高三年级第二次调研测试数学试卷word(修正版)
高三第二次调研试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 3D. -32. 已知函数f(x) = (x+1)^2/(x-1)，则f(x)的图像关于点（）对称A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,0)3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a3 + a5 = 15，a2 + a4 = 9，则数列{an}的前10项和S10等于（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 在直角坐标系中，点P(m,n)到原点的距离为5，则m^2 + n^2的值为（）A. 25B. 50C. 100D. 1255. 已知复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面内的轨迹方程为（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 - y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 - y^2 =46. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，则a、b、c的关系为（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b < 0，c < 07. 已知函数f(x) = log2(x+1) + log2(2-x)，则f(x)的定义域为（）A. (-1,2)B. (-1,0)C. (0,2)D. (0,1)8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = 2c^2，则三角形ABC为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法确定9. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 3，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 3^n - 1D. an = 3^n + 110. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)的零点为（）A. 0B. 1C. eD. e^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(x)的奇偶性为______，周期为______。
高三下学期第二次调研考试数学试题
苏北四市高三第二次调研考试数学I参考公式：(1)样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2=n121)(x x ni i -∑=，其中x =n 1∑=ni ix1(2)锥体的体积公式V=31Sh，其中S 为锥体底面积，h 为高 ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上． 1．已知集合A ={0，2，α² }，B={1，α}，若A ∪B={0，1，2,4}，则实数α的值为 ▲ ． 2．已知复数z =(2-i)i(i 是虚数单位)，则|z |= ▲ ．3．已知向量α=(6，2)，b =(一3，k )，若α∥b ，则实数k 等于 ▲ ． 4．一个算法的流程图如图所示，则输出的S 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题．第15题～第17题每题4分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分14分)16．(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，求证：(1)AD⊥C1D；(2)A1B∥平面ADC1．17．(本小题满分14分)徐州市—高三第二次调研考试数学Ⅱ(附加题)注意事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题(第21题～第23题)。
试卷满分40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸的规定位置。
3．请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
5．请保持答题纸卷面清洁，不要折叠、破损。
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．．每小题l0分．共计20分．请在答题纸指定 区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交口BC 于F ，求DEFCBEF 四边形S S ∆的值．B ．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤10，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．【必做题】第22题、第23题．每题l0分．共计20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本题满分l0分)某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独面第一关、第二关、第三关成功的概率分别为21，31，41，记该参加者闯三关所得总分为ζ．(1)求该参加者有资格闯第三关的概率； (2)求ζ的分布列和数学期望．23．(本题满分l0分)如图，已知抛物线M ：x 2=4py (p ＞0)的准线为ι，N 为ι上的一个动点，过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，再分别过A ，B 两点作ι的垂线，垂足分别为C ，D ． (1)求证：直线AB 必经过y 轴上的一个定点Q ，并写出点Q 的坐标；(2)若△ACN ，△BDN ，△ANB 的面积依次构成等差数列，求此时点N 的坐标．数学I 参考答案与评分标准一、填空题1. 2 23.1- 4.45 5.85 6. 23 7. 948. 32 9.２10. 3411.(3,1)(1,2)-- 12.5 13 14.1(1,)e e二、解答题15.（1）因为12⋅=-OP OQ ，所以2211sin cos 22θθ-=-，即2211(1cos )cos 22θθ--=-，所以22cos 3θ=， 所以21cos 22cos 13θθ=-=．…………………………………………………………6分（2）因为 22cos 3θ=，所以21sin 3θ=，所以)32,21(P 点，)1,31(-Q 点， 又点12(,)23P 在角α的终边上，所以54sin =α，53cos =α ．同理 10103sin -=β，1010cos =β，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4103310()510510=⨯+⨯-1010=-．……14分16.（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1，………………………………………… 2分 又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥， 因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，……………4分又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥．…………………………6分 (2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ． 因为四边形11ACC A 为矩形， 所以E 为C A 1的中点， 又因为D 为BC 的中点， 所以1//ED A B .又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ．………………14分17.（1）因为数列{}2nb 是首项为2，公比为4的等比数列，所以1212242nn n b --=⋅=，因此21n b n =-．……………………………………………………2分设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =，224n T n =，所以24nnT T =， 因此数列{}n b 为“和等比数列”．…………………………………6分(2) 设数列{}n c 的前n 项和为n R ，且2nnR k R =（k 为常数，且0k ≠）， 因为数列{}n c 是等差数列，所以1(1)2n n n R nc d -=+，212(21)22n n n R nc d -=+，所以1212(21)22(1)2n nn n nc d R k n n R nc d-+==-+对于*n ∈N 都成立，化简得，1(4)(2)(2)0k dn k c d -+--=， (10)分 则1(4)0,(2)(2)0,k d k c d -=⎧⎨--=⎩因为0d ≠，所以14,2k d c ==，因此d 与1c 之间的等量关系为12d c =． ………………………14分CBA A 1B 1C 1DE18.（1）设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，因为准线l 的方程为2x =-，所以22p-=-，即4p =， 因此抛物线C 的方程为28y x =． ……………………………4分 （2）由题意可知，1(2,3)P t t--，(0,2)Q t ,则直线PQ 方程为：12(3)22t t t y t x ---=，即22(1)240t x ty t -+-=，………8分 设圆心在x 轴上，且与直线PQ 相切的圆M 的方程为2220()(0)x x y r r -+=>，则圆心0(,0)M x 到直线PQ 的距离220222(1)4(1)4t x t r t t--=-+， …………………10分即2220(1)4t x t r rt --=+①，或2220(1)4t x t r rt --=--② ， 由①可得200(4)0x r t x r --+-=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有0040,0,x r x r --=⎧⎨--=⎩，解得02,2,x r =⎧⎨=-⎩（舍去），……………………………14分 由②可得200(4)0x r t x r +--+=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有0040,0,x r x r +-=⎧⎨-+=⎩，可解得02,2,x r =⎧⎨=⎩ 因此直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，圆M 的方程为22(2)4x y -+=. ……………………………………………………………………16分19.(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ． 在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW ，所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ，在Rt △QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ，所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ，①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS ， 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QSMS ， NMABCD EFG HPS1m1mTQ W因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS .②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT ，在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS . ()θ=f MN sin θ-=+QT QS NS 221()cos sin sin cos θθθθ=+-2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<．………………………………………………………8分（2）设sin cos (1t t θθ+=<，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-．因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又1t <所以()0g t '<恒成立，因此函数242()1t g t -=-在t ∈是减函数，所以min ()2g t g ==，即min2MN =．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．……………………………………………………16分20.（1）当13=a 时，()f x '=3122-++b bx x =31)(22-+-+b b b x ，其对称轴为直线x b =-，当2,(3)0,≥b f --⎧⎨'->⎩ 解得2615<b ，当2,(1)0,b f -<-⎧⎨'->⎩b 无解，所以b 的的取值范围为26(,)15-∞．………………………………………………………4分 （2）因为2()32()f x ax bx b a '=++-，法一：当0=a 时，21-=x 适合题意.…………………………………6分 当0≠a 时，0)1(232=-++a b x a b x ，令ab t =，则0)1(232=-++t tx x ，令2()32(1)h x x tx t =++-，因为11()024h -=-<，当1>t 时，(0)10h t =->，所以()y h x =在1(,0)2-内有零点．当1≤t 时，(1)210h t -=-≥>，所以()y h x =在（)21,1--内有零点．因此，当0≠a 时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点． 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点．…………………………………10分法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，12()33b a f -'-=．由于,a b 不同时为零，所以1()(1)03f f ''-⋅-<，故结论成立． (3)因为()f x =32()ax bx b a x ++-为奇函数，所以0b =, 所以()f x =ax ax -3，又()f x 在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，所以1=a ，即3()f x x x =-．因为33()3()()33f x x x '=-+，所以()f x 在33(,),(,)33-∞-+∞上是増函数，在33[,]33-上是减函数，由()0f x =解得1,0=±=x x ，如图所示， 当313≤t -<-时，1()04≥≥f t t -，即34≥tt t --，解得3323≤≤t --； 当303-<<t 时，1()04≥f t t >- ，解得033<<-t ； 当0=t 时，显然不成立；当303≤t <时，1()04≤f t t -<，即34≤tt t --，解得303≤t <；当33>t 时，1()04f t t <-<，故3332t <<．所以所求t 的取值范围是302≤t -<，或302t <<．（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）数学II 参考答案与评分标准21．【选做题】A .选修4－1：几何证明选讲过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以13BF BE BM BD ==，……………………………………２分 因为EF ∥DM ，所以19BEF BDM S S ∆∆=，即9BDM BEF S S ∆∆=，…４分又23DMC BDM S S ∆∆=，即263DMC BDM BEF S S S ∆∆∆==，……………………………………………８分y O1x-1 AB CDE F M所以14BEF DEFC S S ∆=四边形，因此114BEF DEFCS S ∆=四边形． ……………………………10分 B .选修4－2：矩阵与变换 矩阵M 的特征多项式为220()3211f λλλλλ-==-+--，………………２分令()0f λ=，解得121,2λλ==， ………………………………４分将11λ=代入二元一次方程组-200,(1)0,x y x y λλ⋅+⋅=⎧⎨-+-=⎩（）解得0x =，…………………６分所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；………………８分同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………10分C .选修4 - 4：坐标系与参数方程因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ， 所以直线l 的普通方程为y =，……………………３分又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， ……………６分联立解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………８分根据x 的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0,0)．………10分D .选修4－5：不等式选讲因为2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+22222()32()3a b c x a b c x a b c ++=-++++++22223()3a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分所以3a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++，即222m a b c =++，………5分因为23a b c -+=，由柯西不等式得22222221(1)2()(2)9≥a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++-+=⎣⎦，……………………8分 所以2229362≥m a b c =++=，当且仅当112a b c ==-，即333442a b c ==-=，，时等号成立， 所以m 的最小值为32． …………………………10分22．【必做题】⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为211=p ，312=p ，314p =，该参加者有资格闯第三关为事件A ． 则1212122()(1)(1)3=-+-+=P A p p p p p p ．…………………………4分(2)由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10， 31)1)(1()0(21=--==p p P ξ， 123123113(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=， 1231(6)(1)8P p p p ξ==-=，123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=+=，1231(10)24P p p p ξ===， 所以ξ的分布列为……………8分所以ξ的数学期望13111103671033888246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 23.【必做题】 解法一：（1）因为抛物线的准线l 的方程为y p =-， 所以可设点,,N A B 的坐标分别为(m p -，）， 11()x y ，，22()x y ，，则2114x py =，2224x py =，由24x py =，得24x y p =，求导数得2x y p'=，于是1112y p x x m p +=-，即211142x px px m p+=-，化简得2211240x mx p --=，同理可得2222240x mx p --=，所以1x 和2x 是关于x 的方程22240x mx p --=ξ3 6 7 10p313881 18241 xByE Q两个实数根，所以1,2x m =且2124x x p =-．在直线AB 的方程211121()y y y y x x x x --=--中，令0x =，得212112112121y y x y x y y y x x x x x --=-=--=12121221()4()4x x x x x xp p x x p-==-=-为定值， 所以直线AB 必经过y 轴上的一个定点(0)Q p ，，即抛物线的焦点．……………………………5分(2)由（1）知122x x m +=，所以N 为线段CD 的中点，取线段AB 的中点E ， 因为Q 是抛物线的焦点，所以AQ AC BQ BD ==，，所以AC BD AB +=，所以ANB ANE BNE S S S ∆∆∆=+111()222EN CN EN DN EN CN DN =⋅+⋅=⋅+ 22AC BD AB CNEN CN CN +⋅=⋅=⋅=， 又因为22ACN AC CN AQ CN S ∆⋅⋅==，22BDN BD DN BQ CNS ∆⋅⋅==， 所以2AQ CN ⋅，2BQ CN ⋅，2AB CN ⋅成等差数列，即AQ BQ AB ，，成等差数列，即122100x x x x ---，，成等差数列，所以21222x x x -=，212x x =-，所以221212(4x x x m m p =-==-，1x =，1x =时，2x =-，122x x m p +==，1x =时，2x =，1222x x m p +==， 所以所求点N 的坐标为2(2p p ±-，）．………………………………………………………………10分 解法二：（1）因为已知抛物线的准线l 的方程为y p =-，所以可设点N A B ，，的坐标分别为(m p -，），11()x y ，，22()x y ，，则2114x py =，2224x py =， 设过N 点与抛物线相切的直线方程为()y p k x m +=-，与抛物线方程24x py =联立，消去y 得224440x pkx pmk p -++=，因为直线与抛物线相切，所以2221616()0p k pmk p ∆=-+=，即20pk mk p --=，解得12k =，122x pk m ==，在直线AB 的方程211121()y y y y x x x x --=--中，令0x =得 212112112121y y x y x y y y x x x x x --=-=--=12121221()4()4x x x x x xp p x x p-==-=-为定值，所以直线AB 必经过y 轴上的一个定点(0)Q p ，，即抛物线的焦点．……………………………5分（2）由（1）知两切线的斜率分别为12k =，则121k k ⋅=-，所以AN BN ⊥， 连接QN ，则直线QN 斜率为2QN pk m =-，又因为直线AB 的斜率22212121212124()442AB y y x x x x m mk x x p x x p p p--+=====--， 所以212QN AB p m k k m p⋅=-⋅=-， 所以QN AB ⊥，又因为AQ AC BQ BD ==，，所以ACN AQN BDN BQN ∆∆∆∆≌，≌， 所以AQN BQN ∆∆，和ANB ∆的面积成等差数列，所以AQ BQ AB ，，成等差数列， 所以122100x x x x ---，，成等差数列，所以21222x x x -=，212x x =-，所以221212(4x x x m m p =-==-，1x =，1x =时，2x =-，122x x m p +==，1x =时，2x =，1222x x m p +==， 所以所求点N的坐标为(2p p ±-，）． …………………………………………………………10分（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）。
2023届上海市嘉定区高三二模数学试卷(word版)
2023届上海市嘉定区高三二模数学试卷(word版)一、填空题(★) 1. 已知复数（为虚数单位），则 = ______ ．(★) 2. 双曲线的离心率为 __________ ．(★★) 3. 已知，，则 __________ ．(★) 4. 函数的最小正周期为 _____________(★★★) 5. 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 __________ ．(★★) 6. 已知函数，定义域为，则该函数的最小值为 __________ ．(★★) 7. 已知，若，则 __________ ．(★) 8. 已知数列的通项公式为，前项和为，则 __________ ．(★★) 9. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 __________ ．(★★) 10. 已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为，若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为__________ ．(★★★) 11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为 __________ ．(★★★★) 12. 若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为 __________ ．二、单选题(★★) 13. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 14. 函数是（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数(★★) 15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．(★★) 16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学期望的角度来看，该笔资金如何处理较好（）A．存银行B．房产投资C．商业投资D．房产投资和商业投资均可三、解答题(★★★) 17. 如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．(1)判断直线与的关系，并说明理由；(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．(★★★) 18. 已知向量，，．(1)求函数的最大值及相应的值；(2)在中，角A为锐角，且，，，求边的长．(★★) 19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：(1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：(2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：，，(★★★★) 20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线：和：，其中．与在第一象限内的交点为P．与在点P处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角．(1)求点P的坐标；(2)若、的夹角为，求的值；(3)若直线既是也是的切线，切点分别为Q、R，当为直角三角形时，求出相应的的值．(★★★★) 21. 已知，等差数列的前项和为，记．(1)求证：函数的图像关于点中心对称；(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．。
高三第二次调研考试(数学理)Word版
河南省新乡平顶山许昌高三第二次调研考试（数学理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，分别答在答题卡（I 卷）和答题卷（II 卷）上，答在试卷上的答案无效。
第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题1．已知集合I 为实数集，集合2{|20},{|M x x x N x y =-<=-，则()MN =A ．{|02}x x <<B ．{|01}x x <<C ．{|1}x x <D ．φ2．如果复数1m ii ++是纯虚数，那么实数m 等于 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-3．已知双曲线的虚轴长为6，焦点F 到实轴的一个端点的距离等于9，则双曲线的离心率等于A ．53B ．54C ．135D ．13124．函数ln(1)y x =+的反函数的图象为5．设222220121(1)(12)(13)(1)x x x nx a a x a x +++++++⋅⋅⋅++=++，则201lim n a a →∞的值是A ．0B ．12C ．1D ．26．正方体1111ABCD A B C D -中对角线1B D 与平面11A BC 所成的角大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．已知3sin ()52πββπ=<<，且sin()cos αβα+=，则tan()αβ+=A ．1B ．2C ．2-D ．8258．设α、β、γ为平面，l 、m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件为 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,n n m αβα⊥⊥⊥C ．,,m αγαγβγ=⊥⊥D ．,,m αγβγα⊥⊥⊥9．已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．(,]6ππ10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA a =，OB b =，其中(3,1)a =，(1,3)b =。
高三上学期第二次调研考试数学(理)祥解(WORD版)
惠州市高三第二次调研考试 数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟） 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若(4)a i i b i +=+其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则a b -（ ） A ．3B ．5C ．-3D ．-53．“||2x <”是“260x x --<”成立（ ）条件。
A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( )A ．1B ．2C ．14D ． 125．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.ˆ 1.234y x =+B. ˆ 1.230.08y x =-C. ˆ 1.230.8y x =+D. ˆ1.230.08y x =+6．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．22C ．34D ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD△的垂心Ｂ．AH 的延长线经过点1CＣ．AH 垂直平面11CB D{}23,log P a ={},Q a b ={}0P Q =P Q ={}3,0{}3,0,2{}3,0,1{}3,0,1,2Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A ．12()()f x f x = B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知ABC ∆中，1,2a b ==，45B =，则角A 等于_______10．如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．11. 右面框图表示的程序 所输出的结果是_______12．若直线与圆有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ．13．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>中心在原点，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为___________（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
高三第二次调研考试数学
高三第二次调研考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ部分1至2页；第Ⅱ部分3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
参考公式；如果事件A 、B 互斥；那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立；那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．第一部分 选择题（共50分）注意事项；每小题选出正确答案后；用钢笔或圆珠笔将答案填在第二部分相应的表格内。
一、选择题；本大题共10小题；每小题5分；共50分.在每小题给出的四个选项中；只有一项符合题目要求的.（1（A ）2 （B ）12 （C ）12- （D ）2- （2）设函数()4sin()25x f x π=+；如果12()()4f x f x ==；则||21x x -的最小值为(A)2π(B)π (C)2π (D )4π （3）已知集合{}|(1,2)(3,4),M a a k k R ==+∈,集合{}|(2,2)(4,5),N a a k k R ==--+∈ 则MN =（A ）{}(2,2)-- （B ）{}(1,2),(2,2)-- （C ）{}(4,2) （D ）{}(1,2) （4）方程lg 30x x +-=的根所在的区间是 （A ）（1；2） （B ）（25；411） （C ）（49；25） （D ）（3；134）（5）下列图象中；有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象；则(1)f -= （A ）13 （B ）13- （C ）73 （D ）13-或53（6）设2342121111113222222n nn a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；则数列{}n a 是一个 (A ) 无限接近１的递增数列 (B) 是一个各项为０的常数列(C) 无限接近２的递增数列 (D) 是一个无限接近92的递增数列 （7）已知定义在R 上的偶函数f （x ）的单调递减区间为［0；+∞)；则不等式()(2)f x f x <-的解集是（A ）(1,2) （B ）(1,)+∞ （C ）(2,)+∞ （D ）(,1)-∞（8）已知双曲线221(0)x my m -=>的右顶点为A ；而,B C 是双曲线同一支上的两点；如果ABC ∆是正三角形；则(A) 3m > (B) 3m < (C) 3m = (D ) 3m ≠（9）已知球面上有三点,,A B C ；6AB BC CA ===；球心到平面ABC 的距离为2；则球的半径为 （A ）2 （B ）22 （C ）3 （D ）4（10）椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ；椭圆的右焦点为F ；数列{}n P F 是公差大于1100的等差数列；则n 的最大值为 (A) 198 (B) 199 (C ) 200 (D) 201E F高三第二次调研考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
高三数学第二次调研考试试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第二次调研考试试题文〔含解析〕本卷须知：2.答题选择题时，选出每个小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在套本套试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔答题，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在套本套试卷上无效。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.{}|22P x x =-≤≤，{}|lg 0Q x x =>，那么P Q =〔〕A.()2,0-B.[)1,2C.(]1,2D.(]0,2【答案】C 【解析】 【分析】首先解出集合Q 所含的元素，再由集合的交集运算的定义求解。
【详解】{}|lg 0Q x x =>{}|1Q x x ∴=>，又{}|22P x x =-≤≤{}|12P Q x x ∴=<≤即(]1,2P Q =，应选：C.【点睛】此题考察交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解答此题的关键，属于根底题。
z 满足()12i z i -=+〔其中i 为虚数单位〕，那么z 的一共轭复数是〔〕A.1322i -- B.1322i + C.1322i -+ D.1322i - 【答案】D 【解析】【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由一共轭复数的概念解答。
【详解】()12i z i -=+，()()()()212131112i i i i z i i i ++++∴===--+，1322z i ∴=-，即z 的一共轭复数为1322z i =-， 应选：D.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，属于根底题。
()1sin 3πα-=，且322ππα≤≤，那么sin 2α的值是〔〕A.9-B. D.9【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式可得sin α，再根据平方关系计算出cos α，之后利用二倍角的正弦公式即可得到答案。
江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2019届高三第二次调研数学试题(Word版含答案)
江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2019届高三第二次调研数学试题（Word 版含答案）一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1、已知集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，如果M N ≠∅，则a = ．2．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ）_________f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．3．12cos log 12sin log 22ππ+的值为 。
4．已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ． 5．已知函数y ＝sin （x ωϕ+）（ω＞0，0＜2πϕ≤）的部分图象如图所示，则ϕ的值为＿＿＿ 。
6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋4）＝f （x ），当x ∈（0，2）时，f (x) ＝x ＋2，则f （7）＝＿＿＿＿7．已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ．8．曲线在点（1，f （1）处的切线方程为 ．9.设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 10．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x+m≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是_________．11．函数f(x)=2sin()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间为__________． 12．在集合{x|x=}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是__________． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ）∈[0，1]，则实数t 的取值范围是__________．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值.16. （本小题满分14分）已知集合2{|(33)2(31)0,},A x x a x a x R =-+++<∈集合2{|0,}.(1)x a B x x R x a -=<∈-+ （1）求B ∉4时，求实数a 的取值范围；（2）求使A B ⊆的实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(02y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤． （1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？18. （本小题满分16分） 已知函数2()ln ,a f x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．19. （本小题满分16分）设()f x 是偶函数,且当0x ≥时,(3)03()(3)()3x x x f x x a x x -≤≤⎧=⎨-->⎩. （1）当0x <时,求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ,试求()g a 的表达式；[来20．（本小题满分16分） 已知)0()(>-=a xa x x f ，bx x x g +=ln 2)(，且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得对]3,[e （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立；（3）求证：)12ln(14412+>-∑=n i i ni )(*N n ∈．参考答案一、填空题 1．1 2. ＜ 3. -2 4．71-5. π36.—3 7．π3 8.9. 1ln 2111(())(ln )222g g g e ===10.1 11.12.13.14. （﹣3，0） 二、解答题：15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分 又在锐角△ABC 中，所以A=60° ……7分（2）因为a=2，A=60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分 所以△ABC 面积S 的最大值等于316. 解（1）若.433034,42<<-<⇔<--∈a a aa B 或则……………4分 ∴当a B 实数时,4∉的取值范围为).,4[]3,3[+∞- ……………6分（2）∵2{|(2)(31)0},{|1}.A x x x a B x a x a =---<=<<+……………7分 ①当).2,13(,31+=<a A a 时 要使;211,2113,2-≤≤-⎩⎨⎧≤++≥⊆a a a a A B 此时必须……………10分 ②当;,,31不存在的使时a A B A a ⊆Φ==……………11分 ③当)13,2(,31+=>a A a 时 要使.32,1312,2≤≤⎩⎨⎧+≤+≥⊆a a a a A B 此时必须……………13分 综上可知，使A B ⊆的实数a 的取值范围是[2，3]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 ……………14分 17. （1）022912:),914,32(=-+y x l M （2）)2,(2+-t t M ，过切点M 的切线)(2)2(:2t x t t y l --=+--即222++-=t tx y ，令2=y 得2t x =，故切线l 与AB 交于点)2,2(t ； 令0=y ，得t t x 12+=，又t t x 12+=在]34,32[递减，所以]611,1217[12∈+=t t x 故切线l 与OC 交于点)0,12(tt +。
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M ，过点 F 作 MF 的垂线，交 y 轴于点 N ． （ⅰ）当直线的 PA 斜率为 1 时，求 FMN 的外接圆的方程； 2 （ⅱ）设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q ，求 APQ 的面积的最大值．
3
x2
19、已知函数 f ( x)
ax, g( x) ln x ax, a R ．
2e
（1）解关于 x( x R ) 的不等式 f ( x) ≤ 0 ；
5
所以 sin 2B 2sin B cosB
24 ， cos2 B
1
2sin 2 B
25
7 ， …………… 10 分
25
所以 sin( B C) sin[B ( 2π B)] sin(2B 2π)
3
3
2π
2π
sin 2B cos cos2 Bsin ……………………………… 12 分
3
3
24 1 7 3 ()
x2 a2
y2 3
1(a
0) 的右焦点，则实数 a 的值为
．
7、已知圆锥的底面直径与高都是 2 ，则该圆锥的侧面积为
．
8、若函数 f (x) sin( x
)(
0) 的最小正周期为
1 ，则
f
1 ( ) 的值为
．
6
5
3
9、已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 2 a2 3, S3 2 a3 3 ，则公比 q 的值为
所以 MN ∥平面 EBC ．………………………………………………………
7分
（ 2）在矩形 ABCD 中， BC AB ，
又平面 EAB 平面 ABCD ，平面 ABCD 平面 EAB AB ， BC 平面 ABCD ，
所以 BC 平面 EAB ，………………………………………………………
10 分
又 EA 平面 EAB ，所以 BC EA， 又 EA EB ， BC EB B ， EB ， BC 平面 EBC ，
．
13、已知 A, B 是圆 C1 : x2 y 2 1 上的动点， AB 3 ， P 是圆 C 2 : ( x 3)2 ( y 4)2 1
上的动点，则 PA PB 的取值范围为
．
14、已知函数 f ( x)
sin x,
x1
，若函数 f (x) 的图象与直线 y x 有三
x3 9x2 25x a, x≥1
2
又 A (0, π) ，所以 A π． …………………………………………………… 3
4分 6分
5
（ 2）因为 cosB 3 ， B (0, π) ，所以 sin B 5
1 cos2 B
4 ，………………… 8 分
5
所以 sin 2B 2sin B cosB
24 ， cos2 B
1
2sin 2 B
（1）求 A, B 两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
18、如图，在平面直角坐标系
2
2
xOy 中，已知椭圆
C
:
x a2
y b2
1(a
b
0) 的离心率为
2
，且右焦点
F 到左准线的距离为
6 2．
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 A 为椭圆 C 的左顶点， P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y 轴于点
（2）证明： f ( x)≥ g (x) ；
（3）是否存在常数 a,b ，使得 f (x)≥ ax b≥ g( x) 对任意的 x 0 恒成立？若存在，求
出 a, b 的值；若不存在，请说明理由．
4
20、已知正项数列 a n 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 a,( an 1)(an 1 1) 6( Sn n) ， n N ．
16．（ 1）取 BE 中点 F ，连结 CF ， MF ， 又 M 是 AE 的中点，所以 MF ∥ 1 AB ， 2 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，
14 分
所以 NC ∥ 1 AB ，所以 MF ∥ NC ， 2
所以四边形 MNCF 是平行四边形，… 4 分
所以 MN∥CF ，
又 MN 平面 EBC ， CF 平面 EBC ，
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． { 2,0,3}
2． 2
3． 14
4． 20 5． 1 3
6． 1
7． 5π
1 8．
2
9． 2
10． ( , 3]
11． 8
12． 5 7 14
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
13． [7,13]
14． { 20, 16}
25
所以 sin( B C) sin[B ( 2π B)] sin(2B 2π)
3
2π
2π
sin 2B cos cos2 Bsin ……………………………… 12 分
3
3
24 1 7 3 ()
25 2 25 2
7 3 24 ．………………………………………………… 50
16．（ 1）取 BE 中点 F ，连结 CF ， MF ， 又 M 是 AE 的中点，所以 MF ∥ 1 AB ， 2 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，
所以 BC 平面 EAB ，………………………………………………………
10 分
又 EA 平面 EAB ，所以 BC EA， 又 EA EB ， BC EB B ， EB ， BC 平面 EBC ，
所以 EA 平面 EBC ．………………………………………………………
14 分
17．（ 1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D ．
25
7 ， …………… 10 分
25
所以 sin( B C) sin[B ( 2π B)] sin(2B 2π)
3
3
2π
2π
sin 2B cos cos2 Bsin ……………………………… 12 分
3
3
24 1 7 3 ()
25 2 25 2
7 3 24 ．………………………………………………… 50
14 分
所以 NC ∥ 1 AB ，所以 MF ∥ NC ， 2
所以四边形 MNCF 是平行四边形，… 4 分
所以 MN∥CF ，
又 MN 平面 EBC ， CF 平面 EBC ，
所以 MN ∥平面 EBC ．………………………………………………………
7分
（ 2）在矩形 ABCD 中， BC AB ，
15．（ 1）由正弦定理可知， 2cos A(sin B cosC sin C cosB) sin A ， ……………… 2 分
即 2cos Asin A sin A ，因为 A (0, π) ，所以 sin A 0 ，
所以 2cos A 1，即 cos A
1 ， ………………………………………………
25 2 25 2
7 3 24 ．………………………………………………… 50
16．（ 1）取 BE 中点 F ，连结 CF ， MF ， 又 M 是 AE 的中点，所以 MF ∥ 1 AB ， 2 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，
14 分
所以 NC ∥ 1 AB ，所以 MF ∥ NC ， 2
tan tan
sin sin
所以 AP 4 DP 4 3 ． tan
6
（ 2）因为 cosB 3 ， B (0, π) ，所以 sin B 5
1 cos2 B
4 ，………………… 8 分
5
所以 sin 2B 2sin B cosB
24 ， cos2 B
1
2sin 2 B
25
7 ， …………… 10 分
方案②：设 BPD
，则
( 0 , π) ，其中 0 2
BAN ，
在 Rt△ BDP 中， DP BD
3
BD
， BP
3 ，
tan tan
sin sin
所以 AP 4 DP 4 3 ． tan
6
（ 2）因为 cosB 3 ， B (0, π) ，所以 sin B 5
1 cos2 B
4 ，………………… 8 分
所以 EA 平面 EBC ．………………………………………………………
14 分
17．（ 1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D ．
在 Rt△ ABD 中， tan BAD tan BAN BD 3 ， AD 4
所以 AD 4 BD ， 3
在 Rt△ BCD 中， tan BCD tan BCN BD 1 ， CD
个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为
．
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明
或演算步骤）
15、在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c ．已知 2cos A(b cosC ccos B) a ．
（1）求角 A 的值；
（2）若 cos B
（1）求数列 a n 的通项公式；
（2）若对于 n N ，都有 Sn ≤ n(3n 1) 成立，求实数 a 取值范围；
（3）当 a 2 时，将数列 an 中的部分项按原来的顺序构成数列
bn ，且 b1 a2 ，证明：
存在无数个满足条件的无穷等比数列
bn ．
2019 年度高三年级第二次调研测试
数学 Ⅰ （必做题）参考答案与评分标准
所以 CD BD ．
则 AC AD CD 4 BD BD 1 BD 1，即 BD 3 ，
3