（0）=3切线方程为y=3x+1；（2）f'（x）=（x+1）（e x+2a），当a=0时f（x）=xe x，只有一个零点；当a＜0时，由f′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣2a），由﹣1＞ln（﹣2a）得，f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，（﹣1，ln（﹣2a））上递减，（ln（﹣2a），+∞）上递增，又f（x）极大值=，不可能有两个零点；由﹣1＜ln（﹣2a）得，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上递增，（ln（﹣2a），﹣1）上递减，（﹣1，+∞）上递增，又x≤0时，f（x）＜0，即f（x）的极大值f（ln（﹣2a））＜0，不可能有两个零点；时，﹣1=ln（﹣2a），f′（x）≥0，仅f′（﹣1）=0，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，不可能有两个零点；当a＞0时，f′（x）=0只有一根x=﹣1，而f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，所以f（x）在（﹣1，+∞）内有一零点；取b满足，当时所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上有唯一的零点，故f（x）在（﹣∞，+∞）有两个零点，综上a的取值范围为（0，+∞）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

2017-2018学年第一学期高二级(文科)数学期中考试答案

2017-2018学年度第二学期高二级文科数学期中试题答案一、选择题：CBCA DADC BDCB 二、填空题：13.1; 14.b 21+a 41 ；15,-1；16.26、【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法.【解析】ln ln 1e π>=，51log 2log 2<，1212z e -===，故选答案A.9、【解析】由12n n S a +=可知，当1n =时得211122a S == 当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ②①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=，故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22nn a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥，故当2n ≥时，1113(1())3221()3212n n n S ---=+=- 当1n =时，11131()2S -==，故选答案B本题还有其它方法11．圆222210x x y y -+-+=的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==-，该角的余弦值等于35，选B.（不排除其它方法）15、答案：1-（y 的系数是负的）；三、解答题 17.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2c o s c o s 22A A += ……2分505153212592=⋅+⋅= ……………… 5分（2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 7分代入解得5=c …… 8分由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………10分 17=∴a ………11分18．【解析】（1）由312S =，530S =得：11331251030a d a d +=⎧⎨+=⎩……2分解得：12,2a d ==……4分所以2n a n =.……5分（2）因为11111()(1)(1)(21)(21)22121n n a a n n n n ==--+-+-+……7分所以1111133557(21)(21)n T n n =++++⨯⨯⨯-⋅+111111111[()()()()]21335572121n n =-+-+-++--+……9分 11(1)22121n n n =-=++.……11分 19【解析】(1)由已知得1//2EF AB EF AB =且取AD 的中点G,连结GH,GF则1GH//2AB AB =且GH//,EF GH EF GH EFGH ∴=∴且即为平行四边形FG//EH ，,平面且平面EH ADF FG ADF ⊄⊂∴E H∥平面EAD …………4分 (2)EH ABCD ⊥平面,且FG//EH,FG ABCD FG ADF ∴⊥⊂平面且平面ADF ABCD ∴⊥平面平面 …………8分(3) 由（1）（2）可得，平行四边形EFGH 为矩形， ∴HG ⊥FG，有∵HG⊥AD，∴HG⊥平面EAD ∴EF⊥平面EAD ，∴EF 为三棱锥E-ADE 的高且EF=GH=1，又因为1=××21=ΔEG AD S EAD ，∴31=1•1•31=AFD E V -. …………12分20（一）直接法（除了原点）的轨迹方程为所以点，设根据垂径定理020)2(),2(),(),2(),,(),(90222=-+∴=--∙=--∙=∙∴--==∴=∠x y x M y x x y x y x y x y x y x M OMC点评：挖掘圆的几何特征：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，一定联想垂径分弦定理，挖掘出CM OA ⊥，再把CM OA ⊥坐标化的方法：（优选方法（1）（1）向量转化法：0CM OA ⋅=;(2)斜率转化法：分类有无斜率利用1CM OA k k ⋅=-；（3）勾股定理：222OM MC OC +=直接法：根据已知条件找到一个等式，只要将有关的点代入等式，等式里除了所求点的坐标为(x,y),其它点的坐标已知，化简此等式就是所求点的轨迹方程（二）定义法（除了原点））的轨迹方程为（所以点），半径中点（圆心为）为直径的圆（除了原点的轨迹为以点，设根据垂径定理11-1||211,0),(9022=+∴==∴=∠y x M OC r OC OC M y x M OMC定义法：根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，判断点的轨迹符合每个曲线的性质，在使用待定系数法求出轨迹方程,CM OA ⊥∴点M 在以OC 为直径的圆上（下略）这是：利用圆的性质（直径所对的圆周角是直角的逆定理）（三）相关点代入法（除了原点））即（）（（（上在曲线（点中点为设11-42)224)24)2),(22220220),(,),(22222020220000000000=+=+-∴=+-∴=+-⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=∴y x y x y x y x y x A y y xx y y y x x x OA M y x A y x M相关点代入法：已知某点A 的曲线方程，找出所求点P 坐标与点A 坐标之间的关系，用点P 坐标表示点A 坐标，代入点A 所在的曲线方程并化简。

湖北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(二)

湖北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．边长为a的正四面体的表面积是（）A．B．C．D．3．已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣14．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a25．直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若α∥β，m⊥n，则m⊥αD．若m∥n，m⊥α，则α⊥β8．已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．D．29．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．B．C．D．π10．已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1体积为，底面边长为．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．11．若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=．14．已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．15．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明 AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若二面角P ﹣AD ﹣B 为60°，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．22．已知圆O ：x 2+y 2=1和定点A （2，1），由圆O 外一点P （a ，b ）向圆O 引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；（Ⅲ）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．参考答案一、单项选择题1．B．2．D3．A．4．B．5．C6．C7．D．8．C．9．C 10．B．11．B12．A．二、填空题13．解：已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．l1∥l2，，则a=214．解：根据题意，得⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，R﹣r=2，则4＜5，即R+r＜O1O2，∴两圆相离．故答案为：相离．15．解：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B （1，2，3），点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），则B、C间的距离为：=6．故答案为：616．解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD 成60°的角不正确；对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB 与CD所成的角为60°；综上知①②④是正确的故答案为①②④三、解答题17．解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．19．解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y ﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．20．解：（Ⅰ）证明：∵BA=BD=，PA=PD=，又E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，又在Rt△PDE中∠PED=90°，PD=，DE=1∴PE=2 同理可得BE=1∴在△PBE中，由余弦定理得PB=．∴BE2+PB2=PE2∴∠PBE=90°∴EB⊥PB又EB⊥AD，BC∥AD∴EB⊥BC∴EB⊥平面PBC，∴∠EFB为EF与面PBC所成的角又在Rt△PBC中∠PBC=90°，PB=，BC=2∴PC=又F为PC中点∴∴而EB=1∴在Rt△EFB中由勾股定理有∴∴sin∠EFB=即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．…21．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1A∥CC1∥BB1，∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，∵BC∩BA1=B，∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C∴A1C⊥CC1；（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，∴AO=，设A1A=h，A1O==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，最大值为：．22．解：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2．即：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b﹣3=0．（Ⅱ）由2a+b﹣3=0，得b=﹣2a+3.==，故当时，．即线段PQ长的最小值为．（Ⅲ）设圆P 的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，∴|R﹣1|≤|OP |≤R +1．即R ≥||OP |﹣1|且R ≤|OP |+1．而，故当时，．此时，，．得半径取最小值时圆P 的方程为．。

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2017-2018学年湖北省恩施一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知直线，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．3．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n②若m∥α，n⊂α，则m∥n③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α∥β，m⊂α，则m∥β正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④4．（5分）如框图所示，已知集合A={x|框图中输出的x值}集合B={y|框图中输出的y值}，当x=0时，A∩B=（）A．{0，1，3}B．{1，3，5}C．{1，3，5，7}D．{0，1，3，5}5．（5分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．6．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．±D．﹣7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．88．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈9．（5分）若曲线方程为，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3]C．（3，2]D．（0，2）∪（2，+∞）11．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）12．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.）13．（5分）求经过点A（﹣5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．14．（5分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为．15．（5分）已知x，y满足条件（k≤0），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k的值为．16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．若点A（﹣1，3），O为坐标原点，则d（A，O）=；O与直线上一点的“折线距离”的最小值是．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线（1）当l1⊥l2时，求a的值；（2）在（1）的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A（1，﹣3），求直线l3的一般方程．18．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos （A﹣B）=2sinAsinB．（1）判断△ABC的形状；（2）若a=3，c=6，CD为角C的角平分线，求CD的长．19．（12分）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC丄侧面A1AB B1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB丄BC；（2）若直线AC与面A1BC所成的角为，求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．21．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•=﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．2017-2018学年湖北省恩施一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知直线，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣1，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=30°故选A．2．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．3．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n②若m∥α，n⊂α，则m∥n③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α∥β，m⊂α，则m∥β正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知：在①中，若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故④正确．故选：C．4．（5分）如框图所示，已知集合A={x|框图中输出的x值}集合B={y|框图中输出的y值}，当x=0时，A∩B=（）A．{0，1，3}B．{1，3，5}C．{1，3，5，7}D．{0，1，3，5}【解答】解：执行程序框图，有x=0，y=﹣1，x=1，输出1，﹣1，不满足条件x＞5，y=1，x=2，输出2，1不满足条件x＞5，y=3，x=3，输出3，3不满足条件x＞5，y=5，x=4，输出4，5不满足条件x＞5，y=7，x=5，输出5，7不满足条件x＞5，y=9，x=6，输出6，9满足条件x＞5，退出循环，结束．从而可得A={1，2，3，4，5，6}，B={﹣1，1，3，5，7，9}，故A∩B={1，3，5}故选：B．5．（5分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，所以k=．并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=﹣4．故选A．6．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．±D．﹣【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线y=表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：y﹣0=k（x﹣）即kx﹣y﹣k=0则圆心O到直线l的距离d==直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=2=2=2∴S=d|AB|△AOB=•2==，令=t=则S△AOB当t=，即=时S△AOB有最大值为此时，=∴k=±又∵﹣1＜k＜0∴k=﹣．故选：B．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．8【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故2x+y的最大值是7，故选：C8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD 于M，则它的体积：V=V E﹣AQPD+V EPQ﹣FMN+V F﹣NBCM=+S△EPQ•NQ+=++=5（立方丈）．故选：B．9．（5分）若曲线方程为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，曲线方程为，变形可得x2+y2=1，（x≥0）其几何图形为圆心在（0，0），半径为1的圆的右半部分，而=为半圆上任意一点与点（0，2）连线的斜率，设M（0，2），分析可得：当直线与圆相切时，其斜率取得最值，设此时直线的方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，且k==，此时有=1，解可得k=±，分析可得：﹣≤k≤，则的取值范围为[﹣，]；故选：B．10．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3]C．（3，2]D．（0，2）∪（2，+∞）【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）∵圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），表示以C（﹣1，﹣1）为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM==2，CP==2∴当0＜r＜2或r＞2时，圆C不经过区域D上的点故选：D11．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．12．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.）13．（5分）求经过点A（﹣5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程2x+5y=0或x+2y+1=0．【解答】解：当截距为0时，设直线方程为y=kx，则﹣5k=2，∴∴直线方程为2x+5y=0当截距不为0时，设直线方程为由题意，，∴a=﹣．∴x+2y+1=0．综上，2x+5y=0或x+2y+1=0．14．（5分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为2．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，四边形PACB的最小值S=1=rd（d是切线长）∴S△PBC=2∴d最小值圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故答案为：215．（5分）已知x，y满足条件（k≤0），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k的值为﹣6．【解答】解：画出x，y满足条件（k≤0），可行域如下图：由于目标函数z=x+3y的最大值为8，可得直线y=x与直线8=x+3y的交点A（2，2），使目标函数z=x+3y取得最大值，将x=2，y=2代入2x+y+k=0得：k=﹣6．故答案为：﹣6．16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．若点A（﹣1，3），O为坐标原点，则d（A，O）=4；O与直线上一点的“折线距离”的最小值是．【解答】解：由题意可知：d（A，O）=|﹣1﹣0|+|3﹣0|=4；设直线上的任意一点坐标（x，y），则折线距离=|x|+|y|，要求它的最小值就是|x|+|2x﹣2|的最小值，也就是f（x）=所以x=时，O与直线上一点的“折线距离”的最小值是：；故答案为：4；三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线（1）当l1⊥l2时，求a的值；（2）在（1）的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A（1，﹣3），求直线l3的一般方程．【解答】解：（1）由A1A2+B1B2=0⇒a+2（a﹣3）=0⇒a=2；（2）由（1），l2：x﹣y+3=0，又l3∥l2，设l3：x﹣y+C=0，把（1，﹣3）代入上式解得C=﹣4，所以l3：x﹣y﹣4=0．18．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos （A﹣B）=2sinAsinB．（1）判断△ABC的形状；（2）若a=3，c=6，CD为角C的角平分线，求CD的长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由cos（A﹣B）=2sinAsinB，得cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，…（2分）∴cosAcosB﹣sinAsinB=0，∴cos（A+B）=0，∴C=．…（6分）故△ABC为直角三角形．（2）由（Ⅰ）知C=90°，又a=3，c=6．∴b==3，A=30°，∠ADC=180°﹣30°﹣45°=105°，…（8分）由正弦定理得，∴CD=×sin30°=×=．…（12分）19．（12分）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2（r＞0），则圆心C（1，1）到直线x+y﹣1=0的距离为：，…（2分）则，∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；…（5分）（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：x=2，此时满足直线与圆相切；…（6分）②当切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣3=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+3；则圆心C（1，1）到直线kx﹣y﹣2k+3=0的距离为：，…（8分）化简得：4k=3，解得，∴切线方程为：3x﹣4y+6=0；…（11分）综上，切线的方程为：x=2和3x﹣4y+6=0．…（12分）20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC丄侧面A1AB B1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB丄BC；（2）若直线AC与面A1BC所成的角为，求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．【解答】证明：（1）取A1B的中点为D，连接AD，∵AA1=AB，D是A1B的中点，∴AD⊥A1B，又平面A1BC丄侧面A1AB B1，平面A1BC∩侧面A1AB B1=A1B，AD⊂平面A1AB B1，∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，又AB⊂平面A1AB，∴BC⊥AB．（2）连接CD，由（1）得AD⊥平面A1BC，∴∠ACD即AC与面A1BC所成线面角，即，∵A1A=AB=2，D为AB的中点，∴A1B=2，AD=A1B=，∴AC=2AD=2，∴BC==2，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，∴AB⊥平面BCC1B1，∴．21．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•=﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，即，解得a=0，r=2，所以圆C的方程是x2+y2=4．…（3分）（2）因为•=2×2×cos＜，＞=﹣2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，又d=，所以k=0．…（7分）（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆．…（8分）（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设E（x1，y1），F（x2，y2），则有①…（9分）由①得，②，③若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…（10分）则，所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．…（12分）此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…（13分）综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．…（14分）。