考研数学二(解答题)模拟试卷232(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷232 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求
正确答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x) (x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0
(n=1，2，3，…){xn}↓有下界极限a=ln(1+a)．又a≥0时a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
2． 设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求。
正确答案：由一2te—x=0得exdx=2tdt，由条件x｜t=0得ex=1+t2，即x=ln(1+t2)。故有所以 涉及知识点：一元函数微分学
3． 计算下列定积分：(Ⅰ)(Ⅱ)∫02f(x-1)dx，其中f(x)=
正确答案：(Ⅰ)由于min为偶函数，在上的分界点为，所以(Ⅱ)由于分段函数f(x)的分界点为0，所以，令t=x-1后，有∫02f(x-1)dx=∫-11f(t)dt=∫-10+ln(1+x)｜01=-ln(1+e-x)｜-10+ln2=ln(1+e)． 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
4． 设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．
正确答案：f(χ)的间断点为χ＝kπ(k＝0，±1，…)及χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)． 因为＝1，所以χ＝0为f(χ)的可去间断点； 因为＝∞，所以χ＝kπ(k＝±1，±2，…)为f(χ)的第二类间断点； 因为＝0，所以χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)为f(χ)的可去间断点． 涉及知识点：函数、极限、连续
5． 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使
正确答案：利用泰勒公式将f(x)在x=a处展开，得同理 令②一①得得 令|f”(ξ)|=max{|f”(ξ1)|，|f”(ξ2)|}，则 故原命题得证． 涉及知识点：一元函数微分学
6． 设矩阵行列式｜A｜=一1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值．
正确答案：据已知，有AA*=｜A｜E=一E．对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得由此可得(1)一(3)得λ0=1．将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，
a=c．由｜A｜=一1和a=c，有，即得a=c=2．故a=2，b=一3，c=2，λ0=1． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
7． 利用变换x=arctant将方程cos4x+cos2x(2-sin2x)+y=tanx化为y关于t的方程，并求原方程的通解．
正确答案：代入整理得的特征方程为λ2+2λ+1=0，特征值为λ1=λ2=-1，则的通解为y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2． 涉及知识点：高等数学
8． 计算定积分
正确答案：令对于任意的有 用变量代换可得所以 涉及知识点：一元函数积分学
9． 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值．
正确答案：由方程组得线段x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点。
f”xx=8y一6xy一2y2，f”xy=8x一3x2一4xy，f”yy=一2x2．在点(2，1)处， A==一8，B2一AC=一32＜0，且A＜0，因此点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6一x．代入f(x，y)中得，z=2x3一12x2(0≤x≤6)． 由z’=6x2一24x=0得x=0，x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：z｜x=0=2x3—12x2｜x=0=0，z｜x=4=2x3—12x2｜x=4=一64，z｜x=6=2x3一12x2｜x=6=0． 因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=一64． 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64． 涉及知识点：多元函数微分学
10． 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明r(A)≤2。
正确答案：方法一：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。方法二：因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r(A)≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是 Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r(A)≤2。 涉及知识点：矩阵
设向量α1，α2，…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…αn—1均正交的n维非零列向量。证明：
11． ξ1，ξ2线性相关；
正确答案：令A=(α1，α1，…，αn—1)T，则A是(n一1)×n矩阵，且r(A)=n一1。由已知条件可知αiTξj=0(i=1，2，…，n一1；j=1，2)，即 Aξj=0(j=1，2)，这说明ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为n一r(A)=n一(n一1)=1，所以解向量ξ1，ξ2必定线性相关。 涉及知识点：向量
12． α1，α2，…αn—1，ξ1线性无关。
正确答案：设k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1+k0ξ1=0，两边取转置得k1α1T+k2α2T+…+kn—1αn—1T+k0ξ1T=0，上式两端同时右乘ξ1，得k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn—1αn—1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，注意到αiTξ1=0(i=1，2，…，n—1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0可得ξ1Tξ1≠0，于是k0=0，从而有k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1=0。又因为α1，α2，…，αn—1线性无关，所以k1=k2=…=kn—1=k0=0，故α1，α2，…，αn—1，ξ1线性无关。 涉及知识点：向量
13． 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX＝0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
正确答案：设c1α＋c2Aα＋…＋cKAk-1α＝0，要推出每个ci＝0． 先用Ak-1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα＝0(因为AkX＝0)，得到c1Ak-1α＝0．又因为Ak-1α≠0，所以c1＝0．上式变为c2Aα＋…＋ckAk-1α＝0．再用Ak-2乘乘之，可得到c2＝0．如此进行下去，可证明每个ci＝0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
14． 设A为n阶矩阵，α0≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．
正确答案：即要说明当c1，c2，c3满足c1α0＋c2α1＋c3α2＝0时它们一定都是0． 记此式为(1)式，用A乘之，得 c2α0＋c3Aα2＝0 (2) 再用A乘(2)得c3α0＝0．由α0≠0，得c3＝0．代入(2)得c2＝0．再代入(1)得c1＝0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
15． 设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．
正确答案：A是正定矩阵，存在可逆实矩阵C，使得A＝CCT，则AB＝CCT
B．于是 C-1ABC＝C-1CCTBC＝CTB
C． 即AB相似于CTB
C．而CTBC是实对称矩阵，相似于对角矩阵．由相似的传递性，AB也相似于对角矩阵． 涉及知识点：二次型
16． 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩阵A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．
正确答案：(Ⅰ)由题设条件，有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)所以，(Ⅱ)因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以由AC=CB，得C一1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值，由|λE 一B|==(λ一1)2(λ一4)=0得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为λ1一λ2=1，λ3=4．(Ⅲ)对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E一B)x=0，得基础解系ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T；对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E一B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵Q= (ξ1，ξ2，ξ3)=则有Q一1BQ=因Q一1BQ=Q一1C一1ACQ=(CQ)一1A(CQ)，记矩阵P= CQ=(α1，α2，α3)=(一α1+α2，一 2α1+α3，α2+α3)则有P一1AP=Q一1BQ=diag(1，1，4)，为对角矩阵，故P为所求的可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数
17． 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?
正确答案：设链条的线密度为ρ，取χ轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂χ(t)m，则下垂那段的长度为(10＋χ)m，另一段长度为(8－χ)m，此时链条受到的重力为 (10＋χ)ρg－(8－χ)ρg＝2(χ＋1)ρg． 链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F＝ma得， 且χ(0)＝0，χ′(0)＝0， 解得χ(t)＝，当链条滑过整个钉子时，χ＝8， 涉及知识点：常微分方程
18． 设y=，求y’．
正确答案：lny=[ln(x2+1)-ln(1-x)]，两边对x求导得 涉及知识点：一元函数微分学及应用
19． 设连续函数f(x)满足：[f(x)+xf(xt)]dt与x无关，求f(x)．
正确答案：即f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x． 涉及知识点：常微分方程
20． 设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证在(a，b)内至少存在一点ε，使下式成立．f(b)－f(a)＝εfˊ(ε)lnb／a
正确答案：
考研数学二(填空题)模拟试卷132(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷132 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A，B为3阶方阵，且｜A｜=1，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________．
正确答案：1
解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是逆矩阵的有关性质、要求考生运用应用矩阵与其逆矩阵的关系计算行列式．｜A+B-1｜=｜A(A-1+B)B-1｜=｜A｜｜A-1+B｜｜B-1｜=1×2×=1． 知识模块：行列式
2． 若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=______，｜B｜=_______．
正确答案：1；0
解析：由条件知方程组有非零解，故其系数行列式｜A｜==5(λ-1)=0，故λ=1．又由条件知AB=O，若｜B｜≠0，则B可逆，用B-1右乘AB=O两端得A=O，这与A≠O矛盾，故｜B｜=0． 知识模块：线性方程组
3． 设r(A)=2，则a=__________．
正确答案：0
解析：对A作初等行变换，则有即当a=0时，r(A)=2． 知识模块：矩阵
4． 已知f’(lnx)＝1＋lnx，则f(x)＝________．
正确答案：x＋e2＋C； 涉及知识点：一元函数积分学
5． 设f(x)=，则f’(1)=_______．
正确答案：
解析：f(x)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦．其实，当把x=1代入每个因式后，只有第一项-1=0，而其余所有项都不等于0．记g(x)=，于是从而 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
6． 设y=y(x)由参数方程=___________，y=y(x)在任意点处的曲率K=____________．
正确答案：
解析：由题干可知，因此，y=y(x)的曲率 知识模块：一元函数微分学
7． 设其中f可导，且f’(0)≠0，则
正确答案：3
解析： 知识模块：一元函数微分学
考研数学二(解答题)模拟试卷201(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷201 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求下列极限：
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
2．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设f(x)是三次多项式，且有求
正确答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而可知x一2a，x一4a为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)． 于是 解得所以故 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 计算不定积分
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
5． 求
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
6． 确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)． 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
7． 设g(x)=f(x)=∫0xg(t)dt． (1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线， (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．
正确答案：显然，g(0)=1，而当x≠0时由“1∞”型极限得(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 涉及知识点：一元函数积分学
8． 设z=其中f，g均可微，求
正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学
9． 设A-1＝，求(A*)-1．
考研数学二(解答题)模拟试卷49(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷49 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 计算不定积分
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
2． 设A，B是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A－1B=B－4E．证明A－2E可逆．
正确答案：用A左乘2A－1B=B－4E两侧得2B=AB－4A．即 (A－2E)B=4A．由A可逆，得A－2E可逆． 涉及知识点：矩阵
3． 求
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(z)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
正确答案：令u(n一1)(x)=φ(n一1)(x)一ψ(n一1)(x)． 在[x0，x]上用微分中值定理得 u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x． 又由u(n)(ξ)＞0可知u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)＞0，且u(n一1)(x0)=0，所以u(n一1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n一1)(x)＞ψ(n一1)(x)． 同理u(n一2)(x)=φ(n一2)(x)一ψ(n一2)(x)＞0． 归纳有u(n一3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)． 涉及知识点：一元函数微分学
5． 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值．若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．
正确答案：(1)λ＝0，k(－1，1，1)T，k≠0．(2) 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
考研数学二(解答题)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷110 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 有30个零件，其中20个一等品，10个二等品，随机地取3个，安装在一台设备上，若3个零件中有i(i=0，1，2，3)个二等品，则该设备的使用寿命(单位：年)服从参数为λ=i+1的指数分布，试求：(1)设备寿命超过1年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过1年，则安装在该设备上的3个零件均为二等品的概率．
正确答案：设Bi表示“3个零件中有i个是二等品”(i=0，1，2，3)，令A表示“设备的寿命超过1年”，以X表示“设备的使用寿命”．
解析：设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的个数有四种情况，可以设Bi表示“3个零件中有i(i=0，1，2，3)个是二等品”，作为完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率． (1)
P(A｜B0)=P{X＞1＞B0}=∫1+∞edx=e-1． 同理可求P(A｜B1)=e-2，P(A｜B2)=e-3，P(A｜B3)=e-4． 从而P(A)=0．281×e-1+0．222×e-2+0．222×e-3+0．275×e-4≈0．1495． (2)由贝叶斯公式，所求概率为P(B3｜A)=≈0．034． 知识模块：概率论与数理统计
2． 求极限。
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设y=sin4x，求y(n)．
正确答案：y=(1-2cos2xcos22x)=(1+cos4x)， 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 证明：方程xa=lnx(a＜0)在(0，+∞)内有且仅有一个根．
正确答案：令f(x)=xa一lnx，f(x)在(0，+∞)连续，因为f(1)=1＞0，所以f(x)在(0，+∞)内至少有一个零点，即方程xa=lnx在(0，+∞)内至少有一个根．因为f’(x)=axa-1一＜0，所以f(x)在(0，+∞)内严格递减，故f(x)在(0，+∞) 内有且仅有一个零点，从而方程xa=lnx在(0，+∞)内有且仅有一个根． 涉及知识点：高等数学
考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设()fx在(,)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）.
（A）sin()fx（B）0sin()xtftdt（C）0(sin)xftdt（D）0[sin()]xtftdt
2.设111e,0,()1e1,0,xxxfxx 则0x是()fx的（ ）.
（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点
3.若函数()fx与()gx在(,)内可导，且()()fxgx，则必有（ ）.
（A）()()fxgx （B）()()fxgx
（C）00lim()lim()xxxxfxgx （D）00()()xxftdtgtdt
4.设()fx是奇函数，除0x外处处连续，0x是其第一类间断点，则xdttf0)(是（ ）.
（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数
（C）在0x间断的奇函数 （D）在0x间断的偶函数.
5.函数xxxxxf32)2()(不可导点有（ ）.
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个.
6.若)(),()(xxfxf，在)0,(内0)('xf，0)(''xf，则()fx在),0(内 有（ ）.
（A）0)('xf，0)(''xf （B）0)('xf，0)(''xf
（C）0)('xf，0)(''xf （D）0)('xf，0)(''xf
7. 设A为4阶实对称矩阵，且2AAO.若A的秩为3，则A相似于（ ）. (A) 1110 (B) 1110(C) 1110(D) 1110
考研数学二(解答题)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷202 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求极限：
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．
正确答案：可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，A2x=λAx=λ2x，…，Amx=λmx，困Am=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP-1=O，这与A≠0矛盾． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
3． 设＝e3，其中f(χ)连续，求．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 求证：x∈(0，1)时
正确答案：令g(x)=，则当x＞0时有故g(x)在(0，1)内单调下降．又g(x)在(0，1]连续，且g(1)=－1，g(x)在x=0无定义，但若补充定义g(0)=，则g(x)在[0，1]上连续．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]单调下降．所以，当0＜x＜1时g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立． 涉及知识点：微分中值定理及其应用
5． 求｜cos(x+y)｜dxdy，其中D={(x，y)｜
正确答案：直线x+y=将区域D分为D1，D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤D2={(x，y)｜0≤x≤则 涉及知识点：重积分
6． 求y’2一yy”=1的通解．
正确答案： 涉及知识点：微分方程
7． 设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+
B．证明：AB=O．
正确答案：由A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=-BA，AB=-BA两边左乘A得AB=-ABA，再在AB=-BA两边右乘A得
考研数学二(二次型)模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设,则A与B（ ）。
A．合同且相似
B．相似但不合同
C．合同但不相似
D．既不相似又不合同
正确答案：C
解析：显然A,B都是实对称矩阵，由∣λE-A∣=0，得A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=9,由∣λE-A∣=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A,B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A,B合同但不相似，选C. 知识模块：二次型
2． 设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X,有XTAX=0,则（ ）。
A．|A|=0
B．|A|﹥0
C．|A|＜0
D．以上都不对
正确答案：A
解析：XTAX=λ1=0,同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0,从而A=O,选A. 知识模块：二次型
填空题
3． f(x1,x2,x3,x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O,该二次型的规范形为______.
正确答案：
解析：A2-2A=O→r(A)+r(2E-A)=4→A可以对角化，λ1=2,λ2=0,又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2,λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为.
知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4． 设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：ATA的特征值全大于零。
正确答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n,对任意的X≠0，
XT(ATA)X=(AX)T(AX),令AX=a,因为r(A)=n,所以a≠0,所以（AX)T(AX)=aTa=∣a∣2＞0,即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零。 涉及知识点：二次型
5． 设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。
考研数学二(高等数学)模拟试卷32(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷32 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．
A．可导
B．不可导
C．连续但不一定可导
D．不连续
正确答案：C
解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)． 知识模块：高等数学部分
2． 设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)<0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k>0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
正确答案：B
解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k>0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，其中ξ介于a与x之间．而，再由f(a)0)，所以f’(x)>0(x>a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)． 知识模块：高等数学部分
填空题
3．
正确答案：1／2
解析： 知识模块：高等数学部分
4． 设在x=0处连续，则a=_______，b=_______
正确答案：-1，1
解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=-1，b=1． 知识模块：高等数学部分
5． 设y=y(x)由yexy+xcosx-1=0确定，求dy｜x=0=_______．
正确答案：-2dx
解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx-1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得=-2，故dy｜x=0=-2dx． 知识模块：高等数学部分
6．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
7．
正确答案：ln3
解析： 知识模块：高等数学部分
考研数学二(高等数学)模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=( )．
A．在x=0处无极限
B．x=0为其可去间断点
C．x=0为其跳跃间断点
D．x=0为其第二类间断点
正确答案：B
解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B)
知识模块：高等数学部分
2． 设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．
A．极限不存在
B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导
D．可导
正确答案：D
解析：因为f(0+0)==0，f(0)=f(0-0)==0，所以f(x)在x=0处连续；=0，即f’+(0)=0，=0，即f’-(0)=0，因为f’+(0)=f’-(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选(D) 知识模块：高等数学部分
3． 设f(x)在x=0的某邻域内连续，若=2，则f(x)在x=0处( )．
A．不可导
B．可导但f’(0)≠0
C．取极大值
D．取极小值
正确答案：D
解析：由=2得f(0)=0，由极限保号性，存在δ>0，当0>0，从而f(x)>0=f(0)，由极值的定义得f(0)的极小值，应选(D) 知识模块：高等数学部分
4． 设f’x(x0，y)，f’y(x0，y0)都存在，则( )．
A．f(x，y)在(x0，y0)处连续
B．存在
C．f(x，y)在(x0，y0)处可微
D．存在
正确答案：D
解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)=在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，事实上由f’x(x0，y0)==f(x0，y0)．应选(D) 知识模块：高等数学部分
考研数学二(填空题)模拟试卷128(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷128 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f’(3)=2,则
正确答案：-3 涉及知识点：一元函数微分学
2． 设D=，则行列式第1列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_______。
正确答案：0
解析：将行列式按第1列展开得A11+A21+A31+A41==0。 知识模块：行列式
3． 已知向量组α1=(a，0，c)，α2=(b，c，0)，α3=(0，a，b)线性无关，则a，b，c必满足的关系式_________．
正确答案：abc≠0．
解析：本题考查向量组线性无关的概念与判定．3个3维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的行列式不为0．由于α1,α2,α3线性无关，所以，故应填abc≠0． 知识模块：向量
4． 设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为________．
正确答案：y=-x+2
解析：xy+2lnx=y4两边对x求导得将x=1，y=1代入得故曲线y=f(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即y=-x+2． 知识模块：一元函数微分学
5． =______。
正确答案：
解析：因为所以 知识模块：一元函数积分学
6． 已知向量α=的逆矩阵的特征向量，则k=________。
正确答案：1或—2
解析：设λ是A—1对应于α的特征值，则A—1α=λα，即α=λAα，亦即 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
7． 设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方
程的通解，则该方程为__________。
正确答案：y’’一2y’+2y=0
解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为(λ一λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程为 y’’一2y’+2y=0。 知识模块：常微分方程