考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷140 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求(x＋1)ln2(x＋1)dx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
2． 求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx； (II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．
正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是 涉及知识点：高等数学
3． 设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn＝(x2－1)ndx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．
正确答案：
解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算． 知识模块：高等数学
5． 求无穷积分．
正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此 涉及知识点：高等数学
6． 设f(x)＝求f(x)的不定积分．
正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝
解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数． 知识模块：高等数学
7． 设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．
正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12)
涉及知识点：高等数学
8． 设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．
正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】 涉及知识点：高等数学
9． 求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．
正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学
10． 设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．
正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续． 涉及知识点：高等数学
11． 设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．
正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt， (*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式 两边积分得
涉及知识点：高等数学
12． 求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．
正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]
上单调增加，故 涉及知识点：高等数学
13． 求星形线(a＞0)所围区域的面积A．
正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，
涉及知识点：高等数学
14． 求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．
正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3． 涉及知识点：高等数学
15． 设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．
正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．
解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离． 知识模块：高等数学
16． 求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．
正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ 涉及知识点：高等数学
17． 求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片
移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功 (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功 涉及知识点：高等数学
18． 求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．
正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为 因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF＝k，于是整个圆环对P点的引力为 涉及知识点：高等数学
19． 过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．
正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x—x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积 涉及知识点：高等数学
20． 设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．
正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长 涉及知识点：高等数学
21． 设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．
正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值
考研数学一(高等数学)模拟试卷314(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷314 (题后含答案及解析)
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正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 过点M0(1，一1，2)且与平面π：x+2y—z一2=0与π2：x—y—z-4=0的交线垂直的平面为______．
正确答案：π:x+z-3=0
解析：所求平面的法向量为n={1，2，一1)×{1，一1，-1}={-3，0，一3}=一3{1，0．1}， 则所求的平面为π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z-3=0． 知识模块：高等数学
3． 直线L：绕z轴旋转而成的曲面为_______．
正确答案：∑：x2+y2=5(1+z2)．
解析：设M(x，y，z)为曲面上的任一点，其所在的圆对应的直线L上的点为M0(x0，y0，z)， 所在圆的圆心为T(0，0，z)， 由|MT|=|M0T|得x2+y2=x02+y02，故所求的曲面为∑：x2+y2=(1+2z)2+(2一z)2，即∑：x2+y2=5(1+z2)． 知识模块：高等数学
4． 点M(2，1，1)到直线L：之间的距离为________．
正确答案：
解析：M0(1，1，0)为直线上一点={1，0，1}，直线的方向向量为s={1，0，一1}， 知识模块：高等数学
5． 曲线L：绕y轴旋转而成的曲面为_______．
正确答案：
解析：所求的曲面为 知识模块：高等数学
6． 若则|a一b|=________．
正确答案：
解析：由|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=13+19+2ab=24， 得ab=一4，则|a—b|2=(a—b)(a—b)=|a|2+|b|2一2ab=13+19+8=40．则|a—b|= 知识模块：高等数学
7． 过点(2，0，一3)且与直线垂直的平面方程为________．
正确答案：-16x+14y+11z+65=0
解析：s1={1，一2，4}，s2={3，5，一2}，所求平面的法向量n=s1×s2={一16，14，11}，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0． 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷249(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷249 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－cos)dt，γ=()x－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
A．α，β，γ．
B．γ，β，α．
C．β；α，γ．
D．γ，α，β．
正确答案：C
解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)． 知识模块：高等数学
2． 设f’(a)＞0，则ヨδ＞0，有
A．f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
B．f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
C．f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．
D．f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．
正确答案：C
解析：直接由定义出发f’(a)=＞0．由极限的保序性ヨδ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a) (x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a) (x∈(a－δ，a))．因此选(C)． 知识模块：高等数学
3． 设常数α＞0，I1=∫0π／2dx，I2=∫0π／2dx，则
A．I1＞I2．
B．I1＜I2．
C．I1=I2．
D．I1与I2的大小与α的取值有关．
正确答案：A
解析：I1－I2当0＜x＜π／4时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选(A)． 知识模块：高等数学
4． 下列函数在点(0，0)处不连续的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)． 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷103(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷103 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)=则x=0是间断点的函数是( )
A．max{f(x)，g(x)}．
B．min{f(x)，g(x)}．
C．f(x)-g(x)．
D．f(x)+g(x)．
正确答案：C
解析：写出A、B、C、D选项中的表达式，即可知道正确选项．因为当x＞0时，故Amax{f(x)，g(x))=1，x∈(-∞，+∞)；Bmin{f(x)，g(x)}=由，则A、B、D都在x=0点连续，故应选
C．事实上 知识模块：高等数学
2． 设f(x)=，讨论f(x)的间断点，其结论为( )
A．不存在间断点．
B．x=±1为其第一类间断点．
C．x=±1为其第二类间断点．
D．x=0为其第一类间断点．
正确答案：B
解析：当｜x｜＜1时，f(x)=当｜x｜=1时，f(x)=0；当｜x｜＞1时，所以f(x)=由x=-1是跳跃间断点，即第一类间断点；由x=1是跳跃间断点，即第一类间断点． 知识模块：高等数学
3． 设y=，则y(n)等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：先将拆项分开，然后利用不完全归纳法求解． 知识模块：高等数学
4． 曲线的渐近线的条数为( )
A．1．
B．2．
C．3．
D．0．
正确答案：B
解析：水平渐近线：因为，所以曲线无水平渐近线．铅直(垂直)渐近线：因为是曲线的铅直(垂直)渐近线．斜渐近线：因为所以是曲线的斜渐近线．综上所述，曲线有2条渐近线． 知识模块：高等数学
5． 设f(x)的一个原函数是sinx，则｜f’(x)sinxdx等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：因为f(x)的一个原函数是sinx，所以 f(x)=(sinx)’=cosx，∫f(x)dx=sinx+C1．利用分部积分公式， ∫f’(x)sinxdx=∫sinxd[f(x)]=sinx.f(x)-∫f(x)cosxdx 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷110 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 当x→1时，函数的极限( )
A．等于3．
B．等于0．
C．为∞．
D．不存在且不为∞．
正确答案：D
解析：应考虑左、右极限． 知识模块：高等数学
2． 设f(x)对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，f(x)在点x=0处连续，x0≠0为任意实数，则( )
A．不存在．
B．存在，但f(x)在点x0处不连续．
C．f(x)在点x0处连续．
D．f(x)在点x0处的连续性不确定．
正确答案：C
解析：本题考查函数连续性的概念．f(x)在点x0处连续在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中取x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0．且由f(x)在点x=0处连续，则=f(x0)，f(x)在点x0处连续． 知识模块：高等数学
3． 设f’(x)为连续函数，下列命题正确的是( )
A．如果f’(x)是周期函数，则f(x)也一定是周期函数．
B．如果f’(x)是增函数，则f(x)也一定是增函数．
C．如果f’(x)是偶函数，则f(x)一定是奇函数．
D．如果f’(x)是奇函数，则f(x)一定是偶函数．
正确答案：D
解析：(反例排除法) 取f’(x)=cosx+1，则f’(x)是周期函数，但f(x)=sinx+x不是周期函数，排除A． 取f’(x)=2x，则f’(x)在(-∞，+∞)上是增函数，但f(x)=x2在(-∞，+∞)上不是增函数，排除
B． 取f’(x)=3x2，则f’(x)是偶函数，但f(x)=x3+1不是奇函数，排除
C．故应选
D． 知识模块：高等数学
4． 如果f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且当x∈(a，b)时，f’(x)＞0，又f(a)＜0，则( )
考研数学一(高等数学)模拟试卷298(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷298 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：I=dθ∫02acosθF(r，θ)dr，其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．
正确答案：r=2acosθ是圆周x2+y2=2ax，即(x一a)2+y2=a2，因此D的图形如图9．43所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图9．43虚线所示，D=D1∪D2，且
解析：在直角坐标系中画出D的图形，然后交换积分顺序确定积分限．或在Oθr直角坐标系中画出D’的图形，然后交换积分顺序． 知识模块：高等数学
2． 计算累次积分：I=∫01dx∫0x+1ydy+∫12ydy+∫23dx∫x3ydy．
正确答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图9．45所示，因此D可表示为D={(x，y)｜1≤y≤3，y一1≤x≤y}，则原式=ydσ=∫13dy∫y—1yydx=∫13ydy=y2｜13=4．
解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对Y积分，必须先确定积分区域D，然后再交换积分顺序． 知识模块：高等数学
3． 交换累次积分的积分顺序： I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．
正确答案：据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则 I=dxdy∫0x+yf(x，y，z)dz，其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1一x}，如图9．46．交换x与y的顺序得 I=∫01dy∫01—ydx∫0x+yf(x，y，z)dz． 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则 I=∫01dyf((x，y，z)dzdx，其中Dzx={(z，x)｜0≤x≤1一y，0≤z≤x+y}，如图9．47．(对z、x积分时y是参数，z、x变动时y是不变的)，交换z与z的积分顺序(先对x积分要分块积分)得 I=∫01dy∫0ydz∫01—yf(x，y，z)dx+∫01dy∫y1dz∫z—y1—yf(x，y，z)dx．
考研数学一(高等数学)模拟试卷253(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷253 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是
A．若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．
B．若(x0，f(x0)))是曲线y=f(x)的拐点，则f”(x0)=0．
C．若f’(x0)=0，f”(x0)=0，f”‘(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．
D．若f(x)在x=x0处取极值，则f’(x0)=0．
正确答案：C
解析：考察(C)．f”‘(x0)≠0，不妨设f”‘(x0)＞0，则由极限保号性f’(x)在(x0－δ，x0]单调下降，在[x0，x0+δ)单调上升f’(x)＞f’(x0)=0(x∈(x0－δ，x0+δ)，x≠x0)f(x)在(x0－δ，x0+δ)单调上升，x0不是f(x)的极值点．选(C)． 知识模块：高等数学
2． 设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是
A．y=C1x2+C2x+C3．
B．x2+y2=
C．
C．y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．
D．y=C1sin2x+C2cos2x．
正确答案：D
解析：仅有(D)含有两个独立的任意常数C1与C2，选(D)． 知识模块：高等数学
3． 在下列二元函数中，f”xy(0，0)≠f”yx(0，0)的二元函数是
A．f(x，y)=x4+2x2y2+y10．
B．f(x，y)=ln(1+x2+y2)+cosxy．
C．
D．
正确答案：C
解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数，因而(C)，(D)中必有一个是f”xy(0，0)=f”yx(0，0)，而另一个是f”xy(0，0)≠f”yx(0，0)．现考察(C)．(x，y)≠(0，0)时，(x，y)=(0，0)时，=d／df(x)|x=0=0． (x，y)=(0，0)时，f”yx(0，0)=d／dxfy(x，0)|x=0=d／dx(x)|x=0=1．因此，f”xy(0，0)≠f”yx(0，0)．选(C)． 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷72(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷72 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． 设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫0xy(x)dx=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 微分方程y’一xe-y+=0的通解为___________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 微分方程yy”一2(y’)2=0的通解为___________．
正确答案：y=C或者—C1x+C2
解析： 知识模块：高等数学
4． 微分方程xy’=+y(x＞0)的通解为___________．
正确答案：arcsin=lnx+C
解析： 知识模块：高等数学
5． 以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为___________．
正确答案：y”‘一3y”+4y’一2y=0
解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’一2y=0． 知识模块：高等数学
6． 设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________．
正确答案：(e2—1)
解析：y”—4y’+4y=0的通解为y=(C+C2x)e2x， 由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x， 于是∫01y(x)dx=(e2一1)． 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7． 设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un=f(un—1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un+1一un)绝对收敛．
正确答案：由｜un+1一un｜=｜f(un)—f(un—1)｜=｜f’(ξ1)｜｜un一un—1｜ ≤q｜un一un—1｜≤q2｜un—1一un—2｜≤…≤qn｜un一u0｜且(un+1一un)绝对收敛． 涉及知识点：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷322(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷322 (题后含答案及解析)
题型有：1.jpg />
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 级数
正确答案：2
解析：令S(x)=显然该级数的收敛半径为R=1；当x=±1时，级数发散，故该幂级数的收敛域为(一1，1)． 知识模块：高等数学
3． 级数
正确答案：2ln2
解析：因为ln(1+x)=其中一1＜x≤1， 知识模块：高等数学
4． 级数收敛，则P的范围为_________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 将函数f(x)=展开为(x+1)的幂级数为_______，收敛域为________．
正确答案：收敛域为（-2，0）
解析： 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6． 计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(一1，0)的曲线段．
正确答案：作上半椭圆C0：x2+4y2=1，方向取逆时针，L与C0-围成的区域为D1，C0与x轴围成的区域为D2，由格林公式得 涉及知识点：高等数学
7． 计算，其中S是平面在第一卦限的部分．
正确答案：而S：及x轴，y轴围成的部分， 涉及知识点：高等数学
8． 计算其中∑为锥面位于z=2下方的部分．
正确答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤4， 涉及知识点：高等数学
9． 求，其中∑为x2+y2+z2=1被所截的顶部．
正确答案：由得曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤由曲面∑：得 涉及知识点：高等数学
10． 计算其中S是圆锥面介于z=0与z=1之间的部分．
正确答案：曲面S：在xOy平面上的投影为D：x2+y2≤1， 涉及知识点：高等数学
11． 计算，其中S：x2+y2+z2=2z．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷84(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷84 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设x→0时，(1+sinx)x-1是比xtann低阶的无穷小，而xtanxn是比(-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于( )
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B
解析：当x→0时， (1+sinx)x-1～ln[(1+sinx)x-1+1]=xln(1+sinx)～xsinx～x2， (eain2x-1)ln(1+x2) ～sin2x.x2～x4， 而xtann～x.xn=xn+1。所以2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。 知识模块：高等数学
2． 设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )
A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0。
B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(x)-f(ξ)]=0。
C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0。
D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。
正确答案：B
解析：因只知f(x)在闭区间[a，b]上有定义，而A、C、D三项均要求f(x)在[a，b]上连续。故选项A、C、D均不一定正确，故选B。 知识模块：高等数学
3． 设f(x)具有二阶连续导数，且f’(1)=0，，则( )
A．f(1)是f(x)的极大值。
B．f(1)是f(x)的极小值。
C．(1，f(1))是曲线f(x)的拐点坐标。
D．f(1)不是f(x)的极值，(1，f(1))也不是曲线f(x)的拐点坐标。
正确答案：B
解析：选取特殊函数f(x)，其满足：f’’(x)=(x-1)2，如取f(x)=(x-1)4，则f(x)满足题中条件。f(x)在x=1处取极小值，而其余均不正确。故选B。 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷221(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷221 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 极限( )．
A．等于1
B．为∞
C．不存在但不是∞
D．等于0
正确答案：C
解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)． 知识模块：高等数学
2． 设区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x＋y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，则( )．
A．I1＞I2＞I3
B．I2＞I3＞I1
C．I1＜I2＜I3
D．I2＜I3＜I1
正确答案：B
解析：由≤x+y≤1得[ln(x+y)]3≤0，于是I1=[ln(x+y)]3dxdy≤0；当≤x+y≤1时，由(x+y)3≥sin3(x＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选(B)． 知识模块：高等数学
3． 级数π( )．
A．发散
B．条件收敛
C．绝对收敛
D．敛散性不确定
正确答案：B
解析：又单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数收敛，而n→∞时，条件收敛，正确答案为(B)． 知识模块：高等数学
填空题
4． =_________．
正确答案：e
解析： 知识模块：高等数学
5． ∫01sin2xtdt=_________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
6． =__________(其中口为常数)．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
7． 设a，b为单位向量，且两向量的夹角为=_________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
8． 设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=_________．
正确答案：
解析：z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得dz=． 知识模块：高等数学