2020年中考数学复习专题训练： 新定义问题(含解析)
2020中考复习——新定义问题专题训练(四)(有答案)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
22. 阅读理解：若 A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到 A 的距离是点 C 到 B 的距离 2 倍，
我们就称点 C 是【A，B】的 好点． 例如，如图 1，点 A 表示的数为−1，点 B 表示的数为 2.表示 1 的点 C 到点 A 的距 离是 2，到点 B 的距离是 1，那么点 C 是【A，B】的好点；又如，表示 0 的点 D 到点 A 的距离是 1，到点 B 的距离是 2，那么点 D 就 不是【A，B】的好点，但点 D 是【B、A】的好点． 知识运用： (1)如图 1，点 B 是【D，C】的好点吗？_________(填是或不是)；
B. 6
C. 8
2. 若定义新运算 ∗ = 2 − 3 ，则 4 ∗ 1 的值是：
D. −6
A. 5
B. 7
C. 13
D. 15
3. 已知 a，b 为有理数，定义一种运算： ★ = 2 − 3 ，若(5 − 3)★(1 − 3 ) = 29， 则 x 的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 我们约定 ⊕ = 10 × 10 ，如 2 ⊕ 3 = 102 × 103 = 105，那么 3 ⊕ 8 为( )
=± 2， 1 = 2， 2 =− 2，
7. D
解：根据题中的新定义化简得：2 × 8 + 2 =− (3 + 2) − 6 × 7， 整理得：2 + 3 =− 60， 合并同类项，得：5 =− 60， 系数化为 1，得： =− 12，
8. B
解：结合图象可得[ ]可能为 0 或 1 或 2，
由1
3
答案和解析
2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题(含解析)
yxO2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：2※3= ；（2）若5※m= ．（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ） 【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b>a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ：b ：c ； （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），D是半圆的中点，C ，D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．①求证：△ACE 是奇异三角形；②当△A CE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．【答案】（1）真命题．（2）a ：b ：c=1（3）①见解析②60°或120°． 【解析】1．然后分两种情况讨论.试题解析：解：（1）真命题． （2分）ADB（3）在Rt ΔABC 中，a 2+b 2=c 2，①证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt ΔACB 中，AC 2+BC 2=AB 2； 在Rt ΔADB 中，AD 2+BD 2=AB 2．∵D是半圆的中点，∴， ∴AD=BD ， （6分），∴AB 2=AD 2+BD 2=2AD 2， （7分） 又∵CB=CE ．AE=AD ，∴AC 2+CE 2=2AE 2． ∴ΔACE 是奇异三角形． （8分）⋂⋂=BD AD ⋂ADB考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a －b ≥0，∴a ＋b ≥a＝b 时，等号成立.结论：在a ＋b ≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥a ＝b 时，a ＋b 有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时，m 有最小值 ； 若m ＞0，只有当m ＝ 时，2m 有最小值 .（2）如图，已知直线L 1：y ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y （x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试 求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积.【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，8（2） （3）232--=x y 2=m m m 1+1=m∴A （-2，0）又点B （2，m∴设直线的解析式为：，则有，解得：∴直线的解析式为：；2--=x y 2L ⎩⎨⎧-=-=21b k ⎩⎨⎧-=+=+-4202b k b k b kx y +=2L )4,2(,4--=B m4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
2020年九年级数学中考二轮专项——新定义类问题(含答案)
2020年中考数学二轮专项——新定义类问题1. (2019湘西州)阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a → ∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(4，3)，b →＝(8，m )，且a →∥b →，则m ＝________．2. (2019株洲改编)从－1，1，2，4四个数中任取两个不同的数(记作a k ，b k )构成一个数组M k ＝{a k ，b k }(其中k ＝1，2，…，S ，且将{a k ，b k }与{b k ，a k }视为同一个数组)，若满足：对于任意的M i ＝{a i ，b i }和M j ＝{a j ，b j }(i ≠j ，1≤i ≤S ，1≤j ≤S )都有a i ＋b i ≠a j ＋b j ，则S 的最大值为________．3. (2019成华区二诊)对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a 2－ab .例如：5※3＝52－5×3＝10.若(x ＋1)※(x －2)＝6，则x 的值为________．4. (2019武侯区二诊)定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，例如：[0.82]＝0，[6]＝6，[－135]＝－3，[－7]＝－7.若规定：对于实数m ，f (m )＝[2－m 3]－[m 5]，例如：f (7)＝[2－73]－[75]＝[－53]－[75]＝－2－1＝－3.则f (－6)＝______．5．(2019锦江区一诊)新定义：[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”．若“图象数”是[m －1，m －2，m －3]的二次函数的图象经过原点，则m ＝________．6. (2018成都黑白卷)对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：a @b ＝ab a ＋b ，如6@15＝6×156＋15＝31021＝107.已知m ，n 是一元二次方程x 2－21x ＋7＝0的两个不相等的实数根，则[(m ＋n )@mn ]@3＝________．7. (2019甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝________．8. 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则a 与c 的关系是____________．9. (2019贵港)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c |(a ≠0，且b 2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是____________．第9题图10. (2019都江堰区一诊)定义：平面直角坐标系中，若抛物线y ＝ax 2上的两点A 、B 满足OA ＝OB ，且tan ∠OAB ＝12，那么我们就称线段AB 为该抛物线的“通径”，抛物线y ＝12x 2的“通径”长为________． 11. (2016成都B 卷24题)实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B (如图)．若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________．第11题图12. (2017成都黑白卷)定义1：在△ABC 中，若顶点A ，B ，C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC 的“有向面积”．“有向面积”用S 表示，例如图①中，S △ABC ＝S △ABC ，图②中，S △ABC ＝－S △AB C .定义2：在平面内任取一个△ABC 和点P (点P 不在△ABC 的三边所在直线上)，称有序数组(S △PBC ，S △PCA ，S △P AB )为点P 关于△ABC 的“面积坐标”，记作P (S △PBC ，S △PCA ，S △P AB )，例如图③中，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，则S △ABC ＝3，点D 关于△ABC 的“面积坐标”D (S △DBC ，S △DCA ，S △DAB )为D (3，－3，3)．在图③中，我们知道S △ABC ＝S △DBC ＋S △DAB －S △DCA ，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：S △ABC ＝S △DBC ＋S △DAB ＋S △DC A .应用新知：如图④，正方形ABCD 的边长为1，点D 关于△ABC 的“面积坐标”是________________．第12题图13. (2017成都B 卷24题)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，若AB ＝22，则k ＝________．14. (2019双流区一诊)若实数m ，n 满足m ＋n ＝3mn ，且n ≠0时，就称点P (m ，m n)为“完美点”，若反比例函数y ＝k x 的图象上存在两个“完美点”A ，B ，且AB ＝83，则k 的值为________． 15. (2019成都B 卷25题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点A 的坐标为(5，0)，点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为152，则△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为________．第15题图16. (2015成都B 卷25题) 如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关于倍根方程的说法，正确的是________(写出所有正确说法的序号)．① 方程x 2－x －2＝0是倍根方程；② 若(x －2)(mx ＋n )＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③ 若点(p ，q )在反比例函数y ＝2x的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④ 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M (1＋t ，s )，N (4－t ，s )都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54. 17. (2018成都黑白卷)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，每个小正方形的顶点称为“格点”．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次“跳马变换”．例如，在3×3的正方形网格图形中(如图①)，从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ，C ，D ，E 等处．现有25×25的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要“跳马变换”________次．第17题图18. (2014成都B 卷23题)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记数为N ，边界上的格点数记为L .例如，图中三角形ABC 是格点三角形，其中S ＝2，N ＝0，L ＝6；图中格点多边形DEFGHI 所对应的S ，N ，L 分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S 可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，则当N ＝5，L ＝14时，S ＝________(用数值作答)．第18题图19. (2019高新区二诊)规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分为相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等腰三角形底边上的中线即为它的“等周径”．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若直线l为△ABC的“等周线”，则△ABC 的所有“等周径”长为________．参考答案1. 6 【解析】a →＝(4，3)，b →＝(8，m )，且a →∥b →，∴4m ＝24，∴m ＝6.2. 5 【解析】假设M 1＝{－1，1}，M 2＝{－1，2}，M 3＝{－1，4}，M 4＝{1，2}，M 5＝{1，4}，M 6＝{2，4}，∵－1＋1＝0，－1＋2＝1，－1＋4＝3，1＋2＝3，1＋4＝5，2＋4＝6，∴a i ＋b i 共有5个不同的值．∵M 3＝M 4，∴舍去M 3或M 4.可得S 的最大值为5.3. 1 【解析】由题意得，(x ＋1)2－(x ＋1)(x －2)＝6，整理得，3x ＋3＝6，解得x ＝1.4. 4 【解析】根据题意可得，f (－6)＝[2＋63]－[－65]＝[83]－[－65]＝2－(－2)＝4. 5. 3 【解析】根据题意得y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋m －3，把(0，0)代入得m －3＝0，解得m ＝3. 6. 25【解析】∵m ，n 是一元二次方程x 2－21x ＋7＝0的两个不相等的实数根，∴m ＋n ＝21，mn ＝7.∵a @b ＝ab a ＋b ，∴[(m ＋n )@mn ]@3＝(21@7)@3＝21×721＋7@3＝34@3＝34×334＋3＝25. 7. 85或14 【解析】当∠A 为顶角时，则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时，则顶角(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝20°80°＝14.综上所述，k 为85或14. 8. a ＝c 【解析】∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝0，又∵a ＋b ＋c ＝0，∴将b ＝－a －c 代入b 2－4ac ＝0得，(－a －c )2－4ac ＝0，即(a ＋c )2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－4ac ＝a 2－2ac ＋c 2＝(a －c )2＝0，∴a ＝c .9. 4 【解析】当x 2－2x －3＝0时，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴图象与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，当x ＝0时y ＝|－3|＝3，∴与y 轴的交点坐标为(0，3)，故①正确；∵当x ＝1－t 时，y ＝|(1－t )2－2(1－t )－3|＝|1－2t ＋t 2－2＋2t －3|＝|t 2－4|，当x ＝1＋t 时，y ＝|(1＋t )2－2(1＋t )－3|＝|1＋2t ＋t 2－2－2t －3|＝|t 2－4|，∴当x ＝1－t 和x ＝1＋t 时，对应的函数值相同，即函数图象关于直线x ＝1对称，故②正确；由图象可知，当－1≤x ≤1或当x ≥3时，y 随x 的增大而增大，故③正确；∵由图象可知，当x ＝－1或x ＝3时，y ＝0，且是函数的最小值，故④正确；由图象可知，函数无最大值，故⑤错误．综上可知，正确结论的个数是4.10. 2 【解析】由题意得，A 、B 两点关于y 轴对称，设点A 位于第二象限，点A 的坐标为(－2a ，a )，则a ＝12×(－2a )2，解得a ＝0(舍去)或a ＝12，∴点A 的横坐标是－1，则点B 的横坐标是1，∴AB ＝1－(－1)＝2.11. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y )2＝2(2－x －y )，解得x ＋y ＝5－1(负值已舍去)；又∵BN 2＝AN ·AB ，∴(2－y )2＝2y ，解得y ＝3＋5(舍去)或y ＝3－ 5.∴x ＝x ＋y －y ＝25－4.∴m －n ＝MN ＝x ＝25－4.12 . (12，－12，12) 【解析】依题意得S △ABC ＝S △ABC ＝12×1×1＝12，则点D 关于△ABC 的“面积坐标”D (S △DBC ，S △DCA ，S △DAB )为(12，－12，12)． 13. －43【解析】设A 、B 的坐标分别为A (a ，－a ＋1)，B (b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b )2＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)，又∵A ′、B ′都在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝1a （1－a ）＝1b （1－b ），则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a －b )(1－a －b )＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即a ＋b ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝32b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴k ＝1a （1－a ）＝－43. 14. 13336 【解析】∵m ＋n ＝3mn 且n ≠0，∴m n ＋1＝3m ，即m n＝3m －1，∴P (m ，3m －1)，即“完美点”在直线y ＝3x －1上，设点A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，令k x＝3x －1，化简得3x 2－x －k ＝0，∵AB ＝83，∴|x 1－x 2|＝43，由韦达定理x 1＋x 2＝33，x 1x 2＝－33k ，∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝169，∴13＋433k ＝169，解得k ＝13336. 15. 4或5或6 【解析】如解图，∵S △AOB ＝12OA ·y B ＝12×5·y B ＝152，∴y B ＝3.∴点B 在直线y ＝3上，设AB 与直线y ＝2交于点D ，与直线y ＝1交于点F ，OB 与直线y ＝2交于点C ，与直线y ＝1交于点E ，则△BCD ∽△BOA ，∴CD OA ＝13，解得CD ＝53，∵每两个格点之间的距离为1，∴CD 之间最少有1个格点，最多有2个格点；同理△BEF ∽△BOA ，∴EF OA ＝23，解得EF ＝103＞3，∴EF 之间最少有3个格点，最多有4个格点，则△OAB 内的格点数可能有1＋3＝4或1＋4＝5或2＋3＝5或2＋4＝6，即△AOB 内的格点数可能是4或5或6个．第15题解图16. ②③ 【解析】逐个结论分析如下：序号 逐个分析 正误① 方程x 2－x －2＝0的两个根是x 1＝2，x 2＝－1，x 1≠2x 2，不符合题意② 倍根方程的两个根是x 1＝2，x 2＝－n m ，则2＝－2n m ，得n ＝－m ；或者－n m＝4，得n ＝－4m ，将以上两式分别代入4m 2＋5mn ＋n 2，结果均为0，符合题意√③ ∵点(p ，q )在反比例函数y ＝2x 的图象上，∴q ＝2p ，将其代入px 2＋3x ＋q ＝0中，整理得2x 2＋3qx ＋q 2＝0，解得x 1＝－q ，x 2＝－q 2，∴x 1＝2x 2，符合题意√④ 根据抛物线经过点M ，N ，且点M ，N 纵坐标相同，则该抛物线的对称轴为直线x ＝1＋t ＋4－t 2＝2.5，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1，x 2，根据题意，得x 1＝2x 2或2x 1＝x 2，则x 1＋x 22＝2.5，解得x 1＝103，x 2＝53或x 1＝53，x 2＝103，不符合题意17. 18 【解析】如解图①，连接AC ，CF ，则AF ＝32，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN ＝252，252÷32＝253(不是整数)，∴按A －C －F 的方向连续变换14次后，相当于向右移动了14÷2×3＝21格，向上移动了14÷2×3＝21格，此时M 位于如图所示的4×4的正方形网格的点G 处，再按解图②所示的方式变换4次即可到达点N 处，∴从该正方形的顶点M 经过“跳马变换”到达与其相对的顶点N ，最少需要“跳马变换”的次数是14＋4＝18次．第17题解图18. 7，3，10；11 【解析】由定义结合题图，易得格点多边形DEFGHI 内部格点数N 有3个，边界格点数L 有10个，把多边形DEFGHI 分割为△DEF 、△DFI 、正方形FGHI ，易计算其面积分别为1，2，4，∴格点多边形DEFGHI 的面积为1＋2＋4＝7；由题中所给格点多边形的表达式S ＝aN ＋bL ＋c 中a ，b ，c 为常数，想到如果得到a ，b ，c 的值即可解决题中问题，构造一个特殊的多边形，即面积为1的格点正方形，其S ，N ，L 分别为1，0，4，结合S ＝2，N ＝0，L ＝6；S ＝7，N ＝3，L ＝10两个图形可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧1＝4b ＋c 2＝6b ＋c 7＝3a ＋10b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12c ＝－1，∴S ＝N ＋12L －1，∴当N ＝5，L ＝14时，S ＝5＋12×14－1＝11. 19．25或32或655 【解析】当AD 为△ABC 的等周线时，如解图①，设CD ＝x ，则BD ＝3－x ，根据题意可得4＋x ＝5＋3－x ，解得x ＝2，在Rt △ACD 中，AD ＝42＋22＝25；当BD 为△ABC 的等周线时，如解图②，设CD ＝x ，则AD ＝4－x ，根据题意可得3＋x ＝5＋4－x ，解得x ＝3，在Rt △BCD 中，BD ＝32＋32＝32；当CD 为△ABC 的等周线时，如解图③，设AD ＝x ，则BD ＝5－x ，根据题意可得4＋x＝3＋5－x ，解得x ＝2，则AD ＝2，BD ＝3，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，则12AC ·BC ＝12AB ·CN ，可得CN ＝125，在Rt △BCN 中，BN ＝32－（125）2＝95，∴ND ＝BD －BN ＝3－95＝65，在Rt △CND 中，CD ＝（125）2＋（65）2＝655.综上所述，△ABC 的所有“等周径”长为25或32或655.第19题解图。
2020北京市中考数学新定义问题专题练习(含答案)
专题突破(十) 新定义问题新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特．1．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．(2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－33x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．图Z10－12．[2014·北京] 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y ＝1x (x >0)和y ＝x ＋1(－4<x ≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤x ≤b ，b >a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；(3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位长度，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1?图Z10－23．[2013·北京] 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D (12，12)，E (0，－2)，F (2 3，0)．(1)当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是________； ②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l 上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．图Z10－34．[2012·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图Z10－4(a)中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．(1)已知点A (－12，0)，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值． (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图(b)，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标．②如图(c)，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图Z10－41．[2015·平谷一模] b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝2015x 是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若二次函数y ＝x 2－2x －k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；(3)若一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m ，n 的代数式表示)．2．[2015·东城一模] 定义符号min {}a ，b 的含义为：当a ≥b 时，min {}a ，b ＝b ；当a ＜b 时，min {}a ，b ＝a .如：min {}1，－2＝－2，min {}－1，2＝－1.(1)求min {}x 2－1，－2；(2)已知min{x 2－2x ＋k ，－3}＝－3，求实数k 的取值范围；(3)已知当－2≤x ≤3时，min{x 2－2x －15，m (x ＋1)}＝x 2－2x －15.直接写出实数m 的取值范围．3．[2015·海淀二模] 如图Z10－5(a )，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (－1，1)，C (1，0)，D (1，1)，记线段AB 为T 1，线段CD 为T 2，点P 是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与T 1，T 2都有公共点，则称点P 是T 1－T 2联络点．例如，点P (0，12)是T 1－T 2联络点．(1)以下各点中，________是T 1－T 2联络点(填出所有正确的序号)； ①(0，2)；②(－4，2)；③(3，2)．(2)直接在图(a )中画出所有T 1－T 2联络点所组成的区域，用阴影部分表示．(3)已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，①若r ＝1，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．图Z10－54．[2015·门头沟一模] 如图Z10－6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的顶点为M ，直线y ＝m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．图Z10－6(1)抛物线y ＝12x 2的碟宽为________，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的碟宽为________．(2)如果抛物线y ＝a (x －1)2－6a (a ＞0)的碟宽为6，那么a ＝________．(3)将抛物线y n ＝a n x 2＋b n x ＋c n (a n ＞0)的准蝶形记为F n (n ＝1，2，3，…)，我们定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n －1的相似比为12，且F n的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.①求抛物线y 2的函数解析式．②请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式；如果不是，说明理由．图Z10－75．[2015·朝阳一模] 定义：对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP ＋MQ 为PQ 的“等高距离”．(1)若P (1，2)，Q (4，2)．①在点A (1，0)，B (52，4)，C (0，3)中，PQ 的“等高点”是________；②若M (t ，0)为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值． (2)若P (0，0)，PQ ＝2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图Z10－86．[2015·通州一模] 如图Z10－9，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)，B (6，3)，连接A B.若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”．(1)判断点D (75，195)是否是线段AB 的“邻近点”．________(填“是”或“否”)；(2)若点H (m ，n )在一次函数y ＝x －1的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围；(3)若一次函数y ＝x ＋b 的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值范围．图Z10－97．[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )和点Q (a ，b ′)，给出如下定义：若b ′＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥1，－b ，a<1，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2，3的限变点的坐标是()2，3，点()－2，5的限变点的坐标是()－2，－5.(1)①点()3，1的限变点的坐标是________；②在点A ()－2，－1，B ()－1，2中有一个点是函数y ＝2x 的图象上某一个点的限变点，这个点是________．(2)若点P 在函数y ＝－x ＋3(－2≤x ≤k ，k >－2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是－5≤b ′≤2，求k 的取值范围．(3)若点P 在关于x 的二次函数y ＝x 2－2tx ＋t 2＋t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m >n .令s ＝m －n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．图Z10－108．[2015·西城一模] 给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．(1)点A 的坐标为A (1，0)，则点B (2，3)和射线OA 之间的距离为________，点C (－2，3)和射线OA 之间的距离为________．(2)如果直线y ＝x 和双曲线y ＝kx 之间的距离为2，那么k ＝________．(可在图Z10－11(a )中进行研究)(3)点E 的坐标为(1，3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60°，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M .①请在图(b )中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线y ＝x 2－2与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．图Z10－11参考答案1.解：(1)①点M (2，1)关于⊙O 的反称点不存在． 点N (32，0)关于⊙O 的反称点存在，反称点N ′(12，0)．点T (1，3)关于⊙O 的反称点存在，反称点T ′(0，0)．②如图①，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点E (2，0)，点F (0，2)．设点P 的横坐标为x .(i )当点P 在线段EF 上，即0≤x ≤2时，0＜OP ≤2， ∴在射线OP 上一定存在一点P ′，使得OP ＋OP ′＝2，∴点P 关于⊙O 的反称点存在，其中点P 与点E 或点F 重合时，OP ＝2，点P 关于⊙O 的反称点为O ，不符合题意，∴0＜x ＜2.(ii )当点P 不在线段EF 上，即x ＜0或x ＞2时，OP ＞2， ∴对于射线OP 上任意一点P ′，总有OP ＋OP ′＞2， ∴点P 关于⊙O 的反称点不存在．综上所述，点P 的横坐标x 的取值范围是0＜x ＜2.(2)若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，则1＜CP ≤2.依题意可知点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，2 3)，∠BAO ＝30°. 设圆心C 的坐标为(x ，0)．①当x ＜6时，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，如图②，∴0＜CH ≤CP ≤2，∴0＜CA ≤4， ∴0＜6－x ≤4，∴2≤x ＜6，并且，当2≤x ＜6时，CB ＞2，CH ≤2， ∴在线段AB 上一定存在点P ，使得CP ＝2，∴此时点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴2≤x ＜6. ②当x ≥6时，如图③.∴0≤CA ≤CP ≤2，∴0≤x －6≤2，∴6≤x ≤8.并且，当6≤x ≤8时，CB ＞2，CA ≤2，∴在线段AB 上一定存在一点P ，使得CP ＝2，∴此时点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴6≤x ≤8. 综上所述，圆心C 的横坐标x 的取值范围是2≤x ≤8. 2．解：(1)y ＝1x (x ＞0)不是有界函数．y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)对于y ＝－x ＋1，y 随x 的增大而减小， 当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，a ＝－1， 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1.⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－b ＋1＜2，b ＞a ， ∴－1＜b ≤3.(3)由题意，函数平移后的表达式为 y ＝x 2－m (－1≤x ≤m ，m ≥0)．当x ＝－1时，y ＝1－m ；当x ＝0时，y ＝－m ； 当x ＝m 时，y ＝m 2－m . 根据二次函数的对称性，当0≤m ≤1时，1－m ≥m 2－m . 当m ＞1时，1－m ＜m 2－m . ①当0≤m ≤12时，1－m ≥m .由题意，边界值t ＝1－m . 当34≤t ≤1时，0≤m ≤14， ∴0≤m ≤14.②当12＜m ≤1时，1－m ＜m .由题意，边界值t ＝m . 当34≤t ≤1时，34≤m ≤1， ∴34≤m ≤1. ③当m ＞1时，由题意，边界值t ≥m ， ∴不存在满足34≤t ≤1的m 值．综上所述，当0≤m ≤14或34≤m ≤1时，满足34≤t ≤1.3．解：(1)①如图(a)所示，过点E 作⊙O 的切线，设切点为R .∵⊙O 的半径为1，∴RO ＝1.∵EO ＝2，∴∠OER ＝30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E 点是⊙O 的关联点．∵D (12，12)，E (0，－2)，F (2 3，0)，∴OF ＞EO ，DO ＜EO ，∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点与点F 的连线的夹角等于60°， 故在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是D ，E . ②由题意可知，若P 刚好是⊙C 的关联点，则点P 到⊙C 的两条切线P A 和PB 之间所夹的角为60°， 由图(b)可知∠APB ＝60°，则∠CPB ＝30°. 连接BC ，则PC ＝BCsin ∠CPB＝2BC ＝2r ，∴若点P 为⊙C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d ≤2r .由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，则点P 到原点的距离OP ＝2×1＝2， 如图(c)，过点O 作l 轴的垂线OH ，垂足为H ，∵∠GFO ＝30°， ∴∠OGF ＝60°，OG ＝2， 可得点P 1与点G 重合．过点P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ， 可得∠P 2OM ＝30°，∴OM ＝OP 2cos30°＝3，从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴0≤m ≤ 3.(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF 的中点．考虑临界情况，如图(d)，即恰好点E ，F 为⊙K 的关联点时，则KF ＝2KN ＝12EF ＝2，此时，r ＝1，故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r 的取值范围为r ≥1.4．解：(1)①点B 的坐标是(0，2)或(0，－2)． ②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12.(2)①∵C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，∴设点C 的坐标为(x 0，34x 0＋3)，∴－x 0＝34x 0＋2，此时，x 0＝－87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为87，此时C (－87，157)．②E (－35，45)．－35－x 0＝34x 0＋3－45， 解得x 0＝－85，则点C 的坐标为(－85，95)，点C1.解：(1)反比例函数y ＝2015x 是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y ＝2015x 在第一象限，y 随x 的增大而减小，当x ＝1时，y ＝2015； 当x ＝2015时，y ＝1，即图象过点(1，2015)和(2015，1)，∴当1≤x ≤2015时，有1≤y ≤2015，符合闭函数的定义， ∴反比例函数y ＝2015x是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．(2)由于二次函数y ＝x 2－2x －k 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝x 2－2x －k 在闭区间[1，2]内，y 随x 的增大而增大． 当x ＝1时，y ＝1，∴k ＝－2. 当x ＝2时，y ＝2，∴k ＝－2. 即图象过点(1，1)和(2，2)，∴当1≤x ≤2时，有1≤y ≤2，符合闭函数的定义， ∴k ＝－2.(3)因为一次函数y ＝kx ＋b ()k ≠0是闭区间[]m ，n 上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，有：(Ⅰ)当k >0时，图象过点(m ，m )和(n ，n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝m ，nk ＋b ＝n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝0，∴y ＝x .(Ⅱ)当k <0时，图象过点(m ，n )和(n ，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝n ，nk ＋b ＝m ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝m ＋n ，∴y ＝－x ＋m ＋n ，∴一次函数的解析式为y ＝x 或y ＝－x ＋m ＋n . 2．解：(1)∵x 2≥0， ∴x 2－1≥－1. ∴x 2－1＞－2.∴min {}x 2－1，－2＝－2. (2)∵x 2－2x ＋k ＝()x －12＋k －1， ∴()x －12＋k －1≥k －1.∵min{x 2－2x ＋k ，－3}＝－3， ∴k －1≥－3. ∴k ≥－2. (3)－3≤m ≤7. 3．解：(1)②③(2)所有联络点所组成的区域为图(a)中阴影部分(含边界)．(3)①∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于(0，0)或与直线BD 相切于(0，1)，如图(b)所示．又∵⊙M 的半径r ＝1，∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)．经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，符合题意．∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)． ∴点M 的纵坐标为－1或2.②阴影部分关于直线y ＝12对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方．∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于O (0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 过点M 作ME ⊥AD 于点E ，设AD 与BC 的交点为F ，如图(c)． ∴MO ＝r ，ME >r ，F (0，12)．在Rt △AOF 中，∠AOF ＝90°，AO ＝1，OF ＝12，∴AF ＝AO 2＋OF 2＝52，sin ∠AFO ＝AO AF ＝2 55. 在Rt △FEM 中，∠FEM ＝90°，FM ＝FO ＋OM ＝r ＋12，sin ∠EFM ＝sin ∠AFO ＝2 55，∴ME ＝FM ·sin ∠EFM ＝5（2r ＋1）5.∴5（2r ＋1）5>r .又∵r >0，∴0<r <5＋2.4．解：(1)4 2a(2)13(3)①∵F 1的碟宽∶F 2的碟宽＝2∶1， ∴2a 1∶2a 2＝21. ∵a 1＝13，∴a 2＝23.又∵由题意得F 2的碟顶坐标为(1，1)，∴y 2＝23()x －12＋1.②F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在一条直线上； 其解析式为y ＝－x ＋5. 5．解：(1)A 、B (2)如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长．∵P (1，2)，∴P ′(1，－2)．设直线P ′Q 的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－2，4k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝－103.∴直线P ′Q 的函数解析式为y ＝43x －103.当y ＝0时，解得x ＝52，即t ＝52.根据题意，可知PP ′＝4，PQ ＝3，PQ ⊥PP ′， ∴P ′Q ＝PP ′2＋PQ 2＝5. ∴“等高距离”最小值为5.(3)Q (4 55，2 55)或Q (－4 55，2 55)．6．解：(1)是(2)∵点H (m ，n )是线段AB 的“邻近点”，点H (m ，n )在直线y ＝x －1上，∴n ＝m －1. 直线y ＝x －1与线段AB 交于(4，3)． ①当m ≥4时，有n ＝m －1≥3.又AB ∥x 轴，∴此时点H (m ，n )到线段AB 的距离是n －3， ∴0≤n －3≤1，∴4≤m ≤5.②当m ≤4时，有n ＝m －1，∴n ≤3.又AB ∥x 轴，∴此时点H (m ，n )到线段AB 的距离是3－n ， ∴0≤3－n ≤1，∴3≤m ≤4， 综上所述，3≤m ≤5.(3)如图①，②，－37．解：(1)①(3，1) ②点B(2)依题意，y ＝－x ＋3(x ≥－2)的图象上的点P 的限变点必在函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ≥1，x －3，－2≤x <1的图象上．∴b ′≤2，即当x ＝1时，b ′取最大值2. 当b ′＝－2时，－2＝－x ＋3.∴x ＝5.当b ′＝－5时，－5＝x －3或－5＝－x ＋3. ∴x ＝－2或x ＝8. ∵－5≤b ′≤2，由图象可知，k 的取值范围是5≤k ≤8.(3)∵y＝x2－2tx＋t2＋t＝(x－t)2＋t，∴顶点坐标为(t，t)．若t＞1，b′的取值范围是b′≥m或b′≤n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于－[(1－t)2＋t]，即n＝－[(1－t)2＋t]．∴s＝m－n＝t＋(1－t)2＋t＝t2＋1.∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1(t≥1)．当t＝1时，s取最小值2.∴s的取值范围是s≥2.8．解：(1)313(2)－1(3)①如图，过点O分别作射线OE，OF的垂线OG，OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分)．说明：(图形M也可描述为：y轴正半轴，直线y＝33x下方与直线y＝－33x下方重叠的部分(含边界)②4 3.。
2020年中考数学二轮复习重要考点精析--新定义型题型-含答案
中考数学二轮复习重要考点精析新定义型题型一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos30°=2，则sin230°+cos230°= ；①sin45°=2，cos45°=2，则sin245°+cos245°= ；②sin60°=，cos60°=12，则sin260°+cos260°= ．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=35，求cosA．思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=BD AB ，cosA=ADAB ，则sin2A+cos2A=222BD AD AB +，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA ＞0且sinA=35，进行求解．解：∵sin30°=12，cos30°=3， ∴sin230°+cos230°=（12）2+（3）2=14+34=1；①∵sin45°=2，cos45°=2，∴sin245°+cos245°=（22）2+（22）2=12+12=1；②∵sin60°=32，cos60°=12，∴sin260°+cos260°=（3）2+（12）2=34+14=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin2A+cos2A=1．④（1）如图，过点B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ADB=90°．∵sinA=BD AB ，cosA=ADAB ，∴sin2A+cos2A=（BD AB ）2+（ADAB ）2=222BD AD AB +，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=35，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴45 =．点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．对应训练1．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23 AO AD=；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值．（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是中线，点E 是AB 的中点．∴DE 是中位线，∴DE ∥AC ，且DE=12AC ． ∵DE∥AC，∴△AOC ∽△DOE ，∴AO AC OD DE =2， ∵AD=AO+OD ，∴AO AD =23．（2）答：点O 是△ABC 的重心．证明：如答图2，作△ABC 的中线CE ，与AD 交于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心．由（1）可知，AO AD =23，而AO AD =23，∴点Q 与点O 重合（是同一个点），。
2020年中考数学二轮重难点专练附解答： 新定义型
新定义型例1、对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．【解答】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18， ∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数，∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5．∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8， ∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54,∴k 的最大值为54．例2、如图1，在正方形ABCD 的内部，作∠DAE ＝∠ABF ＝∠BCG ＝∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形． 类比探究如图2，在正△ABC 的内部，作∠BAD ＝∠CBE ＝∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点(D ，E ，F 三点不重合）（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由．（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD ＝a ，AD ＝b ，AB ＝c ，请探索a ，b ，c 满足的等量关系．【解答】解：(1)△ABD ≌△BCE ≌△CAF ;理由如下： ∵△ABC 是正三角形，∴∠CAB ＝∠ABC ＝∠BCA ＝60°，AB ＝BC ，∵∠ABD ＝∠ABC －∠2，∠BCE ＝∠ACB －∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD ＝∠BCE ，在△ABD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AB ＝BC ∠ABD ＝∠BCE，∴△ABD ≌△BCE (ASA );(2)△DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ， ∴∠ADB ＝∠BEC ＝∠CF A ， ∴∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ， ∴△DEF 是正三角形；（3）作AG ⊥BD 于G ，如图所示： ∵△DEF 是正三角形，∴∠ADG ＝60°，在Rt △ADG 中，DG ＝12b ,AG ＝32b ,在Rt △ABG 中,c 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋⎝⎛⎭⎫32b 2, ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2．例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y ＝1k x 与y ＝kx(k ≠0）的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数y ＝1k x 与y ＝kx ,当k ＞0时的图象性质进行了探究．下面是小明的探究过程：（1）如图所示，设函数y ＝1k x 与y ＝kx 图象的交点为A ，B ，已知A 点的坐标为(－k ，－1)，则B 点的坐标为________；（2）若点P 为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点．①设直线P A 交x 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N ．求证：PM ＝PN ． 证明过程如下：设P ⎝⎛⎭⎫m , km ,直线P A 的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0）．则 ⎩⎪⎨⎪⎧－ka ＋b ＝－1ma ＋b ＝ k m ， 解得 ⎩⎨⎧a ＝b ＝________∴直线P A 的解析式为________请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．②当P 点坐标为(1，k )(k ≠1）时，判断△P AB 的形状，并用k 表示出△P AB 的面积．【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A 、B 关于原点O 对称，∵A 点的坐标为(－k ，－1)， ∴B 点的坐标为(k ，1)． 故答案为：(k ，1)．（2）①证明过程如下，设P ⎝⎛⎭⎫m ,km ,直线P A 的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0）．则⎩⎪⎨⎪⎧－ka ＋b ＝－1ma ＋b ＝k m ，解得：⎩⎨⎧a ＝1m b ＝km －1， ∴直线P A 的解析式为y ＝1m x ＋km －1．当y ＝0时，x ＝m －k ， ∴M 点的坐标为(m －k ，0)．过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图1所示， ∵P 点坐标为⎝⎛⎭⎫m ,km ,∴H 点的坐标为(m ，0)，∴MH ＝x H －x M ＝m －(m －k )＝k ． 同理可得：HN ＝k ． ∴MH ＝HN ， ∴PM ＝PN ．故答案为：⎩⎨⎧a ＝1m b ＝k m－1；y ＝1m x ＋km －1．②由①可知，在△PMN 中，PM ＝PN ， ∴△PMN 为等腰三角形，且MH ＝HN ＝k ． 当P 点坐标为(1，k )时，PH ＝k ， ∴MH ＝HN ＝PH ，∴∠PMH ＝∠MPH ＝45°，∠PNH ＝∠NPH ＝45°， ∴∠MPN ＝90°，即∠APB ＝90°， ∴△P AB 为直角三角形．当k ＞1时，如图1， S△P AB ＝S △PMN －S △OBN ＋S △OAM ,＝12MN ﹒PH －12ON ﹒y B ＋12OM ﹒|y A |, ＝12×2k ×k －12(k ＋1)×1＋12(k －1)×1, ＝k 2－1;当0＜k ＜1时，如图2， S△P AB ＝S △OBN －S △PMN ＋S △OAM ,＝12ON ﹒y B －k 2＋12OM ﹒|y A |, ＝12(k ＋1)×1－k 2＋12(1－k )×1, ＝1－k 2．例4、问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝DG ，求证：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1,得到矩形A 1B 1C 1D 1． 如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近(DG ＞AE )，经过探索，发现：2 S四边形EFGH＝S 矩形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近(DG ＜AE )，请探索S 四边形EFGH 、S矩形ABCD与S 矩形A 1B 1C 1D 1,之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH ＝11，HF ＝29,求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE ＝1，DH ＝2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG ＝10,连接EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE＝12S四边形EFGH，同理S△EGF＝12S矩形BEGC，∴S四边形EFGH＝S△HGE＋S△EFG＝12S矩形ABCD．实验探究：结论：2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1．理由：∵=12，=12，=12，=12，∴S四边形EFGH=+++﹣，∴2S四边形EFGH =2+2+2+2﹣2，∴2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ﹣S 矩形A 1B 1C 1D 1．迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A 1B 1C 1D 1，∴S 矩形A 1B 1C 1D 1=25﹣2×11=3=A 1B 1A 1D 1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A 1D 12=HF 2﹣52=29﹣25=4，∴A 1D 1=2，A 1B 1=32，∴EG 2=A 1B 12+52=1094，∴EG =109．（2）∵2 S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1．∴四边形A 1B 1C 1D 1面积最大时，四边形EFGH 的面积最大．①如图5－1中，当G 与C 重合时，四边形A 1B 1C 1D 1面积最大时，四边形EFGH 的面积最大．此时矩形A 1B 1C 1D 1面积＝1﹒(10－2)＝10－2②如图5－2中，当G 与D 重合时，四边形A 1B 1C 1D 1面积最大时，四边形EFGH 的面积最大．此时矩形A 1B 1C 1D 1面积＝2﹒1＝2，∵2＞10－2,∴四边形EFGH 的面积最大值＝172．例5、定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△P AB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y ＝3 3x (x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是( 3,3),点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是(3, 3),点N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ONP ＝∠M ，∠NOP ＝∠MON ， ∴△NOP ∽△MON ，∴点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD ＝MNON ＝3,∴∠MON ＝60°，∵当点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(3,0), ∴∠MNO ＝90°， ∵△NOP ∽△MON ， ∴∠NPO ＝∠MNO ＝90°， 在Rt △OPN 中，OP ＝ON cos60°＝32, ∴OD ＝OP cos60°＝32×12＝34,PD ＝OP ﹒sin60°＝32×32＝34,{{dbc 5494c .png }} ∴P⎝⎛⎭⎫34,34;（2）作MH ⊥x 轴于H ，如图3所示： ∵点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(2，0)， ∴OM ＝32＋(3)2＝23,直线OM 的解析式为y ＝33x ,ON ＝2，∠MOH ＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点， ∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO ＝PN ，OQ ＝12ON ＝1，∵P 的横坐标为1， ∴y ＝33×1＝33,{{eb 10936e .png }} ∴P ⎝⎛⎭⎫1,33; ②如图4所示： 由勾股定理得：MN ＝(3)2＋12＝2，∵P 是△MON 的相似点， ∴△PNM ∽△NOM ， ∴PN ON ＝MN MO ,即PN 2＝223, 解得：PN ＝233,即P 的纵坐标为233,代入y ＝33得：233＝33x ,解得：x ＝2，∴P ⎝⎛⎭⎫2,233;综上所述：△MON 的自相似点的坐标为⎝⎛⎭⎫1,33或⎝⎛⎭⎫2,233; （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点,M (3,3),N (23,0);理由如下： ∵M (3,3),N (23,0),∴OM ＝23＝ON ，∠MON ＝60°， ∴△MON 是等边三角形， ∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ， ∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点．。
2020中考数学冲刺练习-第02讲 新定义理解问题--含解析
2020数学中考冲刺专项练习【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；新定义问题：是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决问题. 这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．解决此类题的步骤: ①理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题。
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
类型1：方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．类型2：新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．类型3：信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学信息或者已知条件。
类型4：阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】2018年某省积极推进乡村规划和特色小城镇建设，各市地将结合本地实际，因地制宜培育一到三个设施完善、特色鲜明的典型示范镇，全面推进特色小城镇建设。
2020中考数学重难点专练一 新定义型问题(含答案解析)
2020中考数学重难点专01 新定义型问题【命题趋势】新定义型问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。
这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力．这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事．新定义型问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.【满分技巧】一．读懂题目，搜集信息，理解本质﹕要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕1．实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和等知识．2．反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数3．一元一次、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程4．物理力学→向量的运算（平行四边形法则）5．其他类型三．熟练掌握和运用数学的常用思想方法我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．【限时检测】（建议用时：30分钟）一、 选择题1. (2019 湖南省株洲市)从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k ，b k ）构成一个数组M K ＝{a k ，b k }（其中k ＝1，2…S ，且将{a k ，b k }与{b k ，a k }视为同一个数组），若满足：对于任意的M i ＝{a i ，b i }和M j ＝{a i ，b j }（i ≠j ，1≤i ≤S ，1≤j ≤S ）都有a i +b i ≠a j +b j ，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．42. (2019 四川省达州市) a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．﹣C ．D ．3. (2019 广西玉林市)定义新运算：(0)(0)p q q p q p q q⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⊕，例如：3355=⊕，33(5)5-=⊕，则2(0)y x x =≠⊕的图象是( )A ．B ．C．D．二、填空题4. (2019 河北省)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．5. (2019 湖北省荆州市)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x ＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是．6. (2019 湖北省十堰市)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m ﹣3）＝24，则m＝．7. (2019 湖北省襄阳市)定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．8. (2019 湖南省常德市)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）9. (2019 湖南省怀化市)探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10. (2019 湖南省娄底市)已知点0(P x ，0)y 到直线y kx b =+的距离可表示为002||1kx b y d k +-=+，例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离2|2061|512d ⨯+-==+．据此进一步可得两条平行线y x =和4y x =-之间的距离为 ． 11. (2019 湖南省湘西市)阅读材料：设＝（x 1，y 1），＝（x 2，y 2），如果∥，则x 1•y 2＝x 2•y 1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m ），且∥，则m ＝ ．12. (2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．13. (2019 山东省德州市)已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]4=，[0.8]1-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{1.5} 1.5[1.5]0.5=-=，则{3.9}{1.8}{1}+--= ．14. (2019 山东省临沂市)一般地，如果x 4＝a （a ≥0），则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m ＝ ．15. (2019 上海市)已知2()1f x x =-，那么(1)f -= ．16. (2019 四川省遂宁市)阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i ）+（6﹣2i ）＝（4+6）+（1﹣2）i ＝10﹣i ；（2﹣i ）（3+i ）＝6﹣3i +2i ﹣i 2＝6﹣i ﹣（﹣1）＝7﹣i ；（4+i ）（4﹣i ）＝16﹣i 2＝16﹣（﹣1）＝17；（2+i ）2＝4+4i +i 2＝4+4i ﹣1＝3+4i根据以上信息，完成下面计算：（1+2i ）（2﹣i ）+（2﹣i ）2＝ ．17. (2019 重庆市)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．定义；对于自然数n ，在计算n +（n +1）+（n +2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．2020中考数学重难点专01 新定义型问题【命题趋势】新定义型问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。
2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷含参考答案及试题解析
2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷一．选择题（共20小题）1．对于有理数x，我们规定{x}表示不小于x的最小整数，如{2.2}＝3，{2}＝2，{﹣2.5}＝﹣2，若{}＝3，则x的取值可以是（）A．10B．20C．30D．402．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA（点P与点O，A不重台）上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．3个B．5个C．7个D．9个二．填空题（共20小题）3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒数点”．直线y＝﹣2x+1上有两点A，B，它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上．若AB＝，则k＝．4．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（﹣2，﹣2）．（，），…，都是等值点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（，），且当m≤x≤3时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a ≠0）的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是．三．解答题（共60分）5．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．6．(10分）定义：把函数y＝（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y＝（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（10分）【阅读理解】设点P在正方形ABCD内部，当点P到正方形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．举例：如图，正方形ABCD中，若P A＝PD，则称点P为边AD的“等距点”．【解题运用】已知，点P在边长为a的正方形ABCD内部．（1）设点P是边AD的“等距点”，求证：点P也是边BC的“等距点”；（2）若点P是边BC的“等距点”，连接P A，PB，求△P AB周长的最小值（用含a的式子表示）；（3）若点P是边CD的“等距点”，连接PB，PC，PD，当PB＝a，且sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ时，求锐角θ的度数．8．（15分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M 有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，），B（5，），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，）、D （t+6，），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y＝过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．9．（15分）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．对于有理数x，我们规定{x}表示不小于x的最小整数，如{2.2}＝3，{2}＝2，{﹣2.5}＝﹣2，若{}＝3，则x的取值可以是（）A．10B．20C．30D．40解：有题意得：，解不等式①得：x＞16，解不等式②得：x≤26，不等式组的解集为16＜x≤26，20符合x的取值范围．故选：B．2．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA（点P与点O，A不重台）上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．3个B．5个C．7个D．9个解：∵直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A、B，∴A（16，0），B（0，12），∴OB＝12，OA＝16，∴AB＝＝20，∴sin∠BAO＝＝，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM＝P A，设P（x，0），∴P A＝16﹣x，∴⊙P的半径PM＝P A＝﹣x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取1，6，11，3个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是3．故选：A．二．填空题（共2小题）3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒数点”．直线y＝﹣2x+1上有两点A，B，它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上．若AB＝，则k＝﹣．解：如图过点A作AC⊥x轴，过B点作CB⊥y轴，BC交AC于点C∴∠ACB＝90°∵直线y＝﹣2x+1交x轴，y轴于E点，D点∴E（，0），D（0，1）∴tan∠ODE＝∵AC∥OD∴∠CAD＝∠ODE∴tan∠CAD＝且AB＝＝∴BC＝1，AC＝2设A（a，﹣2a+1），∴若B点在A点下方，则B（a+1，﹣2a﹣1）若B点在A点上方，则B（a﹣1，﹣2a+3）∵它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上∴a＝﹣或a＝∴A1（，），或A2（，﹣）∴A1'（﹣4，），A2'（，﹣2）∴k＝﹣4．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（﹣2，﹣2）．（，），…，都是等值点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（，），且当m≤x≤3时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a ≠0）的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是﹣1≤m≤1．解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣2，c＝﹣．故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣2x2+4x﹣3＝﹣2（x﹣1）2﹣1，如图，该函数图象顶点为（1，﹣1），由于函数图象在对称轴x＝1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当m≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+4x﹣3的最小值为﹣9，最大值为﹣1，∴﹣1≤m≤1，故答案为：﹣1≤m≤1．三．解答题（共5小题）5．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）．；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR，则OR＝AR．过点R作RH ⊥OA于点H，∴OH＝HA，∵以线段OA为底的等腰△OAR恰好是点O，A的“生成三角形”，∴RH＝OA＝4．∴OR＝，答：该三角形的腰长为．（2）②如图所示：若A为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（7，0）；若B为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（3，0）综上，点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）．（2）由图可得：若N为直角顶点：﹣1﹣≤x N≤0；若M为直角顶点：﹣6≤x N≤﹣2；综上，﹣6≤x N≤0．答：点N的横坐标x N的取值范围为：﹣6≤x N≤0．6．定义：把函数y＝（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y＝（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）①当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；②无论x取何值，y＞0；③图象与坐标轴没有交点；④图象分布在第一、二象限，等等；（2）①设直线l的解析式为y＝kx+b．∵直线l过点A（﹣1，0）和点B（﹣2，﹣1），∴解得，∴直线l的解析式为y＝x+1．∵双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1），∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，即：m的值为﹣2；②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（，p+1），点N（﹣，p+1）．∴S△AMN＝|﹣﹣|×|p+1|＝2，若点P在线段AB上，则S△APM＝（p﹣）×[﹣（p+1）]＝（﹣P2﹣P+2）．∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×（﹣P2﹣P+2），即P2+P﹣1＝0．解得p1＝，p2＝（舍去），若点P与点B重合，△APM不存在；若点P在线段AB的延长线上，则S△APM＝（﹣p）×[﹣（p+1）]＝（P2+P﹣2）．∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×（P2+P﹣2），即P2+P﹣3＝0．解得p3＝，p4＝（舍去）．故存在点P（，）和（，），使得S△AMN＝4S△APM．7．【阅读理解】设点P在正方形ABCD内部，当点P到正方形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．举例：如图，正方形ABCD中，若P A＝PD，则称点P为边AD的“等距点”．【解题运用】已知，点P在边长为a的正方形ABCD内部．（1）设点P是边AD的“等距点”，求证：点P也是边BC的“等距点”；（2）若点P是边BC的“等距点”，连接P A，PB，求△P AB周长的最小值（用含a的式子表示）；（3）若点P是边CD的“等距点”，连接PB，PC，PD，当PB＝a，且sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ时，求锐角θ的度数．（1）证明：如图1中，连接PB，PC．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∵P A＝PD，∴∠P AD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，∴△BAP≌△CDP（SAS），∴PB＝PC，∴点P也是边BC的“等距点”；（2）如图2中，∵点P是边BC的“等距点”，∴点P在线段BC的垂直平分线上，连接BD交MN于点P，连接P A，此时P A+PB的值最小，即△P AB的周长最小，周长的最小值＝AB+P A+PB＝AB+PD+PB＝AB+BD＝a+a．（3）如图3中，∵点P是边CD的“等距点”，∴由（1）可知：点P也是边AB点，∴P A＝PB，∵PB＝AB＝a，∴P A＝AB＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴∠P AB＝∠PBA＝60°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠DAP＝∠CBP＝30°，∵AD＝AP，BP＝BC，∴∠ADP＝∠APD＝∠BPC＝∠BCP＝75°，∵sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ，∴cos2θ＝sin75°•sin75°＝cos215°，∴锐角θ＝15°．8．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，），B（5，），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是P2和P3；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，）、D （t+6，），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y＝过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．解：（1）如图1：由“亲近点”的定义可以判断OP2与OP3与AB线段有公共点，∴线段AB的“亲近点”是P2与P3，故答案为P2和P3；（2）线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，∵t+6＞t，∴O、A、C在一条直线上，O、B、D在一条直线上，此时线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，∴＝，∴t＝3，∴，∴t＝，∴≤t≤3；（3）y＝过点B，∴b＝6，∴y＝﹣x+6，如图2：过原点的直线与⊙A相切于点F，连接OA，过点A作AG⊥x轴，∵OA＝2，AF＝1，∴∠AOF＝30°，∵AG＝，OG＝1，∴∠AOG＝60°，∴∠FOG＝30°，当⊙E与⊙A的切线相切时，⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”，∴OP⊥PE，∵Q（6，0），∴PQ＝3，∵⊙E的半径PE＝2，∴EQ＝5，∴E点横坐标n＝6﹣＝；如图3：当⊙E与y轴相切时，⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”，∴E点横坐标n＝2，∴2≤n≤；9．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为18；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．解：（1）①如图1，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，面积为3×6＝18；故答案为：18，18．②∵M（4，1），N（﹣2，3），∴|x M﹣x N|＝6，|y M﹣y N|＝2．又∵m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n＝﹣1或5．（2）如图2，①易得点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+4，可得x分别为，；结合图象可知：≤m≤；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+4，可得x分别为﹣，；∴点P的坐标为（﹣，7）或（，﹣3）；（3）如图3，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），∴，，∴，同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y＝﹣，∴抛物线的解析式y＝x2+或y＝﹣x2+．。
中考真题分类整理：新定义型(附答案)
一、选择题1.（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2020·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2020·娄底） 已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2020·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＝＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2020·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ．【答案】85或14． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1.（2020·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2020·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2020·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。