2021年中考数学复习-新定义型(解析版)
新定义型
【典例1】对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（-5）的值；
（2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求x+y的值．
【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（﹣5）的值；
（2）依据x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y的值．
【典例2】对于实数x，规定x表示不小于x的最小整数，例如1.2=2，3=3，-2.5=-2，则
（1）填空：①-= ；
②若x=-2，则x的取值范围是 ．
（2）已知x为正整数，且x132，求x的值．
【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；
②x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2；
（2）由x132知2＜x12 ≤3，解得：3＜x≤5，
∵x取正整数，
∴x的值为4或5．
【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m，n) 和N(n，m) ．
① 当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上；
② 当mn≠0 时，M、N两点均在反比例函数的图像上．
于是得到结论“不一定”．
（2）M，N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m，n的代数式表示)； 【解析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直线 MN 的表达式为y=-x+m+n．
（3）在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A，B，其中点A在反比例函数2yx的图象上，直线AB经过点P1122，，求此抛物线的表达式．
【解析】 ( 3）因为点A在反比例函数2yx的图象上，
故设A(m，2m) ，则B(2m，m) ．
由（2）的结论可得，直线AB的表达式为y=-x+m2m．
将P点坐标1122，代入可得 2m10m， 解得m=2或-1．
【典例4】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6．
（1）计算：F(243)，F(617);
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝F(s)F(t),当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．
【解析】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；
F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，
∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6．
∵F(t)＋F(s)＝18，
∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴x＝1y＝6或x＝2y＝5或x＝3y＝4或x＝4y＝3或x＝5y＝2或x＝6y＝1．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴x＝1y＝6或x＝4y＝3或x＝5y＝2，
∴F(s)＝6F(t)＝12或F(s)＝9F(t)＝9或F(s)＝10F(t)＝8，
∴k＝F(s)F(t)＝12或k＝F(s)F(t)＝1或k＝F(s)F(t)＝54,
∴k的最大值为54．
【典例5】我们规定：形如()axkyabkkabxb、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0ab时，“奇特函数”axkyxb就是反比例函数(0)kykx.
（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”6axkyx的图象经过B，E两点.
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数3yx的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P的坐标． 【解析】
（1）322xyx，是 “奇特函数”；（2）①296xyx；②(7,5)或53,3或715,3或(5,1).
试题分析：（1）根据题意列式并化为322xyx，根据定义作出判断.
（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数6axkyx即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.
试题解析：（1）根据题意，得，
∵，∴.∴.
根据定义，是 “奇特函数”.
（2）①由题意得，.
易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，
由解得.∴点E（3，1）. 将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.
②∵可化为，
∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.
∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
设点P到EB的距离为m，
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，
∴.
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上，
∴或.
解得.
∴点P的坐标为或或或.
考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.
【典例6】定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bxc的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；
③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有___________
【解析】解：根据定义可得函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），
①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，
∴224144(6)248,22(6)344(6)3bacbaa，
∴顶点坐标是（18,33），正确；
②函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm，0），
当m＞0时，1﹣（﹣12mm）＝313222m，正确；
③当m＜0时，函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm，错误；
④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．
故选：①②④ 【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°
（3）如图②，已知sinA35，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
【解析】.解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°=11=1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=35．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC=22(5)(3)kk=4k， A
A B C C B
图① 图② 又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=35．∴DH=ADsin∠A=125k，
AH=22ADDH=165k．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH=45k，CD=22DHCH=4105k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=4105k．
由正对的定义可得：sadA==105，即sadα=105．
【典例8】若记y=f（x）=221xx，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22111212512f（）（）（）；…；则f（1）+f（2）+f（22111212512f（）（）（））+f（3）+f（13）+…+f（2011）+f（12011）=
．
【解析】解：∵y=f（x）=221xx，
∴f（1x）=22111xx（）（）=211x，
∴f（x）+f（1x）=1，
∴f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（12）+…+f（2011）+f（12011）
=f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（2011）+f（12011）]
=12+1+1+…+1
=12+2010
=201012．
故答案为：201012．
2021年中考复习数学《新定义问题》专项检测(含答案)
新定义问题
1. 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中错误的是( )
A. [x]＝x(x为整数)
B. 0≤x－[x]<1
C. [x＋y]≤[x]＋[y]
D. [n＋x]＝n＋[x](n为整数)
2.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x，－x}＝2x＋1x的解为( )
A. 1－2 B. 2－2
C. 1－2或1＋2 D. 1＋2或－1
3.定义运算：a⊗b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2(－2)＝6；②ab＝ba；③(aa)＋(bb)＝2ab；④若ab＝0，则a＝0或b＝1.其中结论正确的序号是( )
A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②④
4. 对于实数m，n，定义一种运算“※”：m※n＝m2－mn－3.下列说法错误的是( )
A. 0※1＝－3
B. 方程x※2＝0的根为x1＝－1，x2＝3
C. 不等式组1※t＜0（－3）※t＜0无解
D. 函数y＝x※(－2)的顶点坐标是(1，－4)
5. 用“♥”定义一种新运算．对于任意实数m，n和抛物线y＝ax2，当y＝ax2♥(m，n)后都可以得到y＝a(x－m)2＋n.当y＝2x2♥(3，4)后都可以得到y＝2(x－3)2＋4.函数y＝x2♥(1，n)得到的函数如图所示，n＝________． 第5题图
6. 4个数a，b，c，d排列成a bc d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a bc d＝ad－bc，若x＋3 x－3x－3 x＋3＝12，则x＝________．
中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)
新定义与阅读理解创新型问题
一、单选题
1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：()
min,
()aab
ab
bab
，若函数
2
min123yxxx，
，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令
,yminab
,
当2
123xxx时，即2
20xx时，1yx
，
令2
2wxx
，则w
与x
轴的交点坐标为（2
，0
），（-1
，0
），
∴
当0w
时，12x
，
∴1yx
（12x
），
∴y
随x
的增大而增大，
∴
当x=2
时，3y
最大；
当2
123xxx时，即2
20xx时，2
yx2x3
，
令2
2wxx
，则w
与x
轴的交点坐标为（2
，0
），（-1
，0
），
∴
当0w
时，2x
或1x
，
∴2
yx2x3
（2x
或1x
），
∴2
yx2x3
的对称轴为x=1
，
∴
当2x
时，y
随x
的增大而减小，
∴
当x=2
时，2
yx2x3=3
，
∴
当2x
时，y<3
；
当1x
，y
随x
的增大而增大，
∴
当x=-1
时，2
yx2x3=0
；
∴
当1x
时，y<0
；
综上，
2
min123yxxx，
的最大值为3
．
故选C
．
【点睛】
本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
2abc
p
，
则其面积()()()Sppapbpc
．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4pc
，则此三角
形面积的最大值为（ ）
A
．5
B．4 C
．25 D．5
【答案】C
【分析】
2021年中考数学复习-与旋转有关的探究题(解析版)
与旋转有关的探究题
【典例1】如图1，在ABC中，90,21AABAC，点D，E分别在边,ABAC上，且1ADAE，连接DE．现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为0360，如图2，连接,,CEBDCD．
（1）当0180时，求证：CEBD；
（2）如图3，当90时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BCD的面积的最大值为3252，旋转角的度数为135
【解析】
【分析】
（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=22，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，ACABCAEBADAEAD，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，ACABCAEBADAEAD，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=21，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=2AB =22，CD= AC+ AD=22，
2016年中考数学专题复习新定义题型(学生版)
小康老师中考数学专题复习--
新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新定义
例1 （2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=12，cos30°=32，则sin230°+cos230°= ；①
sin45°=22，cos45°=22，则sin245°+cos245°= ；②
sin60°=32，cos60°=12，则sin260°+cos260°= ．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=35，求cosA．
对应训练
1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23AOAD；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
2016年中考数学专题复习新定义题型(学生版) 2
小康老师中考数学专题复习--
新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新定义
例1 （2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=12，cos30°=32，则sin230°+cos230°= ；①
sin45°=22，cos45°=22，则sin245°+cos245°= ；②
sin60°=32，cos60°=12，则sin260°+cos260°= ．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=35，求cosA．
对应训练
1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23AOAD；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2021年整理)备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)
备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)
第 1 页 备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)
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备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)
第 2 页 2019备战中考数学(北师大版）巩固复习—三角形(含解析）
一、单选题
1.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是( ）
A。 4cm
B。 5cm
C。 6cm
D. 11cm
2。如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上,且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（ ）
A. 3个
B. 4个
C。 5个
D。 6个
3。如图，已知A.D.C。F在同一条直线上，AB=DE ， BC=EF ， 要使△ABC≌△DEF , 还需备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)
中考数学压轴题专题-创新型与新定义综合问题(解析版)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题18创新型与新定义综合问题
【考点1】几何综合探究类阅读理解问题
【例1】综合与实践：
阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan75的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
如图1，作RtABC，使90C，30ABC，延长CB至点D，使BDBA，连接AD.
设1AC，则2BDBA，3BC.tan75tanDCDBBCDACACAC23231.
请解决下列问题：
（1）类比求解：求出tan22.5的值；
（2）问题解决：如图2，某住宅楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22.5时，住宅在建筑物的墙上留下高3m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45时，住宅楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C在一条直线上）.求住宅楼AB的高度（结果保留根号）；
（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在RtABC中，90B，30A，2BC；在RtDEF中，90FED，45EFD，2DF.他将DEF的斜边DF与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿CA方向移动.在移动过程中，D，F两点始终在CA边上（移动开始时点F与点C重合）.探究在DEF移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD？如果存在，直接写出CD的长度；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）21；（2）住宅楼的高为823m.（3）存在某个位置，使得22.5ECD，CD的长为22.
【分析】
（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；
（2）在RtABF中，设AB为xm得出13BCBFFCx，在RtAEM中，根据tan22.5AMME列出关于x的方程32113xx求解即可；
（3）因为在RtDEF中，90FED，45EFD，2DF，所以=2FE；假设在DEF移动过程中，存在某个位置使得22.5ECD，因为45EFD，所以CF=FE=2，所以CD的长为22.
【精选】2020年中考数学典例精做专题19 新定义型问题 (教师版)
1 ※知识精要
新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。
※要点突破
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
※典例精讲
例1阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．
图1 图2 图3
【答案】（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图；（3）32BCAB
2
例2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
2021年中考数学复习-抛物线型问题(解析版)
类型四抛物线形问题
【典例1】已知平面直角坐标系xOy（如图1），直线mxy的经过点)0,4(A和点)3,(nB.
（1）求m、n的值；
（2）如果抛物线cbxxy2经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求ABPsin的值；
（3）设点Q在直线mxy上，且在第一象限内，直线mxy与y轴的交点为点D，如果DOBAQO，求点Q的坐标.
【答案】：（1）1n （2）1010sinABP（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直线mxy的经过点)0,4(A
∴04m
∴4m
∵直线mxy的经过点)3,(nB
∴34n
∴1n
（2）由可知点B的坐标为)3,1(
∵抛物线cbxxy2经过点A、B
∴310416cbcb
∴6b， 8c
∴抛物线cbxxy2的表达式为862xxy
∴抛物线862xxy的顶点坐标为)1,3(P
∴23AB,2AP,52PB 图1 O x y ∴222PBBPAB
∴90PAB
∴PBAPABPsin
∴1010sinABP
（3）过点Q作xQH轴，垂足为点H，则QH∥y轴
∵DOBAQO,QBOOBD
∴△OBD∽△QBO
∴OBDBQBOB
∵直线4xy与y轴的交点为点D
∴点D的坐标为)4,0(,4OD
又10OB，2DB
∴25QB，24DQ
∵23AB
∴28AQ,24DQ
∵QH∥y轴
∴AQADQHOD
∴28244QH
∴8QH
即点Q的纵坐标是8
又点Q在直线4xy上
点Q的坐标为)8,4(
【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线32bxaxy与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.
2021年中考数学复习-其他探究题(解析版)
其他探究题
【典例1】小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，90ABCCDE，连接BD，ABBD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BDDF⊥，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若6,9ABCE，求AD的长．
【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）2455
【解析】
【分析】
（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；
（2）根据垂直的性质可以得出BDCCDF90°，EDFCDF90°，从而可得BDCEDF，接着证明出AEDF，利用AE可知EEDF，从而推出EFFD，最后通过证明ECDCDF得出CFDF，据此加以分析即可证明结论；
（3）如图，设G为EC的中点，连接GD，由（1）得DGBD，故而92GDGC，在RtGDB△中，利用勾股定理求出152GB，由此得出159322CB，紧接着，继续通过勾股定理求出226335AC，最后进一步证明ABCEDC，再根据相似三角形性质得出3539CD，从而求出955CD，最后进一步分析求解即可.
【详解】
（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，
∵∠ACB=∠ECD，