届吉林省长春市高三质量监测模拟 数学 理 试题

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合{}{}21|412,|28x A x x x x B x -=-+>+=<，则()R A C B =IA. {}|4x x ≥B. {}|4x x >C. {}|2x x ≥-D.{}|24x x x <-≥或3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参考数据：3 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305=≈≈o o ）A. 48B. 36C. 30D. 24 6.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为2-D. ()F x 是偶函数，最小值为2- 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 64226+ B. 46225+ C. 42526+ D.46226+8.二项式1022x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A. 152B. 152- C. 15 D. -159.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布()26,0.8X N :，则日接送人数在6万到万之间的概率为（()()()0.6826,20.9544,30.9974P X P X P X μσμσμσ-<=-<=-<=） A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D.0.3413 10.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB AC BC =⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC.814π D.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程为A.0y ±= B.0x ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数,x y 满足约束条件2201x y x y x ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值为 .14. 若非零向量,a b r r 满足2,a b a b ==+r r r r，则向量,a b r r 夹角的余弦值为 .15. 已知锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，2sin ,2,3a B b c ===，AD 是角A 的平分线，D 在BC 上，则BD = .16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足11225233,1,10,2.a b b S a b a ==+=+=， （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18.（本题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：以上表中各种贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率. （1）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率； （2）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.19.（本题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1B D 的中点. （1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AE C --为60o，11,AA AB ==求三棱锥C AED-的体积.20.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD O ==为AB 的中点，,P Q 分别是AD ,CD 的上的点，且满足：①AP DQ AD DC=;②直线AQ 与BP 的交点在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN垂直于y 轴，垂足为N,求梯形ORMN 的面积的最大值.21.（本题满分12分） 已知函数()2.ax f x x e =（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值； （3）设函数()ln 2xxg x e x=-，求证：当1a =时，对()()()0,1,2x g x xf x ∀∈->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为，曲线222cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.的极坐标方程为，曲线（为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程； （2）极坐标系中两点()1020,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()()10f x x x a a =++->，若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x ≤-≥或，求a 的值；（2）已知实数,,a b c R +∈，且a b c m ++=，求证：1119.2a b a c c b m++≥+++长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. D 8. B9. D10. B 11. A 12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A.2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<， 故(){|4}A B x x =>R I ð . 故选B. 3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C由()cos2sin2)4f x x x xπ=-=+，则())))2842F x x x xπππ=++=+=. 故选C.7.【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+故选D.8.【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B 102)x-的系数是773102()Cx-=. 故选B.9.【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x<==≤. 故选D.10.【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知AB为△ABC的直径，令球的半径为R，则222()3RR=+，可得32R=，则球的表面积为249S Rππ==. 故选B.11.【命题意图】本题考查双曲线的定义.【试题解析】A 不妨设12||||PF PF>，则1212||||2||||6PF PF aPF PF a-=⎧⎨+=⎩，则1||4PF a=，2||2PF a=，且12||2F F c=，即2||PF为最小边，即1230PF F∠=o，则△12PF F为直角三角形，且2c=，即渐近线方程为y=，故选A.12.【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.【试题解析】A 已知22()(ln)xef x k xx x=-+，则32()()xxf x e kxx-'=-，当0x>时，0xe kx-≥恒成立，因此k e≤. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 2- 14.14-16. 8月4日简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为(1,0) 故，z 的最小值为2-.14. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.【试题解析】由题意2222||||||||2=+=++a a b a b ab ，则220=ab+|b |，即22||||cos ||θ⋅=-a b b ，故1cos 4θ=-. 15. 【命题意图】本题考查解三角形的问题.【试题解析】由正弦定理可得2sin sin A B B =，可得3A π=，由余弦定理可得BC =根据角分线定理可知，5BD =. 16. 【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力.【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”， 可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日； 乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”， 可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”， 现在可以得知张老师生日为8月4日. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识.【试题解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11225233,1,10,2a b b S a b a ==+=-=Q33103+4232q d d q d ì+++=ïï\íï-=+ïî（2分）2,2d q \==（4分） 121,2n n n a n b -\=+=（6分）（2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+（8分）111,22,n n n n n c n -ìïï-ï+\=íïïïïî为奇数为偶数 （9分）135********(1)(2222)3352121n n T n n -\=-+-+鬃?-++++鬃?-+ 21121321n n ++=-+.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力. 【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为25， （2分） 所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为2232336()55125P C =鬃= （6分）(2)由题意知，享受补贴200元的概率为115P =,享受补贴300元的概率为235P =， 享受补贴400元的概率为315P =，即随机变量X 的分布列为（9分）（10分）200900400()300555E X \=++=，600300180000w =?元. 所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 的交点为F ，连接EF ， 因为E 为1B D 中点，F 为BD 中点，所以1//EF BB ，所以EF ⊥平面ABCD ， 又因为EF 在平面ACE 内，所以平面ACE ⊥平面ABCD .（6分）（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，所以以F 为坐标原点， 分别以FC ，FD ，FE 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设FA a =，FD b =，有221a b +=，(,0,0)A a -，(,0,0)C a ，(0,,0)D b ，1(0,0,)2E ，有1(,0,)2AE a =u u u r ，(,,0)AD a b =u u u r ，设平面ADE 的法向量为1(,,2)n b a ab =--u r ，平面ACE 的法向量为2(0,1,0)n =u u r，（8分）由题意知121212||1cos60|cos ,|2||||n n n n n n ⋅=<>==⋅ou r u u ru r u u r ur u u r，解得a b ==. （10分） 所以菱形ABCD 为正方形， 所以三棱锥C ADE -的体积1113212V EF AD CD =⨯⨯⨯⨯=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）设AQ 于BP 交点C 为(,)x y ，1(2,)P y -，1(,2)Q x ，由题可知，111122,,242224y x y y yx x x +===++--， （4分）从而有422y x x y -+=-，整理得2214x y +=，即为椭圆方程.（6分）（Ⅱ）(2,0)R ，设00(,)M x y，有0y = 从而所求梯形面积001(2)2S x y =+=（8分）令02,24t x t =+<<，S = 令342324,1244(3)u t t u t t t t '=-=-=-， （10分）当(2,3)t ∈时，344u t t =-单调递增，当(3,4)t ∈时，344u t t =-单调递减，所以当3t =时S. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2()(2)ax f x e ax x '=+，令()0f x '=可得，0x =或2x a=-. （2分）又0a <，则可知()f x 在(,0)-∞和2(,)a -+∞上单调递减；在2[0,]a-上单调递增.（4分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当21a-≥，即20a -<≤时，()f x 在[0,1]上单调递增， 则()f x 最大值为(1)af e =；（6分）当21a -<，即2a <-时，()f x 在2[0,]a -单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 则()f x 的最大值为2224()f e a a--=. （9分）（Ⅲ）要证()()2g x xf x ->，即证3ln (2)2xx x e x->+， （10分）令3()(2)xh x x e =-，则322()(32)(1)(22)xxh x x x e e x x x '=--+=-++-， 又(0,1)x ∈，可知在(0,1)x ∈内存在极大值点，又(0)2h =，(1)h e =， 则()h x 在(0,1)x ∈上恒大于2，（11分）而ln 2xx+在(0,1)x ∈上恒小于2，因此()()2g x xf x ->在(0,1)x ∈上恒成立.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】（Ⅰ）由题意可知221:1,4x C y +=222:(2)4C x y -+=. （5分）（Ⅱ）由点,A B 在曲线1C 上，则212413sin ρθ=+，2220413sin ()2ρπθ=++ 2021113sin 4θρ+=，2022113cos 4θρ+=， 因此2200221213sin 13cos 115444θθρρ+++=+=.（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（Ⅰ） 因为0a >，所以21,1()|1|||=1,121,x a x f x x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=++-+-<⎨⎪-+⎩≤≥，又因为不等式()5f x ≥的解集为{|2x x -≤或3}x ≥，解得2a =. （5分） （Ⅱ）111()()1112a b b c c a a b b c c aa b b c c a m++++++++++++=+++ 1112b c c a a b c a a b b ca b a b b c b c c a c a m++++++++++++++++++++=3922b c a b c a b c a b c aa b b c b c c a c a a b m m ++++++++++++++++++≥= （10分。