理论力学笔记

常见约束类型1.柔绳、铰链、胶带约束约束反力特征：沿着绳索背离被约束的物体。

2.光滑接触面约束约束反力特征：沿着约束面的公法线方向，指向被约束物体。

3.光滑圆柱铰链约束约束反力特征：作用线指向圆心，作用方向根据具体情况确定。

4.光滑球铰链约束约束反力特征：作用线指向圆心，作用方向根据具体情况确定，属于空间约束。

5.双铰链刚杆约束约束反力特征：不受任何主动力，属于二力杆受力。

例2-3．如图所示是汽车制动机构的一部分。

司机踩到制动蹬上的力F ＝212N ，方向与水平面成α＝45°。

当平衡时，BE 水平，AD 铅直，试求拉杆所受的力。

已知EA ＝24cm ，DE ＝6cm （点E 在铅直线DA 上），又B ，E ，D 都是光滑铰链，机构的自重不计。

解：受力图如上，分别列出x 和y 方向的力学平衡方程如下x 方向的力学平衡方程：0cos cos =--ϕαD B F F Fy 方向的力学平衡方程：0sin sin =-αϕF F D '214 =ϕ，求得：750=B F N例2-4．利用铰车绕过定滑轮B 的绳子吊起一重W ＝20kN 的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于B 点。

不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。

解：取滑轮B （带轴销）为研究对象，受力图见上，分别列出x 和y 方向的平衡方程如下x 方向 030sin 30cos =-+ D BC AB F F Fy 方向 030cos 30sin =-- D BC F W F上式中，20=D F kN ，联合求得6.74=BC F kN ，=AB F -54.5kN （与假设方向相反）思考题：力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影不一定相等，不相等情况如下图。

例2-6.一简支梁AB ＝d ，作用一力偶，求两支座的约束反力。

解：由于主动力为力偶，因此两支座的约束反力必然构成一个力偶来与M 平衡，故B A F F =，梁AB 的受力图见上，故d M F F B A /==。

例2-7.如图所示的铰接四连杆机构OABD ，在杆OA 和BD 上分别作用着矩为M 1和M 2的力偶，而机构在图示位置处于平衡。

已知OA ＝r ，DB ＝2r ， 30=α，不计杆重，试求M 1和M 2之间的关系。

解：杆AB 为二力杆，由于力偶只能与力偶平衡，因此可确定出上述OA 杆和BD 杆的受力图 分别建立平衡方程最后可求得两力偶的关系为122M M =例2-8．如图所示压榨机中，杆AB 和BC 的长度相等，自重忽略不计。

A ，B ，C 处为铰链连接。

已知活塞D 上受到油缸内的总压力为F ＝3kN ，h ＝200mm ，l ＝1500mm 。

试求压块C 对工件与地面的压力以及杆AB 所受的力。

解：1.AB 杆和BC 杆为二力杆，选取活塞杆为研究对象，受力图如上，分别列出平衡方程，求得35.11==BC BA F F kN 。

2.选取压块C 为研究对象，受力图见上，分别列出平衡方程，求得=Cx F 11.25kN ，=Cy F 1.5kN 。

总结：对于复杂的问题，要取多个研究对象进行分析求解。

例2-9．如图所示机构的自重不计。

圆轮上的销子A 在摇杆BC 上的光滑导槽内。

圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M 1＝2kN ·m ，OA ＝r ＝0.5m 。

图示位置时OA 与OB 垂直，角 30=α，且系统平衡。

求作用于摇杆BC 上的力偶的矩M 2及铰链B 、O 处的约束力。

解：首先取圆轮为研究对象，圆轮上销子A 与导槽的约束为光滑接触面约束，受力图如上，易求得30sin 1r M F A = 再以摇杆AB 为研究对象，受力图如上，求得8===A B O F F F kN 。

例2-10.如图已知W 1＝100kN ，W 2＝250kN 。

不计各杆自重，A ，B ，C ，D 各点均为光滑铰链。

试求平衡状态下杆AB 内力及与水平的夹角。

解：取销钉B 为研究对象有三个未知量，故不能以销钉B 为第一个研究对象，杆AB 、杆BC 和杆CD 均为二力杆，首先取销钉C 为研究对象，受力图如上。

求出=BC F 224.23kN 。

再以销钉B 为研究对象，受力图如上，求出θ＝58.5 ，29.303=A F kN 。

例2-14.如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O,其上作用有铅直荷载F.钢丝OA 和OB 所构成的平面垂直于铅直平面Oyz,并与该平面相交于OD,而钢丝OC 则沿水平轴y 。

已知OD 与轴z 间的夹角为β，又α=∠=∠BOD AOD ，试求各钢丝中的拉力。

解：以节点O 为研究对象，受力图如上，分别列出三个坐标轴方向的平衡方程，联合求解得x 方向：0sin sin 32=-ααF F y 方向：0sin cos sin cos 321=--βαβαF F Fz 方向：0cos cos cos cos 32=-+F F F βαβα联合上述求解即得。

例3-1.在长方形平板的O,A,B,C 点上分别作用着四个力:1F =1kN,2F =2kN,43F F ==3kN(如图),试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果,以及该力系的最后合成结果.＝解:='Rx F 0.598, ='Ry F 0.768, ='R F 0.794,=),cos('x F R 0.614； O M ＝0.5，合成为一个力F ，'R O F M d =＝0.51m ，F ＝0.598，如上图示。

例3-2．伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重W ＝2200N ，吊车D ，E 连同吊起重物各重W D ＝W E ＝4400N 。

有关尺寸为：L ＝4.3m ，a ＝1.5m ，b ＝0.9m ，c ＝0.15m ，α＝25O 。

试求铰链A对臂AB 的水平和垂直约束力，以及拉索BF 的拉力。

解：取杆AB 为研究对象，受力图如上。

使用一矩式平衡方程，取A 点为简化中心，得∑=0x F， 0cos =-αF F Ax ∑=0yF ， 0sin =+---αF W W W F E D Ay ∑=0)(F M A ，0sin cos )(2=⨯+⨯+-⨯-⨯-⨯-l F c F b l W l W a W E D αα 联立求解得：=F 12456N ，=Ax F 11290N ，=Ay F 4936N例3-3.简支梁受力分析，详细过程省略，荷载和模型图见下图，q ＝100N/m ，M ＝500N ·m 。

例3-4.某飞机得单支机翼重W ＝7.8kN 。

飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力F ＝27kN ，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位为mm ，试求机翼与机身连接处的约束力。

解：机翼和机身连接处可看作固定约束，模型简化及受力图如上，求解过程省略。

例3-5.一种车式起重机，车重1G ＝6kN,起重机伸臂重2G ＝4.5kN ，起重机的旋转与固定部分共重3G ＝31kN 。

尺寸如图所示。

设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻到的最大起吊重量max G 。

解：以起重机和汽车为研究对象，以B 点为倾覆支点，分别列出竖向和B 点临界状态时的平衡方程如下∑y F ＝0 0321=----+G G G G F F B A∑=0)(F M B 0)28.1(25.2)35.2(12=+-⨯+⨯-+-m m F m G m G m m G A不至于翻倒的另一个条件是0≥A F联立求解得 max G ＝7.5kN 。

例3-8.A,B,C,D 处均为光滑铰链,物块重为G,通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB 的E 点,各构件自重不计,试求B 处的约束力。

解:首先取整体为研究对象,受力图如上，求解出Ax F ；然后取AB 杆为研究对象,受力图如上，此时由于Ax F 变成为已知力,故只有三个未知力,可求得By F =-2G,Bx F =-1.5G 。

例3-14.如图所示，已知重力G ，DC ＝CE ＝AC ＝CB ＝2L ；定滑轮半径为R ，动滑轮半径为r ，且R ＝2r ＝L ，θ＝45O 。

试求：A 、E 支座的约束力及BD 杆所受的力。

解：BD 杆为二力杆，力的方向可确定；首先选取整体为研究对象，受力图如上图，求出A F ＝G 825，85G F Ex =，813G F Ey =；选取DEC 杆为研究对象，受力图如上，只有一个未知力F DB ，可列出三个独立的平衡方程，求出823G F DB =。

思考题：求解以下各支座的约束反力。

此题包括例3-14，属于静定结构的超静定问题，如列出平衡方程，理论上并不能求解，需要进行分析方能求解，详细过程忽略。

F Dx ＝13.25kN ，F Dy ＝6.5kN 。

例3-11.求如图所示平面桁架各杆的内力，其中C F ＝4kN ，E F ＝2kN 。

解：分别使用节点法和截面法两种方法求解。

节点法：首先求出支座A 、B 的约束反力，如上图；以A 点为研究对象，受力图如上，应用平面汇交力系求解，可求出22-=AF F kN ，4=AC F kN ；以此以节点A ，节点C ……分别为研究对象，即可求出全部杆件内力。

截面法：首先求出支座反力，不详细阐述；使用截面截取杆FE 、杆CE 、杆CD 如上图，建立平衡方程可求出2-=FE F kN ，22-=CE F kN ，2=CD F kN ；其它的以此可分别求出。

截面法截取曲面的例子，见下图例3-12.求出以下桁架的各杆内力。

此题目一定不能先求桁架的约束反力，否则是没有办法求出的。

直接使用节点法，从A 点开始求出，然后B 点，然后使用截面法，联合求解，则可较快的得到正确解答。

例4-3.在倾角α大于摩擦角f ϕ的固定斜面上放有重G 的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F 。

试求这力容许值的范围。

解：由于倾角α大于摩擦角f ϕ，故物体不会发生自锁的现象。

摩擦力方向可能向上，也可能向下，分别讨论如下。

摩擦力向上：受力图如上图，临界平衡状态力学平衡方程为)cos sin (sin cos ααααG F f G F s +--＝0在平衡范围内同时应满足：)cos sin (0ααG F f F s f +≤≤摩擦力向下：受力图如上图，临界平衡状态力学平衡方程为)cos sin (cos sin ααααG F f F G s +--＝0在平衡范围内同时应满足：)cos sin (0ααG F f F s f +≤≤联立求解可得F 的范围为：)tan()tan(f f G F G ϕαϕα+≤≤-例4-4.一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h ＝20cm 。