线性代数第四章练习题集答案解析
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第四章
二 次 型
练习4、1
1、写出下列二次型的矩阵
（1）),,(321x x x f =32312
221242x x x x x x -+-；
（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：（1）因为
),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01211020
2⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,
所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---01211020
2。
（2）因为
),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛010*********
1110
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛010*********
1110。
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：
（1）⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---
-
22
2
12021
212
11； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---1212102102112121
12101210。
解：（1）设T
321),,(x x x X =，则
),,(321x x x f =X T
AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
---
-
22
2
12021212
11⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛321x x x =3231212
32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T
4321),,,(x x x x X =，则
),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---121210
210211************⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x
=43423231212
4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
练习4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
（1）),,(321x x x f =32212
221442x x x x x x --+；
（2）),,(321x x x f =322122x x x x -；
（3）),,(321x x x f =32212
322214432x x x x x x x --++。
解：（1）二次型),,(321x x x f 的矩阵
A =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----02021
2022。 A 的特征方程为
)det(A E -λ=
λ
λλ202120
22
--=)45)(2(2+-+λλλ=0，
由此得到A 的特征值21-=λ，12=λ，43=λ。
对于21-=λ，求其线性方程组0)2(=--X A E ，可解得基础解系为
T
1)2,2,1(=α。
对于12=λ，求其线性方程组0)(=-X A E ，可解得基础解系为： T
2)2,1,2(-=α。
对于43=λ，求其线性方程组0)4(=-X A E ，可解得基础解系为：
T
3)1,2,2(-=α。
将321,,ααα单位化，得 T 11
1)32,32,31(1
==
ααγ，
T 22
2)3
2,3
1,32(1
-==
ααγ， T 33
3)3
1,32,3
2(1
-==ααγ，
令
P =),,(321γγγ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--313
23
2323132
323231，
则 P T
AP =diag(-2,1,4)=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-400010002。
作正交替换X=PY ，即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+-=-+=++=321332123211313232323132323231y y y x y y y x y y y x ，
二次型),,(321x x x f 可化为标准形：
2
3222142y y y ++-。
（2）类似题（1）方法可得：
P =⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
--212
12
1212
10212121，P T AP =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-20
020000， 即得标准形：2
3
2222y y -。 （3）类似题（1）的方法可得：
P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---
313
23
2323231
323132
， P T
AP =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-100050002， 即得标准形：2
3222152y y y -+。
2、用配方法将下列二次型化为标准形：
（1）),,(321x x x f =3231212
3222162252x x x x x x x x x +++++；
（2）),,(321x x x f =312142x x x x +；