人教版九年级上册数学教案全套(新版)
(精)人教新版九年级上册数学全册教案
最新人教版九年级上册数学全册教案第二十三章旋转23.1图形的旋转（1）教学内容1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？2．什么叫旋转的对应点？教学目标了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．2 ．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念．教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下面各题．1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点 B 的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ ABC和直线 L，请你画出△ ABC关于 L 的对称图形△A′ B′ C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（口述）老师点评并总结：（1）平移的有关概念及性质．（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴） ?的对称图形并口述它既有的一些性质．（ 3）什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．1 ．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了 _______度，秒针转了 ______度．2 ．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3 ．第 1、 2 两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．下面我们来运用这些概念来解决一些问题．例 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按顺时针方向旋转得到△ OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点 A、 B 分别移动到什么位置？解：（ 1）旋转中心是O，∠ AOE、∠ BOF等都是旋转角．（ 2）经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置．例2．（学生活动）如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH都是边长为 1 的正方形．（ 1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（ 2）请画出旋转中心和旋转角．（ 3）指出，经过旋转，点 A、 B、 C、 D分别移到什么位置？（老师点评）（ 1）可以看做是由正方形 ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（ 2） ?画图略．（ 3）点 A、点 B、点 C、点D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H．最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，三、巩固练习?但旋转角和对应点都是不唯一的．四、应用拓展五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．六、布置作业23.1图形的旋转(2)教学内容1．对应点到旋转中心的距离相等．2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3．旋转前后的图形全等及其它们的运用．教学目标理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质．重难点、关键1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．教学过程一、复习引入（学生活动）老师口问，学生口答．1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？2．什么叫旋转的对应点？3．请独立完成下面的题目．如图， O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段 AB）绕 O点，按照同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、 300°形成的．二、探索新知上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：1． A、B、 C、 D、 E、 F 到 O点的距离是否相等？2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠ COD、∠ DOE、∠ EOF、∠ FOA是否相等？3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△ OBC、△ OCD、△ ODE、△ OEF、△ OFA全等吗？老师点评：（ 1）距离相等，（ 2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，?再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板， ?在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′ B′ C′），移去硬纸板．1 2 3（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）．线段 OA与 OA′， OB与 OB′， OC与 OC′有什么关系？．∠ AOA′，∠ BOB′，∠ COC′有什么关系？．△ ABC与△ A′ B′ C′形状和大小有什么关系？老师点评： 1． OA=OA′， OB=OB′， OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等．2 ．∠ AOA′ =∠ BOB′ =∠ COC′，我们把这三个相等的角， ?即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．3．△ ABC和△ A′ B′ C′形状相同和大小相等，即全等．综合以上的实验操作和刚才作的（ 3），得出（ 1）对应点到旋转中心的距离相等；（ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（ 3）旋转前、后的图形全等．例 1．如图，△ ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B?对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转， A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即∠ BCB ′ =ACD ，?又由对应点到旋转中心的距离相等， 即CB=CB ′，就可确定 B ′的位置，如图所示．解：（ 1）连结 CD（ 2）以 CB 为一边作∠ BCE ，使得∠ BCE=∠ ACD（ 3）在射线 CE 上截取 CB ′ =CB则 B ′即为所求的 B 的对应点．（ 4）连结 DB ′则△ DB ′ C 就是△ ABC 绕 C 点旋转后的图形． 例 2．如图，四边形ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE=1，△ ABF 是△ ADE 的旋转图形．4（ 1）旋转中心是哪一点？（ 2）旋转了多少度？（ 3） AF 的长度是多少？（ 4）如果连结 EF ，那么△ AEF 是怎样的三角形？分析：由△ ABF 是△ ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF?的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． ?△ ABF 与△ ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（ 1）旋转中心是 A 点．（ 2）∵△ ABF 是由△ ADE 旋转而成的 ∴ B 是 D 的对应点∴∠ DAB=90°就是旋转角 （ 3）∵ AD=1， DE=14∴ AE= 12( 1)2= 174 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴ AF=174（ 4）∵∠ EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE∴△ EAF 是等腰直角三角形．三、巩固练习：四、应用拓展分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 五、归纳小结 （学生总结，老师点评）本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．六、布置作业23.1图形的旋转 (3)教学内容 ：选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案．教学目标 ：理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．重难点、关键1 ．重点：用旋转的有关知识画图．2 ．难点与关键：根据需要设计美丽图案．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入1．（学生活动）老师口问，学生口答．（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？（3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2．请同学独立完成下面的作图题．如图，△ AOB绕 O点旋转后， G点是 B 点的对应点，作出△ AOB旋转后的三角形．（老师点评）分析：要作出△ AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心： O；第二，旋转角：∠BOG；第三， A点旋转后的对应点：A′．二、探索新知从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．1．旋转中心不变，改变旋转角画出以下图所示的四边形ABCD以 O点为中心，旋转角分别为30°、 60°的旋转图形．2．旋转角不变，改变旋转中心画出以下图，四边形ABCD分别为 O、 O为中心，旋转角都为30?°的旋转图形．因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．例 1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O?为旋转中心画出分别旋转45°、 90°、 135°、 180°、225°、 270°、 315°的菊花图案．分析：只要以O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，?旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可．解：（ 1）连结 OA（2）以 O点为圆心， OA长为半径旋转 45°，得 A．（3）依此类推画出旋转角分别为90°、 135°、 180°、 225°、 270°、 315°的 A、 A、 A、 A、 A、A．（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．例 2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心， ?请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了．三、巩固练习．四、应用拓展五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案， ?要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等．六、布置作业23.2 中心对称(1)教学内容两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题．教学目标了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．复习运用旋转知识作图， ?旋转角度变化， ?设计出不同的美丽图案来引入旋转 180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入请同学们独立完成下题．如图，△ ABC绕点 O旋转，使点 A 旋转到点D处，画出旋转后的三角形，?并写出简要作法．老师点评：分析，本题已知旋转后点 A 的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，?一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；?已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结 OA、 OD，则∠ AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．作法：（ 1）连结 OA、 OB、 OC、 OD；（2）分别以 OB、 OB为边作∠ BOM=∠CON=∠ AOD；（3）分别截取 OE=OB，OF=OC；（4）依次连结 DE、 EF、FD；即：△ DEF就是所求作的三角形，如图所示．二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点O旋转 180°的图案，并回答下列的问题：1．以 O为旋转中心，旋转 180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转 180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．例1．如图，四边形 ABCD绕 D 点旋转 180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（ 1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（ 2）如果是中心对称，那么A、B、 C、 D 关于中心的对称点是哪些点．分析：（ 1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，?对称中心就是旋转中心．（ 3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（ 1）延长 AD，并且使得 DA′ =AD（ 2）同样可得： BD=B′D， CD=C′D（ 3）连结 A′ B′、 B′ C′、 C′ D，则四边形 A′ B′C′ D 为所求的四边形，如图23-44 所示．答：（ 1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是 D 点．（2） A、 B、 C、D 关于中心 D 的对称点是 A′、 B′、 C′、 D′，这里的 D′与 D重合．例 2．如图，已知 AD是△ ABC的中线，画出以点 D 为对称中心，与△ ABD?成中心对称的三角形．分析：因为 D 是对称中心且 AD是△ ABC的中线，所以 C、B 为一对的对应点，因此，只要再画出 A 关于 D 的对应点即可．解：（ 1）延长 AD，且使 AD=DA′，因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B（ C′）， B?点关于中心 D 的对称点为 C（ B′）（ 2）连结 A′ B′、 A′C′．则△ A′ B′ C′为所求作的三角形，如图所示．三、巩固练习四、应用拓展例3．如衅，在△ ABC中，∠ C=70°， BC=4，AC=4，现将△ ABC沿 CB方向平移到△ A′B′ C′的位置．（ 1）若平移的距离为 3，求△ ABC与△ A′ B′ C′重叠部分的面积．y 与x 的关系式．（ 2）若平移的距离为x（ 0≤ x≤4），求△ ABC与△ A′ B′ C′重叠部分的面积y，写出分析：（ 1）∵ BC=4， AC=4BC′ =1∴△ ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且（ 2）∵平移的距离为x，∴ BC′ =4-x五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心的对称点的概念及其运用．六、布置作业1 ．教材练习1．23.2中心对称(2)教学内容1 ．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，?而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．教学目标理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．重难点、关键1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用．2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？2．什么叫关于中心的对称点？3 ．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，?画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点 O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ ABC．第二步，以△ ABC的 C 点（或 O 点）为中心，旋转 180°画出△ A′B′和△ A′ B′ C′，如图 1 和用 2 所示．(1)(2)从图 1 中可以得出△ABC与△ A′B′ C 是全等三角形；分别连接对称点AA′、 BB′、 CC′，点 O在这些线段上且 O平分这些线段．下面，我们就以图 2 为例来证明这两个结论．证明：（ 1）在△ ABC和△ A′ B′ C′中，OA=OA ′， OB=OB′，∠ AOB=∠ A′ OB′∴△ AOB≌△ A′OB′∴AB=A′ B′同理可证： AC=A′ C′， BC=B′ C′∴△ ABC≌△ A′B′ C′（2）点 A′是点 A 绕点 O旋转 180°后得到的，即线段 OA绕点 O?旋转 180?°得到线段 OA′，所以点 O 在线段AA′上，且 OA=OA′，即点 O是线段 AA′的中点．同样地，点 O也在线段 BB′和 CC′上，且 OB=OB′， OC=OC′，即点 O是 BB′和 CC′的中点．因此，我们就得到1 ．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2 ．关于中心对称的两个图形是全等图形．例 1．如图，已知△ ABC和点 O，画出△ DEF，使△ DEF和△ ABC关于点 O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转连 AO、 BO、 CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：（ 1）连结 AO并延长 AO到 D，使 OD=OA，于是得到点 A 的对称点180°，因此，我们D，如图所示．（2）同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F．（3）顺次连结 DE、 EF、FD．则△ DEF即为所求的三角形．例 2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点 O，画四边形A′B?′ C′ D′，使四边形 A′ B′C′ D′和四边形ABCD关于点 O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．二、巩固练习三、应用拓展例 3．如图等边△ ABC内有一点O，试说明： OA+OB>OC．分析：要证明OA+OB>OC，必然把O A、OB、 OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以 A 为旋转中心， ?旋转 60°，便可把OA、 OB、 OC转化为一个三角形内．解：如图，把△AOC以 A 为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△ AO′ B?的位置，则△AOC≌△ AO′ B．∴ AO=AO′， OC=O′ B又∵∠ OAO′ =60°，∴△ AO′ O为等边三角形．∴ AO=OO′在△ BOO′中， OO′ +OB>BO′即 OA+OB>OC四、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1 ．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，?而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．五、布置作业23.2 中心对称 (3)教学内容1．中心对称图形的概念．2．对称中心的概念及其它们的运用．教学目标了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．重难点、关键1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用．2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．教具、学具准备小黑板、三角形教学过程一、复习引入1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．2．（学生活动）作图题．（1）作出线段 AO关于 O点的对称图形，如图所示．A OAO B（ 2）作出三角形AOB关于 O点的对称图形，如图所示．（2）延长 AO使OC=AO，延长 BO使OD=BO连结 CD则△ COD为所求的，如图所示．二、探索新知从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB 绕它的中点旋转180°，因为 OA=?OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．上面的（ 2）题，连结 AD、 BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．∵ AO=OC， BO=OD，∠ AOB=∠ COD A D∴△ AOB≌△ CODO∴ AB=CD也就是， ABCD绕它的两条对角线交点O旋转 180°后与它本身重合．C 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么B这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答．（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．A D 例 3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．O 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．证明：如图， O是四边形 ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、?BD必B C 过点 O，且 AO=CO， BO=DO，即四边形 ABCD的对角线互相平分，因此，?四边形 ABCD是平行四边形．三、巩固练习四、应用拓展例 4．如图，矩形 ABCD中， AB=3， BC=4，若将矩形折叠，使 C点和 A 点重合， ?求折痕 EF 的长．分析：将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，折痕为 EF，就是 A、 C 两点关于 O 点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积．解：连接AF，∵点 C与点 A 重合，折痕为EF，即 EF 垂直平分AC．∴AF=CF，AO=CO，∠ FOC=90°，又四边形 ABCD为矩形，∠ B=90°，AB=CD=3， AD=?BC=4设CF=x，则 AF=x， BF=4-x，由勾股定理，得2222 AC=BC+AB=5∴ AC=5， OC=1AC=5 2222222∵ AB +BF =AF∴ 3 +（4-x ） =2=x ∴x=258∵∠ FOC=90°222252- （5215）215∴ OF=FC-OC=（8）） =（8OF=28同理15，即15 OE=EF=OE+OF=84五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．中心对称图形的有关概念；2．应用中心对称图形解决有关问题．六、布置作业23.2中心对称（4）教学内容两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（ x，y），关于原点的对称点为 P′（ -x ，-y ）及其运用．教学目标理解 P与点 P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（ -x ，-y ）的运用．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重难点、关键1 ．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（ x， y） ?关于原点的对称点P′（ -x ，-y ）及其运用．2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．教具、学具准备l小黑板、三角尺教学过程A一、复习引入（学生活动）请同学们完成下面三题．1．已知点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A′．2．如图，△ ABC是正三角形，以点 A 为中心，把△ ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ ABO，绕点 O旋转 180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）二、探索新知（学生活动）如图，在直角坐标系中，已知 A（ -3 ，1）、B（-4 ，0）、yC（ 0，3）、?D（ 2， 2）、 E（ 3，-3 ）、F（ -2 ， -2 ），作出 A、B、 C、 D、E、4F 点关于原点 O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标3C与已知点的坐标有什么关系？2DA老师点评：画法：（ 1）连结 AO并延长 AO B1O 1 2 3x （ 2）在射线 AO上截取 OA′ =OA-4 -3-2-1（ 3）过 A 作 AD′⊥ x 轴于 D′点，过 A′作 A′ D″⊥ x 轴于点 D″．-1-2∵△ AD′ O与△ A′ D″ O全等-3∴ AD′=A′ D″， OA=OA′∴ A′（ 3， -1 ）同理可得 B、 C、 D、 E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标．（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，?①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：（ 1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（ 2）坐标符号相反，即设 P（ x， y）关于原点 O的对称点 P′（ -x ， -y ）．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（ x，y）关于原点 O的对称点 P′（ -x ， -y ）．例 1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB?关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作出点A、点 B 关于原点的对称点A′、 B′即可．y4 32解：点 P （ x ， y ）关于原点的对称点为 P ′（ -x ，-y ），因此，线段 AB 的两个端点 A （0， -1 ），B （ 3， 0）关于原点的对称点分别为1BA ′（ 1， 0），B （ -3 ，0）． 连结 A ′B ′．-4 -3 -2 -1 O 1x23则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A ′ B ′．-1A-2（学生活动）例 2．已知△ ABC ， A （ 1， 2）， B （ -1 ，3）， C （-2 ， 4）利用关-3于原点对称的点的坐标的特点，作出△ ABC 关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A 、B 、C 三点并连结组成△ ABC ，要作 出△ ABC 关于原点 O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的 A 、 B 、 C 三点关于原点的对称点， ?依次连结，便可得到所求作的△ A ′ B ′ C ′．三、巩固练习 教材 练习． 四、应用拓展例 3．如图， 直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A 、B 两点，将直线 AB 绕点（ 1）在图中画出直线 A 1B 1．（ 2）求出线段 A 1B 1 中点的反比例函数解析式．（ 3）是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率 k 值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．分析：（ 1）只需画出 A 、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A 1、 B 1 ，连结 A 1B 1．（ 2）先求出 A 1B 1 中点的坐标，设反比例函数解析式为y= k代入求xk ． O 顺时针旋转 90°得到直线 A 1B 1．y4 3 2BA1-4 -3 -2 -1O 1 2 3 x-1-2-3（ 3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明． 这一条直线是存在的， 因此 A 1B 1 与双曲线是相切的，只要我们通过 A 1B 1 的线段作 A 1、 B 1 关于原点的对称点 A 2、 B 2，连结 A 2B 2 的直线就是我们所求的直线．解：（1）分别作出 A 、 B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A 1（ 1， 0）， B 1（ 2， 0），连结 A 1B 1，那么直线 A 1B 1 就是所求的．（ 2）∵ A 1B 1 的中点坐标是（ 1， 1） 2设所求的反比例函数为 y=kx则 1 = k，k= 12 121∴所求的反比例函数解析式为y=2x（ 3）存在．∵设 A 1B 1：y=k ′ x+b ′过点 A 1 （0， 1）， B 1（ 2， 0）1 b`b` 11 ∴∴k`0 2k b2∴ y=- 1x+12把线段 A B 作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．1 1根据点 P （ x ， y ）关于原点的对称点 P ′（ -x ， -y ）得：A （ 0，1），B （ 2，0）关于原点的对称点分别为A （ 0， -1 ），B （ -2 ， 0）1122∵ A 2B 2： y=kx+b1 bk 1 2∴2k` ∴b1b。
新人教版初中数学九年级上册全册教案
新人教版初中数学九年级上册全册教案一. 教材内容概述本教案为新人教版初中数学九年级上册的全册教案。
该教材主要包括以下几个模块：- 整式与分式- 历史与人物- 概率与统计- 等比数列- 性质与运算二. 教学目标通过本教材的研究，学生应达到以下数学能力和知识：1. 掌握整式与分式的基础概念和运算方法；2. 了解数学发展历史和相关数学人物的贡献；3. 理解和应用概率与统计的基本概念与方法；4. 掌握等比数列的性质和求解方法；5. 熟悉数的性质与数的运算法则。
三. 教学重点与难点1. 教学重点：整式与分式的基础概念与运算方法，概率与统计的基本概念和应用，等比数列的性质和求解方法。
2. 教学难点：整式与分式的运算方法，概率与统计的应用，等比数列的推导和求解。
四. 教学方法和手段本教案将采用以下教学方法和手段，以培养学生的数学思维和解决问题能力：1. 导入法：通过引入学生已有的数学知识，激发学生对新知识的兴趣；2. 探究法：组织学生进行探索性研究，培养学生的自主研究和合作研究能力；3. 归纳法：引导学生总结、归纳已学的数学知识，提高他们的综合运用能力；4. 实践法：设计适当的练和实践任务，帮助学生将所学的数学知识应用到实际问题中。
五. 教学内容安排根据教材的章节划分，本教案将按照以下方式安排教学内容：- 第一单元：整式与分式- 第二单元：历史与人物- 第三单元：概率与统计- 第四单元：等比数列- 第五单元：性质与运算六. 教学评价方法为了准确评价学生的数学研究情况，本教案将采用以下评价方法：1. 测试：通过书面测试和口头测试，检查学生对教学内容的掌握情况；2. 实践任务评价：评估学生在实际问题中应用数学知识的能力；3. 个人报告评价：鼓励学生进行主题研究，并评估他们的表达和分析能力。
七. 教学资源准备为了有效开展教学活动，本教案将准备以下教学资源：1. 教材：新人教版初中数学九年级上册教材；2. 录像资料：教学视频和相关实验视频等；3. 教学工具：计算器、几何工具、教学演示软件等。
新人教版九年级上数学教案(优秀5篇)
新人教版九年级上数学教案（优秀5篇）新人教版九年级上数学教案篇一一、词形转换1. think (v.) --- thinker (n.)2. lead (v.) ---leader (n.)3. sail (v.) --- sailing (n.) --- sailor (n.)4. graduate (v.) --- graduation (n.)5. research (v.) --- researcher (n.)6. discover (v.) --- discovery (n.)7. express (v.) --- expression (n.)8. kindness (n.)---kind (adj.)9. east (n.) --- eastern (adj.)二、重点词组1. in the field of education 在教育领域2. in the year 551 B.C. 在公元前551年3. a great thinker 一名伟大的思想家4. in one’s twenties / thirties 在某人20几、30几岁5. pass away 去世6. be proud of 为。
感到自豪7. be the pride of 是。
的骄傲8. play an important role / part in 在。
起重要作用9. succeed in doing sth 成功地做。
10. die of / from illness 死于疾病11. graduate from... 毕业于。
12. make a contribution(s) to sth 为。
做贡献13. return to 返回。
14. set up 建立15. in charge of 掌管/负责。
16. at the age of 在。
岁时17. travel across the Pacific Ocean to the United States for further study 飘洋过海到美国深造18. at first 起初19. at the end of 在。
新人教版九年级数学上册教案(全册,73页)
新人教版九年级数学上册全册教案设计第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9 左边写成平方形式→(x ＋3)2＝25降次→x ＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0(2)2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x(3)x2－2x＋12＝0(4)4x2－3x＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x－2)(3x－5)＝0三、巩固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页习题4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．。
人教版九年级上数学教案（6篇）
人教版九年级上数学教案（6篇）人教版九年级上数学教案（6篇）好的数学教学教案很有意义的。
教案的作用有很多，作为新的老师教案的重要性是不容小觑的，随着教案的完成,对于教材和知识点的把握更有力度,更有利于将来的讲课。
下面小编给大家带来关于人教版九年级上数学教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
人教版九年级上数学教案【篇1】在初中的数学教学过程中，函数教学是比较难的章节，我们该如何设计我们的教学过程呢？下面我来谈谈我的一些很浅的看法：首先函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。
在教学中，学生常常觉得函数抽象深奥，高不可攀，老师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。
事实果真如此难教又难学吗？下面我谈谈在教学设计方面一些方法和实践。
一、注重类比教学不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为类比教学。
在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由学会到会学，真正实现教是为了不教的目的。
有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。
因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。
是一种既经济又实效的教学方法。
下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。
首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。
但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。
匆匆给出概念，然后应用。
等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。
九年级数学上册(人教版)教案
九年级数学上册（人教版）教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类。
掌握有理数的运算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
教学内容：有理数的定义及分类。
有理数的运算方法及运算律。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，解释有理数的定义。
2. 讲解有理数的分类，包括整数、分数和零。
3. 演示有理数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 引导学生进行练习，巩固运算方法。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系。
掌握实数的运算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
教学内容：实数的定义及与有理数的关系。
实数的运算方法及运算律。
教学步骤：1. 引入实数的概念，解释实数的定义。
2. 讲解实数与有理数的关系，包括实数是将有理数扩展到全体实数。
3. 演示实数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 引导学生进行练习，巩固运算方法。
第二章：方程2.1 线性方程教学目标：理解线性方程的定义及其解的意义。
掌握解一元一次方程的方法。
教学内容：线性方程的定义及解的意义。
一元一次方程的解法。
教学步骤：1. 引入线性方程的概念，解释线性方程的定义。
2. 讲解线性方程的解的意义，即满足方程的值。
3. 演示解一元一次方程的方法，包括代入法和消元法。
4. 引导学生进行练习，巩固解方程的方法。
2.2 不等式教学目标：理解不等式的定义及其解集的意义。
掌握解一元一次不等式的方法。
教学内容：不等式的定义及解集的意义。
一元一次不等式的解法。
教学步骤：1. 引入不等式的概念，解释不等式的定义。
2. 讲解不等式的解集的意义，即满足不等式的值的集合。
3. 演示解一元一次不等式的方法，包括代入法和消元法。
4. 引导学生进行练习，巩固解不等式的方法。
第三章：函数3.1 一次函数教学目标：理解一次函数的定义及其图像的特点。
掌握一次函数的解析式及图像的绘制方法。
教学内容：一次函数的定义及图像的特点。
一次函数的解析式及图像的绘制方法。
教学步骤：1. 引入一次函数的概念，解释一次函数的定义。
九年级数学上册(人教版)教案
九年级数学上册（人教版）教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类；掌握有理数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用有理数解决实际问题。
教学内容：有理数的定义及分类；有理数的运算方法及运算律；有理数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，引导学生理解有理数的定义及分类；2. 通过示例讲解有理数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用有理数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固有理数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用有理数解决。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系；掌握实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用实数解决实际问题。
教学内容：实数的定义及其与有理数的关系；实数的运算方法及运算律；实数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实数的概念，引导学生理解实数的定义及其与有理数的关系；2. 通过示例讲解实数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用实数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固实数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用实数解决。
第二章：方程2.1 一元一次方程教学目标：理解一元一次方程的定义及其解法；能够运用一元一次方程解决实际问题。
教学内容：一元一次方程的定义及解法；一元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入一元一次方程的概念，引导学生理解一元一次方程的定义；2. 通过示例讲解一元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用一元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固一元一次方程的解法；选取一些实际问题，让学生运用一元一次方程解决。
2.2 二元一次方程教学目标：理解二元一次方程的定义及其解法；能够运用二元一次方程解决实际问题。
教学内容：二元一次方程的定义及解法；二元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入二元一次方程的概念，引导学生理解二元一次方程的定义；2. 通过示例讲解二元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用二元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
人教版数学九年级上册教案(7篇)
人教版数学九年级上册教案(7篇)人教版数学九年级上册教案篇一一、指导思想：以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。
数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
二、教材目标及要求：1、分式的重点是分式的四则运算，难点是分式四则混算、解分式方程以及列分式方程解应用题。
2、反比例函数掌握反比例函数的概念，性质，并利用其性质解决一些实际问题。
进一步理解变量与常量的辩证关系，进一步认识数形结合的思维方法。
3、勾股定理：会用勾股定理和逆定理解决实际问题。
4、四边形的重点是平行四边形的定义、性质和判定，难点是平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别以及中心对称。
5、数据描述。
三、教学措施：1、认真备课，做好教学规划。
一堂课，40分钟，要讲好并不容易，既要保证讲透所有的知识点，又要兼顾学生的接受能力，因此课前备课尤为重要，针对每一节内容，选择不同的讲课方式，特别是运用通俗易懂的实际用例，可以使学生更容易接受知识点，所以课前充分做好准备，每一步都要考虑周到。
2、重视改进教学方法，坚持启发互动式教育。
讲课前要安排学生进行预习，对将要学的内容有一个初步的了解，在讲课过程中，老师步步引导，以随问的方式讲解知识点和例题，观察学生的反应，随时了解到学生的接受情况，在针对理解不透彻的地方进行重点讲解，做到老师与学生的互动教学学习，提高效率，还能激发学生的学习兴趣。