结构动力学5任意荷载反应时域频域
工程结构动力响应频域特征分析
工程结构动力响应频域特征分析工程结构动力响应频域特征分析是一种用于研究结构响应特性的分析方法。
它能够帮助工程师了解结构在不同频率下的振动特性，为结构的设计、改进和优化提供参考依据。
本文将对该分析方法进行介绍，并探讨其在工程实践中的应用。
频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
在工程结构动力学中，结构的响应可以通过将结构的动态方程和外部激励函数进行频域转换得到。
通过频域分析，我们可以得到结构在不同频率下的振动模态、频率响应函数以及阻尼特性等重要信息。
首先，频域分析可以帮助工程师确定结构的振动模态。
振动模态指的是结构在自由振动状态下的形状和频率。
通过对结构进行模态分析，我们可以得到结构的固有振动模态形态，并计算出相应的固有频率。
这对于工程结构的设计和优化至关重要。
例如，在建筑领域中，通过对建筑结构进行模态分析，可以确定合适的阻尼装置的位置和刚度，以减小结构的振动幅值。
其次，频域分析可以帮助工程师确定结构的频率响应函数。
频率响应函数表示了结构在不同频率下的振动响应。
通过分析频率响应函数，我们可以了解结构在不同频率下的振动特性，并判断结构是否存在共振问题。
共振是指结构在某个特定频率下的振动幅值增大。
共振可能导致结构的破坏，因此需要加以避免。
通过频域分析，我们可以确定共振频率，并采取相应的措施来防止结构共振。
最后，频域分析还可以帮助工程师了解结构的阻尼特性。
阻尼是指结构在振动过程中能量的损耗。
阻尼的大小会影响结构的振动幅值和振动周期。
通过频域分析，我们可以计算出结构的阻尼比，并进行相应的优化。
例如，在桥梁设计中，通过对桥梁的阻尼特性进行分析，可以确定合适的阻尼装置的位置和刚度，以减小桥梁的振动幅值并提高结构的安全性。
在工程实践中，频域分析在各个领域都有广泛的应用。
在建筑领域，通过对建筑结构的频域特性进行分析，可以确定合适的结构参数，提高结构的稳定性和安全性。
在桥梁工程中，通过对桥梁的频域特性进行研究，可以减小桥梁的振动幅值，延长结构的使用寿命。
midas时程荷载工况中几个选项的说明
midas时程荷载工况中几个选项的说明时程荷载工况中几个选项的说明动力方程式如下：在做时程分析时，所有选项的设置都与动力方程中各项的构成和方程的求解方法有关，所以在学习时程分析时，应时刻联想动力方程的构成，这样有助于理解各选项的设置。
另外，正如哲学家所言：运动是绝对的，静止是相对的。
静力分析方程同样可由动力方程中简化(去掉加速度、速度项，位移项和荷载项去掉时间参数)。
0.几个概念自由振动: 指动力方程中P(t)=0的情况。
P(t)不为零时的振动为强迫振动。
无阻尼振动: 指[C]=0的情况。
无阻尼自由振动: 指[C]=0且P(t)=0的情况。
无阻尼自由振动方程就是特征值分析方程。
简谐荷载: P(t)可用简谐函数表示，简谐荷载作用下的振动为简谐振动。
非简谐周期荷载: P(t)为周期性荷载，但是无法用简谐函数表示，如动水压力。
任意荷载: P(t)为随机荷载(无规律)，如地震作用。
随机荷载作用下的振动为随机振动。
冲击荷载: P(t)的大小在短时间内急剧加大或减小，冲击后结构将处于自由振动状态。
1.关于分析类型选项目前有线性和非线性两个选项。
该选项将直接影响分析过程中结构刚度矩阵的构成。
非线性选项一般用于定义了非弹性铰的动力弹塑性分析和在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)的结构动力分析中。
当定义了非弹性铰或在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)，但是在时程分析工况对话框中的分析类型中选择了“线性”时，动力分析中将不考虑非弹性铰或非线性连接的非线性特点，仅取其特性中的线性特征部分进行分析。
只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界在动力分析中将转换为既能受压也能受拉的单元或边界进行分析。
如果要考虑只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界的非线性特征进行动力分析应该使用边界条件>一般连接中的间隙和钩来模拟。
2.关于分析方法选项目前有振型叠加法、直接积分法、静力法三个选项。
这三个选项是指解动力方程的方法。
结构动力学
§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得
结构动力学 期末复习重点
一1、结构动力学计算的特点？（对比静力问题）○1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。
○2与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响。
2、结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和 方法的一门理论和技术学科。
目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
二、1、动力系数（有阻尼、无阻尼。
简谐、半功率点法、位移计……）2、动力系数和哪些因素有关动力放大系数受阻尼比控制，Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响。
主要有两点：其一是峰值大小；其二是曲线的胖瘦。
3、动力系数在工程（隔震、调频减震）的应用4、如何用动力系数测阻尼比三、1、阻尼 阻尼也称阻尼力，是引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的作用。
阻尼的来源：1固体材料变形时的内摩擦，或材料快速反应引起的热耗散；2结构连接部位的摩擦；3结构周围外部介质引起的阻尼。
2.阻尼比常用的测量方法及其优缺点：（1）对数衰减率法：相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减率。
采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。
测量高阶振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动。
（2） 共振放大法：采用强迫振动试验，通过共振得到（Rd ）max 由于静荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可以用的。
（Ust 是零频时的静位移，不容易测得。
）（3） 半功率点（带宽）法：采用强迫振动试验，测出Rd-w/wn 图上振幅值等于倍最大振幅的点，对应的长度的1/2即为阻尼比。
不但能用于单自由度体系，也可以用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻自振频率的影响。
3、等效粘滞阻尼比○1、粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。
结构动力学 总结
结构动力学 动力特性（天生就有的，爹妈给的，不随外界任何事物改变）自振频率ω：初速度或初位移引起自由振动的圆频率振型：结构按照某自振频率振动的位移形态阻尼：振动过程中的能量耗散（主要由结构内部的特征决定的）动力作用：周期荷载、冲击荷载、随机荷载（地震）动力反应（响应）：动内力、动荷载、速度、加速度结构动力学是研究动力反应的规律的学问，一般思路是先研究自由振动（目的是搞清该结构的动力特性）再研究强迫振动（动力特性+动力作用）利用振型分解反应谱法，可以将每个基本振型的参与系数求出来，这样的最大好处是可以将耦联微分方程解耦。
刚度法通式：()()()()mY t cY t kY t F t ++=1、 单自由度无阻尼自由振动（分析自由振动的目的是确定体系的动力特性：周期、自振频率）()()0my t ky t += （()[()]y t my t δ=-） （令k m ω=） 解为：00()cos sin v y t y t t ωωω=+=sin()A t ωϕ+ （22002v A y ω=+，00tan y v ωϕ=） 重要结论：由微分方程的解可以知道，无阻尼振动是一个简谐振动，其周期和自振频率为2T πω=，k mω=周期和自振频率之和自己质量与刚度有关和外界因素无关。
2、单自由度有阻尼自由振动()()()0my t cy t ky t ++= （令=22c c mw mkξ=） 即微分方程为2()2()()0y t wy t w y t ξ++=（实际建筑结构的阻尼比1ξ<）解为000()[sin cos ]t d d dv y y t e t y t ξωξωωωω-+=+=sin()t d Ae t ξωωϕ-+（21d ωωξ=-） 221000000(),d d v y y A y tg v y ξωωϕωξω-+=+=+其中 重要结论：1）由方程的解看出弱阻尼情况下的自由振动是一种衰减振动，阻尼使振幅按指数规律衰减。
结构动力学基础理论
第四章
运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
代入：
单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
0 v
sint v0 cost
（3-11）
第六章 简谐振动荷载反应
谐振荷载：
p (t )
k 1
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数
广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
1.3 动力荷载类型
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
结构动力学-5z
π
T
t
荷载离开后 ( t > t1 ) 令 t = t − t1
ɺ t = 0 时 y 0 = y ( t1 ) = y st (1 − cos ω t1 ) v 0 = y ( t1 ) = y st ω sin ω t1 v0 y ( t ) = y 0 cos ω t + sin ω t = A sin( ω t + ε )
∆τ
t
t
---杜哈美积分 ---杜哈美积分
P(t ) P
τ
∆τ
t
4
t
计阻尼时
P(τ ) −ξω (t −τ ) y(t) = ∫ e sinωD (t −τ )dτ 0m ωD
t
=
∫
t
0
h ( t − τ ) P (τ ) d τ
1 −ξω (t −τ ) h(t −τ ) = e sin ωD (t −τ ) mωD
§3.8 单自由度体系对任意荷载的反应
Fourier变换法 一.频域分析方法—Fourier变换法 频域分析方法 Fourier
合称傅氏变换对
+∞
P(t )
P(θ ) = ∫ p(t)e−iθ t dt −∞ 1 +∞ p(t) = P(θ )eiθ t dθ 2π ∫−∞
Y (θ ) =
TP / 2
π
T
t1
t1/T
µ
0 0
0.01 0.063
0.02 0.126
0.05
0.10
1/6 1.0
0.2
0.3
0.4
≥ 0 .5
2
0.313 0.618
1.176 1.618 1.902
结构动力学
不管什么结构，如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有 相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下， 结构具有相同的动力响应。
※ 几点结论与讨论
对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意 荷载下的响应，这种基于脉冲响应函数的分析方法称为时域 分析法。 突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。
2. 等效粘性阻尼
等效方法： 其他阻尼与粘性阻尼在振动一周内所消耗的能量相等。
2. 等效粘性阻尼
dx cx 2 dt c[A cos( t )] 2 dt cA 2 Wd cx
1.14 阻 尼
（1）
1.14 阻 尼
干摩擦阻尼力：
fF N sgn(x) Nx / x
fc cx x
Wc
2 fc c s x g n (x )
2 3
8 f c dx cx 2 xdt cx 3dt c A 3
2 n 2 c 3 A n m
8 ce q A m 3
8cn Am ceq 3
eq
ceq 2mn
当矩形脉冲宽度 t0 Tn 2 时， 位移响应才有最大值，等于 静变形的2倍。
x p 2 xst sin
t0
Tn
当 t0 Tn 6 时，响应的最大值 小于静变形。
1.14 阻 尼 1. 粘性阻尼
粘性阻尼（大小与速度成正比；方向与速度相反）
f d cx
相当于物体在气体中低速运动的介质阻力。数学上便利， 微振动精确，使用广泛。
jt x ( t ) Ge 所以也称复刚度阻尼。设特解为：
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u( ) 0
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数 u( ) 0
u( ) 1
m
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
[n (t
)]
t
0
t
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t
)
u(t)
1
mD
e n (t )
sin[D (t
)]
t
0
t
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
3、应用Fourier逆变换，由频域解U(ω)得到时域解u(t)：
U () 逆Fu(t)
5.2 频域分析方法—Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换
在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域 积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时 涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数 （如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是不可 能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。
i2nU ()
n2U ()
1 m
P()
单自由度体系运动的频域解为：
U () H (i)P()
H (i)
1 k
[1
(
1
/ n )2]
i[2
(
/ n )]
H(iω)—复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。
再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解：
u(t) 1 H (i)P()eitd 2
例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题 的完整解为：
u(t)
u(0)
cosnt
u(0)
n
sin
nt
t
p( )h(t )d
0
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力 反应的一般解，适用于线弹性体系。
因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分 析。如果荷载p(t)是简单的函数，则可以得到封闭解（closedform）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分 得到问题的解。但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算 效率不高，因为对于计算任一个时间点t 的反应，积分都要从0 积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。 这时可采用效率更高的数值解法，在以后将介绍。
虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积 分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下 体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
Fourier变换的定义为：
U ()
u(t)
u(t
)e
it
dt
1
U
()eit
d
2
— 正变换 — 逆变换
5.1 Duhamel积分
2、对任意荷载的反应
将作用于结构体系的外荷载
p(τ)离散成一系列脉冲，
首先计算其中任一脉冲
p(τ)dτ的动力反应 ：
du(t) p( )d h(t ) , t
在任意时间t结构的反应， 等于t以前所有脉冲
作用下反应的和 ：
t
t
u(t) du p( )h(t )d
结构动力学
（2010）
结构动力学
第五章
单自由度体系对任意荷载的反应
在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也 不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要 采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力 反应问题。
本章介绍三种动力反应问题的分析方法：
时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法， 时域逐步积分法—中心差分法；Newmark—β法；
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数
在t=τ时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构
的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得
一个初速度 ：
当ε→0时 ：
mu( ) p(t)dt 1
u( ) 1
m
由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零 ：
Wilson—θ法。
前两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题， 而第三种方法可用于处理非线性问题。根据Duhamel积 分法简要讨论在冲击荷载作用下结构的反应的特点， 地面运动作用下结构的运动，并简单介绍地震反应谱 的概念。
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
0
0
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：
t
u(t) p( )h(t )d 0
h(t
)
u(t)
1
mn
sin[n (t
)]
t
u(t) 1 mn
t
0 p( ) sin[n (t )]d
阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：
t
u(t) p( )h(t )d 0
h(t
)
u(t)
1 mD
en (t )
sin[D (t
)]
t
u(t) 1 mD
t 0
p(
)e
n
(t
)
sin[D
(t
)]d
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起 的相应于零初始条件的特解。
如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件 引起的自由振动，其解的形式已在第三章给出。
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
频域分析方法的基本计算步骤：
1、对外荷载p(t)作Fourier变换，得到荷载的Fourier谱
P(ω) ：
p(t) F P()
2、根据外荷载的Fourier谱P(ω)和复频反应函数H(iω)， 得到结构反应的频域解—Fourier谱U(ω)：
U(ω)=H(iω)P(ω)
速度和加速度的Fourier变换为：
u(t)eit dt iU ()
u(t)eit dt 2U ()
5.2 频域分析方法—Fourier变换法 单自由度体系时域运动方程：
U () u(t)
u(t
)eit
dt
1
U
()eit
d
2
— 正变换 — 逆变换
u(t
)e
it
dt
iU ()
u(t
)e
it
dt
2U ()
u(t)
2 nu(t)
n2u(t)
1 m
p(t)
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2U ()
i2 nU
()
n2U ()
1 m
P()
U () Fu(t) , P() F p(t)
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ()