(最新)中考数学二轮复习专题强化训练解答题重难点题型突破超全包含各种类型专题带答案
中考数学2轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
2024陕西中考数学二轮专题训练 题型一 二次函数的图象与性质 (含答案)
2024陕西中考数学二轮专题训练题型一二次函数的图象与性质1.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，则b，c的值可能是()A.b＝－3，c＝3B.b＝3，c＝－3C.b＝3，c＝3D.b＝－3，c＝－3第1题图2.如图所示的四个函数图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是()A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.b>a>d>c第2题图3.已知二次函数y＝2x2－4x＋1，则下列说法正确的是()A.该函数图象开口向下B.该函数图象可由函数y＝x2平移得到C.该函数图象的顶点在x轴下方D.y有最大值－14.在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－1134…y…－6m n－6…则m、n的大小关系为()A.m＜nB.m＞nC.m＝nD.无法确定5.若二次函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象经过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是()A.x＜0或x＞2B.－4<x<2C.x<－4或x>2D.0＜x＜26.已知抛物线C2与抛物线C1：y＝x2－2x＋m－1关于x轴对称，且抛物线C2经过点(1，4)，则m的值为()A.－2B.－12C.2 D.127.在平面直角坐标系中，若点A(a，b)关于y轴对称的点在第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx ＋1的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A.3B.－1C.4D.4或－19.抛物线y＝x2＋2x＋a－2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为()A.3B.2C.2或－3D.2或310.已知二次函数y＝(x＋m)(x－m－4)，点A(－1，a)，B(2，b)，C(3，c)是该函数图象上的三个点，则下列结论正确的是()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.将抛物线y＝x2＋2mx＋m2－1向左平移3个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为()A.(0，0)B.(0，4)C.(0，15)D.(0，16)12.已知抛物线y＝ax2＋x－a(a≠0)与y轴的交点在x轴的下方，则下列说法中正确的是()A.该抛物线的顶点一定在第一象限B.该抛物线的顶点一定在第二象限C.该抛物线的顶点一定在第三象限D.该抛物线的顶点所在象限不确定13.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2＋8x＋m，则m的值为()A.－13或－19B.－13或19C.13或19D.13或－1914.若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是()A.(2，4)B.(－2，4)C.(－2，－4)D.(2，－4)15.二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是()A.若y1y2>0，则y3y4>0B.若y1y4>0，则y2y3>0C.若y2y4<0，则y1y3<0D.若y3y4<0，则y1y2<016.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)，则下列结论：①ab＜0；②3a＋c＞0；③当－2＜x＜1时，y随x的增大而减小；④若点M(m，2)，N(n，2)是该抛物线上的两点，则－4＜m＋n＜－2.其中正确结论的个数是()第16题图A.0个B.1个C.2个D.3个17.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－10123…y…30－1m3…以下结论正确的是()A.抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B.当x<3时，y随x增大而增大C.方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D.当y>0时，x的取值范围是0<x<218.下列关于二次函数y＝－12x2－6x＋2m－6的图象与x轴交点的判断，说法正确的是()A.当m≤－6时，没有交点B.当m＝－6时，只有一个交点，且它位于y轴右侧C.当m＞3时，有两个交点，且它们均位于y轴右侧D.当－6＜m＜3时，有两个交点，且它们均位于y轴左侧参考答案1.C【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝b2＞0，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0.∴b ，c 的值可能为b ＝3，c ＝3.2.A3.C 【解析】∵a ＝2>0，∴该函数图象开口向上，A 错误；由平移规律可得，二次函数图象平移时，开口大小不会发生改变，因此二次函数y ＝2x 2－4x ＋1图象不能由函数y ＝x 2平移得到，B 错误；∵y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，在x 轴下方，C 正确；y 的最小值为－1，D 错误．4.B 【解析】由表格可得，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝－1＋42＝32，∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的开口向下，∴该函数图象上的点距离对称轴越近，函数值越大．∵32－1＝12，3－32＝32，∴m ＞n .5.C 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋m 的对称轴为直线x ＝－2a2a＝－1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－4，0)，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜－4或x ＞2时，y ＜0.6.A【解析】∵抛物线C 1与抛物线C 2关于x 轴对称，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－x 2＋2x －m ＋1，∵抛物线C 2经过点(1，4)，∴－1＋2×1－m ＋1＝4，解得m ＝－2.7.A【解析】∵点A (a ，b )关于y 轴对称的点在第一象限，∴点A 在第二象限，∴a ＜0，b ＞0，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点坐标为(－b 2a ，4a －b 24a )，∴－b2a >0，4a －b 24a ＞0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限．8.C【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a >0，y 最小值＝4ac －b 24a＝4a （a －1）－424a ＝2，整理，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4，∵a >0，∴a ＝4.9.D【解析】由题可知，该抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝－1，且抛物线开口向上，若图象与坐标轴有且仅有两个交点，则有两种情况：第一种，图象经过原点，则a ＝2；第二种，顶点在x 轴上，0＝1－2＋a －2，则a ＝3.10.B【解析】∵y ＝(x ＋m )(x －m －4)，∴该二次函数图象与x 轴的交点为(－m ，0)，(m＋4，0)，∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝－m ＋m ＋42＝2.∵二次函数图象的开口向上，∴距离对称轴越远的点，函数值越大，∴a >c >b .11.A 【解析】y ＝x 2＋2mx ＋m 2－1＝(x ＋m )2－1，∵将抛物线y ＝x 2＋2mx ＋m 2－1向左平移3个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，∴平移后的抛物线表达式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴平移后的抛物线与y 轴的交点坐标为(0，0)．12.C【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋x －a 与y 轴的交点在x 轴下方，∴－a <0，∴a >0.由题意得，抛物线的顶点坐标为(－12a ，－4a 2－14a )．∵a >0，－4a 2－1<0，∴－12a <0，－4a 2－14a <0，∴该抛物线的顶点一定在第三象限．13.C【解析】∵y ＝x 2＋8x ＋m ＝(x ＋4)2－16＋m ，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝－4，∵有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，∴顶点到原点的距离是5，∴顶点的纵坐标的绝对值是：52－42＝3，∴－16＋m ＝±3，解得m 1＝13，m 2＝19.14.A【解析】∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x ＝2，∴抛物线与x 轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴顶点P 的坐标为(2，－4)，∴点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2，4)．15.C【解析】∵－－2a2a＝1>0，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，∵a >0，∴由二次函数的增减性及对称性得y 1>y 4>y 2>y 3，∵y 1y 2>0，∴y 1、y 2同号，可推出y 4与y 1、y 2同号，而y 3不确定，∴A 选项错误；∵y 1y 4>0不能推出y 2、y 3同号，∴B 选项错误；∵y 2y 4<0，∴y 2、y 4异号，∵y 4>y 2，∴y 4>0，y 2<0，∴y 1>0，y 3<0，即y 1y 3<0，∴C 选项正确；∵y 3y 4<0，∴y 3、y 4异号，∵y 4>y 3，∴y 4>0，y 3<0，∴y 1>0，而y 2不确定，∴D 选项错误．16.C 【解析】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a＜0，∴b ＜0，∴ab ＞0，故①错误；②∵抛物线与x 轴的一个交点为(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵抛物线的对称轴在直线x ＝－2和直线x ＝－1之间，∴－b2a＜－1，∴b ＜2a ＜0，∴0＝a ＋b ＋c ＜a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ，∴3a ＋c ＞0，故②正确；③当－2＜x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大，当－b2a＜x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故③错误；④∵点M (m ，2)，点N (n ，2)是抛物线上的两点，∴点M ，N 关于抛物线对称轴对称，∴－2＜m ＋n2＜－1，∴－4＜m ＋n ＜－2，故④正确．∴正确的结论有2个．17.C 【解析】∵抛物线过点(－1，3)，(0，0)，(1，－1)，∴将(－1，3)，(0，0)，(1，－1)代入y ＝ax 2＋bx ＋c －b ＋c ＝3＝0＋b ＋c ＝－1＝1＝0＝－2，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ，∵a ＞0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故A 选项错误；∵－b2a ＝－－22×1＝1，抛物线对称轴为直线x ＝1，且抛物线开口向上，∴x >1时，y 随x 的增大而增大，故B 选项错误；令x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，∴该方程的根为0和2，故C 选项正确；当y ＝x 2－2x ＞0时，x 的取值范围为x >2或x <0，故D 选项错误．18.D【解析】∵b 2－4ac ＝24＋4m ，∴当m ≤－6时，24＋4m ≤0，该函数图象与x 轴有一个交点或没有交点，故A 选项错误；当m ＝－6时，y ＝－12(x ＋6)2，令y ＝0，解得x 1＝x 2＝－6，∴该函数图象与x 轴只有一个交点，且在y 轴左侧，故B 选项错误；当m >3时，24＋4m ＞0，2m －6>0，∴该函数图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴．∵该函数图象的对称轴为直线x ＝－6，∴该函数图象与x 轴的交点位于y 轴两侧，故C 选项错误；当－6＜m ＜3时，－18<2m －6<0，24＋4m >0，∴该函数图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于负半轴．∵对称轴在y 轴左侧，∴该函数图象与x 轴的交点均位于y 轴左侧，故D 选项正确．。
2024陕西中考数学二轮专题训练 方程、不等式的实际应用 (含答案)
2024陕西中考数学二轮专题训练方程、不等式的实际应用考向一购买、销售问题构建“总价＝单价×数量”关系1.[数学文化]《九章算术》中方程篇记述这样一道题，原文如下：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”大意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？请解答上述问题．2.某超市购进了一批袋装的米脂小米，平均每天可销售40袋，每袋盈利15元，为扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施．经调查发现，每袋米脂小米每降价2元，超市平均每天可多售出10袋．若超市这批米脂小米平均每天要盈利660元，则每袋米脂小米应降价多少元？3.某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：第3题图请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．考向二行程问题构建“路程＝速度×时间”关系4.我国元朝的数学著作《算学启蒙》中记载了一道追及问题，陈老师改编如下：良马每天跑240里，驽马每天跑150里．良马和驽马从同地出发，驽马先走12天，问良马追上驽马需要多少天？5.小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟.求小颖上坡、下坡各用了多长时间？6.请根据下面对话，解答问题：第6题图求小明今天的速度．考向三工程问题构建“工作总量＝工作效率×工作时间”关系7.随着科技的发展，小型收割机越来越受农民的欢迎，它不仅突破了农村无法进入大型收割机收割的作业瓶颈，推进了收获作业的机械化，缩短了劳动周期，还让人们从繁重的体力劳动中解放出来．已知一收割机收割一块麦田，上午收割了30%，下午收割了40%，结果还剩9亩没有收割，求这块麦田共有多少亩？8.为稳步推进5G网络建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成50km 的工程，已知甲队每天能完成的工程量是乙队的2倍，当两队分别各完成25km的工程时，甲队比乙队少用5天．求甲、乙两队每天能完成的工程量是多少？考向四几何图形构建“面积”关系9.小明家在装修时，小明想知道墙砖的尺寸大小，但是爸爸忽然忘记了，只记得地砖的尺寸，好学的小明计划利用地砖测量墙砖的尺寸，他将4块大小相等的矩形墙砖按如图所示放置在600mm×1200mm的矩形地砖上，恰好发现上下重合，请你根据以上信息，求出墙砖的尺寸．第9题图10.全运会期间，为方便观看比赛的观众停车，举办单位利用一块矩形空地建了一个临时的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2.求通道的宽是多少米？第10题图考向五生产分配问题11.[数学文化]我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？12.为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？参考答案1.解：设牛、羊每头各值金x两、y两，x＋2y＝10x＋5y＝8，＝3421＝2021，答：牛每头值金3421两，羊每头值金2021两．2.解：设每袋米脂小米应降价x元，由题意得，(15－x)(40＋x2×10)＝660，解得x1＝3，x2＝4，∵该超市要扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x应取4，即每袋米脂小米应降价4元．3.解：设今年5月1日该旅行社租用的A种客房每间租金为x元，则B种客房每间租金为(x－40)元，根据题意得，2000x＝1600x－40，解得x＝200，经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，∴200－40＝160(元)．答：今年5月1日该旅行社租用的A种客房每间租金为200元，B种客房每间租金为160元．4.解：设良马追上驽马的时间为x天，根据题意可得，240x＝150(x＋12)，解得x＝20，答：良马追上驽马需要20天．5.解：设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，＋y＝16x＋200y＝1880，＝＝5.答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．6.解：设小明原来的速度为x km/h，则今天的速度为1.2x km/h，由题意得151.2x＋16＝15x，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝18，答：小明今天的速度为18km/h.7.解：设这块麦田共有x亩，由题意得x－30%x－40%x＝9，解得x＝30，答：这块麦田共有30亩．8.解：设乙队每天能完成的工程量是x km，则甲队每天能完成的工程量是2x km，由题意得25x－252x＝5，解得x＝2.5，经检验，x＝2.5是原分式方程的解，且符合题意．∴2x＝5，答：甲队每天能完成的工程量是5km，乙队每天能完成的工程量是2.5km.9.解：设墙砖的长为x mm，宽为y mm，由题意得＝600＋2y＝1200＝600＝300，答：墙砖的长为600mm，宽为300mm.10.解：设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为(52－2x)米，宽为(28－2x)米的矩形，依题意得：(28－2x)(52－2x)＝640，整理得x2－40x＋204＝0，解得x1＝6，x2＝34.又∵28－2x>0，∴x<14，∴x＝6.答：通道的宽是6米．11.解：设共有x人，y辆车，（y－2）＝x y＋9＝x，＝39＝15，答：共有39人，15辆车．12.解：设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产(1＋20%)x万剂疫苗，由题意可得：240（1＋20%）x＋0.5＝220x，解得x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意．答：原先每天生产40万剂疫苗．。
中考数学第二轮复习(全套)精讲精练 通用版中考绝密复习资料
第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BDBE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—作图题(含答案)
2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—作图题（含答案）几何直观是初中数学核心素养之一，几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯．能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路．几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径．考点讲解：五种基本尺规作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，作已知线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线．有时没有直接给出作图的方式，需要根据已知条件分析得出作基本作图中的哪一种或几种．【例1】（2023·陕西·统考中考真题）1．如图．已知锐角ABC ，48B ∠=︒，请用尺规作图法，在ABC 内部求作一点P ．使PB PC =．且24PBC ∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）【变1】（2021·江苏南京·统考中考真题）2．如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求：试卷第2页，共14页（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．考点讲解：一般的网格是由全等的正方形构成的，可视网格的边长为单位“1”，根据正方形的性质，结合作图目标展开作图．常见的是利用网格作三视图，利用网格作作特殊的三角形和四边形，利用网格设计图案等．【例1】（2023·陕西西安·校考三模）3．如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．(1)请结合俯视图画出这个几何体的主视图和左视图．(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．【变1】（2023·江苏盐城·校考二模）4．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A 、B 、C 三点是格点，仅用无刻度尺的直尺．．．．．．．在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结(1)如图1，点P 在线段AB 上，请在图1中完成以下作图：画出一点E ，使BE=BP ：(2)在图2中完成以下作图：在线段BC 上画出一点考点讲解：图形的变换包括平移、旋转、对称、位似，根据这些变换的性质作图．(1)将ABC 向上平移4个单位，再向右平移(2)请画出ABC 关于y 轴对称的222A B C △(3)将222A B C △着原点O 顺时针旋转90︒，得到考点讲解：描点作图是针对函数展开的．画函数图象的步骤是：列表，描点，连线．试卷第4页，共14页试卷第6页，共14页结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C ______0.990（填“>”“=”或“<”）．（2022·广西贵港·中考真题）9．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m ，n ．求作ABC ，使90,,A AB m BC n ∠=︒==．（2021·山东青岛·统考中考真题）10．已知：O ∠及其一边上的两点A ，B ．求作：Rt ABC ，使90C ∠=︒，且点C 在O ∠内部，BAC O ∠=∠．（2023·山东滨州·统考中考真题）11．（1）已知线段,m n ，求作Rt ABC △，使得90,,C CA m CB n ∠=︒==；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在（2023·江苏·统考中考真题）△12．如图，在Rt ABC，使得圆心(1)尺规作图：作O保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）试卷第8页，共14页(1)请用无刻度的直尺和圆规作出(2)若（1）中所作的角平分线与边（2023·山东青岛·统考中考真题）（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）16．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为均在小正方形的顶点上．试卷第10页，共14页(1)在方格纸中画出ABE ，且AB =(2)在方格纸中将线段CD 向下平移MN （点C 的对应点是点M ，点D 长．(1)在图①中，ABC 的面积为92；(2)在图②中，ABC 的面积为5(3)在图③中，ABC 是面积为52的钝角三角形．（2023·湖北·统考中考真题）(1)在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN(2)在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ （2023·湖北武汉·校联考模拟预测）(1)在图中画一个等腰三角形画出该三角形绕矩形ABCD试卷第12页，共14页(2)在图中画一个Rt PQR △，使45P ∠=︒，点Q 在BC 上，点R 在AD 上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）21．如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．(1)画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的线段OB ，连接AB ；(2)画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；(3)填空：OCB ∠的度数为_________．（2023·山东枣庄·统考中考真题）22．（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．（2020·宁夏·中考真题）23．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是(1,3),(4,1),(1,1)A B C ．（1）画出ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △；（2）画出ABC 以点O 为位似中心，位似比为1∶2的222A B C △．（2023·重庆·统考中考真题）24．如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．（2023·四川达州·统考中考真题）25．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑试卷第14页，共14页(2)【探究】根据以上实验，构建出函数()1202y x x =≥+的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数②随着自变量x 的不断增大，函数值y 的变化趋势是(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x参考答案：【点睛】本题考查了作图合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，2．答案见解析．【分析】方法一：作出答案第2页，共30页【详解】解：作法：作射线PO ，交O 于点,M N ，以P 为圆心，长为半径画弧交P 于点A ，连接,PA OA ,OA 交O 于点12OB OA =，则PB OA ⊥，PB 即为所求．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，操作．(2)2【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；据此可画出图形．（2）结合主视图和俯视图不变得出可在第二层第1列第一行加一个，第三层第1列第一行加一个，共2个．【详解】（1）解：画图如下：（2）解：主视图和俯视图不变得出可在第二层第1列第一行加一个，第三层第1列第一行加一个，共2个．故答案为：2．【点睛】本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，理解三视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．4．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）将点A向右平移5个格得到点D，连接CD即得菱形ABCD，连接BD、CP交于点Q，作射线AQ交BC于点E，点E即为所作；（2）连接AC交格点于点M，连接BD交格点于点N，作射线AN交BC于点F，则∠=∠，即点F即为所作．BAF FCN（2）如图，点F即为所作．【点睛】题考查作图﹣应用与设计，涉及菱形的判定与性质、全等三角形、等腰三角形的性质解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识找到关键信息作图．．(1)见解析(2)见解析(3)134π答案第4页，共30页（2）如图所示，222A B C △即为所求；（3）将222A B C △着原点O 顺时针旋转90︒，得到设 23A A 所在圆交3OC 于点D ，交2OC 于点E 23OA OA =，23OC OC =，23C E C D ∴=，3290A OA ∠=︒ ，2390C OC ∠=︒，32A OD A OE ∴∠=∠，32A D A E ∴=，3322A C D A C E S S ∴= 曲边曲边，332OC =，OD =π4答案第6页，共30页答案第8页，共30页故答案为：4；②根据表格描点再连接起来，如图所示，；（3）解：①当1x ≥时，2(1)224y x x =--+=-+，故答案为：24x -+；②当1x <时，2(1)22y x x =-+=，当1x =时，2y =，当0x =时，0y =，当2x =时，2240y =-⨯+=，描点如图所示，；（4）解：由解析式得，当x b ≥时，y ax ab c =-+，当0a >时，x b ≥时，y 随x 增大而增大，当a<0时，x b ≥时，y 随x 增大而减小，当x b ≤时，y ax ab c =-++，当0a >时，x b ≤时，y 随x 增大而减小，当a<0时，x b ≤时，y 随x 增大而增大，故答案为：当0a >时，x b ≥时，y 随x 增大而增大，当a<0时，x b ≥时，y 随x 增大而减小，当0a >时，x b ≤时，y 随x 增大而减小，当a<0时，x b ≤时，y 随x 增大而增大（写其中任意一条即可）．【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式．8．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一答案第10页，共30页由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C <，故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．9．见解析【分析】作直线l 及l 上一点A ；过点A 作l 的垂线；在l 上截取AB m =；作BC n =；即可得到ABC ．【详解】解：如图所示：ABC 为所求．注：（1）作直线l 及l 上一点A ；（2）过点A 作l 的垂线；（3）在l 上截取AB m =；（4）作BC n =．答案第12页，共30页【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10．见解析【分析】先在∠O 的内部作∠DAB =∠O ，再过B 点作AD 的垂线，垂足为C 点．【详解】解：如图，Rt △ABC 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作射线AP ，在AP 上截取AC m =，过点C 作AC 的垂线MN ，在CN 上截取CB n =，连接AB ，则Rt ABC △，即为所求；（2）先根据题意画出图形，再证明．延长CD 至E 使CD DE =，连接AE 、BE ，因为D 是AB 的中点，所以AD BD =，因为CD DE =，所以四边形ACBE 是平行四边形，因为90ACB ∠=︒，所以四边形ACBE 是矩形，根据矩形的性质可得出结论．【详解】（1）如图所示，Rt ABC △即为所求；∵CD 为AB 边中线，∴BD AD =，∴四边形ACBE 为平行四边形.∵90ACB ∠=︒，∴平行四边形ACBE 为矩形，答案第14页，共30页（2）解：∵60,ABC AB ∠=︒=∴30A ∠=︒，∴12DO OB AO ==，∵60,ABC OB OE ∠=︒=，∴OBE △是等边三角形，如图所示，过点E 作EF BO ⊥∴30OEF ∠=︒∠．（2）证明：∵OP平分AOB答案第16页，共30页（2）证明：∵AE 平分BAC ∠∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，性质．（2）解：如图所示，MN，EN22EN=+=．112【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析答案第18页，共30页（2）由网格可知，22AB=+=3110以10AB=为底，设AB（3）如图所示，作5==，过点BD AB由网格可知，22BD AB==+=，215△是直角三角形，且∴ABD∥∵CD AB答案第20页，共30页（2）解：如图，菱形BEPQ 即为所求．BEPQ 是菱形，且要求BE 为边，∴①当BE 为上底边的时候，作BE PQ ∥，且BE PQ BQ EP ===，BQ 向右下偏移，如图所示，②当BE 为上底边的时候，作BE PQ ∥，且BE PQ BQ EP ===，BQ 向左下偏移如图所示，答案第22页，共30页③当BE 为下底边的时候，作BE PQ ∥，且BE PQ BQ EP ===，BQ 向左上偏移如图所示，④当BE 为下底边的时候，作BE PQ ∥，且BE PQ BQ EP ===，BQ 向右上偏移如图所示，【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．19．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据轴对称变换的性质作出点A的对应点B即可；△的中位（2）取格点H，连接HB，延长HB交网格线与点T，连接AH，AT，作出AHT线，连接GF交AB于点O，点C即为所求；（3）过点B作关于直线AC的对称点B'，连接CB'，PB'交AC与点O，连接BO，延长BO 交CB'于点M，点M即为所求．【详解】（1）解：在图1中，点B即为所求；（2）解：在图2中，点C即为所求；（3）解：在图3中，点M即为所求．【点睛】本题考查作图一轴对称变换，三角形中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解（2）画法不唯一，如图3或图4．【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，相垂直或平行的线段．21．(1)详见解析(2)详见解析(3)45︒答案第24页，共30页【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，由对称的性质可得45OCB ∠=︒．【详解】（1）在方格纸中画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的线段OB ，连接AB ,如图；（2）画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；如上图所示：（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，再根据对称的性质可得45OCB A ∠=∠=︒．故答案为：45︒．【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．22．（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）如图：答案第26页，共30页【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．23．（1）如图所示111A B C △为所求；见解析；（2）如图所示222A B C △为所求；见解析．【分析】（１）将ABC 的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可．（２）在ABC 同侧和对侧分别找到2OA=OA 2，2OB=OB 2，2OC=OC 2所对应的A 2，B 2，C 2的坐标，连接即可．【详解】（1）由题意知：ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1），则ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为A 1（1，-3），B 1（4，-1），C 1（1，-1），连接A 1C 1，A 1B 1，B 1C 1得到111A B C △．如图所示111A B C △为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，222A B C △和ABC 在同一侧则A 2（2，6），B 2（8，2），C 2（2，2），连接各点，得222A B C △．第二种，222A B C △在ABC 的对侧A 2（－2，－6），B 2（－8，－2），C 2（－2，－2），连接各点，得222A B C △．综上所述：如图所示222A B C △为所求；【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．24．(1)当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；(2)图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大(3)t 的值为3或4.5【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【详解】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，答案第28页，共30页由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．②由图象可知，随着自变量x 的不断增大，函数值故答案为：函数值y 逐渐减小；（3）解：当2x =时，32632y =-⨯+=，当∴函数()1202y x x =≥+与函数362y x =-+的图象交点坐标为答案第30页，共30页由图知，当2x ≥或0x =时，123622x x ≥-++，即当0x ≥时，123622x x ≥-++的解集为2x ≥或故答案为：2x ≥或0x =．【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．。
2024年中考数学二轮复习模块专练—一元二次方程的应(含答案)
不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲 流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500 人患了甲流？
【例 1】
（2022·黑龙江·统考中考真题）
9．2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 m% ，漫
灌试验田的面积减少了 2m% ．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方 式下的每亩用水量都进一步减少了 m% ．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 9 m% ，
试卷第 2页，共 9页
【变 1】 （2023·湖北宜昌·统考中考真题） 4．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买 豆沙粽 10 个，肉粽 12 个，共付款 136 元，已知肉粽单价是豆沙粽的 2 倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达 20 个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈 妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8
B．10
C．7
D．9
【变 1】
（2021·湖北宜昌·统考中考真题）
10．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的
灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 30% 和 20% ．去年，新丰收公司
用各 100 亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水 15000 吨．
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
中考数学第二轮复习资料—专题复习(共50页,大量对应练习)
中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。
中考数学二轮复习 重难题型突破 类型二 新运算型-人教版初中九年级全册数学试题
类型二 新运算型1．定义一种运算例1规定一种新的运算：ba b a 11+=⊗，则=⊗21． 【解答】解：把21==b a ，代入式子b a b a 11+=⊗计算即可：=⊗2123．2．定义一个规则例2为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文， d d c c b b a 4,32,2,2+++.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A ．4，6，1，7B ．4，1，6，7C ．6，4，1，7D ．1，6，4，7【解答】解：根据对应关系，284=d 可以求得7=d ；代入2332=+d c 得1=c ；在代入92=+c b 得4=b ；代入142=+b a 得6=a ．故选C ．3．定义一种变换例3把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( ) A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行【解答】：D 4．定义一类数例4定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x y ，轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为原点，求图象过A B ，两点的一次函数的特征数．【解答】解：（1）特征数为[22]k -，的一次函数为22y x k =+-，20k ∴-=，2k ∴=．（2）抛物线与x 轴的交点为12(0)(20)A m A -，，，， 与y 轴的交点为(02)B m -，．若14OBA S =△，则2,4221==⋅m m m ； 若24OBA S =△，则2,42221==⨯⨯m m ．∴当2m =时，满足题设条件．∴此时抛物线为(2)(2)y x x =+-．它与x 轴的交点为(20)(20)-，，，，与y 轴的交点为(04)-，，∴一次函数为24y x =--或24y x =-， ∴特征数为[24]--，或[24]-，．5．定义一个函数例5设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中1=+n m ）为此两个函数的生成函数．（1）当1=x 时，求函数1+=x y 与x y 2=的生成函数的值；（2）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．【解答】解：（1）当1=x 时，()2222)2()1(=+=+=++=n m n m x n x m y （2）点P 在此两个函数的生成函数的图象上， 设点P 的坐标为()b a ,，∵b b a a b b a a =+⨯=+⨯2211,，∴当a x =时，)()(2211b x a n b x a m y +++=，()b n m b nb mb b a a n b a a m =+=+=+⨯++⨯=)()(2211， 即点P 在此两个函数的生成图象上． 6．定义一个公式例6阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； （3）是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：()4121+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以()3241221++-=+--=x x x y设直线AB 的解析式为：b kx y +=2 由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k ，所以32+-=x y （2）因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2，所以CD ＝4-2＝2图2xC Oy ABD 1 1B铅垂高水平宽 ha图132321=⨯⨯=∆CAB S （平方单位） （3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB ，得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x ，解得，23=x将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41523，7．定义一个图形 7.1定义“点”例7联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD=12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．【解答】解：①若PB=PC ，连接PB ，则∠PCB=∠PBC， ∵CD 为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=33DB=36AB ， 与已知PD=12AB 矛盾，∴PB≠PC， ②若PA=PC ，连接PA ，同理可得PA≠P C ，③若PA=PB ，由PD=12AB ，得PD=BD ， ∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=2222BC AB 534-=-=， ①若PB=PC ，设PA=x ，则2223(4)x x +=-，∴78x =，即PA=78， ②若PA=PC ，则PA=2，③若PA=PB ，由图知，在Rt△PA B 中，不可能． 故PA=2或78．7.2定义“线”例8如图，定义：若双曲线y ＝ kx(k ＞0)与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线y ＝ kx(k ＞0)的对径．（1）求双曲线y ＝ 1x的对径；（2）若双曲线y ＝ kx(k ＞0)的对径是102，求k 的值；（3）仿照上述定义，定义双曲线y ＝ kx(k ＜0)的对径．【解答】解：过A 点作AC ⊥x 轴于C ，如图，(1)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y 1，得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==11,112211y x y x ， ∴A 点坐标为(1，1)，B 点坐标为(－1，－1)， ∴OC ＝AC ＝1，∴OA ＝2OC ＝2， ∴AB ＝2OA ＝22，∴双曲线y ＝x1的对径是22； (2)∵双曲线的对径为210，即AB ＝210，OA ＝25，N∴OA＝2OC＝2AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝xk(k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25；(3)若双曲线y＝xk(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y＝xk(k＞0)的对径．7.3定义“角”例9如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．①若AB是⊙O的直径，则∠APB=；②若⊙O的半径是1，AB=2，求∠APB的度数.（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°.②∵OA=OB=1, AB=2，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2∴△AOB是直角三角形∴∠AOB=90°.∴∠APB=21∠AOB=45°图（2）当P 在优弧AB 上时，如图1，这时∠MAN 是△PAN 的外角，因而∠APB=∠MAN -∠ANB；当P 在劣弧AB 上时，如图2，这时∠APB 是△PAN 的外角， 因而∠APB=∠MAN+∠ANB； 7.4定义“三角形”例10（2010某某某某）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形． （1）求函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝43-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积．【解答】解：(1) ∵ 直线y ＝43-x ＋3与x 轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3），∴函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.(2) 直线y ＝43-x ＋b 与x 轴的交点坐标为（b 34,0），与y 轴交点坐标为（0,b ），当b >0时,163534=++b b b ，得b =4，此时，坐标三角形面积为332；当b <0时，163534=---b b b ，得b =－4，此时，坐标三角形面积为332.综上，当函数y ＝43-x ＋b 的坐标三角形周长为16时，面积为332．7.5定义“四边形”例11我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；A 60（3）如图2，将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠．求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形． 【解答】解：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．（3）证明：连结ECABC DBE △≌△ AC DE ∴=，BC BE =60CBE =∠EC BC ∴=，60BCE =∠30DCB =∠90DCE ∴=∠222DC EC DE ∴+=222DC BC AC ∴+=，即四边形ABCD 是勾股四边形60。
中考数学二轮热点题型归纳与变式演练 考前特训01 新定义与规律性探索选题压轴(解析版)
考前特训01新定义与规律性探索选题压轴一、单选题1．对于两个正整数a ，()b a b <，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b 与a 的差的算术平方根，记作1x ；第二次操作：计算b 与1x 的差的算术平方根，记作2x ；第三次操作：计算b 与2x 的差的算术平方根，记作3x ；……依次类推，若12n x x x a ==⋯==，则下列说法①当3a =时，12b =；②当306b =时，18a =；③点(),P a b 一定在抛物线2y x x =+上；④当1a =，2，3，…，n 时，对应b 的值分别为1b ，2b ，3b ，…，n b ，若12333114n b b b --⋯-=则n 的值为42：其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()()2211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()()2211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()()2211,1n A n n ---，所以()22122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．3．规定：()2f x x =-，()3g y y =+．例如()442f -=--，()443g -=-+．下列结论中：①若()()0f x g y +=，则2313x y -=；②若3x <-，则()()12f x g x x +=--；③能使()()f x g x =成立的x 的值不存在；④式子()()11f x g x -++的最小值是7．其中正确的所有结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④A ．3a c -=B ．29bc -=C ．02a ≤≤D ．3 4.5c ≤≤的末位数字，例如：12f =（12⨯的末位数字），()26f =（23⨯的末位数字），()32f =（34⨯的末位数字）…，则()()()()1232023f f f f +++⋯+的值是（）A ．4020B ．4030C ．4040D ．4050【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．【详解】解：由题意可得，因为()12f =，()26f =，所以()()12268f f +=+=，以此类推，得()()()12326210f f f ++=++=，()()()()1234262010f f f f +++=+++=，()()()()()123452620010f f f f f ++++=++++=，()()()156********f f f +++=+++++=…，()()()()1567262002618f f f f ++++=++++++=…，()()()1782620026220f f f +++=+++++++=…，()()()()178926200262020f f f f ++++=++++++++=…，()()()()()178910262002620020f f f f f +++++=+++++++++=………∵202354043÷=⋯，∴()()()()1232023f f f f +++⋯+()()()()264002640026400264=++++++++++⋯++++++++1040410=⨯+404010=+4050=，故选：D ．6．(),,,a b c d 表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，(),,,a b b c c d d a ++++表示由它生成的第一个数组，(),,,a b b c b c c d c d d a d a a b ++++++++++++表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记0M a b c d =+++，第n 个数组的四个数之和为n M （n 为正整数）.下列说法：①n M 可以是奇数，也可以是偶数；②n M 的最小值是20；③若010002000n M M <<，则10n =.其中正确的个数（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键.【详解】解：根据题意可知，0M a b c d =+++，()12M a b c d =+++，()24M a b c d =+++，()38M a b c d =+++，∴()2n n M a b c d =+++，∴n M 是偶数，故①错误；∵0M a b c d =+++，∴0M 的最小值是123410+++=，∴n M 的最小值是210n ⨯，又∵n 为正整数，∴n M 的最小值为20，故②正确；∵10002000n M <<，∴10002102000n <⨯<，∴10n =，故③正确；故选：C.7．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（）A ．43b a >>B ．2b c >>C ．43b a >>D ．240b ac -≤22()b a c ∴>+，即2222b a c ac >++．由2()0a c -≥得222,a c ac +≥24b ac ∴>，即240b ac ->，D 项错误．故选：C 8．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算121231,,23x x x x x x +++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的最佳值．例如，对于数列2,1,3-，因为()()212131422,,2233+-+-+===，所以数列2,1,3-的最佳值为12．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列1,2,3-的最佳值为12；数列3,1,2-的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“2,1,3-”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有①数列4,3,2--的最佳值为53；②将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为3,2,4--；③将2，9-，(1)a a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件a 的值有4个．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C【分析】本题是一道数与式中的新定义问题，理解最佳值的定义以及正确的分类讨论是解题的关键．根据题中对最佳值的定义，结合分类讨论的思想可解决问题．【详解】9．定义一个运算()1212121212,,,,0n n n n n H x x x y y y y y y y y y =+++≠+++ ，下列说法正确的有（）个①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x ---=-，则=1x -或2；③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++=；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c da b+=+．A ．1B ．2C ．3D ．41，2，3轴上，点1，2，3y x =上，11OA B ，112B A A △，212△B B A ，223B A A △，323B B A △…都是等腰直角三角形，且11OA =，则点2023B 的坐标是（）A ．()2022202222，B ．()2023202322，C ．()2022202322，D ．()2023202222，【答案】A【分析】由11OA =，得到点1B 的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点2A 的坐标，进而得到点2B 的坐标，然后再依次类推得到点2023B 的坐标．【详解】解： 11OA =，∴点1A 的坐标为()10，，11OA B 是等腰直角三角形，111AB ∴=，()111B ∴，，112B A A △是等腰直角三角形，121A A ∴=，2222121112112B A A B A A =+=+=，212△B B A 是等腰直角三角形，222A B ∴=，()222B ∴，，同理可得：()22322B ，，()33422B ，，…，()20222022202322B ∴，，故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．11．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第n次移动n个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．C、E、F D．C、E、G【点睛】本题主要考查了整式加减的探究规律，解题的关键是弄清题意，总结归纳出题目中的规律．12．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点()3,9P -在函数2y x =上，点()3,9Q -在函数23y x =--上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数2y x =和23y x =--互为“关联函数”，点P 与点Q 则为一对“关联点”．已知函数22y x x =+和42022y x n =+-互为“关联函数”，则n 不可能是（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【答案】D【分析】设(),P s t 在22y x x =+，则(),Q s t --在42022y x n =+-上，得出42022n t s =-++()212023s =--+，求得最大值为2023，即可求解．【详解】解：设(),P s t 在22y x x =+，则(),Q s t --在42022y x n =+-上，∴2242022s s t s n t⎧+=⎨-+-=-⎩∴42022n t s =-++222022s s =-++()212023s =--+∴当1s =时，n 的最大值为2023,故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．已知一列数的和()12202311220232x x x ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，且1223202220232023131323202232023x x x x x x x x -+=-+=⋅⋅⋅=-+=-+，则12323x x x --的值是()A ．2B ．2-C ．3D ．3-14．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成12a =部分，2条直线将平面最多分成24a =部分，3条直线将平面最多分成37a =部分，4条直线将平面形多分成411a =部分……，n 条直线将平面最多分成n a 部分，则1210111111a a a ++=--- （）A ．2011B ．2011-C ．1011D ．95-阶方点”．例如，点()13，与点122⎛⎫⎪⎝⎭，都是函数=21+y x 图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数22()6y x n n =-+-的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（）A ．615n ≤≤B ．625n ≤≤C ．23n ≤≤D ．13n ≤≤【答案】D 【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线x n =上移动，当二次函数图象过点()n n -，-和点()n n ，时为临界情况，求出此时n 的值，进而可得n 的取值范围．【详解】解：由题意得：二次函数22()6y x n n =-+-的图象上的顶点坐标为：()26n n -，，16．已知1213435241110,,1,,1,,a S S S S S S S a S S >==--==--=⋯．即当n 为于1的奇数时，11n n S S -=；当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--．计算1232022S S S S ++++ 的结果为．∵20223376=⨯，∴12320221337337S S S S =-⨯++=-++ ，故答案为：337-．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出n S 的值，每6个一循环是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为()10，，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作23Rt OA A △，使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作34Rt OA A △，使3460A OA ∠=︒……按此规律进行下去，点2023A 的坐标是．【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律探索、解直角三角形等知识点，求出前面7个点的坐标并发现规律是解答本题的关键．18．对于一个四位自然数N ，其千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N 的千位数字和个位数字组成一个两位数ad ，记为A ；百位数字和十位数字组成另一个两位数字bc ，记为B ，若A 与B 的和等于N 的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N 为“坎数”．例如：6345，65A =，34B ，653499+=，()116399=＋，所以6345是“坎数”．若N 为“坎数”，且a b >，当a bc d+-为9的倍数时，则所有満足条件的N 的最大值为．∴5c=，4d=，∴9+=+=，a b c da=，时，N有最大值，当8∴981b=-=，∴N的最大值为8154，故答案为：8154．【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．19．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃2~10共9张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是12，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是，丙的三张牌上的数字是．【答案】2,4,63,8,10【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．【详解】解：已知红桃2~10有数字2,3,4,5,6,7,8,9,10共计9张牌甲的三张牌数字之和为12的情况有2,4,6、2,3,7、3,4,5三种组合，9张牌中共有4个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，∴甲最多只能有一个奇数，只有2,4,6符合，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，∴乙的三张牌数字为5,7,9，丙的三张牌数字为3,8,10，故答案为：2,4,6；3,8,10【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．20．已知两个正数a，b，可按规则c ab a b=++扩充为一个新数.c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1a =，3b =，按上述规则操作三次，扩充所得的数是；（2）若0a b >>，按上述规则操作五次后扩充所得的数为(1)(1)1m n a b ++-（m ，n 为正整数），则m n +=．（1）计算：2 13 4=．（2）若14,81a a ba ab b b-==-++，则，1 2a bb a bb--+的值为．①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．【答案】243【分析】先根据给出的图②和图③找出出现“1”规律，然后根据规律即可得解．【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为9327⨯=（个），同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为⨯=（个），27381⨯=（个），前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为813243故答案为：243．【点睛】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“1”规律是解题关键．x= ，这个小数从小数点后，以1开头一直写到999得23．设实数0.1234567891011998999到的，那么小数点后第2018位的数字是．【答案】0【分析】首先确定一位数，以及二位数的个数，判断排x的右边第2018个数字是第几个三位数的数字，从而确定．【详解】解：从1到9都是一位数，共有9个；从10到99共有90个数，都是二位数，则数字是由依次写下正整数1～99是x的前+=位数；9180189-=，∴4129是“差中数”；那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，∵412912-=≠，∴5324不是“差中数”．若一个“差中数”为518m，又如：四位数5324，∵53242932则这个数为；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是．∴12457,,,,,7518487531c c c c cd d d d db b b b b=====⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪=====⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪=====⎩⎩⎩⎩⎩当178cdb=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，当257cdb=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，当415cdb=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，当583cdb=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，当741cdb=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，这个“差中数”是9174，能被11整除，故如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，故答案为：5138，9174．25．如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等：（不等于0）；且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“绝对等差对称数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且122332211-=-=-=-=，因此12321是一个“绝对等差对称数”，又如262，85258，…，都是“绝对等差对称数”，若一个“绝对等差对称数”t各个数位上的数字之和记为()Q t．已知一个五位“绝对等差对称数”t能被4整除，且()2Q t-也能被4整除，则t的个位数字是，t的最大值是．【答案】2或667876【分析】考查了新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，不等式的应用，解题的关键是弄清楚“阶梯数”的定义，从而写出符合题意的数．设某五位阶梯数为所以该五位“阶梯数”t的个位数字为2或6，最大值是67876．故答案为：2或6；67876。