九年级数学上册 《垂直于弦的直径》课件 人教新课标版
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE （1）CD⊥AB吗？为什么？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2） AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ C
·
O E
A
D
B
C
归纳
如果一条直径平分一条不是 直径的弦，那么这条直径垂 直于弦，并且平分弦所对的 两条弧.
·
O E A D B
Ｃ
几何语言表述
Ｂ
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 ，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的 最大深度.
A
600
D
B
O ø650
⌒ ⌒
合，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 因此 AE=BE AC=BC AD=BD ⌒ ⌒ 即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB
⌒
⌒
C
归纳
垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧．
·
O E A D B
Ｃ
几何语言表述
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
垂径定理：
Ｄ
由 CD是直径 CD⊥AB
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
M A B C A A O E D B
. O
C
.
.O
D B N
总结:
解决有关弦的问题，经常是 过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的 直径，连结半径等辅助线，为应用垂 径定理创造条件。
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
AE=BE,
可推得
AC=BC AD=BD
⌒ ⌒
⌒ ⌒
练一练：如图，已知在⊙O 中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求 ⊙O的半径。
A
E
B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB， 垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘 米 ∴⊙O的半径为5厘米。
实践应用
⌒
解决求赵州桥拱半径的问题
B A
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心 为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC， D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结 ⌒ 论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是 拱高．AB=48米，CD=16米
C D R O
⌒
A
B
三、
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
24.1.2 垂直于弦的直径
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
练习5:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
6 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
证明：作直径MN⊥AB。 ∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 则AM＝BM，CM＝DM
⌒ ⌒
M C A D B
.O
N
⌒
⌒
⌒
⌒
C
课后小结
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理， 并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 两个量，如图有：
a
⑴d + h = r
⑵
2
h d O
Ｏ Ａ Ｅ
Ｄ
由 CD是直径 AE=BE
CD⊥AB,
可推得
AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
⌒ ⌒
练一练：
如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE OE=5，AB=24，求⊙O的半径
C
·
O E
A
D
B
挑战自我填一填
1、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ）
(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ .
）
(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有: .
A
B M E D O
ODA 90
又
∵AC=AB
E
∴ AE=AD
·
O D
∴ 四边形ADOE为正方形.
A B
2已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点。你认为AC和BD有什么关系？ 为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 A 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
a 2 r d ( ) 2
2 2
课后小结 1. 垂径定理 2. 垂径定理的推论 3. 垂径定理的应用
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
AB 解:如图,用AB 表示桥拱, 所在圆的圆心为O, AB 半径为Rm, AB 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交 1 AB 于点C.根 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 1 1 据垂径定理,D是AB的中点,C是 .62 的中点,CD就是 AD AB 7.2 3 , 拱高. 2 2 由题设得 DC R 2.4. OD OC
F
C
N
提高练习
1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： OE AC OD AB AB AC
1 1 AE AC，AD AB ∴四边形ADOE为矩形， 2 2
C
OEA 90
EAD 90
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·
O
E A D B
C
·
O E A
B D
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 ⌒
合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重
O
.
C E
D
B
E
3：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A E
O
D B
4:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
C
C
O
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D B
A
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B C 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2） AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ C
·
O E
A
D
B
C
归纳
如果一条直径平分一条不是 直径的弦，那么这条直径垂 直于弦，并且平分弦所对的 两条弧.
·
O E A D B
Ｃ
几何语言表述
Ｂ
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 ，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的 最大深度.
A
600
D
B
O ø650
⌒ ⌒
合，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 因此 AE=BE AC=BC AD=BD ⌒ ⌒ 即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB
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⌒
C
归纳
垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧．
·
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Ｃ
几何语言表述
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
垂径定理：
Ｄ
由 CD是直径 CD⊥AB
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
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总结:
解决有关弦的问题，经常是 过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的 直径，连结半径等辅助线，为应用垂 径定理创造条件。
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
AE=BE,
可推得
AC=BC AD=BD
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练一练：如图，已知在⊙O 中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求 ⊙O的半径。
A
E
B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB， 垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘 米 ∴⊙O的半径为5厘米。
实践应用
⌒
解决求赵州桥拱半径的问题
B A
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心 为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC， D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结 ⌒ 论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是 拱高．AB=48米，CD=16米
C D R O
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A
B
三、
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
24.1.2 垂直于弦的直径
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
练习5:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
6 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
证明：作直径MN⊥AB。 ∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 则AM＝BM，CM＝DM
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C
课后小结
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理， 并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 两个量，如图有：
a
⑴d + h = r
⑵
2
h d O
Ｏ Ａ Ｅ
Ｄ
由 CD是直径 AE=BE
CD⊥AB,
可推得
AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
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练一练：
如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE OE=5，AB=24，求⊙O的半径
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O E
A
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B
挑战自我填一填
1、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ）
(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ .
）
(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有: .
A
B M E D O
ODA 90
又
∵AC=AB
E
∴ AE=AD
·
O D
∴ 四边形ADOE为正方形.
A B
2已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点。你认为AC和BD有什么关系？ 为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 A 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
a 2 r d ( ) 2
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课后小结 1. 垂径定理 2. 垂径定理的推论 3. 垂径定理的应用
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
AB 解:如图,用AB 表示桥拱, 所在圆的圆心为O, AB 半径为Rm, AB 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交 1 AB 于点C.根 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 1 1 据垂径定理,D是AB的中点,C是 .62 的中点,CD就是 AD AB 7.2 3 , 拱高. 2 2 由题设得 DC R 2.4. OD OC
F
C
N
提高练习
1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： OE AC OD AB AB AC
1 1 AE AC，AD AB ∴四边形ADOE为矩形， 2 2
C
OEA 90
EAD 90
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
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O
E A D B
C
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O E A
B D
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 ⌒
合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重
O
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C E
D
B
E
3：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A E
O
D B
4:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
C
C
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O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D B
A
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B C 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
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人教版初中数学《垂直于弦的直径》免费课件
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
小结：
解题方法： 在利用垂径定理解题时，通常需要作_弦__心__距_， 构造直__角__三__角__形__，把_垂__径_定理和勾__股__定理结合 起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式_r_2___d_2___a___2 .
ห้องสมุดไป่ตู้
C
设 所在圆的圆心为O，
A
18.5 D
半径为R．
B
经过圆心O 作弦AB
R
R-7.23
的垂线OC，D为垂足. 由垂径定理可得，D 是
AB 的中点，C是 的中
O
在Rt△AOD中，
点，CD 就是拱高．
1
AD= 2
AB=18.5，OD=OC-CD=R-7.23
∵ OA2=AD2+OD2 ∴R2=18.52+(R-7.23)2
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
练习4、如图是一个隧道横截面，它的形状是 以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦 CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且 CD=4m，EM=6m. 求⊙O的半径.
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
练习1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3㎝.
求⊙O的半径.
A
B
O.
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
练习2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足 分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形.
九年级数学上册《垂直于弦的直径》(第一课时)PPT
∴Rt△OEA≌Rt△OEB.
C
∴AE=BE.
A E└
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
●O
D
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
9、下列图形，是否能用垂径定理。
C
A E└
B
●O
D√
C B
友情提示
如图6，弦长 a、半径 r、弦心距d构成直角
三角形，可利用下列公式：
（1）d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2 2
ha rd
（图6）
独立作业
习题24.1 必做题： 第2、8题 A组选做题：第12题
❖ 祝你成功!
结束寄语
下课了!
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
24.1.2 垂径定理
（第一课时）
自主预习
圆的对称性
1、圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?
●O
你能找到多少条对称轴？
2、你是用什么方法解决上述问题的?
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
合作探究
驶向胜利 的彼岸
∴AO=5cm
．O
∟
C
B
挑战自我
10、圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为 4cm，
则AB=6cm 。
11、如图4、CD为⊙O的直径，AB⊥CD于M，
DM=8cm，CM=2cm，则AB=8
cm。
图4
12、如图5， ⊙O是下水道横截面，已知管道内径为 100cm，水面宽AB=160cm，则水深为 40 cm。
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
5
分析：∵OC⊥AB，OC 过圆心 O，∴CA＝12AB．∵AB＝4，∴AC＝2.在 Rt△AOC
中，由勾股定理，得 OA＝ AC2＋OC2＝ 22＋12＝ 5，即⊙O 的半径为 5. 答案：B
第五页，共二十四页。
6
基础过关
1．下列结论正确的是( A ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
垂直于弦的直径
第一页，共二十四页。2以练Fra bibliotek学名师点睛
知识点 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
知识点 2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
由勾股定理，得 OA2＝OD2＋AD2，即 r2＝(r－10)2＋302，解得 r＝50.即这个车轮 的外圆半径为 50 cm.
第十八页，共二十四页。
19
13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且点O到直线AB的距离为6，求AC的 长．
第六页，共二十四页。
7
2．如图，⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，则下列结论中一定正确的是( B )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
第七页，共二十四页。
8
3．【教材 P83 练习 T1 变式】如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，OP⊥AB， 垂足为点 P，则 OP 的长为( C )
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
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人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
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合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
24.1.2垂直于弦的直径 课件人教版数学九年级上册
(1)证明：∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共16页)1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
⌒⌒
⌒⌒
∴ AD =BD. ∴ AC =BC,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 想法和理由.
发现图中有:
C
由 （1）CD是直径 可推得
A
┗●
B （2）AM=BM
M
●O
垂径定理的推论
CD⊥AB, ⌒⌒ AC=BC, ⌒⌒ AD=BD.
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件PPT1
A⌒D =
⌒
BD.
·O
E
A
B
C
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
垂径定理
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
C
AE＝BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
A
O E
B
D
①过圆心 ②垂直于弦
5、 人 们 都 期 望自 我的生 活中能 够多一 些快乐 和顺利 ，少一 些痛苦 和挫折 。可是 命运却 似乎总 给人以 更多的 失落、 痛苦和 挫折。 我就经 历过许 多大大 小小的 挫折。 6、 我 就 经 历 过许多 大大小 小的挫 折。大 海因为 有了狂 风的袭 击，才 显示出 了它顽 强的生 命力， 它把狂 风化成 了朵朵 浪花， 给人们 带来美 丽；
解：连结OA
OEAB
AE1AB184 22
O
A
E3 B
4
在Rt △ AOE 中,由勾股定理，得：
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
O
O
C
DC
D
A
A
O
C A
DC
O ED
不可以
不可以
可以
可以
你想好了吗？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》教学课件
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
2 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= OA2 OM 2 4(cm). 则AB=2AM=8cm．
知识点 1 圆的对称性
知1－导
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？
问 题（二）
知1－导
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此 你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
归纳
知1－导
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
知1－练
1 下列说法中不正确的是( D ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－导
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
C
O B C
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
（来自教材）
总结
知2－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
2 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= OA2 OM 2 4(cm). 则AB=2AM=8cm．
知识点 1 圆的对称性
知1－导
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？
问 题（二）
知1－导
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此 你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
归纳
知1－导
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
知1－练
1 下列说法中不正确的是( D ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－导
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
C
O B C
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
（来自教材）
总结
知2－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
人教版九年级数学上册..垂直于弦的直径第课时课件教学课件
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4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
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双基训练
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm .
5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
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A
O
B
E
F
P
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
CA
BD
9.已知:AB和CD是⊙O的两条等弦,点E,F分别在AB和 CD的延长线上且BE=DF.
求证:EF的垂直平分线经过圆心O.
D
K
C
F
O
A
L
B
E
10.在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC,且AB=AC， M和N分别为AB及AC弦的中点. 连M和N并反向延长交圆于P和Q两点. 求证: PM=NQ.
24.1.2 垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·O
∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B