第二十五讲一元二次方程提升
17.2一元二次方程求根公式(第4课时)(2种题型基础练+提升练)(解析版)
17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义(北师大版)第10讲 用配方法求解一元二次方程(原卷版)
第10讲用配方法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n>0)的方程；2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解；3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．知识点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.知识点二、配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．考点一：直接开平方法解一元二次方程例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1)2490x -=；(2)()221491x +-=．【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：()219x +=．【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x 的值：()24116x -=．【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)()29140x --=；(2)()2215x -=．考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程()200mx n m +=≠，若方程有解，则必须（）A ．0n =B ．,m n 同号C ．n m 是的整数倍D ．,m n 异号【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x 的方程()221x m -=+有实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m >-C ．m 1≥D ．1m ≥-【变式2-2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是()A ．2410x x -+=B ．2210x x --=C ．240x x -=D ．240x -=【变式2-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程()2510x -+=的根的情况是（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根考点三：直接开平方法解一元二次方程的复合型例3.（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程：()()2231423x x -=+【变式3-1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：()()22311-=-x x 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：()22910x x --=．【变式3-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：()()22325x x -=+考点四：用配方法配二次项系数为1的一元二次方程例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程221x x -=，配方后得到的方程是（）A ．2(1)2x -=B ．()212x +=C ．2(1)0x +=D ．2(1)0x -=【变式4-1】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（）A ．()2854x +=B ．()2854x -=C ．()246x +=D ．()246x -=【变式4-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式4-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程2410x x -=+时，配方结果正确的是（）A ．()225x +=B ．()225x -=C ．()223x -=D ．()223x x +=考点五：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例5.（2024·广东东莞·模拟预测）解方程：224x x -=【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：2340x x +-=（用配方法）【变式5-2】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：214210x x -+=．【变式5-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：240x --=考点六：用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程24810x x --=时，变形正确的是（）A ．()2514x -=B ．()2215x -=C ．()215x -=D ．()2512x -=【变式6-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程22510x x --=，配方正确的是（）A ．2533416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．2541416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．252724x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．252924x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【变式6-2】（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程221290x x -+=，下列配方正确的是（）A ．()2932x -=B ．()2934x -=C ．()29232x -=D ．()29234x -=【变式6-3】（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程23430x x --=，应把它先变形为（）A ．221339x ⎛⎫-=⎪⎝⎭B ．2203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．211039x ⎛⎫-=⎪⎝⎭考点七：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例7.（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：22210x x -++=．【变式7-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程(1)2280x -=．(2)23620x x -+=【变式7-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)242x x +=；(2)27304x x --=；(3)2483x x -=-；(4)2441018x x x++=-【变式7-3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程22530x x ++=的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：解：原方程可变形为253022x x ++=，（第一步）∴25322x x +=-，（第二步）∴25253252424x x ++=-+，（第三步）∴251924x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（第四步）______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．考点八：配方法的应用例8.（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式245x x -+有最值，其最值为．【变式8-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x c k -+=与22()0a x c k -+=称为“同族二次方程”．例如：25(6)70x -+=与26(6)70x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(2)(4)80m x n x ++-+=与22(1)10x -+=是“同族二次方程”，则代数式22024mx nx ++的最小值是．【变式8-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当x =__________时，多项式2612x x -+的最小值为__________．（2）当x =__________时，多项式223x x -+-的最大值为__________．（3）当x 、y 为何值时，多项式222461219x xy y y -+-+取最小值？并求出这个最小值．【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m 与24m +的大小，填“>”“<”或“=”：①当3m =时，4m 24m +；②当2m =时，4m 24m +；③当3m =-时，4m 24m +；（2）论证，无论m 取什么值，判断4m 与24m +有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较．22x +与2246x x ++的大小．一、单选题1．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）方程240x -=的解为（）A ．2x =B ．124,4x x =-=C ．122,2x x =-=D ．4x =2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用配方法解方程2410x x --=时，配方结果正确的是（）A ．()212x -=B ．()223x -=C ．()225x -=D ．()225x +=3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（）A ．22x =-．解方程，得2x =B ．()224x -=，解方程，得22,4x x -==C ．()2419x -=，解方程，得()1271413,,44x x x -=±==D ．()22325x +=，解方程，得12235,1,4x x x +=±==-4．（2023·山东临沂·一模）已知2M a a =-，2N a =-（a 为任意实数），则M N -的值（）A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．无法确定5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程2(1)2(0)a x a a -=≠，下列判断正确的是()A ．方程的根与a 的值有关B ．方程有一个正根，一个负根C ．方程有两个负根D ．方程有两个正根二、填空题6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程22230x x --=时，配方后方程变形为．7．（23-24九年级上·吉林松原·期中）方程()211x k +=-有实数根，则k 的值可以是（写出一个即可）．8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）用配方法解一元二次方程：23648x x -=．第一步化二次项系数为1，得，方程两边同时加，配方得．9．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）定义新运算：对于任意实数m ，n ．都有2m n m n n ⊗=+，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：232(3)2220-⊗=-⨯+=．根据以上知识解决问题：若420x ⊗=，则x 的值是．10．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数a ，b ，新定义一种运算“※”：a ※()()222,2.a b a b b b a a b ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩．若x ※25=，则x 的值为．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)()22250x +-=(2)2420x x --=12．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程：(1)()24190x --=；(2)2240x x +-=．13．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程(1)2410x x --=；(2)()221160x --=．14．（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：(1)()419x x x -=-；(2)26061x x -=-．15．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．16．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考：【阅读材料】我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式224x x +-的最小值．2221()(451)225x x x x x +-=++-=+-，可知当=1x -时，224x x +-有最小值，最小值是5-．再例如：求代数式2364x x -+-的最大值．2223(361)(4321431)x x x x x -+-=--+-+=---，可知当1x =时，2364x x -+-有最大值．最大值是1-．(1)求2(16)x -+的最小值为_____，243+-x x 的最小值为_____；(2)若多项式22242024M a b a b =+-++，试求M 的最小值；(3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．。
第6讲 一元二次方程 2025年中考数学专题复习课件(共26张PPT)(湖南)
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
概 2
的整式方程.一般形式为 ax2＋ bx ＋ c ＝
念
0，其中 a ， b ， c 为常数， a ≠ 0
考点清单
考点❷
解一元二次方程【长沙T25】
解法
适用方程的形式或步骤
直接开平
3x2－6＝0的根为
方法
配方法
x1＝ ，x2＝－
一般步骤：移常数项；将二次项系数化为1；配完全平方式
(3)方程两边含有相同的因式.如方程串 M 中适合用因式分解法的
法
②
(填序号)
是
考点清单
考点❸
根的判别式及根与系数的关系【省卷T15】
判别式
根的情
况
根与系
数的关
系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式是
Δ＝b2－4ac
两个不相等
b2－4ac＞0⇔方程有
的实数根；
b2－4
ac ＝0
一次项系数 2
［配上(
) ］；写成(x＋ n )2＝ p 的形式；开平方解方程
公式法
适用于所有一元二次方程.关于 x 的一元二次方程
−± −
2
ax ＋ bx ＋ c ＝0(a≠0)的根为 x ＝
(b2－4 ac ≥0)
(1)常数项为0，即 ax2＋ bx ＝0；
因式分解 (2)将方程通过因式分解化为(mx＋ n )(px＋ q )＝0；
例1 原创问题链 已知 x2－2 x ＋ m ＝0 是关于 x 的一元二次方程.
(3)(6分)当 m ＝－3时，用两种方法求方程的解；
方法一：配方法
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
第4节一元二次方程、不等式--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第4节 一元二次方程、不等式课标解读1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.能借助二次函数求解一元二次不等式,能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1 强基础 固本增分知识梳理二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4a c.当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况{x|x<x1,或x>x2} R {x|x1<x<x2} ⌀常用结论1.不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).自主诊断√ × × √ 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则a>0.( )(2)不等式 ≥0与不等式(x-a)(x-b)≥0等价.( )(3)若不等式ax 2+bx+c<0中b 2-4ac<0,则其解集为⌀. ( )(4)函数y=lg(x 2+2x+2)的定义域为R.( )2.当k取什么值时,一元二次不等式2k x2+k x- <0对一切实数x都成立.3.已知-x2+ax+b≥0的解集是[-2,3],求x2-5ax+b<0的解集.解-x2+ax+b≥0化为x2-ax-b≤0,其解集为[-2,3],所以方程x2-ax-b=0的两根是-2,3,因此a=1,b=6,不等式x2-5ax+b<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).题组二连线高考4.(2020·全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},B且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .2 研考点 精准突破考点一 一元二次不等式的解法(多考向探究预测)考向1不含参数的一元二次不等式的解法(-∞,-2)∪(2,+∞)例1(1)不等式(x-2)(x+3)>x-2的解集为 .解析不等式(x-2)(x+3)>x-2可化为(x-2)(x+2)>0,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)函数f(x)= 的定义域为 .(3)不等式0≤2x2+x-3<7的解集为 .考向2简单的分式不等式的解法(-2,1]例2(1)(2024·陕西渭南检测)不等式≥1的解集为 .(2)(2024·河南郑州检测)函数f(x)= 的定义域为 . (1,+∞)(3)(2024·上海徐汇模拟)不等式≥1的解集为 . [-2,1]解析由于x2+2x+3>0恒成立,原不等式可化为x+5≥x2+2x+3,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,故解集为[-2,1].考向3含参数的一元二次不等式的解法例3若a>0,解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0.解由于ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.变式探究1(变条件)本例中,若“a>0”改为“a∈R”,再解不等式.解ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.当a=0时,不等式可化为-2(x-2)<0,解不等式得x>2;变式探究2本例中,若条件不变,且关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0的解集中,只有1个整数,求实数a的取值范围.[对点训练1]解关于x的不等式x2-2m x+m+1>0.解不等式对应方程x2-2mx+m+1=0的判别式Δ=(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1).考点二“三个二次”之间的关系及其应用CA.-2B.1C.2D.8[对点训练2](2024·江西南昌模拟)已知关于x的不等式m x2+nx+6m>0的解集(-5,+∞) 为(2,3),则不等式m x<n的解集为 .解析因为关于x的不等式mx2+nx+6m>0的解集为(2,3),所以m<0且方程mx2+nx+6m=0的根为2和3,则2+3=5= 所以不等式mx<n,即x> ,所以不等式mx<n的解集为(-5,+∞).考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多考向探究预测)考向1在R 上的恒成立问题例5(2024·云南红河检测)不等式ax 2-ax +a +1>0对∀x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)B解析①当a=0时,不等式化为1>0,恒成立;②当a≠0时,只需综上,a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞),故选B.[对点训练3](多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式m x2+m x-4≤2x2+2x-1对ABC任意实数x均成立”的一个充分不必要条件是( )A.-10<m≤2B.-10<m<2C.-10≤m<2D.m>2或m<-10解析依题意,即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3≤0恒成立.当m=2时,不等式可化为-3<0恒成立;当m<2时,由(m-2)2+12(m-2)≤0,解得-10≤m<2.综上,“不等式mx2+mx-4≤2x2+2x-1对任意实数x均成立”的充要条件是-10≤m≤2,因此一个充分不必要条件可以是A,B,C,故选ABC.考向2在给定区间上的恒成立问题例6(2024·四川雅安模拟)对任意的x∈(1,4),不等式ax2-2x+2>0都成立,则实数a的取值范围是( )D[对点训练4](2024·江苏徐州模拟)已知“∃x∈[1,2],x2+t x+2t-3>0”为假命题,则实数t的取值范围是 .解析依题意,该命题的否定“∀x∈[1,2],x2+tx+2t-3≤0”为真命题.考向3给定参数范围的恒成立问题例7(2024·浙江温州模拟)已知a ∈[-1,1]时,不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则x 的取值范围为( )A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)C 解析 a ∈[-1,1]时,不等式x 2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,可转化为关于a 的函数f (a )=(x-2)a+x 2-4x+4>0对任意a ∈[-1,1]恒成立,则满足解得x<1或x>3,即x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).[对点训练5](2024·重庆万州模拟)若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为( )C考点一考点二考点三解析 命题“∃a ∈[-1,3],ax 2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,其否定为真命题,即“∀a ∈[-1,3],ax 2-(2a-1)x+3-a ≥0”为真命题.本 课 结 束。
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
《解一元二次方程》第一课时 课件
可变形为( B )
A．（x+2）2=1
B．（x+2）2=7
C．（x+2）2=13
D．（x+2）2=19
课教堂学练目习
标
3．用配方法解一元二次方程：x2-6x+6=0．
课教堂学练目习
标
4．解方程：4x2-8x+1=0．
课教堂学练目习
标
5. 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2， 场地的长和宽分别是多少？
新教课学讲目解
标
解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
x2+6x+4=0 移项
x2+6x=-4
两边加上32,使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+9=-4+9
左边写成完全平方形式Leabharlann (x+3)2=5降次
新教课学讲目解
标
思考讨论：为什么在方程两边加9？
因为方程左边二次项系数为1，一次项系数是6，加上 该系数一半的平方可配成完全平方式。 总结：
人教版 九年级上
解一元二次方程 （第一课时）
导教入学新目课
标
一、温故知新、感受新知
1.如果x2=a（a≥0），则x=______ 2.如果x2=64，则x=__±_8___ 3. x2+12x+__3_6_=（x+6）2
4. x2-4x+__4__=（x-__2__）2
导教入学新目课
标
思考：
一桶油漆可刷的面积1500dm2， 小李用这桶漆恰好刷完10个同样 的正方体形状的盒子的全部外表 面，你能算出盒子的棱长吗？
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一元二次方程 单元测试
(满分100分,时间45分钟)
一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1. 方程2
269x
x -=的二次项系数. 一次项系数. 常数项分别为() ．
A ．6. 2. 9
B ．2. －6. －9
C ．2. －6. 9
D ．－2. 6. 9
2. 已知m 是方程022
=--x x 的一个根，则m m -2
的值是() ．
A. 0
B. 1
C. 2
D. -2 3.方程3(3)5(3)x x x -=-的根是() ．
A. 35
B. 3
C. 35和3
D. 3
5
和-3
4. 将方程0982
=++x x 左边变成完全平方式后，方程是() ．
A. 7)4(2=+x
B. 25)4(2=+x
C. 9)4(2-=+x
D. 7)4(2-=+x
5. 方程
022=--x x 的两根和是() ． A. 1 B. －1 C. 2； D. -2
6. 已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是() ．
A. 5和9
B. -9和-5
C. 5和-5或-9和9
D. 5和9或-9和-5
7. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是() ．
A. x(x+1)= 110
B. x(x-1)= 110
C. x(x+1)=110×2
D. x(x-1)= 110×2
8. 某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的是() ．
A. 2
580(1-)1185x = B. 2
1185(1-)580x = C. 2
580(1)1185x += D. 2
1185(1)580x +=．
9. 从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是() ．
A. 64平方米
B. 100平方米
C. 81平方米
D. 48平方米
10. 在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形图画的四周镶一条金色的
纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x 厘米，那么满足的方程是() ． A ．2
13014000x
x +-=B ． 213014000x x --=
C ．2
653500x x --=D ．2
653500x x +-=
二、细心填一填（每小题3分，共15分）
11. 把方程2(x -3)2
=5化成一元二次方程的一般形式是.
12. 方程2
0x
-=的根是.
13. 若方程x 2
-m =0有整数根，则m 可取的值是.（只填一个即可） 14. 如果－1是方程0422
=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是 .
15.若一元二次方程02
=--k x x
有两个不相等的实数根,则m .
三、耐心解一解（共55分）
（16—20题按指定的方法解方程，每题6分，共30分。
）
16．02522=-+）（x （直接开平方法）； 17.0542
=-+x x
（配方法）；
18.)3(2)3(+=+x x x （因式分解法）； 19.0322
=--t t t ）
（（因式分解法）. 20.01722
=+-x x （公式法）
21.某单位2005年给希望工程捐款2万元,以后每年都捐款,2007年比2005年多捐款0.88万元,请你计算出这个单位平均每年捐款增长的百分率是多少?(8分)
22.已知代数式:
752+-x x (8分) (1).用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数; (2).当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
四、决心探一探（共9分）
23. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=8 cm ，BC=4 cm ，一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，运动时间为t(s).
（1）当t 为几秒时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的4
1
？
（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能， 求出t 的值；若不能，说明理由.
《一元二次方程 单元测试》参考答案：
一、精心选一选
1. B ；
2. C ；
3. C ；
4. A ；
5.C ；
6. D ；
7. B ；
8. B ；
9. A ；10. D. 二. 细心填一填
11. 2 2x -12x+13=0；12. x 1=0，x 2=5；13. 0（答案不唯一）；14. 1；15. 2； 16. 1.44a ；17. 7；18. 20x x -=（答案不唯一）. 三. 耐心解一解
19. (1)31=x ，72-=x ； (2)11=x ，52-=x ；(3)321==x x ；
(4) 44171+=
x ，4
41
72-=x . 20. 同意他的说法（理由略）.
21.（1）由于方程只有一个实数根，即原方程为一元一次方程， ∴021=-k .解得21=k .此时原方程变为02121232=⨯-⨯-x ，即04
1
3=+x . 解得12
1-
=x . （2）由根与系数关系，得k
k x x 21)
1(221-+=
+，)21(221k k x x --=.
∴
=+2111x x 62121-=+x x x x .即21216x x x x -=+.∴)
21(2621)1(2k k k k -=-+. ∵021≠-k ，∴k k 3)1(2=+.解得2=k .
22. (1)证明:
方程220x c a ++-=有两个相等的实根, ∴△=0,即△
=(()2
42c a -⨯-=0.整理，得a+b=2c.
方程3cx+2b=2a 的根为0,则2b=2a,即a=b. ∴2a=2c,a=c, ∴a=b=c.故△ABC 为等边三角形.
(2)解:∵a=b,∴方程2-30x mx m +=有两个相等的实根.∴△=0. 即△=24130m m +⨯⨯=.解得m 1=0,m 2=-12. ∵a 、b 为正数,∴m 1=0(舍),故m=-12.
23.（1）根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.40005,20007b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.9000,
1000b k
∴y 与x 之间的函数关系式是y=-1000x+9000.
（2）设该种水果价格每千克应调低至x 元，根据题意，得
(-4)(-10009000)(10-5)1000(120%)x x +=⨯⨯+.
整理，得213420x x -+=.解得x 1=6， x 2=7.
答：为了让顾客得到实惠，该种水果价格每千克应调低至6元. 四、决心探一探 24.（1）S △PCQ =
21t(8-2t)，S △ABC =21×4×8=16.∴21t(8-2t)=16×4
1
， 整理得t 2-4t+4=0. 解得t=2.即当t=2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的4
1
. （2）△PCQ 的面积不能为△ABC 面积的一半. 理由：当S △PCQ =
21S △ABC 时，21t(8-2t)=16×2
1. 整理，得t 2-4t+8=0，0163216<-=-=∆，这个方程无解. ∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半.。