离散数学习题

第一章习题
1. 1 判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。
（1） 2 是无理数。
（2）5 能被 2 整除。 （3）现在开会吗 （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2 是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000 年 10 月 1 日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4 是 2 的倍数或是 3 的倍数。 （13）4 是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1. 3 判断下列各命题的真值。
（1） 若 2+2=4，则 3+3=6； （2） 若 2+2=4，则 3+3 6； （3） 若 2+2 =4，则 3+3=6； （4） 若 2+2 =4，则 3+3 =6； （5） 2+2=4，当且仅当 3+3=6； （6） 2+2=4，当且仅当 3+3 6； （7） 2+2 4，当且仅当 3+3=6； （8） 2+2 4，当且仅当 3+3 6； 1. 4 将下列命题符号化，并讨论其真值。
设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分 别装一个可以控制同一个电灯 F 的 3 个开关 A,B,C, 当且仅当一个开关的搬键向 上或 3 个开关的搬键都向上时候电灯亮，则 F 的逻辑关系式可以化简为 A 供选择的答案
A:① A B C ② A B C (A B C)
个体域分别为
（a）实数集合 (b)整数集合 (c)正整数集合 (d)（非 0 实数集合） 设个体域 D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y))
(2) x y(F(x)∨G(y))
(3) xF(x)→ yG(y)
(4) x(F(x,y)→ yG(y))
．设个体域 D={1,2}，请给出两种不同的解释 I1 和 I2，使得下面公式在 I1 下都是真命题， 而在 I2 下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x))
有一探测队有 3 名队员，有一天取得一块矿样，3 人的判断如下： 甲说：这不是铁，也不是铜； 已说：这不是铁，是锡； 丙说：这不是锡，是铁； 经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的 判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。 判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行 判断。 （1）如果今天是 1 号，则明天是 5 号，今天是 1 号，所以明天是 5 号。 （1）如果今天是 1 号，则明天是 5 号，明天是 5 号，所以今天是 1 号。 （1）如果今天是 1 号，则明天是 5 号，明天不是 5 号，所以今天不是 1 号。 （1）如果今天是 1 号，则明天是 5 号，今天不是 1 号，所以明天不是 5 号。 构造下面的推理的证明。
在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：
（1）对于任意的 x，均有 x2-2=(x+ )(x- )。
（2）存在 x，使得 x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。
将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.
(1)xy(x.y 0) (2)xy(x.y 0) (3)xy(x.y 1) (4)xy(x.y 1) (5)xy(x.y x) (6)xy(x.y x) (7)xyz(x y z)
1. 5 设 p,q 的真值为 0 ，r,s 的真值为 1，求下列命题公式的真值。 （1） p (q r);
（2） (p r) ( p s); （3）（p (q r) ((p q) (r s); (4) (p (q r p))) (r s);
设 p：2+3=5。 q：大熊猫产在中国。 r：复旦大学在广州。
(2) x(F(x)∧G(x) ．给定解释 I 如下： (a) 个体域 D={3,4}。 (b) (x)为 (3)=4， (4)=3。
(c) (x,y)为 (3,3)= (4,4)=0， (3,4)= (4,3)=1。
试求下列公式在 I 下的真值： (1) x yF(x,y)
(2) x yF(x,y)
设个体域，在 D=｛a,b,c｝ 下 D 验证量词否定等值式 (1)xA(x) xA(x) (2)xA(x) xA(x)
2.14在一阶逻辑中将下面的命符号化，并且要求只能使用全称量词 （1）没有人长绿色的头发 （2）有的北京人没有去过香山 设个体域，在 D=｛a,b,c｝,消去下列公式中的量词。 （1）xF(x) yG(y) (2)x(F(x) yG(y)) (3)yxH(x,y)
1. 8 用等值演算法证明下列等值式。 (1) (p q) (p q) p; (2) ((p q) (p r)) (p (q r)); (3) (p q) (q p) (p q))
1. 9 设 A,B,C 为任意的命题公式。 (1) 已知 A C B C,问 A B 吗 (2) 已知 A C B C,问 A B 吗 (3) 已知 A B, 问 A B 吗
（1） 如果今天是 1 号，则明天是 2 号； （2） 如果今天是 1 号，则明天是 3 号； 1. 5 将下列命题符号化。 （1） 2 是偶数不是素数； （2） 小王不但聪明而且用功； （3） 虽然天气冷。老王还是来了； （4） 他一边吃饭，一边看电视； （5） 如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6） 只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7） 除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8） 不经一事，不长一智；
(1)( p q), q r, r (2)( p q) r, r s, s (3)p q, q r, r s
上述前提中，（1）的逻辑结论（有效结论）为 A，（2）的逻辑结论为 B，（3） 的逻辑结论 C。 供选择的答案
A,B,C:① r ② q ③ p ④ s ⑤ p q ⑥ p s ⑦ p q
结论： x(F(x) R(x))
取个体域为整数集，给定下列各公式
(1)xy(x.y 0) (2)xy(x.y 1) (3)yx(x.y 2) (4)xyz(x y z)
(5)x-y=-y+x (6)xy(x.y=y) (7)x(x.y=x) (8)xy(x+y=2y)
上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为 A，主合取范式含的极大项的个数 为 B，成真值的赋值为 C 供选择的答案 A① 2 ② 3 ③ 5 ④ 0 ⑤ 8 B① 0 ② 8 ③ 5 ④ 3 C① 000,001,110; ②001,011,101,110,111; ③全体赋值 ④ 无 给定下列三组前提。
(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)) ．在自然推理系统 F 中构造下面推理的证明： (1) 前提： x(F(x)→(G(a)∧R(x)))， xF(x) 结论： x(F(x)∧R(x)) (2) 前提： x(F(x)∨G(x))，┐ xG(x) 结论： xF(x) (3) 前提： x(F(x)∨G(x))， x(┐G(x)∨┐R(x))， xR(x) 结论： xF(x) ．在自然推理系统 F 中，证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。 (1) 试给出解释，使得
x(F(x) G(x))与x(F(x) G(x))
在下具有不同的真值 （2）试给出解释，使得
x(F(x) G(x))与x(F(x) G(x))
在下具有不同的真值 给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式 （用真式）
(1)x(F (x) G(x)) (xF (x) xG(x)) (2)(xF (x) xG(x)) x(F (x) G(x))
求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。
（1）( p (q v) ( p q r); （2）(p q) (q p); （3）( p q) q r;
通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。
（1）1，p (q r); 2，q范式，要求使用自由变换换名规则。 (1)xF(x) yG(x,y) (2)x(F(x) yG(x,y,z) zH(x,y,z)
构造下面推理的证明
（1）前提； xF(x) y((F( y) G(y)) R(y))
结论： xF(x)
（3） 前提： x(F(x) (G( y) R(x))), xF(x ）
（1）前提：p( p q), q r, r. 结论：p. (2)前提：p (q s),q,p r; 结论：r s. （3）前提：p q. 结论：p (p q) （4）前提：q p,q s,s t,t r. 结论：p q r s.
如果他是理科学生，他必学好数学，如果他不是文科学生，他必是理科学生，他 没有学好数学，所以他不是文科学生。 判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。 给定命题公式如下；
（1）对于任意的 x，均由 x 12 x2 2x 1
(2 )存在 x，使得 x+2=0. (3 ) 存在 x，使得 5x=1. 在一阶逻辑中将下列命题符号化. （1）每个大学生不是文科生就是理科生. （2）有些人喜欢所有的花. （3）没有不犯错误的人. （4）在北京工作的人未必就是北京人. （5）任何金属都可以溶解在某种液体中. （6）凡对顶角都相等.
求下列复合命题的真值： （1）(p q)→r （2）(r→(p∧q)) ┐p （3）┐r→(┐p∨┐q∨r) （4）(p∧q∧┐r) ((┐p∨┐q)→r) ．用真值表判断下列公式的类型：方法不限。 （1）p→(p∨q∨r) （2）(p→┐q)→┐q （3）┐(q→r)∧r （4）(p→q)→(┐q→┐p) （5）(p∧r) (┐p∧┐q) （6）((p→q)∧(q→r))→(p→r) （7）(p→q) (r s)